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9-6 事件的相互独立性
条件概率
与
1.了解两个事件相互独立的含义.
2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．
9-6 事件的相互独立性与条件概率....................................................................................................................1
一、主干知识..................................................................................................................................................... 1
考点1：相互独立事件............................................................................................................................ 1
2．条件概率...............................................................................................................................................2
3．全概率公式...........................................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................3
二、分类题型..................................................................................................................................................... 3
题型一 条件概率...................................................................................................................................... 3
题型二 相互独立事件的概率............................................................................................................... 4
题型三 全概率公式的应用....................................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6
1
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、
一
主干知识
考点1：相互独立事件
概念：对任意两个事件A 与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．
性质：如果事件
，
互相独立，那么
与
，
与
，
与
也都相互独立．
两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到
个事件的相互独立性，
即若事件
，
，…，
相互独立，则这
个事件同时发生的概率
．
2
条件概率
．
(1)概念：一般地，设A，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A 发生的条件下，事件
B 发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
3
全概率公式
．
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，
n，则对任意的事件B⊆Ω，有
．
（1）
；
（2）定理：若样本空间
中的事件
，
，…，
满足：
①任意两个事件均互斥，即
，
，
；
②
；
③
，
．则对
中的任意事件
，都有
，且
．
2
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贝叶斯公式
（1）一般地，当
且
时，有
（2）定理：若样本空间
中的事件
满足：
①任意两个事件均互斥，即
，
，
；
②
；
③
，
．则对
中的任意概率非零的事件
，都有
，
且
【
用
常
结论总结】
1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的
概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
2．P(B|A)是在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，P(A|B)是在事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．
3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B 的概率P(B)代替P(AB)．
3
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、分
型
二
类题
型
题
一条件概率
【例题精析1】
某地的中学生中有
的同学爱好滑冰，
的同学爱好滑雪，
的同学爱好滑冰或爱
好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（
）
A．0.8
B．0.6
C．0.5
D．0.4
【答案】 A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【解答】 同时爱好两项的概率为
，
记“该同学爱好滑雪”为事件
,记“该同学爱好滑冰”为事件
，
则
，
所以
.
故选:
.
【例题精析2】
用
五个数字排成一个无重复数字的五位数，设事件
{数字在
的左边}，事件
{ 与
相邻}，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【分析】分别计算出
，由条件概率公式可求得结果.
【解答】
，
，
.
4
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故选：D.
【例题精析3】
52 张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为 ；已
知第一次抽到的是A，则第二次抽取A 的概率为
【答案】
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A 的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽
到A 的条件下，第二次抽到A 的概率.
【解答】 由题意，设第一次抽到A 的事件为B,第二次抽到A 的事件为C,
则
.
故答案为：
；
.
【例题精析4】
在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据
的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为
，该地区年龄位于区间
的人口占该地区总人口的
.从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】 (1)
岁；(2)
；(3)
．
5
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【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设
{一人患这种疾病的年龄在区间
}，根据对立事件的概率公式
即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【解答】 （1）平均年龄
（岁）．
（2）设
{一人患这种疾病的年龄在区间
}，所以
．
（3）设
“任选一人年龄位于区间[40,50)”，
“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，此人患这种疾病的概率为
．
【例题精析5】
有编号分别为1，2，3，4 的4 个红球和4 个黑球，从中取出2 个，在取出球的编号互不相同
的条件下，2 号红球被取到的概率为 ．
【答案】
/0.25
【分析】用组合数公式找出总数和编号相同的取法，由对立事件可求编号不同的取法，再根据条件概率公
式计算可得．
【解答】 记“取出的编号互不相同”为事件A，“2 号红球被取到”为事件B，
因为从编号分别为1，2，3，4 的4 个红球和4 个黑球，随机取出
个的取法有
种，
取出
个球编号相同的取法有4 种，
所以球的编号互不相同的取法有
种，
又因为“取出的球的编号互不相同且2 号红球被取到”的取法有
种，
6
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所以在取出球的编号互不相同的条件下，2 号红球被取到的概率为
.
故答案为：
.
【例题精析6】
假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有
个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则当已知
该家庭
个小孩中有女孩的条件下，
个小孩中至少有
个男孩的概率为 .
【答案】
【分析】记事件
该家庭
个小孩中有女孩，事件
该家庭中
个小孩中至少有
个男孩，计算出
、
的值，利用条件概率公式可求得
的值.
【解答】 记事件
该家庭
个小孩中有女孩，事件
该家庭中
个小孩中至少有
个男孩，
则
，
，
由条件概率公式可得
.
故答案为：
.
【例题精析7】
为巩固脱贫攻坚成果，推进共同富裕，我国西部某县政府派出含甲、乙、丙在内的6 名农业
专家，并分配到3 个村庄进行农业技术指导，要求每个村庄至少分配到1 名专家，每名专家只能去1 个村
庄，则在甲、乙两名专家不能分配在同一村庄的前提下，甲、丙两名专家恰好分配在同一村庄的概率为
．
【答案】
【分析】根据条件概率公式求解即可.
【解答】 将6 名专家分配到3 个村庄的不同分法有
（种），
其中甲、乙两名专家不分配在同一村庄的分法有
（种），
甲、乙两名专家不分配在同一村庄且甲、丙两名专家分配在同一村庄的分法有
7
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（种）．
设事件A 表示“甲、乙两名专家不分配在同一村庄”，事件B 表示“甲、丙两名专家恰好分配在同一村
庄”，
则
，
，故所求的概率为
．故答案为：
.
求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝.
(2)样本点法：P(B|A)＝.
(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
【对点精练1】
某医疗仪器上有
、
两个易耗元件，每次使用后，需要更换
元件的概率为
，需要更换
元件的概率为
，则在第一次使用后就要更换元件的条件下，
、
两个元件都要更换的概率是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【分析】记事件
第一次使用后就要更换元件，事件
、
两个元件都要更换，计算出
、
的值，利用条件概率公式可求得
的值.
【解答】 记事件
第一次使用后就要更换元件，事件
、
两个元件都要更换，
则
，
，
由条件概率公式可得
.故选：C.
【对点精练2】
一个不透明的袋中装有4 个红球，4 个黑球，2 个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现
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从袋中一次性随机抽取3 个球，事件A：“这3 个球的颜色各不相同”，事件B：“这3 个球中至少有1 个
黑球”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【分析】运用分类加法与分步乘法分别求得
、
，再结合条件概率的公式计算即可.
【解答】 由题意知，
，
，
所以
.故选：D.
【对点精练3】
从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，记事件
为“抓取的球中
至少有两个球同色”，事件
为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则
；在事件
发生
的条件下，事件
发生的概率
．
【答案】
/
【分析】根据题意，由古典概率公式求出
，分析
事件的取法数目，由此可得
和
，由条
件概率公式计算可得
，即可得答案．
【解答】 根据题意，从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，有
种取法，
事件
为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则事件
的取法有
种，
则
，事件
的取法有
种，则
，
，故
．故答案为：
，
．
【对点精练4】
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够
良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群
中随机调查了100 人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
好
良好
9
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病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该
疾病”．
与
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）利用该调查数据，给出
的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．
附
，
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】 (1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)
；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出
的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为
患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)
根据（i）结合已知数据求
.
【解答】 （1）由已知
，
又
，
，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为
，
所以
；所以
，
10
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(ii) 由已知
，
，
又
，
，
所以
【对点精练5】
某学习小组共有11 名成员，其中有6 名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11 名成员
中抽选2 名任小组组长，协助老师了解情况，
表示“抽到的2 名成员都是女生”，
表示“抽到的2 名
成员性别相同”，则
.
【答案】
/0.6
【分析】求出
，
，再利用条件概率求解即可．
【解答】 由题意可知
，
，
．故答案为：
．
【对点精练6】
从1，2，3，4，5，6，7 中任取两个不同的数，事件
为“取到的两个数的和为偶数”，事
件
为“取到的两个数均为偶数”，则
．
【答案】
【分析】根据条件概率公式，结合组合数公式，即可求解.
【解答】 因为事件
，所以
，
而
，所以
.故答案为：
【对点精练7】
芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm 规格的芯片，现有20 块该规格的芯片，其中甲、
乙生产的芯片分别为12 块，8 块，且乙生产该芯片的次品率为
，现从这20 块芯片中任取一块芯片，若
取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为
【答案】
/
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【分析】首先设
，
分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B 表示取得的芯片为次品，甲厂
生产该芯片的次品率为p，得到则
，
，
，
，再利用全
概率公式求解即可.
【解答】 设
，
分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B 表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为p，则
，
，
，
，
则由全概率公式得：
，解得
，
故答案为：
.
【对点精练8】
现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4 处景点旅游，每人只去一处景点，
设事件
为“4 个人去的景点各不相同”，事件
为“只有甲去了九嶷山”，则
.
【答案】
【分析】根据题意，求出4 人去4 个不同的景点的总事件数，事件
的总数和事件
的总数，可求出
，然后利用条件概率公式可求得结果.
【解答】 由题意可知，4 人去4 个不同的景点，总事件数为
，事件
的总数为
，则
，
事件
和事件
同时发生，即“甲去了九嶷山，另外3 人去了另外3 个不同的景点”则
事件
的总数为
，所以
，所以
，故答案为：
【对点精练9】
在某地A、B、C 三个县区爆发了流感，这三个地区分别3%，2%，4%的人患了流感.若A、
B、C 三个县区的人数比分别为4：3：3，先从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是
.
【答案】 0.03
【分析】患流感的人可能来自三个地方，利用条件概率公式求解.
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【解答】 设事件D 为此人患流感，
，
，
分别代表此人来自A、B、C 三个地区，根据题意可知：
，
，
，
，
，
，
.故答案为：
型
题
二相互独立事件的概率
【例题精析8】
某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，
如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶
段比赛的概率均为
，乙通过每个阶段比赛的概率均为
，丙通过每个阶段比赛的概率均为
，且三人每
次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【分析】根据题意可得这支队伍通过每个阶段比赛的概率为
，利用相互独立事件的概率计
算可得出结果.
【解答】 “至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，则这支队伍通过每个阶段比赛的概率
为
，所以他们连续通过初赛和复赛的概率为
，即进入决赛的概率为
.故选：
B
【例题精析9】
给如图所示的1~9 号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个
未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5 号格子被涂色后停止涂色，记此
时已被涂色的格子数为X，则
.
13
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【答案】
/0.08
【分析】明确
对应的事件的含义即“第3 次涂5 号格子”，再考虑第一次选取的是角上的格子还是边
中间的格子，分别求出两种情况下的概率，即可求得答案.
【解答】 由题意知“
”等价于“第3 次涂5 号格子”，若第一次涂的是四个角上的格子，以1 号格
子为例，
第二次可以涂
，要想第三次涂5 号，第二次必须选涂
号中的一个，
第三次需从5 个格子里选取5 号格子，这种情况的概率为
；若第一次涂的是四边中间的格子，
以2 号格子为例，第二次可以涂
，要想第三次涂5 号，第二次必须涂
号中的一个，
第三次需从5 个格子里选取5 号格子，这种情况的概率为
；
故
，故答案为：
【点睛】 方法点睛：需分类考虑，即考虑第一次选取的是角上的格子还是边中间的格子，分别求出两种
情况下的概率，即可求解.
【例题精析10】
甲、乙两人单独解一道题，若甲、乙能解对该题的概率分别是m，n，此题被解对的概率
【答案】
【分析】法一：由事件的和事件的概率公式及相互独立事件同时发生的概率公式计算可得.法二：根据相互
独立事件及对立事件的概率公式计算可得.
【解答】 设
“甲解对此题”，
“乙解对此题”，事件
相互独立，“此题被解对”即为事件
，
法一：
.法二：
“两人均未解对此题”，
故
.故答案为：
.
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【例题精析11】
事件A、B 是相互独立事件，若
，
，
，则实数n 的值等于
．
【答案】
【分析】根据概率的性质及独立事件的乘法公式求解.
【解答】 ∵事件A、B 是相互独立事件，∴
，
∴
，∴
.故答案为：
.
【例题精析12】
某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4.若甲答错，则由乙答，乙答对的概率为0.5.求
该问题由乙答对的概率.
【答案】
【分析】依题意，若问题由乙答对，则分两步：一是甲答错，二是乙答对，代入相互独立事件的概率乘法
公式可得答案.
【解答】 由题可知，若问题由乙答对的情况分两步实现：首先甲答错，对应的概率为
，
然后乙答对，对应的概率为
，所以该问题由乙答对的概率为
.
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
【对点精练10】
已知木盒中有围棋棋子15 枚（形状大小完全相同，其中黑色10 枚，白色5 枚），小明有放
回地从盒中取两次，每次取出1 枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.
【解答】 从盒中随机取出1 枚棋子，“是黑棋子”记为事件
，“是白棋子”记为事件
，则
，
15
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，
两枚棋子恰好不同色包含：
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子，这两个事件是互斥事件．
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率为
；
第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，概率为
．
所以这两枚棋子恰好不同色的概率是
．
故选：A．
【对点精练11】
在我国长江中下游地区，每年的6 月中下旬到7 月中旬为梅雨季节，这段时间阴雨天气较多．
这个地区的一个市级监测资料表明，该市一天为阴雨天气的概率是0.8，连续两天为阴雨天气的概率是
0.72，已知某天为阴雨天气，则随后一天也为阴雨天气的概率是 ．
【答案】 0.9/
【分析】设某天为阴雨天气，则随后一天也为阴雨天气的概率是
，再根据概率的乘法公式求解即可.
【解答】 设某天为阴雨天气，则随后一天也为阴雨天气的概率是
，则由题意
，解得
.
故答案为：
【对点精练12】
甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为
，
，两人都成功破译的概
率 .
【答案】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式即可得解.
【解答】 因为甲、乙两人独立破译一份密码，且能破译的概率分别为
，
，
所以两人都成功破译的概率为
.故答案为：
.
【对点精练13】
已知甲、乙、丙3 人参加驾照考试时，通过的概率分别为
，而且这3 人之间的考
试互不影响．求：
(1)甲、乙、丙都通过的概率；
16
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(2)甲、乙通过且丙未通过的概率．
【答案】 (1)0.504(2)0.216
【分析】（1）利用独立事件的概率公式计算即可；
（2）利用独立事件的概率公式计算即可.
【解答】 （1）（1）用
分别表示甲、乙、丙驾照考试通过．则可知
相互独立，而且
．甲、乙、丙都通过可用
表示，
因此所求概率为:
．
（2）甲、乙通过且丙未通过可用
表示，因此所求概率为
．
【对点精练14】
甲乙两人分别对
､
A，B 两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影
响.已知甲击中A，B 的概率均为
，乙击中A，B 的概率分别为
，
.
(1)求A 被击毁的概率；
(2)求恰有1 个目标被击毁的概率.
【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）求出甲乙两人均要击中目标的概率，即为A 被击毁的概率；
（2）求出A 被击毁，B 不被击毁的概率，再求出B 被击毁，A 不被击毁的概率，再相加即可.
【解答】 （1）A 被击毁则甲乙两人均要击中目标，故概率为
（2）B 被击毁的概率为
则A 被击毁，B 不被击毁的概率为
，
B 被击毁，A 不被击毁的概率为
，
17
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故恰有1 个目标被击毁的概率为
【对点精练15】
2023 年7 月11 日第64 届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队6 名参赛选手全员金牌，
再夺第一．某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题．规定全部答
对者，通过选拔考试．设甲答对第一道和第二道题的概率分别为
，
，乙答对第一道和第二道题的概率
分别为
，
，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响．
(1)求甲，乙都通过考试的概率;
(2)记事件
“甲、乙共答对两道题”，求
．
【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）设事件
“甲答对了道题”，事件
“乙答对了道题”，
，，
，求出
，
，
，
，
，
，再由相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）依题意可得
，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【解答】 （1）设事件
“甲答对了道题”，事件
“乙答对了道题”，
，，
，
由题意
，
，
，
，
，
，
由题意得，甲，乙都通过考试的概率
．
（2）由题意得，
，
所以
．
【对点精练16】
某地乒乓球协会在年55 岁
65 岁的乒乓球运动爱好者中，进行一次“快乐兵兵”比赛，3 人
18
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一组先进行预赛，选出1 名参赛人员进入正式比赛.已知甲、乙、丙在同一组，抽签确定第一轮比赛次序为：
甲对乙、甲对丙、乙对丙，先累计获胜2 场的选手，进入正式比赛.若前三场比赛甲、乙、丙各胜负一场，
则根据抽签确定由甲、乙加赛一场、胜者参加正式比赛.已知甲胜乙、甲胜丙、乙胜丙的概率分别为
，
各场比赛互不影响且无平局.
(1)求甲进入正式比赛的概率；
(2)若比赛进行了四场结束，记甲获胜的场数为
，求
的分布列与数学期望.
【答案】 (1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分类讨论由乘法公式计算即可；
（2）根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.
【解答】 （1）由题意，可分为两种情况，即分甲连胜两场和前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4 场甲胜
乙：
①甲连胜两场的概率为
；
②前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4 场甲胜乙的概率为
，
则甲进入正式比赛的概率为
.
（2）由题意得若要比四场，则前3 场甲、乙、丙必然各胜一场，
此时第四场甲对乙，故
的可能取值为1，2，
第四场甲输，则
，第四场甲赢，则
，
故
的分布列为
1
2
则
.
【对点精练17】
一个家庭有两个孩子.
(1)已知年龄大的是女孩，求年龄小的也是女孩的概率；
(2)已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率.
19
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【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件结合古典概型求概率即可；（2）应用条件概率公式计算即可.
【解答】 （1）一个家庭有两个孩子,年龄大的是女孩与年龄小的是女孩是独立事件，所以年龄小的是女
孩的概率是
；（2）一个家庭有两个孩子其中一个是女孩为事件B, 一个家庭有两个孩子另一个也是女孩
为事件A,
，
.
【对点精练18】
一个罐子中有大小与质地相同的黑白红三个球，不放回地摸球
､
､
.求：
(1)在第一次没有摸到黑球的条件下，第二次也没有摸到黑球的概率；
(2)两次都没有摸到黑球的概率.
【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）用A、B 分别表示第一次、第二次没有摸到黑球的事件，根据条件概率计算即可；
（2）用A、B 分别表示第一次、第二次没有摸到黑球的事件，计算A､B 同时发生的概率即可.
【解答】 （1）用A、B 分别表示第一次、第二次没有摸到黑球的事件，A 发生之后，罐子中还有两个球，
且其中一个是黑球，所以
.（2）用A、B 分别表示第一次、第二次没有摸到黑球的事件，
已知
，
，由概率的乘法公式，有
.
【对点精练19】
投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游
戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为
．
甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．
(1)若甲、乙、丙、丁每人各投壶1 次，求只有一人投中的概率；
(2)甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2 次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率.
【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件乘法公式计算即可；（2）分情况根据独立重复事件公式计算即可.
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【解答】 （1）将甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件
，
则
．
设只有一人投中为事件
，则
．
（2）若甲投中0 次，则丁至少投中1 次；若甲投中1 次，则丁投中2 次．
设丁获胜为事件
，则
．
型
题
三全概率公式的应用
【例题精析13】
“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了
之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但
是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊
的原因说谎的概率为
；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是
．最初人们不知道这个小孩诚实与否，
所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是
．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.
【解答】 设事件
表示“小孩诚实”，事件
表示“小孩说谎”，
则
，
，
，
，
则
，
，
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故
，故
.故选：D
【例题精析14】
一袋中装有10 个盲盒，已知其中3 个是玩具盲盒，7 个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先
后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【分析】根据全概率公式结合已知条件求解即可
【解答】 记事件
分别表示甲、乙取到的是玩具盲盒，则由题意得
，
所以
；故选：C
【例题精析15】
根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以
表示事件“试验反应为阳
性”，以
表示事件“被诊断者患有癌症”，则有
，
现在对自然人群进行普
查，设被试验的人患有癌症的概率为
，即
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【分析】根据条件概率的性质及变式可求得
，由已知可求得
，根据贝叶斯公式可求
得答案．
【解答】 解：因为
，所以
，
因为
，所以
，所以由全概率公式可得
，
因为
，
所以
．
22
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所以
．故选：A
【例题精析16】
某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50 粒
以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50 粒以上麦粒的概率为 ．
【答案】 0.56/
【分析】根据已知设出事件，由已知得出事件的概率以及条件概率，然后根据全概率公式，即可得出答案.
【解答】 分别记取到一等麦种和二等麦种分别为事件
，所结麦穗含有50 粒以上麦粒为事件
.
由已知可得，
，
，
，
，由全概率公式可得，
.故答案为：0.56.
【例题精析17】
现有两个罐子，1 号罐子中装有3 个红球､2 个黑球，2 号罐子中装有4 个红球､2 个黑球.现先
从1 号罐子中随机取出一个球放入2 号罐子，再从2 号罐子中取一个球，则从2 号罐子中取出的球是红球
的概率为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式求解作答.
【解答】 记1 号罐子中取出红球的事件为
，取出黑球的事件为
，从2 号罐子中取出红球的事件为
，
显然
互斥，
，
所以
. 故答案为：
.
【例题精析18】
流行性感冒，简称流感，是流感病毒引起的一种急性呼吸道疾病．已知
三个地区分别
有
的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是
，现从这三个地区中任意选取1 人，
若选取的这人患了流感，则这人来自B 地区的概率是 ．
【答案】
/
【分析】根据古典概型的概率公式，求得选取的人为三个地区的概率，由题意，明确三个地区患流感的条
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件概率，利用全概率公式求得患流感的概率，根据条件概率的定义，可得答案.
【解答】 记事件
表示“这人患了流感”，事件
分别表示“这人来自
地区”，
由题意可知
，
，
，
，
，
，
则
，
故
.故答案为：
.
【例题精析19】
某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行新冠疫情防控宣传．参加活
动的甲、乙两班的人数之比为5 3∶，其中甲班中女生占
，乙班中女生占
．求该社区居民遇到一位进行新
冠疫情防控宣传的同学恰好是女生的概率．
【答案】
【分析】用事件
分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B 表示“居民所遇到
的一位同学是女生”，根据题意利用全概率公式运算求解.
【解答】 用事件
分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B 表示“居民所遇
到的一位同学是女生”，则
，且
互斥，
，
由题意可知
，且
，
由全概率公式可知
.
利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B 在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算．
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【对点精练20】
甲、乙两个袋子中各装有5 个大小相同的小球，其中甲袋中有2 个红球，2 个白球和1 个黑球，
乙袋中有3 个红球，1 个白球和1 个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.
若用事件
和
分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件
表示从乙袋中取出的球是
红球，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【分析】由全概率公式可得.
【解答】 易知
，
，
所以
.
故选：A
【对点精练21】
根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，
有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送
器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，
则它被找到的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器
的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论.
【解答】 设
“失踪的飞机后来被找到”，
“失踪的飞机后来未被找到”，
“安装有紧急定
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位传送器”，
则
，
，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为
.
故选：C.
【对点精练22】
有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占
，乙工厂生产的占
.已知甲、乙两工
厂生产的该型号产品的次品率分别为
，
，则从这批产品中任取一件是次品的概率是 .
【答案】 0.024
【分析】利用全概率公式直接求解．
【解答】 设
，
分别表示甲、乙厂生产的产品，
表示取到次品，
则
，
，
，
，
从中任取一件产品取到次品的概率为：
，
故答案为：0.024．
【对点精练23】
设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产
规格的芯片，现有20 块该规格的芯片，
其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6 块、6 块、8 块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为
.
现从这20 块芯片中任取1 块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 .
【答案】
【分析】利用条件概率计算公式即可求得若取到的芯片是次品则该芯片是甲厂生产的概率.
【解答】 记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件
，
记取到的芯片是次品为事件
，
则
，
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，
，
故
，
则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为
.
故答案为：
【对点精练24】
英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B 有如
下关系：
．某地有A，B 两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳
馆游泳，周六选择A，B 游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A 馆，那么周日还去A 馆的概率为
0.4；如果周六去B 馆，那么周日去A 馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A 馆游泳，则他周六去A 馆游泳
的概率为 ．
【答案】
【分析】设事件
为“甲同学周日去A 馆”，事件
为“甲同学周六去A 馆”，即求
，根据贝叶
斯概率公式求解即可.
【解答】 设事件
为“甲同学周日去A 馆”，事件
为“甲同学周六去A 馆”，即求
，
根据题意得
，
，
，
则
.
故答案为：
.
【对点精练25】
现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3 个红球和1 个白球，乙盒中有2 个红球和2 个白球，所有
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的球除颜色外都相同.某人随机选择一个盒子，并从中随机摸出2 个球观察颜色后放回，此过程为一次试验.
重复以上试验，直到某次试验中摸出2 个红球时，停止试验.
(1)求一次试验中摸出2 个红球的概率；
(2)在3 次试验后恰好停止试验的条件下，求累计摸到2 个红球的概率.
【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案.
（2）根据条件概型、独立重复试验等知识求得累计摸到2 个红球的概率.
【解答】 （1）一次试验摸出2 个红球的概率为
.
（2）记在3 次试验后恰好停止试验为事件
，累计摸到2 个红球为事件
，
∴
，
，
，
∴
.
【对点精练26】
在
三个地区爆发了流感，这三个地区分别有
的人患了流感，假设这三个地
区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人
(1)求这个人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人选自A 地区的概率.
【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）利用全条件概率公式进行求解即可；
（2）利用条件概率公式进行求解即可.
【解答】 （1）此人来自
三个地区分别为事件
，事件
为这个人患流感，
所以
，
因此
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；
（2）
.
【对点精练27】
设甲袋中有3 个白球和4 个红球，乙袋中有1 个白球和2 个红球.某人先从甲袋中依次取2 个
球，再从乙袋中取1 个球.若在甲袋中取得红球，则放入乙袋；若取得白球，则两袋均不放入.
(1)求从甲袋中第二次取得白球的概率；
(2)求从乙袋取得红球的概率.
【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.
（2）分别讨论从甲袋中取出白球的情况，再利用古典概型公式求解即可.
【解答】 （1）令事件
：从甲袋中第二次取得白球，
则
.
（2）令事件
：从乙袋取得红球，
当从甲袋中取出的两个球均为白球时，
.
当从甲袋中取出的两个球一白一红时，
.
当从甲袋中取出的两个球均为红球时，
.
综上：
.
【对点精练28】
盒子中有大小与质地相同的5 个红球和4 个白球，从中随机取1 个球，观察其颜色后放回，
并同时放入与其相同颜色的球3 个，再从盒子中取1 个球.求第二次取出的球是白色的概率.
【答案】
【分析】利用条件概率公式和全概率公式代入计算即可求出结果.
【解答】 记事件
为“第一次抽到白球”，事件
为“第二次抽到白球”；
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则
，所以
；
由题意可得
；
，
；
即
.
所以第二次取出的球是白色的概率为
【对点精练29】
假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是
，而它们的良品率分别是
0.96､0.90､0.93.问：该部件的总体良品率是多少？
【答案】
【分析】根据全概率公式进行计算即可.
【解答】 解总体良品率显然不是三个良品率的简单平均，而是与部件供应商的供货占比有关.
因此，根据全概率公式，总体良品率为
【对点精练30】
某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为
0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到．
(1)问这个人迟到的概率是多少?
(2)如果这个人迟到了，问他乘轮船迟到的概率是多少?
【答案】 (1)0.18(2)
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）根据题意结合条件概率公式运算求解.
【解答】 （1）设D 表示“这个人迟到”，A 表示“他乘火车”，B 表示“他乘轮船”，C 表示“他乘飞
机”，则
．
由全概率公式，得
，
由题意可得：
，
，
，
，
，
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所以这个人迟到的概率
．
（2）由题意可知：
，
所以可得如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是
．
【对点精练31】
设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为
，
，
，现
从这三个地区任选一个地区抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；（结果保留分数）
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留分数）
【答案】 (1)
；(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解作答.
（2）由（1）的结论，利用贝叶斯公式求解作答.
【解答】 （1）设事件
表示“此人来自第i 个地区，
”；事件B 表示“感染此病”，
于是
，
，
，
，
，
，
所以此人感染此病的概率为
.
（2）由（1）知，此人来自乙地区的概率
．
【对点精练32】
作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华
文化.为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加.除李夏以外的其他
参赛选手中，
是一类棋手，
是二类棋手，其余的是三类棋手.李夏与一、三、三类棋手比赛获胜
的概率分别是0.2、0.4 和0.5.
(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率；
(2)如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率.
【答案】 (1)0.35(2)
.
31
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【分析】（1）由全概率公式即可求解，
（2）由贝叶斯公式即可求解.
【解答】 （1）设
“李夏与第
类棋手相遇”，根据题意
，
，
，
记
“李夏获胜”，则有
，
，
.
由全概率公式，
李夏在比赛中获胜的概率为
，
所以李夏获胜的概率为0.35.
（2）李夏获胜时，则与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率为
.
即李夏获胜，对手为一类棋手的概率为
.
【对点精练33】
某电子设备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录得到以下数据：
元件制造厂
次品
率
提供元件的份额
1
0.01
0.1
2
0.02
0.7
3
0.03
0.2
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志
(1)在仓库中随机抽取1 个元件，求它是次品的概率；
(2)在仓库中随机抽取1 个元件，若已知抽取的是次品，求该次品出自元件制造厂3 的概率.
【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式公式计算可得结果；
（2）利用贝叶斯公式公式求解即可.
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【解答】 （1）设
表示“取到的是一只次品”，
表示“所取到的产品是由第家工厂提供
的”，
则
，
，
是样本空间的一个划分，且
，
，
，
，
，
.
由全概率公式得
，
所以在仓库中随机抽取1 个元件，它是次品的概率为
.
（2）由贝叶斯公式可知该次品出自元件制造厂3 的概率为：
.
【对点精练34】
玻璃杯整箱出售，共3 箱，每箱20 只.假设各箱含有0，1，2 只残次品的概率对应为0.8，0.1
和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4 只玻璃杯，若无残次
品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件
表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件
表示“箱中恰
好有
只残次品”求：
(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率
；
(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率
.
【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，
（2）由贝叶斯公式即可求解.
【解答】 （1）由题设可知，
，
，
，且
，
，
，
33
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所以
.
即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为
.
（2）因为
，
所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是
.
【对点精练35】
芯片是二十一世纪最核心的科技产品，我们一直被美国卡脖子，随着中国科技的不断发展，
我们在芯片技术上取得了重大突破．有些型号的芯片已经批量生产．某芯片代工公司有3 台机器生产同一
型号的芯片，第1，2 台生产的次品率均为1%，第3 台生产的次品率为2%，生产出来的芯片混放在一起．
已知第1，2，3 台机器生产的芯片数分别占总数的30%，40%，30%．
(1)求任取一个芯片是正品的概率；
(2)如果取到的芯片是次品，分别求出是第1 台机器，第2 台机器，第3 台机器生产的概率．
【答案】 (1)0.987(2)概率分别为
，
，
【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可；
（2）应用贝叶斯公式计算可得结果.
【解答】 （1）记事件A：机器生产的芯片为次品，记事件
：第i 台机器生产的芯片，则
，
，
，
，
，
．
．
即任取一个芯片是正品的概率0.987．
（2）
；
34
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；
．
故如果取到的芯片是次品，是第1 台机器，第2 台机器，第3 台机器生产的概率分别为
，
，
．
【对点精练36】
假设某市场供应的一种零件中，甲厂产品与乙厂产品的比是
，若甲厂产品的合格率是
，乙厂产品的合格率是
，则在该市场中随机购买一个零件，是次品的概率为 ；如果买
到的零件是次品，那么它是乙厂产品的概率为 （结果精确到
）．
【答案】
/
【分析】设事件
为购买的零件是甲厂产品，事件
为购买的零件是乙厂产品，事件
为购买的零件是次
品，利用全概率公式可求得
的值，利用贝叶斯公式可求得
的值.
【解答】 设事件
为购买的零件是甲厂产品，事件
为购买的零件是乙厂产品，事件
为购买的零件是
次品，
则
，
，
，
，
所以
．
因为
，所以
．
故答案为：
；
．
35
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、分
三
层训练：课堂知识巩固
1．（2023•河南模拟）设
，
是两个随机事件，且
发生
必定发生，
（A）
，
（B）
，给出下列各式，其中正确的是
A．
（A）
B．
C．
（B）
D．
（B）
【分析】由题设知
，即
，
，结合条件概率公式判断各项正误．
【解答】解：由
，
是两个随机事件，且
发生
必定发生，知：
，即
，
，
所以
（B），
（A），
，
、
、
错，
对；
故选：
．
【点评】本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
2．（2023•衡水二模）某校有演讲社团、篮球社团、乒乓球社团、羽毛球社团、独唱社团共五个社团，甲、
乙、丙、丁、戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名，记事件
为“五名同学所选项目各不相同”，
事件
为“只有甲同学选篮球”，则
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出事件
、事件
的可能的种数，代入条件概率公式
即可求解．
【解答】解：事件
：甲同学选篮球且五名同学所选项目各不相同，
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所以其他4 名同学排列在其他4 个项目，且互不相同为
，
事件
：甲同学选篮球，所以其他4 名同学排列在其他4 个项目，可以安排在相同项目为
，
故
．
故选：
．
【点评】本题主要主要考查条件概率公式，属于基础题．
3．（2023•成都模拟）一个不透明的袋中装有4 个红球，4 个黑球，2 个白球，这些球除颜色外，其他完全
相同，现从袋中一次性随机抽取3 个球，事件
：“这3 个球的颜色各不相同”，事件
：“这3 个球中
至少有1 个黑球”，则
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件概率的含义，找出两个事件对应的基本事件数，利用概率公式直接求解．
【解答】解：由题意，“这3 个球的颜色各不相同”的基本事件数为：
，
“这3 个球中至少有1 个黑球”的基本事件数为：
，
所以
．
故选：
．
【点评】本题主要考查对条件概率的理解和应用，属基础题．
4．（2023•顺庆区校级模拟）盒子里有1 个红球与
个白球，随机取球，每次取1 个球，取后放回，共取2
次．若至少有一次取到红球的条件下，两次取到的都是红球的概率为
，则
A．3
B．4
C．6
D．8
【分析】分别计算出至少有一次取到红球与两次都取到红球的概率，用条件概率计算公式计算．
【解答】解：设事件
为至少有一次取到红球，事件
为两次都取到红球，由每次取后放回知
，
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两次都取到白球的概率为
，
故
，
，故
．
故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
5．（2023•武侯区校级模拟）已知
为正方形，其内切圆
与各边分别切于
，
，
，
，连接
，
，
，
．现向正方形
内随机抛掷一枚豆子，记事件
：豆子落在圆
内，事件
：豆子落在四边形
外，则
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意，计算正方形
与圆
的面积比，利用对立事件的概率求出
的值．
【解答】解：由题意，设正方形
的边长为
，
则圆
的半径为
，面积为
；
正方形
的边长为
，面积为
；
所求的概率为
．
故选：
．
【点评】本题考查条件概率与几何概率的计算问题，是基础题．
6．（2023•宛城区校级三模）甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南
天龙山、龙南九连山和安远三百山5 个景点中随机选择其中一个，记事件
：甲和乙选择的景点不同，事
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件
：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率
A．
B．
C．
D．
【分析】先利用古典概率公式求出
（A）和
的概率，再利用条件概率公式即可求出结果．
【解答】解：由题知，
，
，
所以
．
故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2023•浠水县校级模拟）如果
不是等差数列，但若
，使得
，那么称
为“局部等差”数列．已知数列
的项数为4，记事件
：集合
，
，
，
，2，3，4，
，事件
为“局部等差”数列，则条件概率
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出事件
与事件
的基本事件的个数，用
计算结果．
【解答】解：由题意知，事件
共有
个基本事件，
事件
：“局部等差”数列共有 24 个基本事件：
①其中含 1，2，3 的局部等差数列分别为 1，2，3，5 和 5，1 2，3 和 4，1，2，3 共3 个，
含3，2，1 的局部等差数列同理也有 3 个，共 6 个；
②含 3，4，5 的和含 5，4，3 的与上述①相同，也有6 个；
③含2，3，4 的有 5，2，3，4 和 2，3，4，1 共2 个，含4，3，2 的同理也有 2 个；
④含 1，3，5 的有 1，3，5，2 和 2，1，3，5 和 4，1，3，5 和 1，3，5，4 共 4 个，
含 5，3，1 的同理也有 4 个．
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．
故选：
．
【点评】本题主要考查了条件概率的求法，综合运用了等差数列与集合的知识，理解题意是解决此类题的
关键，属中档题．
8．（2023•周至县三模）羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每
局比赛中获胜的概率均为
，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概
率为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及条件概率公式，即可求解．
【解答】解：记事件
为甲获得冠军，事件
为比赛进行三局，
故
，
（A）
，
故
．
故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
9．（2023•贵州模拟）某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4 名男医生（含一名主任医
师）、5 名女医生（含一名主任医师）中分别选派3 名男医生和2 名女医生，则在有一名主任医师被选派
的条件下，两名主任医师都被选派的概率为
A．
B．
C．
D．
【分析】设事件
表示“选派3 名男医生和2 名女医生，有一名主任医生被选派”，
表示“选派3 名男
医生和2 名女医生，两名主任医师都被选派”，利用古典概型分别求出
（A），
，再利用条件概
率能求出在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率．
【解答】解：需要从我市某医院某科室的4 名男医生（含一名主任医师）、5 名女医生（含一名主任医
师）中分别选派3 名男医生和2 名女医生，
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设事件
表示“选派3 名男医生和2 名女医生，有一名主任医生被选派”，
表示“选派3 名男医生和2
名女医生，两名主任医师都被选派”，
（A）
，
，
则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：
．
故选：
．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，
是基础题．
10．（2023•定远县校级模拟）为弘扬社会主义核心价值观，传承中华优秀文化，某县举行“诵读经典，
相约《论语》”的诵读活动．某校初步推选出甲乙2 名教师和6 名学生共8 名朗诵爱好者，并从中随机选
取5 名组成学校代表队参加汇报演出，则代表队中既有教师又有学生的条件下，教师甲被选中的概率为
A．
B．
C．
D．
【分析】记“代表队中既有教师又有学生”为事件
，“教师甲被选中”为事件
，根据组合数分别求得
（A），
，再根据条件概率公式即可求解．
【解答】解：根据题意，记“代表队中既有教师又有学生”为事件
，“教师甲被选中”为事件
，
则
，
，
所以
．
故选：
．
【点评】本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
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11．（2023•上海模拟）现从3 名男同学和2 名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用
表示事件
“抽到两名同学性别相同”，
表示事件“抽到两名女同学”，则在已知
事件发生的情况下
事件发
生的概率即
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出
（A），
，根据条件概率的计算公式即可求得答案．
【解答】解：由题意可得
表示事件“抽到两名同学性别相同”，
则
，
表示事件“抽到两名女同学”，则
，
故
，
故选：
．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
12．（2023•琼海校级模拟）东莞市同沙生态公园水绕山环，峰峦叠嶂，是一个天生丽质，融山水生态与
人文景观为一体的新型公园．现有甲乙两位游客慕名来到同沙生态公园旅游，分别准备从映翠湖、十里河
塘、计生雕塑园和鹭鸟天堂4 个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件
：甲和乙至少一人选择
映翠湖，事件
：甲和乙选择的景点不同，则条件概率
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出事件
，事件
对应的基本事件的个数，再结合条件概率公式，即可求解．
【解答】解：甲和乙至少一人选择映翠湖对应的基本事件有
个，
甲和乙选择的景点不同对应的基本事件有
个，
．
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故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
13．（2023•武鸣区校级二模）【理科】甲乙丙丁四名学生报名参加四项体育比赛，每人只报一项，记事
件
“四名同学所报比赛各不相同”，事件
”甲同学单独报一项比赛”，则
A．
B．
C．
D．
【分析】事件
的基本事件有
种，
事件的基本事件有
，即可计算
．
【解答】解：事件
的基本事件有
种，
事件的基本事件有
，则
．
故选：
．
【点评】本题考查了条件概率的计算，属于基础题．
14．（2023•琼山区校级三模）春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是
，患感冒的
概率是
，鼻炎和感冒均未患的概率是
，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据概率加法公式求出同时患感冒和患鼻炎的概率，再由条件概率公式计算即可得解．
【解答】解：设某人在春季里鼻炎发作为事件
，某人在春季里感冒发作为事件
，
则
，
则
，
由概率加法公式知
（A）
（B）
，
可得
则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为：
．
故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
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15．（2023•浙江模拟）设集合
，且
（A）
，
（B）
，则下列说法正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：因为
，所以
（A）
，
所以
，
．
因为
，
所以
．
故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（2023•河南三模）2022 年卡塔尔世界杯上，32 支球队分成8 个小组，每个小组的前两名才能出线，
晋级到
决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二的概率为0.3；若
获得小组第一，则
决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则
决赛获胜的概率为0.3．那么在已知该
队小组出线的条件下，其
决赛获胜的概率为
A．0.54
B．0.63
C．0.7
D．0.9
【分析】根据条件概率公式求解即可．
【解答】解：设该队小组出线为事件
，该队
决赛获胜为事件
，
则
（A）
，
，
所以
．
故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
17．（2023•连云港模拟）在某地区进行流行病调查，随机调查了100 名某种疾病患者的年龄，发现该100
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名患者中有20 名的年龄位于区间
，
内．已知该地区这种疾病的患病率为
，年龄位于区间
，
内人口占该地区总人口的
．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间
，
内，则此人患该
疾病的概率为
A．0.001
B．0.003
C．0.005
D．0.007
【分析】利用条件概率的概率公式计算即可．
【解答】解：设从该地区任选一人，若此人年龄位于区间
，
内为事件
，此人患该疾病为事件
，
则
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
18．（2023•南宁二模）现从3 个男生2 个女生共5 人中任意选出3 人参加某校高三年级的百日誓师大会，
若选出的3 人中，在有1 人是女生的条件下，另2 人是男生的概率为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【解答】解：选出的3 人中，在有1 人是女生的条件下，另2 人是男生的概率为
．
故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
19．（2023•小店区校级模拟）考察下列两个问题：①已知随机变量
，且
，
，
记
；②甲、乙、丙三人随机到某3 个景点去旅游，每人只去一个景点，设
表示“甲、乙、丙
所去的景点互不相同”，
表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记
，则
45
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A．
B．
C．
D．
【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式求出
，从而可求得
，再根据条件概率公式求得
，即可
求出答案．
【解答】解：由
，解得
，
，
，
，
．
故选：
．
【点评】本题考查概率的运算，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（2023•合肥模拟）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试
剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病
毒感染率为
，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为
．若该地全员参加核酸检测，
则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解．
【解答】解：记感染新冠病毒为事件
，感染新冠病毒的条件下，标本为阳性为事件
，
则
（A）
，
，
故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为
（A）
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
21．（2023•浙江模拟）临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望．某寝室的5 位同学每人写一张祝福卡片
放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3 位同学摸
到自己写的祝福卡片的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
46
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【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率作答．
【解答】解：恰有1 位同学拿到自己写的祝福卡有
＝45 种，
恰有2 位同学拿到自己写的祝福卡有
＝20 种，
恰有3 位同学拿到自己写的祝福卡有
＝10 种，
恰有4 位（5 位）同学拿到自己写的祝福卡有1 种，
因此有同学拿到自己写的祝福卡的事件含有的基本事件数为45+20+10+1＝76 个，
至少有3 位同学摸到自己写的祝福卡的事件有10+1＝11 个基本事件，
所以至少有3 位同学摸到自己写的祝福卡片的概率
．
故选：C．
【点评】本题主要考查条件概率，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
22．（2023•大观区校级三模）在高三复习经验交流会上，共有3 位女同学和6 位男同学进行发言．现用抽
签的方式决定发言顺序，事件
表示“第
位发言的是女同学”，则
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件概率公式计算即可．
【解答】解：由题意，
，
，
所以
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
23．（2023•岳阳县模拟）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5 名男医生（含一名主任
医师）、4 名女医生（含一名主任医师）中分别选派3 名男医生和2 名女医生，则在有一名主任医师被选
派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为
47
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A．
B．
C．
D．
【分析】设事件
表示“有一名主任医师被选派”，
表示“另一名主任医师被选派”，利用古典概型
分别求出
（A），
，再利用条件概率能求出在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都
被选派的概率．
【解答】解：需要从我市某医院某科室的5 名男医生（含一名主任医师）、4 名女医生（含一名主任医
师）中分别选派3 名男医生和2 名女医生，
设事件
表示“有一名主任医师被选派”，
表示“另一名主任医师被选派”，
（A）
，
，
则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：
．
故选：
．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，
是基础题．
24．（2023•包河区校级模拟）某学校高三1 班至4 班举办研学游活动，有4 个地方可供选择，且每班只能
去一个地方．设事件
“4 个班去的地方各不相同”，
“1 班独自去一个地方”，则
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件概率公式列式计算即可．
【解答】解：由题意得，
，
，
．
故选：
．
48
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【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．
25．（2023•佛山模拟）已知盒子中装有形状，大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，
现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，
第三张为奇数的概率为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【解答】解：设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件
，“第三张为奇数”为事件
，
故所求的概率
．
故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．
26．（2023•芝罘区三模）为了解高中学生的体质健康水平，某市教育局分别从身体形态、身体机能、身
体素质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评，并根据2018 年版的《国家学生体质健康标
准》评定等级，经过统计，甲校有
的学生的等级为良好，乙校有
的学生的等级为良好，丙校有
的学生的等级为良好，且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为
．从甲、乙、丙这
三所学校参加测评的学生中随机抽取1 名学生，则该学生的等级为良好的概率为
A．0.40
B．0.47
C．0.49
D．0.55
【分析】记“该学生来自甲校”为事件
，“该学生来自乙校”为事件
，“该学生来自丙校”为事件
，记“该学生的等级为良好”为事件
，利用全概率公式可求得
（B）的值．
【解答】解：从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1 名学生，
记“该学生来自甲校”为事件
，“该学生来自乙校”为事件
，“该学生来自丙校”为事件
，
则
，
，
．
记“该学生的等级为良好”为事件
，则
，
，
，
49
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所以
（B）
．
故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
27．（2023•呼和浩特模拟）从5 名女生2 名男生中任选3 人参加学校组织的演讲比赛，则在女生甲被选中
的条件下，男生至少一人被选中的概率是
A．
B．
C．
D．
【分析】记女生甲被选中为事件
，记男生至少一人被选中为事件
，根据条件概率计算
．
【解答】解：设女生甲被选中为事件
，事件
表示女生甲被选中后再从剩下的6 人中选2 人，
故
，
设男生至少一人被选中为事件
，事件
表示女生甲被选中后再选2 男生或1 男生和1 女生（从剩余4 女
生中选），故
，
则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是
．
故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
28．（2023•沙坪坝区校级模拟）重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，
级旅游点最多，资源
最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备
从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5 个国家
级旅游景区中随机选
择其中一个景区游玩．记事件
：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件
：甲和乙选择的景区不同，则
条件概率
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，事件
发生的个数
（A）
，
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
事件
，
同时发生的个数
，
故
．
故选：
．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
51
