文档文本内容
随机事件与概率
9-4
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.
2.理解事件间的关系与运算．
9-4 随机事件与概率...............................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：样本空间和随机事件..............................................................................................................2
考点2：两个事件的关系和运算.........................................................................................................2
考点3：频率与概率................................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 随机事件与样本空间...............................................................................................................4
题型二 事件的关系与运算....................................................................................................................4
题型三 频率与概率.................................................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω ，ω ，…，ω ，则称样本空间Ω＝{ω ，ω ，…，
1 2 n 1 2
ω}为有限样本空间．
n
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
考点2：两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 A⊆B
相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，A∪B＝Ω
考点3：频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f(A)会逐渐稳定于事
n
件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率f(A)估计概率P(A)．
n【常用结论总结】
1．为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．
2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立
的必要不充分条件．
3．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件 A发
生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．二、分类题型
题型一 随机事件与样本空间
【例题精析1】 已知 为实验 的样本空间，随机事件 ，则（ ）
A． 为必然事件，且 B． 为不可能事件，且
C．若 ，则 为必然事件 D．若 ，则 不一定为不可能事件
【例题精析2】 下列事件中，是随机事件的是（ ）
①明天本市会下雨②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上④13个人中至少有2个人的生日在同一个月
A．①③ B．③④ C．①④ D．②③
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果
出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
【对点精练1】 已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：①若任取 ，则
是必然事件；②若任取 ，则 是不可能事件；③若任取 ，则 是随机事件；④若
任取 ，则 是必然事件．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【对点精练2】 下列事件是必然事件的是( )
A．某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军 B．一个三角形的大边对的角小，小边对的角大
C．如果a＞b，那么b＜a D．某人购买福利彩票中奖题型二 事件的关系与运算
【例题精析3】 某家族有 两种遗传性状，该家族某成员出现 性状的概率为 ，出现 性状的概率为
， 两种性状都不出现的概率为 ，则该成员 两种性状都出现的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例题精析4】 掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是
偶数；事件A的概率为 ，事件B的概率为 ；则 是下列哪个事件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数
【例题精析5】 甲､乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，
甲､乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下：
购买A种医用口罩 购买B种医用口罩 购买C种医用口罩
甲 0.2 0.4
乙 0.3 0.3
则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）
A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.32
【例题精析6】 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（
）
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
事件的关系运算策略
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．
(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用 Venn图分
析事件．
【对点精练1】 若随机事件 ， 互斥， ， 发生的概率均不等于0，且 ， ，则
实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【对点精练2】 甲、乙两个盒子中各装有4个相同的小球，甲盒子中小球的编号依次为1，2，3，4，乙盒子
中小球的编号依次为5，6，7，8，同时从两个盒子中各取出1个小球，记下小球上的数字．记事件 为
“取出的数字之和为偶数”，事件 为“取出的数字之和等于9”，事件 为“取出的数字之和大于9”，则
下列结论正确的是（ ）
A． 与 是互斥事件 B． 与 是对立事件
C． 与 不是相互独立事件 D． 与 是相互独立事件
【对点精练3】 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明
易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是 ，和棋的概率是 ，则张三不输的概率为 ．
题型三 频率与概率
【例题精析7】 在抛掷硬币试验中，记事件A为“正面朝上”，则下列说法正确的（ ）
A．抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为
B．抛掷十枚硬币，事件B为“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明
C．抛掷100次硬币，事件A发生的频率比抛掷50次硬币发生的频率更接近于0.5
D．当抛掷次数足够大时，事件A发生的频率接近于0.5
【例题精析8】 下面是某批乒乓球质量检查结果表：
10 50
抽取球数 50 200 1000 2000
0 0
优等品数 45 92 194 47 954 19020
优等品出现的频
率
若检验得到优等品数量为1700个，则抽取数量大约为多少？
(1)概率与频率的关系
(2)随机事件概率的求法
【对点精练4】 下面是某批乒乓球质量检查结果表：
10 50
抽取球数 50 200 1000 2000
0 0
47
优等品数 45 92 194 954 1902
0
优等品出现的频
率
若抽取乒乓球的数量为1700个，则优等品的数量大约为多少？三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023春•湘西州期末）湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假
期间两草原供游客休闲旅游，记事件E＝“只去甲草原”，事件 F＝“至少去一个草原”，事件 G＝
“至多去一个草原”，事件H＝“不去甲草原”，事件Ⅰ＝“一个草原也不去”．下列命题正确的是（
）
A．E与G是互斥事件
B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C．F与G是互斥事件
D．G与Ⅰ是互斥事件
2．（2023•浙江开学）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件 A＝“第一枚骰子奇数面朝上”，事件B＝“第
二枚骰子偶数面朝上”，事件C＝“两枚骰子向上点数之和为7”．则下列结论正确的是（ ）
A．A与B对立 B．A与C互斥 C． D．B与C独立
3．（2023秋•河南月考）抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件 表示“掷出的点数大于2”，则与 互斥
且不对立的事件是 ．
A．掷出的点数为偶数 B．掷出的点数为奇数
C．掷出的点数小于2 D．掷出的点数小于3
4．（2023春•太原期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚正面向上”，事件 “第二
枚反面向上”，则事件 与 的关系是
A． B． C．相互独立 D．互斥5．（2022秋•船山区校级期末）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两
个事件是
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
6．（2023春•梅河口市校级期末）若 ， ， ，则事件 与 的关系是
A．事件 与 互斥 B．事件 与 对立
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 既互斥又相互独立
7．（2023春•香坊区校级期末）若 ， ， ，则事件 与 的关系是
A．互斥但不对立 B．对立 C．相互独立 D．既互斥又独立
8．（2023春•金凤区校级期末）已知事件 与事件 是互斥事件，则
A． B． （A） （B）
C． （A） （B） D．
9．（2023•徐汇区校级三模）某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至
少有1名男生”与事件“至少有1名女生”
A．是对立事件 B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件
10．（2023春•安顺期末）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互为对立的两个事件是
A．“至少有一个红球”与“都是红球”
B．“至少有一个红球”与“都是黑球”
C．“至少有一个红球”与“至少有一个黑球”
D．“恰好有一个红球”与“恰好有两个红球”11．（2023春•黑龙江期末）某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是
A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶
C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶
12．（2023春•金凤区校级期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数
学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是
A．至少有1名男生与全是男生
B．至少有1名男生与全是女生
C．恰有1名男生与恰有2名男生
D．至少有1名男生与至少有1名女生
13．（2023春•赣县区校级期末）某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲、乙两名同学
都购买了这种饮料，设事件 为“甲、乙都中奖”，则与 互为对立事件的是
A．甲、乙恰有一人中奖 B．甲、乙都没中奖
C．甲、乙至少有一人中奖 D．甲、乙至多有一人中奖
14．（2023春•盐城期末）把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙2个人，每个人分得2张，事件
“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”是
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
