01 数列通项求和专题复习
巩固练习
考点1：累加法
A组
1
已知数列{an}中，a1 = 1，an = an−1 + 3n −2（n ∈N∗，且n ≥2），则通项公式an =（ ）
A. 3n2 −n + 2
2
B. 3n2 −3n + 2
2
C. n (3n −1)
2
D. (n −1) (3n + 2)
2
2
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2 = 8，S4 = 38.
(1)
求{an}的通项公式；
(2)
若数列{bn}满足b1 = 2，bn+1 −bn = an，求{bn}的通项公式.
考点2：累乘法
A组
1
在数列{an}中，a1 = 1
2 ，an = n −1
n + 1 an−1（n ≥2），则a1 + a2 + ⋯+ a10 =（ ）
A. 10
11
B. 20
21
C. 511
512
D. 1023
1024
1
2
在数列{an}中，a1 = 1，an+1
n
=
an
n + 1 (n ∈N∗).则a4
a2
=（ ）
A. 4
B. 2
C. 1
2
D. 1
4
考点3：待定系数法
A组
1
设数列{an}满足a1 = 4，an = 3an−1 + 2n −1(n ≥2)，则数列{an}的通项公式为 .
2
已知数列{an}满足：a1 = 3，an = an−1 + 2n−1(n ≥2, n ∈N∗)．
(1)
求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
考点4：取倒数法
1
已知数列 {an} 满足 a1 = 1，an+1 =
an
4an + 1 , (n ∈N∗) ，则 an = (
)
A. an = 1
n
B. an =
1
2n −1
C. an = 2n −1
4n −3
D. an =
1
4n −3
2
已知数列{an}中，a1 = 1且an+1 =
3an
an + 3 (n ∈N∗)，则a22为( )
A. 1
8
B. 1
6
C. 1
3
D. 1
2
2
考点5：取对数法
A组
1
数列 {an} 中, a1 = 2, an = a2
n−1 (n ≥2 且 n ∈N∗), 求数列 {an} 的通项公式.
2
数列{an}中，若a1 = 3，√an+1 = an(n ∈N∗)，则数列{an}的通项公式an =
.
3
设正项数列 {an} 满足 a1 = 1, an = 2a2
n−1(n ≥2), 求数列 {an} 的通项公式.
3
考点6：利用S 求通项
n
A组
1
已知数列{an}的前n项和为Sn = −2n2 + 3n + 1，则数列{an}的通项公式为
.
2
数列{an}的前n项和Sn满足Sn = 2an −1，则an =
．
3
记数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn + an = 4，则S6 =
.
考点7：倒序相加法
A组
已知函数f (x) =
ax
ax + √a
（a > 0且a ≠1）．
(1)
求证：若x1 + x2 = 1，则f (x1) + f (x2) = 1；
(2)
求f ( 1
10 ) + f ( 2
10 ) + … + f ( 9
10 )的值．
4
考点8：错位相减法
A组
设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1 = b1 = 1, a3 + b5 = 21, a5 + b3 = 13.
（1）求{an}、{bn}的通项公式：
（2）求数列{ an
bn
}的前n项和Sn．
考点9：裂项相消法
A组
1
已知数列{an}前n项和Sn满足Sn = 1
2 n(n + 3)，n ∈N ∗，则数列{ 1
nan
}的前2021项和为
.
2
已知数列{an}前n项和为Sn，满足a1 = 1，(n + 2)Sn = nan+1，则数列{
an
(n + 2) ⋅(n + 3) }的前n项和为
．
5
考点10：分组求和法
A组
1
数列{an}满足a1 = 2，an+1 = 3an + 2n+1，则数列{an}的通项公式为an =
，前n项和Sn =
．
2
已知等差数列{an}中，a3 + a5 = a4 + 7，a10 = 19，则数列{an cos nπ}的前2025项和为（ ）
A. 1012
B. 1013
C. 2025
D. −2025
6
02 数列的性质复习
巩固练习
考点1：等差等比的单调性
A组
1
在等差数列{an}中，a1 = 25，a2 ≠a1，a1、a11、a13成等比数列，{an}的前n项和为Sn．
(1)
求数列{an}的通项公式；
(2)
求Sn的最大值．
2
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6 > S7 > S5，则下列命题中正确的是（ ）
A. d < 0
B. S11 > 0
C. S12 > 0
D. 数列{Sn}中最大项为S11
3
设S 是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a }的前n项和，则下列命题正确的是（ ）
A. 若d＜0，则数列{S }有最大项
B. 若数列{S }有最大项，则d＜0
C. 若对任意n∈N ，均有S ＞0，则数列{S }是递增数列
D. 若数列{S }是递增数列，则对任意n∈N ，均有S ＞0
n
n
n
n
*
n
n
n
*
n
7
4
设{an}是等比数列，则“a2
2 > a1a2”是“{an}为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
5
设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1 > 1，a2022 ⋅a2023 > 1，
(a2022 −1) ⋅(a2023 −1) < 0则下列选项正确的是（ ）
A. {an}为递增数列
B. S2022 + 1 < S2023
C. T2022是数列{Tn}中的最大项
D. T4045 > 1
考点2：数列单调性的应用
A组
1
已知数列{an}的通项公式为an = n2 −bn ，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围是
A. (−∞, 3)
B. (−∞, 2)
C. (3, +∞)
D. (2, +∞)
2
已知数列{an}是首项为1,公差为2m的等差数列,其前n项和为Sn，设bn =
Sn
n ⋅2n (n ∈N ∗)，若数列{bn}是递减数列,
则m的取值范围是
.
3
已知等比数列{an}的首项为2，公比为−1
3 ，其前n项和记为Sn，若对任意的n ∈N ∗，均有A ≤3Sn −1
Sn ≤B恒成
立，则B −A的最小值为
.
B组
1
在数列{an}中，a2 = 2a1 + 1．记{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+2 + Sn+1 + Sn = 3n2 + 1 (n ∈N∗)若对任意
n ∈N∗，都有an < an+1，则首项a1的取值范围是
．
2
设数列{an}的前n项和为Sn，Sn = n2 + 2a|n −2|（n ∈N ∗），数列{an}为递增数列，则实数a的取值范围
.
8
03 平面及其基本性质
巩固练习
考点1：平面基本性质以及点、线、面的关系
A组
1
用符号语言表示“点A在直线l上，l在平面a上”
2
三个平面不可能将空间分成（ ）个部分
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
3
过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）
A. 三角形
B. 长方形
C. 对角线不相等的菱形
D. 六边形
4
下列命题：
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线.
其中正确的命题有（ ）个.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
B组
1
设α, β表示两个平面，l表示直线，A, B, C表示三个不同的点，给出下列命题：
①若A ∈l, A ∈α, B ∈l, B ∈α，则l ⊂α；
②α, β不重合，若A ∈α, A ∈β, B ∈α, B ∈β，则α ∩β = AB；
③若l ⊂α, A ∈l，则A ∉α；
④若A, B, C ∈α, A, B, C ∈β，且A, B, C不共线，则α与β重合.
其中假命题的序号是
.
9
2
在空间四边形ABCD的边AB, BC, CD, DA上分别取点E, F, G, H，如果EH, FG相交于一点M，那么M一定在直线
上．
3
在正方体ABCD −A1B1C1D1中，过点B的平面α与直线A1C垂直，则α截该正方体所得截面的形状为（ ）
A. 三角形
B. 四边形
C. 五边形
D. 六边形
4
已知长方体ABCD﹣A B C D 中，M，N分别为AA 和AB的中点．求证：
（1）D ，M，N，C四点共面；
（2）D M、DA、CN三线共点．
1
1
1
1
1
1
1
10
C组
1
已知长方体ABCD −A1B1C1D1中，AB = 3, AD = 4, AA1 = 5，点E在线段BC上，过点A、C1、E三点的平面截
长方体，则所得截面面积的取值范围是
．
2
如图，在棱长为10的正方体ABCD −A1B1C1D1中，M为棱CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到AA1与A1D1的
距离均为3，则过点P且与A1M垂直的平面截正方体所得截面的形状是（ ）
A. 三角形
B. 四边形
C. 五边形
D. 六边形
考点2：三大公理及其推论
A组
1
4条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线
时，才是一个平面图形．
2
三条互相平行的直线最多可确定
个平面．
3
下列四个命题中的真命题是（ ）
A. 如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B. 如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C. 如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
4
一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是（ ）
A. 1个
B. 3个
C. 1个或3个
D. 1个或3个或4个
11
5
如图所示，在四边形ABCD中，已知AB ∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．
求证：E，F，G，H四点共线．
6
如图，已知平面α，β，且α ∩β = l.设梯形ABCD中，AD ∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.则下列结论一定正确的是( )
A. AB = CD
B. 直线AB与直线CD可能为异面直线
C. 直线AC与直线BD可能为异面直线
D. 直线AB、CD、l相交于一点
12
考点3：直观图斜二测画法
A组
1
有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC = 45∘，AB = AD = 2，DC⊥BC，则原
多边形面积为
．
2
如图是梯形ABCD按照斜二测画出的直观图A′B′C′D′，其中A′D′ = 2，B′C′ = 4，A′B′ = 1，则原梯形ABCD的面
积为
.
3
将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为
.
4
如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′ = 4，C′D′ = 2，则下列说法正确的是
（ ）
A. AB = 2
B. A′D′ = 2√2
C. 四边形ABCD的周长为4 + 2√2 + 2√3
D. 四边形ABCD的面积为6√2
13
5
有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.
∠ABC = 45∘，AB = AD = 1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为（ ）.
A. 2 + √2
B. 2√3
C. 2 + √2
2
D. 3
B组
1
有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC = 45∘，
AB = AD = 1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为（ ）
A. 1 +
√2
2
B.
√2
2
C. 2 +
√2
2
D. 1
2 +
√2
2
2
已知直角梯形OABC上下两底分别为分别为2和4，高为2√2，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A. 6√2
B. 3√2
C. 3
D. 6
14
C组
1
用斜二测画法得到的多边形A1A2 … An的直观图为多边形A1′A2′ … An′，试探索多边形A1A2 … An与多边形
A1′A2′ … An′的面积之间有无确定的数量关系.
15
04 空间直线与直线的位置关系
巩固练习
考点1：直线与直线的位置关系
A组
1
“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
2
已知直线a．如果直线b同时满足条件：①a与b异面；②a与b成定角；③a与b的距离为定值．那么这样的直线b有
条．
B组
1
若直线 a，b 是异面直线，点 O 是空间中不在直线 a，b 上的任意一点，则( )
A. 不存在过点 O 且与直线 a，b 都相交的直线
B. 过点 O 一定可以作一条直线与直线 a，b 都相交
C. 过点 O 可以作无数多条直线与直线 a，b 都相交
D. 过点 O 至多可以作一条直线与直线 a, b 都相交
考点2：异面直线的判定
A组
1
在四棱台ABCD −A1B1C1D1中的12条棱所在直线中，与直线AB1是异面直线的共有
条
16
2
如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且
CF
CB = CG
CD = 2
3 ，则（ ）
A. EF与GH互相平行
B. EF与GH异面
C. EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D. EF与GH的交点M一定在直线AC上
3
已知A、B、C、D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线.用反证法证明：直线AC与BD也是异面直线.
B组
1
已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．
17
考点3：求异面直线所成角
A组
1
如图已知A是△BCD所在平面外一点，AD = BC，E､F分别是AB、CD的中点，若异面直线AD与BC所成角的大
小为π
3 ，则AD与EF所成角的大小为
.
2
在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（ ）
A. 1
2
B. √3
5
C. √3
3
D. √6
3
3
正方体ABCD −A1B1C1D1中，E是AB中点，F为AA1的中点.求异面直线CE、BF所成角的余弦值为
.
B组
1
如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，异面直线DG与MN的夹角是
.
18
2
已知异面直线a、b所成角为80∘，P为空间一定点，则过P点且与a、b所成角都是50∘的直线有且仅有（ ）条．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
3
在棱长为1的立方体ABCD −A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和B1C1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦
值为
.
4
在空间四边形ABCD中，AB = CD = 6，M, N分别是对角线AC, BD的中点，若异面直线AB, CD所成角的大小为
60∘，则MN的长为
.
5
已知P是一个圆锥的顶点，PA是母线，PA = 2，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线
PA与BC所成角的最小值为
．
考点4：公垂线的性质及判定
A组
1
已知正方形ABCD，HG⊥平面ABCD，G, F分别为AB, BC的中点，E为AC上一点，且AE = 3EC，求证：EF为
异面直线AC与HF的公垂线．
19
2
P是正角形ABC所在平面外一点，M, N分别是AB和PC的中点，且PA = PB = PC = AB = a.
(1)
求证：MN是AB和PC的公垂线；
(2)
求异面直线AB和PC之间的距离.
B组
1
异面直线a、b所成角为π
3 ，直线c与a、b垂直且分别交于A、B，点C、D分别在直线a、b上，若AC = 1，AB = 2，
BD = 3，则CD =
．
20
05 空间直线与平面的位置关系
巩固练习
考点1：空间直线和平面的位置关系
A组
1
在长方体ABCD −A1B1C1D1中，若AA1 = 7, AB = 24，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是
.
2
已知正六边形ABCDEF的各顶点均在平面α的同侧，点A，C，F到面α的距离分别为9，10，20，则点D到平面α的距
离为
．
3
如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是3，则直线AB和平面α的位置关系是
．
B组
1
正方体ABCD-A B C D 中.求证:
（1）A C //平面ACB ；
（2）BD ⊥平面AB C
1
1
1
1
1
1
1
1
1
21
2
如图，正方体ABCD −A1B1C1D1中，M是A1D的中点，则（ ）
A. 直线MB与直线B1D1相交，直线MB ⊂平面ABC1
B. 直线MB与直线D1C平行，直线MB⊥平面A1C1D
C. 直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平面ADC1B1
D. 直线MB与直线A1D垂直，直线MB∥平面B1D1C
3
如图，某建筑物OP垂直于地面，从地面点A处测得建筑物顶部P的仰角为30∘，从地面点B处测得建筑物顶部P的仰
角为45∘，已知A、B相距100米，∠AOB = 60∘，则该建筑物OP高度约为
米．（保留一位小数）
4
如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在正方体中，由两个顶点确定的直线与
由顶点确定的平面构成的“正交线面对”的个数为
.
22
考点2：直线与平面平行、垂直的性质和判定
A组
1
如图，在正方体ABCDA B C D 中，E，F分别是B B，DC的中点，求证：AE⊥平面A D F.
1
1
1
1
1
1
1
2
如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PD上的点，且AM
MB = DN
NP ，求证：直线MN∥平面
PBC.
23
3
如图，在三棱锥A −BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，AB = BD = DC = 2，BE⊥AD，E为垂足.
(1)
求证：BE⊥平面ACD；
(2)
若F为AC的中点，求四面体ABEF的体积.
B组
1
如图，在四棱锥P −ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角的大
小为π
3 ，M为PA中点.
(1)
求四棱锥P −ABCD的体积；
(2)
求异面直线BM与PC所成角的大小 (结果用反三角函数值表示).
24
2
如图（1）在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，点E在线段AB上，且BE＝1，将△ADE沿DE折起到△A DE的位置，使
得平面A DE⊥平面BCDE，如图（2）．
（1）求证：CE⊥平面A DE；
（2）求证：A D⊥A C；
（3）线段A C上是否存在一点F，使得BF∥平面A DE？说明理由．
1
1
1
1
1
1
1
考点3：求直线和平面所成角
A组
1
直线m和平面α所成角为π
6 ，则直线m和平面α内任意直线所成角的取值范围是
25
2
如图，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．
(1)
求证：PM⊥平面ABC；
(2)
求直线PB与平面ABC所成角的大小．
3
四边形ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于O点，PA⊥平面ABCD，且满足PA = AB = AD．
(1)
求证：AB和PC是异面直线；
(2)
求直线PC和平面ABCD所成角．
26
4
如图所示，ABCD −A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M是棱A1B1的中点，N是棱A1D1的中点.
(1)
求直线AN与平面ABCD所成角的大小；
(2)
求异面直线AN与BM所成角的大小.（计算结果用反三角函数表示）
B组
1
如图，三棱柱ABC −A1B1C1的侧棱A1A垂直于底面ABC, A1A = 2, AC = CB = 1，∠BCA = 90∘, M、N分别是
AB、A1A的中点．
(1)
求证：A1B⊥CM
(2)
求直线BN与平面A1BC所成角正弦值.
27
2
某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B，已知AB与地面所成角的大小为60∘，点A在地面上的射影为H，如
图，请在地面上选定点M，使得AB + BM
AM
达到最大值.
考点4：三垂线定理的应用
A组
1
正方体ABCD—A B C D 中，EF是异面直线AC和A D 的公垂线，则EF和BD 的关系是
A. 相交但不垂直
B. 垂直相交
C. 异面
D. 平行
1
1
1
1
1
1
2
在长方体ABCDA B C D 中，AB＝AA ＝2BC＝2，则异面直线B D 与CD的距离为
；异面直线BD 与CD的距
离为
．
1
1
1
1
1
1
1
1
B组
1
已知EF ,是异面直线a , b的公垂线，直线l//EF ,则l与a , b交点的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 0或1
D. 0或1或2
28
2
在空间四边形ABCD中，AB = CD，AC = BD，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC
的公垂线．
3
如图，四面体SABC的所有棱长为a．
(1)
求异面直线SC、AB的公垂线段EF的长；
(2)
求异面直线EF与SA所成角的大小．
29
06 空间平面与平面的位置关系
巩固练习
考点1：平面与平面的位置关系
A组
1
下列命题中错误的是（ ）
A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
2
在空间中，已知命题p: △ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零，命题q：平面α∥平面ABC，则p是q的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B组
1
如图，正方体ABCD −A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该
正方体所得的截面记为S，则下列结论错误的是（ ）
A. 当0 < CQ < 1
2 时，S为四边形
B. 截面在底面上投影面积恒为定值3
4
C. 存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直
D. 当CQ = 3
4 时，S与C1D1的交点R满足C1R = 1
3
30
考点2：面面平行、垂直的性质与判定
A组
1
如图，A, B, C为不共线的三点，AA1//BB1//CC1，且AA1 = BB1 = CC1；求证：平面ABC//平面A1B1C1；
2
如图，已知四棱锥S −ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，SA⊥平面ABCD，SA = 2，E是侧棱SC上的一
点．
求证：平面EBD⊥平面SAC；
31
3
如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点.
(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；
B组
1
如图，在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且AB = 2，AA1 = 4，经过顶点A和C1各作一个
平面与平面CB1D1平行，前者与平面ABCD交于l1，后者与平面ABB1A1交于l2，则异面直线l1与l2所成角的余弦值
为
.
32
2
如图，α//β//γ，直线a与b分别交α, β, γ于点A，B，C和点D，E，F，求证AB
BC = DE
EF .
3
如图所示，P是△ABC所在平面外的一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心．
(1)求证：平面ABC∥平面A′B′C′；
(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比．
33
C组
1
如图，四面体ABCD的顶点A在平面α上，侧棱AB⊥平面α，且BA, BC, BD两两垂直且长度均为1， E是CD中
点，M是线段AE上的动点，过点M作平面ACD的垂线交平面α于点N，则MN的取值范围为
．
2
已知正方体ABCD −A1B1C1D1中，P､Q分别为对角线BD､CD1上的点，且CQ
QD1
= BP
PD = 2
3 .
(1)
作出平面PQC和平面AA1D1D的交线（保留作图痕迹），并求证：PQ//平面A1D1DA；
(2)
若R是AB上的点，当AR
AB 的值为多少时，能使平面PQR//平面A1D1DA？请给出证明.
34
考点3：求二面角的平面角
A组
1
如图所示，四面体ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC = 6，AB = 4√3，∠ABC = 30∘．
(1)
求证：AC⊥BD．
(2)
若二面角B −AC −D为45∘，求直线AB与平面ACD所成的角的正弦值．
2
过正方形ABCD之顶点A作PA⊥平面ABCD，若PA = AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的度数为
．
3
已知平面α与β所成锐二面角的平面角为80∘，P为α，β外一定点，过点P的一条直线与α和β所成的角都是30∘，则这样
的直线有且仅有（ ）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
35
4
如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD．若PA = AD，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大
小．
B组
1
如图，已知四棱锥P −ABCD的底面是直角梯形，∠ABC = ∠BCD = 90∘，AB = BC = PB = PC = 2CD，侧面
PBC⊥底面ABCD．PA与BD是否互相垂直？请证明你的结论．
36
2
如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD．
(1)
求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)
若AB＝1，CD＝BC＝√3，求直线AD与平面ABC所成的角的余弦值．
3
如图所示，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，侧面AA C C为长方形，AA ＝1，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，AM＝CM．
(1)
求证：平面AA1C1C⊥平面C1MB；
(2)
求直线A B和平面C1MB所成角的正弦值．
1
1
1
1
1
1
1
37
4
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2√2，∠PAB＝60°，
(1)
证明：AD⊥平面PAB；
(2)
求二面角P﹣BD﹣A的大小．
5
如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD ＝90 ，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥
底面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于E.
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P—DC—B的大小；
。
38
C组
1
已知三棱锥ABCD中，AB⊥CD，且CD与平面ABD所成角余弦值为3
5 ，当S△ABD
S△ABC
取得最大值时，二面角
C −AB −D的正弦值为
．
2
如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC = 60∘，E，F分别是BC，PC的中点.
（1）证明：AE⊥平面PAD；
（2）AB = 2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为
√6
2 时，求二面角E-AF-C的余弦值.
39
07 柱体
巩固练习
考点1：棱柱和圆柱的结构特征
A组
1
以下说法正确的是（ ）
A. 各侧面都是矩形的棱柱是长方体
B. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C. 各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥
D. 底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱
2
如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的
转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 12
B组
1
有下列命题：
①在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；
③侧面都是平行四边形的多面体是棱柱；
④体对角线相等的平行六面体是长方体.
共中正确命题是
（填号）.
40
考点2：柱体的体积和表面积
A组
1
已知长方体的长、宽、高之比为3 : 2 : 1，对角线长是2√14，求此长方体的表面积和体积.
2
若正四棱柱的底面周长为4，高为2，则该正四棱柱的表面积为
.
3
已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为
.
4
正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为6，则此三棱柱的体积为
.
5
圆柱的侧面展开图是边长为2π和3π的矩形，则圆柱的体积为
.
41
6
如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形ABCD的边AB所在的直线为旋转轴旋转120∘得到的，AB = 3, AD = 2
.
(1)
求这个几何体的体积；
(2)
这个几何体的表面积.
7
已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1、O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆
柱的侧面积为
．
8
圆柱的轴截面是正方形，且面积为16，则圆柱的侧面积为
．
42
9
已知正四棱柱ABCD −A1B1C1D1中，AB = 2, AA1 = 3.
(1)
求正四棱柱ABCD −A1B1C1D1的表面积；
(2)
求证：平面A1ACC1⊥平面A1BD．
B组
1
正四棱柱ABCD −A1B1C1D1的底面边长AB = 3，若直线B1C与底面ABCD所成的角的大小为arctan 3，则正四棱
柱ABCD −A1B1C1D1的侧面积为
．
2
如图，在三棱柱ABC--A1B1C1中，∠ACB = 90∘， ∠ACC1 = 60∘，∠BCC1 = 45∘，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱
的高等于
43
3
已知一个正四棱柱的底面边长为1，其侧面的对角线长为2，则这个正四棱柱的侧面积为
.
4
现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为8，圆柱的体积为16π，则长方
体的高h的取值范围是
.
5
如图，已知三棱柱ABC −A1B1C1的所有棱长均为2，满足A1B⊥B1C，则该三棱柱体积的最大值为（ ）
A. √3
B. 3
C. 2√3
D. 4
6
正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a＝
.
7
已知正三棱柱ABC −A1B1C1所有顶点都在球O上，若球O的体积为32π
3 ，则该正三棱柱体积的最大值为
.
8
如图，三棱柱ABC −A1B1C1中，侧面B1BCC1的面积是4，点A1到侧面B1BCC1的距离是3，则三棱柱
ABC −A1B1C1的体积为
.
9
设长方体的三条棱长分别为a, b, c，若长方体的所有棱的长度之和为24，一条体对角线长为5，体积为2，则
1
a + 1
b + 1
c =
.
44
10
如图，在棱长为1的正方体ABCD −A1B1C1D1中，P, Q, R分别是棱AB, BC, BB1的中点，以△PQR 为底面作一个
直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD −A1B1C1D1的表面上，则这个直棱柱的高为（ ）
A. √3
2
B. √3
3
C. √3
6
D. √3
8
11
如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC = 4，AB = AC，∠BAC = 90
∘，D为半圆弧
⌢
B1C1的中点，若异面直线BD和AB1所成角的大小为arc cos 2
3 ．
（1）证明：A1D⊥平面BCC1B1；
（2）求该几何体的表面积和体积；
（3）求点D到平面AB1C1的距离．
45
08 椎体
巩固练习
考点1：椎体的结构特征
A组
1
对于四面体ABCD，下列命题正确的是
（写出所有正确命题的编号）．
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是ΔBCD的三条高线的交点；
③若分别作ΔABC和ΔABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
2
如果三棱锥S −ABC的底面不是等边三角形，两组对棱互相垂直，且顶点S在底面的射影O在ΔABC内，那么O是
ΔABC的
A. 外心
B. 内心
C. 垂心
D. 重心
3
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB = 90∘，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有
个.
46
B组
1
下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中真命题的编号是（ ）
A. ③④
B. ①②
C. ①③④
D. ①④
2
已知点V 是正方形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝V D，点P是棱V A上异于点V 的一动点,则点P在面
V BC上的射影落在（ ）
A. △V BC的外部
B. △V BC的内部
C. △V BC的一边上
D. 以上皆有可能
考点2：椎体的体积与表面积
A组
1
已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为
2
如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为
.
3
设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为√3，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥
的侧面积为
.
4
一个直角三角形的两条直角边长分别为1和√3，将该三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周得到两个圆锥，
则这两个圆锥的体积的比值为（ ）
A. 1
B. √3
C. 3
D. 3√3
5
已知一个圆锥的底面半径为1cm，侧面积为2πcm2，则该圆锥的体积为
cm3．
47
6
已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于
.
7
已知在正四棱锥P −ABCD中，底面是边长为1的正方形，棱锥的高为
√2
2 ，则该四棱锥的侧面积等于
．
8
在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底
面中心．这个几何体的表面积为（ ）
A. (5 + √5)π
B. (4 + √3)π
C. √5π
D. (6 + √5)π
9
我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，
被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某
几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为
.
B组
1
底面半径长为1，母线长为√2的圆锥的体积为
．
2
圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值为
．
3
在棱长为1的正方体ABCD −A1B1C1D1中，P是C1B1的中点，若E, F都是AB上的点，且|EF| = 1
2 , Q是A1B1上的
点，则三棱锥P −EFQ的体积是
.
4
三棱柱ABC −A1B1C1的各条棱长均为2, ∠A1AB = ∠A1AC = ∠BAC = 60∘，则该三棱柱的侧面积为
.
5
正六棱锥底面边长为2，体积为4√3，则侧棱与底面所成的角为
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
48
6
三棱锥P −ABC中，E，F分别为PB, PC的中点，则平面AEF 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为
（ ）
A. 1∶3
B. 1∶4
C. 2∶3
D. 1∶2
7
如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点A，已知该圆锥体的底面
半径为r，母线长为3r，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才能最快到达点A?并求出该路径的长.
8
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D −A1ABB1的体积V1，三棱柱ABC −A1B1C1的
体积为V2，则V1 : V2＝
．
49
9
如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，点M、N分别为BB1、B1C1中点，由点A、M、N所确定的平面将该三棱柱分
成体积不同的两部分，则较大部分的体积和原三棱柱的体积之比为
.
10
将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆
锥与较大圆锥的体积之比为
11
已知三棱柱ABC −A1B1C1中，AB = AC = 1，AA1 = 2，∠A1AC = ∠A1AB = 60∘，∠BAC = 90∘，则四面体
A1BB1C1的体积为
．
C组
1
在棱长为2的正方体ABCD −A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2
平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值为（ ）
A. 2
B. √3
3
C. 1
3
D. 4
3
50
2
如图，在Rt △AOB中，∠OAB = π
6 ，斜边AB = 4, D是AB的中点，现将Rt △AOB以直角边AO为轴旋转一周得
到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC = 90∘．
(1)
求圆锥的表面积；
(2)
若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离；
(3)
若一个棱长为a的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求a的最大值．
3
用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径
长为x，圆锥母线的长为y．
(1)
建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)
圆锥的母线与底面所成的角大小为π
3 ，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m3）．
51
4
如图，正四棱锥P −ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱
PB､PD于点E､F(可与端点重合)，则四棱锥P −AEMF的体积的取值范围是（ ）
A. [ 1
2 , 1]
B. [ 1
2 , 4
3 ]
C. [1, 4
3 ]
D. [ 8
9 , 1]
52
09 多面体与旋转体
巩固练习
考点1：多面体的结构特征与应用
A组
1
有下列命题，其中错误命题个数是（ ）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转
所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2
给出下列几个命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是
.
考点2：旋转体的结构特征与应用
A组
1
下图是由哪个平面图形旋转得到的
A．
B．
C．
D．
53
2
将边长为2的正方形绕其一边旋转一周，所得几何体的体积为
．
3
已知圆锥的侧面积为2π
9 ，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为
.
B组
已知△ABC中，C为直角，若分别以边CA，CB，AB所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为V1，V2，V3，
则（ ）
A.
1
V 2
1
+
1
V 2
2
=
1
V 2
3
B.
1
V1
+ 1
V2
= 1
V3
C.
1
V 2
1
+
1
V 2
2
=
2
V 2
3
D.
1
V1
+ 1
V2
= 2
V3
考点3：最短路径问题
A组
1
如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为4，OA, OB是底面半径，且∠AOB = 900，M为线段AB的中
点，C为线段PB的中点.
（1）若圆锥的侧面积为48π，求圆锥的体积；
（2）若PO = 4，求异面直线PM与OB所成的角的大小；
（3）若PB = 6，求圆锥侧面上A点到C点的最短距离.
54
2
如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面ΔPAB，C为PA中点，PA = 4√3，PO = 6，则从点C经圆
锥侧面到点B的最短距离为
.
55
10 球
巩固练习
考点1：球的结构特征与应用
A组
1
若球O1、O2表面积之比S1
S2
= 9，则它们的半径之比R1
R2
=
.
2
已知上海地处东经120°52'至122°12'，北纬30∘40'至31°53'之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在
两平面的距离为
千米.（结果保留到1千米）
3
已知球O 和球O 的体积之比为8：27，那么球O 和球O 的表面积的比值为
．
1
2
1
2
4
在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，则所得几何体的表面积为
．
56
考点2：球与多面体的切接问题
A组
1
正方体的外接球体积为V ，其内切球体积为V ，则V1
V2
的值为
．
1
2
2
著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器
中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆
柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（ ）．
A. 1
2
B. 1
3
C. 3
4
D. 2
3
3
如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为
．
4
已知正三棱柱ABC −A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为√6，且它的六个顶点均在球O的球面上，则球O的体积为
.
B组
1
已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝PB＝PC＝5√2，CA＝6，AB＝10，BC＝8，则球O的表面积是
．
2
如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若
水面恰好和球面相切，则这个球的半径为
.
57
11 空间向量的概念
巩固练习
考点1：空间向量的概念
A组
1
如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，ON = 2
3 OM，设
OA =
→a，OB =
→
b , OC =
→c ，则OP =
（用
→a,
→
b ,
→c 来表示）
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
2
在三棱锥D −ABC中，已知AB = AD = 2，BC = 1，AC ⋅BD = −3，则CD =
−
→
−
→
B组
设向量→
u = (a, b, 0)，→v = (c, d, 1)，其中a2 + b2 = c2 + d2 = 1，则下列判断正确的是（ ）
A. 向量→v 与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关）
B. →
u ⋅→v 的最大值为√2
C. →
u与→v 夹角的最大值为3π
4
D. ad −bc的最大值为1
58
考点2：空间中的平行与垂直问题
A组
1
如图，在棱长为3的正方体ABCD −A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM = 2MC1．以D为原点，DA，DC，
DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)
求平面ABB1A1的一个法向量；
(2)
求平面MD1B的一个法向量．
2
若两个不同平面α，β的法向量分别为
→u = (1, 2, −1)，
→v = (−3, 6, 3)，则（ ）
A. α//β
B. α⊥β
C. α，β相交但不垂直
D. 以上均不正确
3
已知平面α = {P ∣
→n ⋅P0P = 0}，其中点P0(1, 2, 3)，法向量
→n = (1, 1, 1)，则下列各点中不在平面α内的是（ ）
A. (3, 2, 1)
B. (−2, 5, 4)
C. (−3, 5, 4)
D. (2, −4, 8)
−
→
59
4
已知长方体ABCD −A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A.
→
AD1 ⋅
→
B1C
B.
→
BD1 ⋅
→
AC
C.
→
AB ⋅
→
AD1
D.
→
BD1 ⋅
→
BC
60
12 空间中的向量方法
巩固练习
考点1：点到平面的距离公式
A组
1
已知直三棱柱ABC −A1B1C1，底面△ABC中，CA = CB = 1，∠BCA = 90∘，棱AA1 = 2，M､N分别是
A1B1、A1A的中点，求MN的长.
2
如图，正三棱柱ABC −A1B1C1中，底面边长为√2.
(1)
设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)
设AB1与BC1的夹角为π
3 ，求侧棱的长．
61
考点2：异面直线夹角
A组
1
如图所示，直三棱柱ABC −A1B1C1中，CA = CB = 1，∠BCA = 90∘，棱AA1 = 2．M、N分别是A1B1、A1A
的中点．
(1)
求证：C1M⊥NB；
(2)
求直线A1B与直线CB1所成夹角的余弦值．
2
如图，直三棱柱ABC −A1B1C1，底面△ABC中，CA = CB = 1，∠BCA = 90∘，AA1 = 2，M、N分别是A1A、
A1B1的中点．
(1)
求的BM长；
(2)
求cos ⟨BA1, CB1⟩的值；
(3)
求证：A1B⊥C1N．
−
→
−
→
62
考点3：直线与平面所成角
A组
1
如图，在长方体ABCD −A1B1C1D1中，AB = AD = 2，AA1 = 1，E、F分别是AB、DC的中点．
(1)
证明：A1、D1、E、F四点共面；
(2)
求直线CD1与平面A1D1FE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
2
如图，在直三棱柱ABC－A B C 中，∠BAC＝90°，AB＝BB ，直线B C与平面ABC成30°角．
(1)
求证：平面B AC⊥平面ABB A ；
(2)
求直线A C与平面B AC所成角的正弦值．
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
63
3
如图，四棱锥P −ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD，AP = AB，F是PB的中点，E是BC上的动点.
（1）证明：PE⊥AF；
（2）若BC = 2BE = 2√3AB，求直线PA与平面PDE所成角的大小.
B组
如图，四棱锥P −ABCD的底面为矩形， PA是四棱锥的高，PB与 DC所成角为45∘， F是PB的中点， E是BC上
的动点.
（1）证明：PE⊥AF；
（2）若BC = 2BE = 2√3AB，求直线 PA与平面PDE所成角的大小．
64
考点4：平面与平面所成角
如图，在长方体ABCD −A1B1C1D1中，BC = CD = 3，CC1 = 2．求：
(1)
二面角A1 −CC1 −B的大小；
(2)
二面角A1 −BD −A的大小（结果用反三角函数值表示）．
B组
已知四棱锥S −ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD.
(1)
求证：直线BD⊥平面SAC；
(2)
当SA
AD 的值为多少时，二面角B −SC −D的大小为120∘？
65
C组
在棱长均为2的正三棱柱ABC −A1B1C1中，E为B1C1的中点．过AE的截面与棱BB1, A1C1分别交于点F，G．
(1)
若F为BB1的中点，试确定点G的位置，并说明理由；
(2)
在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；
(3)
设截面AFEG的面积为S0，△AEG面积为S1，△AEF面积为S2，当点F在棱BB1上变动时，求S 2
0
S1S2
的取值范
围．
66
