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9-8 二项分布、超几何分布与正态分布
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
9-8 二项分布、超几何分布与正态分布..........................................................................................................1
一、主干知识..................................................................................................................................................... 1
考点1：二项分布.....................................................................................................................................1
考点2：超几何分布................................................................................................................................ 2
考点3：正态分布.....................................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型..................................................................................................................................................... 3
题型一 二项分布...................................................................................................................................... 4
题型二 超几何分布.................................................................................................................................4
题型三 正态分布...................................................................................................................................... 5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6
1
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、
一
主干知识
考点1：二项分布
1．伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称
为n 重伯努利试验．
2．二项分布
一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p(0<p<1)，用X 表示事件A 发生的次数，
则X 的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X～B(n，p)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X 服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
考点2：超几何分布
一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取
的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，
M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称
随机变量X 服从超几何分布．
考点3：正态分布
1．定义：若随机变量X 的概率分布密度函数为f(x)＝·
，x∈R，其中μ∈R，σ>0 为参数，
则称随机变量X 服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ 对称；(2)曲线在x＝μ 处达到峰值；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x 轴．
3．3σ 原则
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
2
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【常用结论总结】
1．两点分布是二项分布当n＝1 时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何
分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n 重伯努利试验，
进而判定是否服从二项分布．
4．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，
3
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二、分类题型
题型一二项分布
【例题精析1】
将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10 次，求：
(1)恰好出现5 次正面朝上的概率；
(2)正面朝上出现的频率在
内的概率．
【例题精析2】
为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启
动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配
置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概
率都为
，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X．
(1)写出X 的分布列；
(2)求出计算机网络不会断掉的概率．
【例题精析3】
设
服从二项分布
，则
.
【例题精析4】
已知随机变量
，且
，则
.
【例题精析5】
已知随机变量
，且
，则
.
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
4
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【对点精练1】
某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1 到4 号的四个箱子中随机放入奖品，每
个箱子中放入的奖品个数
满足
，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游
戏规定：当箱子中奖品的个数超过3 个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参
与游戏的同学依次从1 到4 号箱子中取奖品，4 个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该
游戏．
(1)求甲能从1 号箱子中取走一个奖品的概率；
(2)设甲游戏结束时取走的奖品个数为
，求
的概率分布与数学期望；
(3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为
，求
的数学期望．
【对点精练2】
从一副去掉大小王牌的52 张扑克牌中任取5 张牌，用X 表示其中黑桃的张数.求X 的分布、
期望与方差.
【对点精练3】
一名学生每天骑车上学，从家到学校的途中经过6 个路口.假设他在各个路口遇到红灯的事件
是相互独立的，并且概率都是
.
(1)用X 表示这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布；
(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
【对点精练4】
袋中有8 个白球､2 个黑球，从中随机地连续抽取3 次，每次取1 个球.求：
(1)有放回抽样时，取到黑球的个数
的分布列数学期望和方差；
､
(2)不放回抽样时，取到黑球的个数
的分布列数学期望和方差
､
.
【对点精练5】
已知随机变量
，若
，则
．
【对点精练6】
设随机变量
，满足
．若
，则
．
【对点精练7】
已知随机变量
，若
最大，则
．
5
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二
题型
超几何分布
【例题精析6】
某无人机小组有3 名男生，2 名女生，从中任选2 名同学参加科技节无人机表演，若X 表示
选出女生的人数，则
.
【例题精析7】
某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取
个，则其中
恰好有个二等品的概率为 .
【例题精析8】
从50 名学生中随机选出5 名学生代表，求甲被选中的概率．
【例题精析9】
袋中有10 个大小与质地相同的球，其中7 个是红球.从中任取5 个球，求取出的球中红球个
数X 的分布.
【例题精析10】
从4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3 人中女生的人数.
求：
(1)X 的分布；
(2)X 的期望与方差；
(3)“所选3 人中女生人数
”的概率.
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的
特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个
体数X 的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
【对点精练8】
从一箱脐橙（共10 个，其中7 个是大果，3 个是中果）中任选3 个，则恰有2 个中果的概率
为 ．
【对点精练9】
设随机变量
，则
.
6
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【对点精练10】
一个袋子中有100 个大小相同的球，其中有40 个黄球，60 个白球．采取不放回摸球，从中
随机摸出22 个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数．当
最大时，
．
【对点精练11】
一批零件共有30 个，其中有3 个不合格．随机抽取10 个零件进行检测，求至少有1 件不合
格的概率．
题型三正态分布
【例题精析11】
已知随机变量
，若
，则实数
的值为 .
【例题精析12】
一批灯泡的使用时间
（单位：小时）服从正态分布
，则这批灯泡使用时间
在
内的概率是 ．
【例题精析13】
已知随机变量
服从正态分布
，若
，且
的最小值为－3，则
．
【例题精析14】
若随机变量
，且
，则
．
【例题精析15】
某种红糖的袋装质量
服从正态分布
，随机抽取5000 袋，则袋装质量在区间
的约有 袋．（质量单位：
）
附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
．
【例题精析16】
我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机
变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量
，当
充
分大时，二项随机变量
可以由正态随机变量
来近似，且正态随机变量
的期望和方差与二项随机变量
7
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的期望和方差相同.棣莫弗在1733 年证明了
的特殊情形.1812 年，拉普拉斯对一般的
进行了证明.
现抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60 次的概率为
.
（附：若
，则
，
，
）
【例题精析17】
某校高二年级1200 人，期末统测的数学成绩
，则这次统测数学及格的人数约
为（满分150 分，不低于90 分为及格） ．
（附：
，
）
解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可
求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ 特殊区间，
从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
【对点精练12】
已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
【对点精练13】
随机变量
服从正态分布
，若
，则
．
【对点精练14】
已知
，且
，则
的最小值为 .
【对点精练15】
设随机变量
，其中
，则
的值为 .
【对点精练16】
若
，且
，则
.
【对点精练17】
若随机变量
，且
，则
.
8
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【对点精练18】
已知随机变量
，
，且
，
，则
．
【对点精练19】
已知随机变量
，且
，则
.
【对点精练20】
已知
，且
，则
.
参考数据：
，
，
.
、分
三
层训练：课堂知识巩固
1．（2023•西安校级三模）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量
称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量
，当
充分大时，二项随机变量
可以由正态随机变量
来近似，且正态随机变量
的期望和
方差与二项随机变量
的期望和方差相同．棣莫弗在1733 年证明了
的特殊情形，1812 年，拉普拉斯
对一般的
进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数
超过60 次的概率为
（
附
：
若
，
则
，
，
A．0.1587
B．0.0228
C．0.0027
D．0.0014
9
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2．（2023•一模拟）已知随机变量
，且
，则
A．0.84
B．0.68
C．0.34
D．0.16
3．（2023•涟源市模拟）设随机变量
服从正态分布
，若
，则
的值
为
A．9
B．7
C．5
D．4
4．（2023•巴宜区校级四模）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数
服从正态分布
，
，
考生共50000 人，估计数学单科分数在
分的学生人数约为
（附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
A．1070
B．2140
C．4280
D．6795
5．（2023•江宁区校级二模）新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．
某新能源汽车制造企业为调查其旗下
型号新能源汽车的耗电量（单位：
情况，随机调查
得到了1200 个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量
，若
，则样本中
耗电量不小于
的汽车大约有
A．180 辆
B．360 辆
C．600 辆
D．840 辆
6．（2023•深圳模拟）某班学生的一次的数学考试成绩
（满分：100 分）服从正态分布：
，
且
，
，
A．0.14
B．0.18
C．0.23
D．0.26
7．（2023•深圳模拟）设随机变量
，
，若
，则
的值为
10
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A．
B．
C．3
D．5
8 ．（2023• 吉州区校级一模）已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
A．0.6
B．0.3
C．0.2
D．0.1
9．（2023•保定三模）已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
等于
A．0.8
B．0.6
C．0.4
D．0.3
10．（2023•佛山模拟）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所
花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时
和骑自行车用时
都服从正态分布，
，
，
，
．
和
的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是
A．
B．
C．
D．
11．（2023•盐城一模）某种品牌手机的电池使用寿命
（单位：年）服从正态分布
，
，且
使用寿命不少于2 年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6 年的概率为
A．0.9
B．0.7
C．0.3
D．0.1
12．（2023•宁波二模）设随机变量
服从正态分布，
的分布密度曲线如图所示，若
，则
11
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与
分别为
A．
B．
C．
D．
13．（2023•琼山区校级模拟）某市一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩
近似服从正态分布
，且
．现从该市参加此次考试的考生中随机抽取700 人作进一步分析，则这
700 人中此次检测数学成绩不低于99 分的人数约为
A．100
B．125
C．150
D．175
14 ．（2023• 市中区校级二模）已知随机变量
，且
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
15 ．（2023• 山东模拟）设随机变量
，且
，
，则
A．0.25
B．0.3
C．0.5
D．0.75
16．（2023•枣庄二模）某地区有20000 名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩
近似服从正态分布
，
，则数学成绩位于
，
的人数约为
参考数据：
，
，
．
A．455
B．2718
C．6346
D．9545
12
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17．（2023•温州模拟）已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
A．
B．
C．
D．
18．（2023•雨花区校级一模）若
，则当
，1，2，
，100 时
A．
B．
C．
D．
19．（2023•南京三模）设随机变量
，2，
，则
．
20 ．（2023• 济南三模）已知随机变量
，
，其中
，
，
，
，则
．
21．（2023•湖北模拟）已知随机变量
服从
，则当
时，概率
最大．
22．（2023•曲靖模拟）已知随机变量
，若
，则
．
23．（2022•锦江区校级模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲
乙两个小组分别从6 个问题中随机抽取3 个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6 个问题中，甲组
能正确回答其中4 个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为
．甲、乙两个小组的选题以及对每题
的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲小组至少答对2 个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
24．（2017•启东市校级模拟）设有3 个投球手，其中一人命中率为
，剩下的两人水平相当且命中率均为
，
，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为
．
（1）当
时，求数学期望
及方差
；
（2）当
时，将
的数学期望
用
表示．
13
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25．（2014•文登市三模）现有正整数1，2，3，4，5，
，一质点从第一个数1 出发顺次跳动，质点的
跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4 时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4 时，质点
向前跳两步．
（Ⅰ）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为
，求
和
；
（Ⅱ）求质点恰好到达正整数6 的概率．
26．（2014•上海模拟）质地均匀的正四面体玩具的4 个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4 个这样的玩
具同时抛掷于桌面上．
（1）求与桌面接触的4 个面上的4 个数的乘积不能被4 整除的概率；
（2）设
为与桌面接触的4 个面上数字中偶数的个数，求
的分布列及期望
．
14
