2026 年高考数学终极押题猜想
目 录
押题猜想01 复数-复数性质..........................................................................................................2
押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题..............................................................................3
押题猜想03 三角函数-图象与性质、 𝛚范围求解.....................................................................6
押题猜想04 数列-数列的性质、数列构造................................................................................10
押题猜想05 计数原理-排列组合、二项式定理........................................................................13
押题猜想06 空间向量与立体几何-截面、翻折、动点最值问题............................................14
押题猜想07 概率统计-用样本估计总体、统计、条件概率....................................................19
押题猜想08 圆锥曲线-定点定值问题........................................................................................24
押题猜想09 函数与导数-函数的性质、零点问题、不等式恒成立........................................27
押题猜想01 复数-复数性质
试题前瞻·能力先查
限时：3min
【原创题】（单选题）已知复数z 对应的向量为OZ
uuur (O 为坐标原点)，OZ
uuur
与实轴正向的夹角为120°，且复数
z 的模为2，则复数z 为（ ）
A．1
3i
+
B．2
C．1
3i
- -
D．1
3i
- +
分析有理·押题有据
复数连续两年都只作为单选题出现，作为新教材后出现的对复数定义相关的考察内容，今年很有可能
再以多选题的形式出现或者结合三角函数考察复平面的内容，虽然本身内容不难，但在多选题中出现也是
要求考生对于复数的相关内容要有足够的熟练度和对复平面的了解，还有就是运算能力的要求。在这我主
要以复数运用的练习来出题。做到对简单知识点要有掌握的全面性和运算的仔细性进行预测和练习。
密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·陕西商洛·一模）若复数z 满足
5
3i
z
z
-
= -
，则z 的虚部为（ ）
A．
3 i
2
-
B．
3
2
-
C．
1
2
D．15
4
2．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数
2 ,
0
,
0
1 i
x
x
f x
x
x
ì
£
ï
= í
>
ï +
î
（i 是虚数单位），则
1
f
f -
= （ ）
A．1
1 i
4
4
-
B．1
1 i
4
4
+
C．1 i
-
D．1 i
+
3．（2026·广东深圳·一模）复数
sin1 icos1
z =
+
，则|
|
z =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2026·福建泉州·一模）若复数z 满足
2
|
|
i
z
z
=
，则z = （ ）
A．i-
B．i
C．0 或i-
D．0 或i
二、多选题
5．（2026·浙江·模拟预测）设
1
2
,
z z 为复数，其中
1
i
0
z
a
b ab
=
+
¹
，则下列正确的是（ ）
A．
2
2
1
1
z
z
=∣∣
B．
1
2
1
2
z
z
z
z
×
=
×
∣
∣∣∣∣∣
C．若
2
1
z ÎR ，则
2z ÎR
D．若
2
1
1
2
z
z
z
=
×
，则
1
2
z
z
=
6．（2026·广东·模拟预测）已知复数
1z 满足
1
2
1
z -
= ，复数
2
i
1 i
a
z
+
=
- （aÎR ，i 为虚数单位），则下列选
项正确的是（ ）．
A．若
1
a = ，则
2z 在复平面内对应的点位于第一象限
B．复数
1z 在复平面内对应点的轨迹是圆心为
2,0 ，半径为1 的圆
C．
1z 的最大值为3
D．若
2z 的实部与虚部互为相反数，则
0
a =
7．（2026·山西运城·一模）已知复数
2
7i
z =
+
，且2
0
z
az
b
+
+
=
（,a bÎR ），则（ ）
A．
2
a =
B．
2
a = -
C．
8
b = -
D．
8
b =
8．（2026·山东滨州·一模）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士
数学家欧拉于1748 年提出了著名的欧拉公式：
ie
cos
isin
x
x
x
=
+
，为量子态的叠加与演化提供了重要的数学
基础．其中e是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数
与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ）
A．
πi
6e 的虚部为
1
2
B．
πi
4e 在复平面内对应的点位于第二象限
C．
i
i
e
e
isin
2
x
x
x
-
-
=
D．若
πi
i
3
1
2
e ,
e
z
z
q
=
=
在复平面内分别对应点
1
2
,
Z Z ，则
1
2
VOZ Z 面积的最大值为
2
2
三、填空题
9．（2026·广东茂名·一模）已知关于x 的方程
2
4
0
x
x
a
a
+
+
=
ÎR 的两根在复平面xOy 上对应的点分别为P
和Q ，若
POQ
△
是等边三角形，则a =__________.
押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题
试题前瞻·能力先查
限时：5min
【原创题】如图，在矩形ABCD 中，
4
AB =
，
6
BC =
，E ，F 分别是BC 和CD 的中点，若P 是矩形ABCD
内一点（含边界），满足AP
AE
AF
l
m
=
+
uuur
uuur
uuur
，且4
8
3
l
m
+
=
，则PE PF
×
uuur uuur 的最小值为__________.
分析有理·押题有据
平面向量作为高中应用型的知识点，前年只是考察了向量的简单坐标运算，去年考察的是情景题以新
定义的形式考察，今年大概率会结合几何内容考察相对难一点的知识，所以重点掌握向量的基本定理、极
化恒等式求范围、等和线的线性转化以及奔驰定理结合三角形重心的相关内容。当然类似于新教材出现的
投影向量的知识点也是考察的重点，在近3 年的高考中全国一卷还未出现过。
密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形ABCD 内有一个动点E ，AE
DE
^
，
3
4
DF
DC
=
uuur
uuur
，当A ，E ，
F 三点共线时，DE 的延长线与BC 交于点G ，正方形边长为2，则EF EG
×
uuur uuur
的最小值为（ ）
A．0
B．7
5 2
2
-
C．5 2
7
2
-
D．1
2．（25-26 高三下·安徽·开学考试）2025 年10 月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡
长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为
1000 米.若汽车从A 地出发，以5
2 km / h 的静水速度向对岸航行，水流速度为5km / h ，要使航程最短，大
约需要（ ）时间（单位：min）
A．4 3
B．6 2
C．6
D．12
3．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）如图，平行四边形OABC 中，
5,
4
OA
OC
=
=
，作如下图所示网格，使
得每个小平行四边形都是菱形，若
10
OA OC
×
= -
uuur uuur
，则CD PQ
×
uuur uuur
＝（ ）
A．15
2
B．
9
2
-
C．
7
2
-
D．7
2
4．（2026·浙江·模拟预测）已知点O 是
ABC
V
的重心，点P 是
ABC
V
所在平面内一点.若
1
1
OP
x OA
y OB
=
+
uuur
uuur
uuur
，
且
2
2
1
2
1
2
,
,
,
OP
x CA
y CB x x
y y
=
+
ÎR
uuur
uuur
uuur
，则（ ）
A．
1
2
2
1
3
,
3
x
x
y
y
=
=
B．
2
1
1
2
3 ,
3
x
x y
y
=
=
C．
1
1
2
2
3
x
y
x
y
+
=
+
D．
2
2
1
1
3
x
y
x
y
+
=
+
5．（2026·辽宁盘锦·一模）已知P，Q 是双曲线
2
2
1
x
y
-
= 右支上两点，且满足
0
PM QM
×
=
uuuur uuuur
（其中
3,0
M
），则MP QP
×
uuur uuur
最小值为（ ）
A．7
2
B．2
C．4
D．12
6 2
-
6．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知
ABC
V
，点M ，N 满足
1
2
AM
AB
=
uuuur
uuur
，
1
3
AN
AC
=
uuur
uuur
，BN 与CM
交于点P ，AP 交BC 于点D ，AP
t AD
=
uuur
uuur
，则（ ）
A．
1
2
5
5
AP
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
B．
2
5
BP
BN
=
uuur
uuur
C．
2
5
t =
D．
2
2
5
5
CP
CA
CB
=
+
uuur
uur
uuur
7．（2026·辽宁抚顺·一模）已知向量
,1 ,
1, 2
a
x
b
=
=
-
r
r
，若向量
,
a
b a
b
+
-
r
r
r
r
在ar 上的投影向量相等，则x =
（ ）
A．2
B．1
C．
1
2
-
D．-1
二、多选题
8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥P
ABC
-
中，
3
AB = ，D 是PC 中点，E 是CB 中点，点
F，G 满足
1
2
FP
AF
=
uuur
uuur
，
1
2
GB
AG
=
uuur
uuur
，直线DF，GE 相交于H，下列说法正确的是（ ）
A．
0
AB PC
×
=
uuur uuur
B．
3
AB FG
×
= -
uuur uuur
C．AC
uuur
与CH
uuur
是共线向量
D．
1
2
1
3
3
2
GD
CA
CB
CP
=
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur
9．（2026·四川·模拟预测）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
的焦点为F，过点F 的直线
3(
1)
y
x
=
-
交C 于
A，B 两点，点A 在第一象限，过点A，B 作C 的准线l 的垂线，垂足分别为
1A ，
1
B ，则（ ）
A．l 的方程为
1
x = -
B．
1
AFA
V
为正三角形
C．
1
1
0
FA FB
×
<
uuur uuur
D．
1A BF
△
的面积为4 3
3
10．（2026·河北·一模）已知向量
(1, 2)
a =
-
r
，
( 1,1)
b = -
r
，
(2,3)
c =
r
，则下列说法正确的是（ ）
A．|
|
10
a
c
+
=
r
r
B．ar 在b
r 上的投影向量为
2
3 b
-
r
C．b
r 与cr 夹角的余弦值为
26
26
D．若ar 与b
c
l
+
r
r 垂直，则实数
3
4
l =
三、填空题
11．（2026·山东滨州·一模）已知点P 为
ABC
V
所在平面内一点，
π ,
4
A
PA
PB
PC
Ð
=
=
=
uuur
uuur
uuur
，若
PA
PB
PC
l
m
=
+
uuur
uuur
uuur
，则l
m
+
的取值范围为__________．
押题猜想03 三角函数-图象与性质、 𝛚范围求解
试题前瞻·能力先查
限时：5min
【原创题】（多选题）下列关于函数.
sin2
2sin
f
x
x
x x
=
+
ÎR 的说法正确的是（ ）
A．
f x 为奇函数
B．
π
2
x =
是
f x 图象的一条对称轴
C．
f x 为周期函数，且最小正周期为π D．
f x 的值域为
3 3 3 3
2
2
,
é
ù
-
ê
ú
ê
ú
ë
û
分析有理·押题有据
三角函数23 年是选择压轴，和一个填空题，单难度都不大，分别是三角恒等变换和求ω 的取值范围。
而24 年和25 年连续两年都是第4 题出现的简单的三角恒等变换和图像与性质问题。25 年在多选压轴中结
合解三角形考察了三角恒等变换，但不是重点。所以今年很大可能出现在多选题中，且考察三角函数自身
的内容，那只能是结合三角函数的图象考察性质问题，难度不会太大，但想拿满分就需要注意三角函数的
周期性问题和ω 的取值范围问题。去年大题考察的是数列，所以今年大概率会是解三角形。所以三角函数
在小题中自身的知识点都很重要，包括和差化积和积化和差都需要熟练。
密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
cos ,sin
,
sin
, cos
P
Q
q
q
q
j
q
j
+
-
+
，若
π
3
POQ
Ð
=
，则sinj = （ ）
A．1
-
B．0
C．
1
2
D．
3
2
2．（2026·海南儋州·一模）已知函数
3sin
cos
(
0)
f x
x
x
w
w
w
=
+
>
在π π
,
6 4
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，且当
π
π
,
3
4
x
é
ù
Î -
-
ê
ú
ë
û
时，
0
f x £
，则w 的取值范围为（）
A．2 4
19
,
8,
3 3
2
é
ù
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
U
B．2 4
26 28
,
,
3 3
3
3
é
ù
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
U
C．2 7
26 19
,
,
3 2
3
2
é
ù
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
U
D．2 7
28
,
8,
3 2
3
é
ù
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
U
3．（2026·陕西商洛·一模）已知函数
π
sin
0 0
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
<
ç
÷
è
ø
，
的最小正周期为T ，若
12
æ
ö
£
ç
÷
è
ø
T
f x
f
对任意的xÎR 恒成立，且
f x 在区间π π
6 4
é
ù
ê
ú
ë
û
，上单调递增，则w 的取值范围为（ ）
A．
28
6, 3
é
ù
ê
ú
ë
û
B．
26
7, 3
é
ù
ê
ú
ë
û
C．
3
28
0,
6,
4
3
æ
ù
é
ù
ç
ú
ê
ú
è
û
ë
û
U
D．
2
26
0,
7,
3
3
æ
ù
é
ù
È
ç
ú
ê
ú
è
û
ë
û
4．（2026·四川德阳·二模）若1
tan
3
1
tan
3
q
q
-
=
+
，则
4
4
sin
cos
q
q
-
＝（ ）
A．
1
2
-
B．
1
2
C．
3
2
-
D．
3
2
二、多选题
5．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数
π
cos
0
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø
，
的部分图象如图所示，则下列正确的
有（ ）
A．
π
w =
B．
π
4
j =
C．
9
4
x =
是函数
y
f x
=
的一条对称轴
D．函数
y
f x
=
的图象可以由函数
sinπ
y
x
=
的图象向左平移3
4 个单位得到
6．（2026·安徽滁州·一模）已知函数( )
sin
f x
x
=
，( )
sin 4
g x
x
=
，
1
π
3
π
( )
cos 2
sin 2
2
3
2
3
h x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则（ ）
A．
( )
f x ，( )
g x 的图象都关于点(π,0) 对称
B．
( )
f x ，( )
g x 的图象都关于直线
π
2
x =
对称
C．将( )
g x 的图象向左平移π
8 个单位长度，得到函数(2 )
h
x 的图象
D．将
( )
f x 图象上每个点的横坐标变为原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数( )
h x 的图象
7．（2026·陕西咸阳·二模）将函数
π
sin
0
6
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
图象向右平移3π
2w 个单位长度得到
g x 图象，若
F x
f x g x
=
，
f x
H x
g x
=
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
1
w = ，
π
0, 6
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
F x 值域为1 1
,
4 2
é
ù
ê
ú
ë
û
B．若
H x 图象关于点π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，则w 的最小值为1
C．若
π
4
F x
F æ
ö
£
ç
÷
è
ø 对于任意实数x 都成立，则w 的最小值为1
3
D．若
H x 在
π π
,
4 4
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增，则w 的取值范围为
4
0, 3
æ
ù
ç
ú
è
û
8．（2026·广东·模拟预测）已知函数
sin
3 cos
0
f x
x
x
w
w
w
=
+
>
，将其图象向右平移π
6 个单位后得到
g x 的图象，
g x 的最小正周期为π，则下列选项正确的是（ ）．
A．函数
f x 的图象关于
π
12
x =
对称
B．函数
f x 在区间
π
5π
,
12 12
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增
C．若
1
2
π
0
2
x
x
<
<
<
且
1
2
2
g x
g x
=
=
，则
1
2
π
2
x
x
+
=
D．函数
g x 的图象可由
π
2cos 2
6
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 的图象向右平移π
3 个单位得到
9．（2026·山东德州·一模）函数
π
cos
0,
0,
2
f x
A
x
A
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
>
<
ç
÷
è
ø 的部分图象如图所示，则（ ）
A．
π
3
j =
B．
f x 的图象关于点
π ,0
12
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
C．函数
f x 在区间
11π
7π
,
12
12
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û 上单调递增
D．若
f x 在区间
π ,
12 a
é
ö
-
÷
êë
ø 上恰有一个最大值2 和一个最小值2
- ，则实数a 的取值范围为5π 4π
,
6
3
æ
ù
ç
ú
è
û
三、填空题
10．（2026·江苏·一模）求值：
cos40
2cos20
cos40
cos10
-
=
o
o
o
o
___________．
四、解答题
11．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
π
sin
0,
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø的部分图象如图所示．
(1)求
f x 的解析式，并写出
f x 的单调递减区间；
(2)若
π
0, 2
a
é
ù
Îê
ú
ë
û ，且
1
5
f a =
，求
π
cos 6
a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的值．
押题猜想04 数列-数列的性质、数列构造
试题前瞻·能力先查
限时：5min
【2026·湖北黄石·一模】（多选题）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第n
行的第r 个数可以表示为
1
C
(
1
r
n
n
-
³ 时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋
数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成
就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）
A．第2026 行共有2026 个数
B．从第4 行起到第19 行，每一行的第4 个数字之和为
4
20
C
1
-
C．第48 行的所有数字之和被7 除的余数为1
D．去除所有为1 的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,L ，则此数列前135 项的和为
18
2
53
-
分析有理·押题有据
24 年实行数论压轴题失败后，25 年回归普通数列题，考察的是等比数列的性质和一道大题，都有点难
度，今年应该还是会回归之前的解三角形和数列二选一的情况，23 年和25 年均考察了数列大题，所以今年
可能不考察数列大题。所以在小题中数列的性质以及数列的应用就很重要。杨辉三角的内容需要着重理解
一下，类似的数论思想的问题需要多加练习。
密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·辽宁大连·一模）已知数列A：
1a ，
2a ，…，
8a ，
1
1
a = ，
8
12
a =
，设
*
1
1
7,
k
k
m
a
a
k
k
+
=
-
£
£
ÎN
，若
1
m = 或2，则满足条件的不同数列的个数为（ ）
A．7
B．21
C．35
D．70
2．（2026·北京·模拟预测）已知各项均不为零的数列
na
，其前n 项和是
n
S ，若
1
1,2,
n
n
n
S
a a
n
+
=
=
L ，则
（ ）
A．
na
不可能是等差数列
B．
na
可能是等比数列
C．
na
不可能是递减数列
D．
na
可能是周期数列
3．（2026·山东济宁·一模）已知数列
na
的首项
1
1
2
a =
，且满足
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+ =
+ ，则
6a = （ ）
A．1
12
B．1
10
C．10
D．12
4．（2026·湖北武汉·模拟预测）记等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
9
3
6
2S
S
S
=
+
，且
3
6
1
1
1
0
k
a
a
a
+
+
=
，则
正整数k 的值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
5．（2026·江苏南京·一模）若等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
7
3
2
4
7
4
S S
S
=
，则
3
4
S
S =（ ）
A．2
-
B．
1
2
-
C．
1
2
D．2
二、多选题
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如
图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第n 行的所有
数字之和为
1
2n- ，若去除所有为1 的项，依次构成数列
na
：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下
列说法正确的是（ ）
A．
12
14
a
a
=
B．
15
104
S
=
C．第
2
2
2
n
n
-
+
项为
*
1,
n
n
+
ÎN
D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和S，则
1
1
1
1
1
2
3
6
10
15
S = +
+
+
+
+ ××× >
7．（2026·湖南·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
6
4
2
,
5
5
3
n
n
a
S
a +
=
=
-
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
1
2
2
a
a
=
B．数列
lg
na
为等差数列
C．
3 4
4 6
,
,
5 5
5 5
n
S
é
ö
æ
ù
Î
È
÷
ç
ê
ú
ë
ø
è
û
D．
1
16
9
9
1
,
,
15
20
20 3
n
n
S
S
é
ö
æ
ù
-
Î -
-
È -
÷
ç
ê
ú
ë
ø
è
û
8．（2026·山东德州·一模）已知数列
na
满足
1
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
，且
1a
t
= ，则（ ）
A．存在唯一的实数t ，使得
na
为常数列
B．当1
0
t
- < <
时，
na
为递减数列
C．当
3
0
a <
时，t 的取值范围为
2,0
-
D．当
1
t = 时，
2
log
,
n
n
n
b
a
b
=
前n 项和为
n
S ，则
2
1
n
n
S <
-
9．（2026·四川成都·二模）已知等差数列
na
的前n 项和
n
S 存在最大值，且
3
30
0
a
a
+
<
，
16
17
0
a a
<
，则
（ ）
A．
1
0
a >
B．
16
17
0
a
a
+
>
C．当
16
n =
时，
n
S 取得最大值
D．
n
S 取得最小正值时n 为31
三、填空题
10．（25-26 高二上·福建漳州·期末）“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0
行，则从第1 行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第
一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的
数列记为
na
，如图，实线上的数即为
na
的前4 项.记
1
2
3
1
1
1
1
1
1
n
n
n
T
a
a
a
a
a
-
=
+
+
+
+
+
L
，则
2026
T
= _____.
11．（2026·山东滨州·一模）已知首项和公差都不为0 的等差数列
na
，其前n 项和为
n
S ，且
1
2
3
3
a
a
a
+
=
，
则
4
5
6
a
a
S
+
= __________．
押题猜想05 计数原理-排列组合、二项式定理
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】今天是星期一，再过
100
10
天是星期几（ ）
A．星期二
B．星期三
C．星期四
D．星期五
分析有理·押题有据
连续两年填空压轴都是排列组合配合概率统计的考察了，23 年考察的排列组合中的分配问题。二项式
定理均未考察，因为二项式定理的内容较为死板，所以掌握相关内容即可，重点关注一下二项式定理中的
余数问题。可能会在多选题的选项中出现。排列组合今年大概率不会太难，所以一定需要掌握相关的题型，
尤其是分配问题中的平均分组问题，这个分数不能丢。
密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在某道选词填空题中，有3 个空格，4 个备选单词。每个空格只能填入一个备
选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3 个正确答案是4 个备选单词中的3 个，剩余1 个备选单词是
多余的）。若随机选择3 个备选单词分别填入3 个空格，则3 个空格全部选错的概率是（ ）
A．11
24
B．9
24
C．7
12
D．5
12
2．（25-26 高三下·浙江杭州·月考）实数
5
1.996 的近似值（精确到0.001）是（ ）
A．31.680
B．31.681
C．31.682
D．31.683
3．（2026·山东烟台·一模）某学校派5 名同学参加“市长杯”足球比赛中4 个场次的志愿服务，每场比赛至
少派1 名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（ ）
A．180
B．240
C．320
D．360
4．（2026·贵州毕节·二模）春节期间，某家庭准备了5 个不同的马年新春红包，全部装入3 个不同的红包
袋中，每个红包袋至少装1 个红包，则不同的装法种数是（ ）
A．90
B．150
C．240
D．300
5．（25-26 高三下·河北沧州·月考）将1，1，2，2，3 五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相
邻的排法总数为（ ）
A．12
B．26
C．52
D．104
6．（2026·山东淄博·一模）有5 名同学A ，B ，C ，D ，E 参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若A 和B 都
不是第1 个出场，且C 不是最后一个出场，则这5 人不同的出场顺序种数为（ ）
A．42
B．50
C．54
D．60
7．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式
2
1
n
x -
的展开式中仅有第4 项的二项式系数最大，则展开式中
3x
项的系数为（ ）
A．160
-
B．80
-
C．80
D．160
8．（2026·广东·一模）在
4
5
1
1
x
x
-
+
-
的展开式中，含
2x 的项的系数是（ ）
A．
4
-
B．4
C．
16
-
D．16
二、多选题
9．（25-26 高二下·江西赣州·开学考试）若
2026
2
2026
0
1
2
2026
(1
2 )
x
a
a x
a x
a
x
-
=
+
+
+
+
L
，则下列选项正确的有
（ ）
A．
1
4052
a = -
B．展开式中所有项的二项式系数的和为
2026
2
C．奇数项的系数和为
2026
1 3
2
-
D．
3
2026
1
2
2
3
2026
1
2
2
2
2
a
a
a
a
+
+
+
+
= -
L
三、填空题
10．（2026高三下·上海·专题练习）若
5
2
2
10
0
1
2
10
3
1
x
x
a
a x
a x
a x
-
+
=
+
+
+
+
L
，则
1
2
10
a
a
a
+
+
+
=
L
________．
11．（2026·广东广州·一模）设a 为常数，多项式
3
2
1
x
ax
+
+ 除以
2
1
x - 所得的余式为
3
x+ ，则a＝______．
押题猜想06 空间向量与立体几何-截面、翻折、动点最值问题
试题前瞻·能力先查
限时：7min
【2026·甘肃·一模】（多选题）如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆
1
O 半径为3,
,
CD EF 是底面的
两条直径，母线
,
PC PD 与该圆锥内切球O 分别切于点
,
A B .则下列说法正确的是（ ）
A．
4
9
V
V
=
球
圆锥
B．圆锥与球O 的交线的轨迹长为π
C．若
1
π
4
O CE
Ð
=
，则
2
cos
4
PCE
Ð
=
D．平面AEF 截球O 的截面面积的最小值为3π
4
分析有理·押题有据
立体几何的大题这几年变化都不大，一直都是第一问考察点线面的位置关系，第二问为距离、夹角相
关的问题，去年考了一个证明点在面内，但整体变化不会太大，注意二面角为钝角时二面角的余弦值的正
负问题。主要是小题的考察，25 年考察的是证明点线面的位置关系且为多选题，24 年考察几何体的表面积
和体积，难度都不大。所以今年的几何小题大概率会在压轴出现，外接球问题去年有接触到一点，所以今
年多注意几何中较难的截面、翻折和动点最值问题。
密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱
1 1 1
ABC
ABC
-
中，D 为
1
CC 中点，平面
1ABD^平面
1 1
1
,
4
ABB A AD
BD
=
= ，
1
2 7
=
A B
，则三棱柱
1 1 1
ABC
ABC
-
体积的取值范围是（ ）
A．
0,21
B．
7,21
C．
0,28
D．
7,28
2．（2026·广东广州·一模）在正三棱柱
1 1 1
ABC
ABC
-
中，
2
AB = ，
1
1
AA = ，点D 是平面ABC 上的动点，则
1
2
2
A D
CD
+
的最小值是（ ）
A．5 2
4
B．3 2
2
C．5 3
4
D．3 3
2
二、多选题
3．（2026·陕西咸阳·二模）如图所示，在正方体
1 1
1
1
ABCD
ABC D
-
中，点E 是棱
1
CC 上的一个动点（不包括
端点），平面
1
BED交棱
1
AA 于点F ，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点E ，使得
1
D FB
Ð
为直角
B．对于任意点E ，都有直线
1//
AC
平面
1
BED F
C．对于任意点E ，都有平面
1
AB C ^ 平面
1
BED F
D．三棱锥
1
1
B
BDF
-
的体积为定值
4．（2026·四川内江·二模）在棱长为2的正方体
1 1
1
1
ABCD
ABC D
-
中，点P 是棱BC 的中点，点Q 在正方形
1
1
AAB B内部（不含边界）运动，若
/ /
P Q
平面
1 1
ACC A ，则（ ）
A．点Q 的轨迹经过线段
1
AB 的中点
B．点Q 的轨迹长度为2
C．三棱锥
1
Q ACC
-
的体积为定值2
3
D．球面经过A ，B ，C ，Q 四点的球的半径最小值为2
5．（2026·江苏镇江·一模）如图点P 是棱长为2 的正方体
1 1
1
1
ABCD
ABC D
-
的表面上一个动点，F 是线段
1
1
A B
的中点，则（ ）
A．当P 为
1
1
B C 的中点时，
1
AP
DF
^
B．当P 在面
1
1
BCC B 上，且直线AP 与CD 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为π
2
C．三棱锥
1
1
A PBD
-
体积的最大值为8
3
D．当
/ /
PF
平面
1
1
BCD 时，线段PF 长度最大值为2
2
6．（2026·山东青岛·一模）已知四面体ABCD 满足
2
AB
AC
CD
BD
=
=
=
=
，
2
2
B C =
，点A ，B ，C ，D
均在球
1
O 的表面上，球
2
O 与四面体的4 个面均相切，过直线
1
2
OO 的平面截四面体ABCD 所得的截面的面积
为S，则（ ）
A．球
1
O 的表面积为8π
B．当四面体ABCD 体积最大时，
1
2
2
2
OO =
-
C．当
2
AD=
时，S的最大值为
3
D．当
2
AD=
时，S的最小值为
15
5
7．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在直三棱柱
1 1 1
ABC
ABC
-
中，
1
2
AB
AC
AA
=
=
=
，AB
AC
^
，点P、
Q、M、N 分别是
1
BB 、
1
CC 、
1
AA 、BC 的中点，则（ ）
A．P、Q、M、N 四点共面
B．线段
1
BC 为直三棱柱
1 1 1
ABC
ABC
-
外接球的直径
C．三棱锥
1
P AQN
-
的体积为2
3
D．直线MN 与AC 所成角余弦值为
3
3
三、解答题
8．（2026·江西·一模）如图，在四棱锥E
ABCD
-
中，底面是直角梯形
,
ABCD AB
DC
∥
，
90
2
1
3
6
ADC
AB
CD
AD
AE
BCE
o
V
,
,
,
,
,
Ð
=
=
=
=
=
为正三角形，且平面BCE ^ 平面ABCD ．
(1)求证：BC
AE
^
；
(2)求直线AB 和平面ADE 所成角的正弦值；
(3)设点P 是三棱锥E
ABC
-
外接球上一点，求点P 到平面ADE 距离的最大值．
9．（2026·湖北襄阳·一模）如图，正三角形ABC¢ 和平行四边形ABDE在同一个平面内，其中
4
AB =
，
31
BD
AD
=
=
，AB，DE 的中点分别为F，G．将
ABC¢
△
沿直线AB 翻折到
ABC
V
，使二面角C
AB
D
-
-
为120°，设CE 的中点为H．
(1)求证：平面CDF // 平面AGH ；
(2)求平面CDE 与平面DEF 的夹角的余弦值．
10．（2026·广东佛山·二模）如图，PB是圆柱
1
OO的母线，四边形ABCD 是底面内接正方形．点
,
E F 是棱
,
BC CD
上的动点（
,
E F 不与端点重合），且CE
DF
=
．
(1)证明：AE ^ 平面PBF ；
(2)已知圆柱
1
OO的体积为π，
2
PB= ，点A 到直线PF 的距离是1．
（i）求CE 的长度；
（ii）求直线CD 与平面PAE 所成角的正弦值．
11．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体ABCD
EFGH
-
中，
2 2
AB=
，
4
=
AD
，
3
AE =
，点M
在棱EH 上，点P 在棱FG 上，且
1
EM
GP
=
= .
(1)证明：MP
BH
^
；
(2)求直线BH 与平面BMP所成角的余弦值；
(3)在棱FP 上是否存在点Q ，使得Q 到平面BMP 的距离与Q 到平面BFM 的距离相等？若存在，求出FQ 的
长；若不存在，说明理由.
押题猜想07 概率统计-用样本估计总体、统计、条件概率
试题前瞻·能力先查
限时：5min
【原创题】（多选题）设
,
A B 是一个试验中的两个事件，且
1
7
5
( )
,
( )
, (
)
2
12
12
P A
P B
P AB
AB
=
=
+
=
，则下列
结论正确的有（ ）
A．
1
3
P AB =
B．
5
12
P A
B
+
=
C．
2
|
3
P B A =
D．
(
|
)
(
|
)
1
P B A
P A B
+
=
分析有理·押题有据
条件概率连续三年都没有考察，所以会是今年大概率的考察内容，统计图也是近三年都没考察的内容，
包括用样本估计总体都是重点需要关注的内容，去年概率大题考察的是独立性检验，23 年考察的是二点分
布，今年大题大概率会是超几何分布和二项分布结合统计图的考察。用样本方差和样本均值估计总体方差
和均值需要重点理解。
密押预测·精练通关
一、多选题
1．（2026·广西河池·二模）下列结论正确的是（ ）
A．样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27 的第70 百分位数为23
B．若一组样本数据
1
2
10
,
,
,
x x
x
L
的方差
2
2
2
2
1
2
10
1
6
6
6
10
s
x
x
x
é
ù
=
-
+
-
+
+
-
ë
û
L
，则这组样本数据的总
和为60
C．若随机变量X 服从二项分布
1
6,
,
2
3
2
B
Y
X
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，则
9
E Y =
D．若随机变量X 服从正态分布
2
6,
N
s
，且
3
6
0.35
P
X
<
<
=
，则
9
0.15
P X >
=
2．（2026·广东东莞·模拟预测）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命
中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 4
5 ，乙每次投篮的命中率均为 3
5 .由
抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为
1
2 ，记“第i 次投篮的人是甲”为事件
iA ，
前3 次中甲投篮的次数为X，则以下结论正确的是（ ）
A．
2
1
2
|
5
P A
A
=
B．
2
7
10
P A
=
C．
11
1
50
P X =
=
D．
87
50
E X =
3．（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件
,
A B 存
在如下关系：
P A P B A
P A B
P B
=
∣
∣
．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运
动．张同学第一天选择室内健身的概率为2
3 ，选择户外运动的概率为1
3 ．如果第一天选择室内健身，那么第
二天继续选择室内健身的概率为
1
2 ；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为2
3 ．则
张同学（ ）
A．第二天去室内健身的概率为5
9
B．第二天去户外运动的概率为2
9
C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为2
5
D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为3
4
4．（2026·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数r 越大，则线性相关性越强
B．1，2，4，5，6，12，18，20 的上四分位数是15
C．随机变量X 的方差
(
)
20
D X =
，期望
(
)
6
E X =
，则
2
16
E X
=
D．某班30 个男生的数学平均分为90，方差为4，20 个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50
个学生的数学成绩的方差为10.8
5．（2026·四川绵阳·模拟预测）设A ，B 分别为随机事件
,
A B 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结
论正确的有（ ）
A．
|
|
P B
P A P B A
P A P B A
=
+
B．若
|
P B A
P B
=
，则
|
P A B
P A
=
C．
|
|
P ABC
P A P B A P C AB
=
D．
|
|
1
P B A
P B A
+
=
6．（2026·山东枣庄·二模）下列命题正确的是（ ）
A．若同等容量且足够大的
,
A B 两组成对数据的样本相关系数分别为
0.88,
0.99
A
B
r
r
=
= -
，则A 组数据比
B 组数据的线性相关性更强
B．数据1,2,4,5,6,8,9的第60 百分位数为6
C．总体划分为2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
2
2
1
2
, ,
, , ,
m x s
n y s ，记总的样本平均数为w ，总的样本方差为
2s ，则有
2
2
2
2
2
1
2
m
n
s
s
w
x
y
s
w
m
n
m
n
é
ù
é
ù
=
+
-
+
+
-
ë
û
ë
û
+
+
D．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到
2
9.632
c =
，依据小概率值
0.001
a =
的
2
c 独立性检
验
0.001
10.828
x
=
，可判断X 与Y 有关联，此时推断犯错误的概率不大于0.001
7．（2026·贵州毕节·二模）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50 分，
满分100 分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ）
A．[90,100]对应矩形的高度为0.016
B．样本众数估计值为75
C．样本平均数估计值为77.4
D．样本成绩的第70 百分位数落在
70,80 内
二、应用题
8．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q 的概率分布情况如下表所示．
学习强度指数Q
20
Q £
20
80
Q
<
<
80
Q ³
概率
0.2
0.5
0.3
应对情况
轻松应对
勉强应对
困难应对
(1)从该市随机选取3 名高三的学生，记学习强度指数
80
Q <
的人数为X，求
(
1)
P X =
及X 的数学期望．
(2)定义
(
)
(
)
P N M
P N M
∣
∣
为在事件M 发生的条件下事件N 发生的优势．记事件A = “该学生学习有压力”（勉强应对
和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件B = “该学生困难应对”，求在事
件A 发生的条件下事件B 发生的优势．
9．（2026 高三·全国·专题练习）某连锁餐厅有
*
n nÎN
家分店，将分店按照规模从小到大依次编为1号到n
号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第k 号分店员工包含第k 号店长和
*
1
,
k
k
n k
£
£
ÎN
名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗
工作．具体安排为：从每家分店随机选派1名员工到下一家分店进行工作，即从1号分店选派1名员工到2 号
分店，再从2 号分店（含轮岗人员）选派1名员工到3号分店，依次类推，从
1
n - 号分店选派1名员工到n 号
分店．轮岗结束后，从第n 号分店任选1名员工进行服务反馈调查，并选派至1号分店，记选中店长的概率
为
nP ．
(1)当
2
n =
时，求
2P 的值；
(2)在第4 号分店选中店长的条件下，若该店长为第X 号店长，求随机变量X 的分布列；
X
1
2
3
4
P
1
51
2
51
8
51
40
51
X
1
2
3
4
P
1
51
2
51
8
51
40
51
10．（25-26 高三下·重庆沙坪坝·月考）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜
爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100 名作为样本，设事件A = “喜欢春节联欢晚
会”，B = “学生为女生”，据统计有：
3
2
,
5
3
P A B
P B A
=
=
∣
∣
.
(1)现从这100 名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10 人，再从这10 人中
随机选出2 人，设选出的2 人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X . 求X 的概率分布列和期望;
(2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取n 名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y ，
且当
18
Y =
时，
P Y 取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n .
X
0
1
2
P
2
15
8
15
1
3
X
0
1
2
P
2
15
8
15
1
3
11．（2026·江苏·一模）某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院
抄录了1~7 月份每月5 日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期
1 月5 日
2 月5 日
3 月5 日
4 月5 日
5 月5 日
6 月5 日
7 月5 日
昼夜温差
o/ C
x
10
11
13
12
8
7
6
感冒人数
y
23
25
29
26
16
13
9
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7 组数据中选取2 组，用剩下的5 组数据求经验回归方程，再用被
选取的2 组数据进行检验．
(1)求选取的2 组数据是不相邻的两个月的概率；
(2)若该小组选取的是1 月与6 月的两组数据，请根据剩下5 个月份的数据：
①求出y 关于x 的经验回归方程
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
；
②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2 人，则认为得到的经验回归方
程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由．
附：
1
1
2
2
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
,
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x y
nxy
x
x
y
y
b
a
y
bx
x
nx
x
x
=
=
=
=
-
-
-
=
=
=
-
-
-
å
å
å
å
．
ix
x
-
1
3
2
2
-
4
-
iy
y
-
4
8
5
5
-
12
-
12．（25-26 高三下·河南周口·月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识
竞赛，从所有答卷中随机抽取100 份作为样本，将样本的成绩分成
75,85 ，
85,95 ，
95,105 ，
105,115 ，
115,125 这五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
(2)已知落在
75,85 内的平均成绩是80 分，方差是4 分，落在
85,95 内的平均成绩是88 分，方差是6 分，
求两组成绩合并后的平均数z 和方差
2s .
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，
1x ，
2
1s ；n，
2x ，
2
2s ，记两组数据总体的样本
平均数为w ，则总体样本方差
2
2
2
2
2
1
1
2
2
(
)
(
)
m
n
s
s
x
w
s
x
w
m
n
m
n
é
ù
é
ù
=
+
-
+
+
-
ë
û
ë
û
+
+
.
押题猜想08 圆锥曲线-定点定值问题
试题前瞻·能力先查
限时：12min
【2026·江苏南京·一模】已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
的焦点为F ，C 上的点
4,
(
0)
P
t
t >
到F 的距离为5．
(1)求p 和t 的值；
(2) A ，B 为C 上两点，PAB
V
的重心在直线
4
3
y = -
上．
①证明：直线AB 的斜率为定值；
②设直线AB 与x 轴交于点Q ，线段AB 的中点为T ，线段PQ的中点为R ，过点P 向直线TR 作垂线，垂足为
H ．证明：点H 在定圆上运动．
分析有理·押题有据
圆锥曲线和导数作为高考分层知识点，每年的难度都不会太小，综合知识点的考察要求也很高，去年
小题考察的是直线和圆以及双曲线离心率的问题，难度都不大。前年却是多选的压轴题且为新定义图形的
考察，所以今年的考生对于圆锥曲线的基础知识点需要熟练的掌握，简单的题目不能丢分，大概率会有一
题相对简单，一题相对困难的出现。大题去年考察的是椭圆中的最值问题，23 年考察抛物线的轨迹问题。
24 年的不做参考，考的太简单了，所以今年很有可能考察定点定值问题，如非对称韦达定理、定比点差和
极点极线等题目都需要足够有熟练度。
密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点P 在直线:
3
l y
x
=
+ 上移动，椭圆C 以
1,0
A -
和
10
B
,
为焦点且经
过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）
A．
5
5
B．
10
5
C．
15
5
D．2 5
5
2．（2026·山东东营·一模）点 P 在以
1
2
,
F F 为焦点的椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
上，若
1
2
2
1
,
PF F
PF F
a
b
Ð
=
Ð
=
，且
7 2
4
,
0,
,cosα
,tan
2
10
3
p
a b
a
b
æ
ö
Î
=
+
=
ç
÷
è
ø
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
2
2
B．2 2
3
C．
3
4
D．
5
4
二、多选题
3．（2026·安徽滁州·一模）已知圆
2
2
:
14
T x
y
+
=
经过双曲线
2
2
:
1(
0)
2
y
x
C
m
m
m
-
=
>
+
的两个焦点
1F ，
2
F ，
且P 为双曲线C 上异于顶点的任意一点，点
(2,3)
M
，则（ ）
A．点M 在双曲线C 上
B．当P 在圆T 上时，
1
2
PFF
V
的面积为8
C．点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为3
D．双曲线C 上存在定点Q，使得直线PM 和PQ的斜率之积为定值3
4
三、填空题
4．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系xOy 内，圆
2
2
:
3
3
4
C
x
y
+
+
-
=
，若直线:
0
l x
y
a
-
+
=
绕原
点O 逆时针旋转90°后与圆C 恰有两个交点，则a 的取值范围是___________．
5．（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线
2
:
4
C y
x
=
，O 为坐标原点，过焦点F 的直线交抛物线于A，B 两点，
M 为线段AB 的中点，则直线OM 的斜率的最大值为______.
6．（2026·山东临沂·一模）已知曲线
e
sin3
x
y
x
=
+
在点
0,1 处的切线为l ，若直线l 与抛物线
2
4
y
x
m
=
+
也
相切，则m =_________．
四、解答题
7．（25-26 高三下·重庆·月考）已知
,
A B 分别为双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
-
=
(
)
0
0
a
b
>
>
，
的左，右顶点，M 为双
曲线E 上异于
,
A B 的任意一点，直线MA ，MB 斜率之积为3
4 ，E 的焦距为2 7 ．
(1)求E 的方程；
(2)过点
4,0 作直线l 与双曲线E 交于C ，D 两点（
,
C D 不与
,
A B 重合），记,
,
l AC AD 的斜率分别为
1
2
,
,
k k k ，证明：
1
2
k
k
k
k
+
为定值．
8．（25-26 高三下·广东·月考）已知点
1,4
A
，抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
的焦点为F ，线段AF 的中点在C
上．
(1)求C 的方程；
(2)过点F 的直线与C 交于P 、Q 两点．
（ⅰ）已知C 的准线为l ，作QR
l
^ 于点R ，证明：直线PR 过定点；
（ⅱ）过点A 与PQ平行的直线与C 交于点M 、N ．判断
AM
AN
PQ
×
是否为定值，若为定值，求出该定值；
若不为定值，请说明理由．
9．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点
2,1 在椭
圆上，且椭圆上满足
1
2
PF
PF
^
的点P 有且仅有2 个.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（A 在第一象限），与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，且
3
AM
AN
=
uuuur
uuur
；
点A 关于x 轴的对称点为D ，直线DN 与椭圆的另一个交点为E .
（ⅰ）记直线AN ，DN 的斜率分别为
1k ，
2k ，证明：
2
1
k
k 为定值；
（ⅱ）求直线BE 的斜率的最小值.
10．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的焦点F 到一条渐近线的距离为1，且点
2,1
P
在双曲线C 上．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)斜率为1
- 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点（异于点P ）．
①求直线AP 、BP 的斜率之和；
②若PAB
V
的外接圆圆心为M ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使
2
2
-
MQ
MP 为定值，若存在，求出Q 点坐
标，若不存在，请说明理由．
11．（2026·广东广州·模拟预测）记双曲线
2
2
2
2
:
1
,
0
x
y
E
a b
a
b
-
=
>
的左焦点为
2,0
F -
，渐近线方程为
3
y
x
= ±
，过点
4,0
D
作直线l 与E 交于
,
A B 两点．
(1)求E 的方程；
(2)记,
,
l AF BF 的斜率分别为
1
2
,
,
0 ,
k k k
k
C
¹
为x 轴上一定点．
（i）证明：
1
2
k
k
k
k
+
为定值；
（ii）记AB 中点为M ，以M 为圆心，MD 为半径的圆与l 另交于一点
,
N CN 的斜率为
0k ，若
0
1
2
1
2
· ·
k k k
k
k
+
为定值，
求C 的坐标，并求出
0
1
2
1
2
· ·
k k k
k
k
+
的值．
12．（2026·湖南常德·模拟预测）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，上顶
点和右顶点分别为M ，N ，
1
3
tan
2
MNF
Ð
=
，
1
3
F N =
.
(1)求E 的方程.
(2)已知过点
2
F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，过点
2
F 且与l 垂直的直线与E 交于C ，D 两点，B ，D 在x 轴
的上方，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点.求证：直线PQ过定点.
13．（2026·新疆·二模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
+
= 经过点
2,1
A
，右焦点为
3,0
F
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 与椭圆C 交于
,
D E 两点，且直线AD 与AE 的斜率互为相反数，证明：线段DE 的中点M 在一条
定直线上；
(3)在（2）的条件下，直接写出MF 的最小值.
押题猜想09 函数与导数-函数的性质、零点问题、不等式恒成立
试题前瞻·能力先查
限时：6min
【2026·重庆·一模】已知函数
2
2
2
x
x
f x
+
-
=
+
，若关于m的不等式
1
2
1
0
f m
f
m
-
-
+
<
成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A．
, 2
0,
-¥ -
È
+¥
B．
4
, 2
,
3
æ
ö
-¥ -
+¥
ç
÷
è
ø
U
C．
2
, 2
,
3
æ
ö
-¥ -
+¥
ç
÷
è
ø
U
D．
2
, 2
,
3
æ
ö
-¥ -
-
+¥
ç
÷
è
ø
U
分析有理·押题有据
函数和导数常年霸占单选和应用题的压轴位置，今年估计也不例外，即使在此压轴也不会太简单，所
以要想考高分还是必须要熟练掌握。小题中，22 年、24 年和25 年在单选的压轴中都考察的构造函数比较
大小，23 年为多选此压轴，其次连续4 年均以不同形式考察了根据函数性质求零点或者函数值的问题。所
以对于抽象函数的性质判断和零点问题要重点练习。同构问题和泰勒展开式都需要加强练习。大题23 年和
24 年都不是压轴题，去年删去新定义问题后，导数重回压轴位置且去年考察的是结合余弦函数的不等式恒
成立问题，可见导数也在创新，所以今年在掌握常见题型外，要想压轴题多得分还需要多练习导数的综合
题型。
密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·江苏·一模）已知函数
f x
g x
，
的定义域为
¢f
x
R，
为
f x 的导函数，
1
1
2
æ
ö
-
+
=
ç
÷
è
ø
f x
g x
，
1
1
=
-
=
- -
¢
¢
f x
f
x
f
x
f
x
，
．若
3
1
1
1
2
æ
ö =
= -
ç
÷
è
ø
f
g
，
，则
2026
1
( )
i
g i
=
=
å
（ ）
A．2026
B．1013
C．1
D．-1
2．（2026·重庆·模拟预测）已知函数
2
2
1
f x
x
ax
=
+
- 与
ex
g x
b
=
+
的图象在
0
x =
处的切线重合，则a
b
+
=
（ ）
A．e 1
-
B．e
1
+
C．5
2
D．
3
2
-
3．（25-26 高二下·河北保定·月考）已知函数
sin3
e
e
1,
,
x
x
f x
a
x
b
a
b
-
=
+
-
+
Î
Î
R
R ，
f
x
¢
为
f x 的
导函数，则
2026
2026
2026
2026
f
f
f
f
=
¢
-
¢
+
-
+
-
（ ）
A．0
B．2
C．2
-
D．2026
4．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设
0.5
4.1
a
-
=
，
1
5
1
log 4
b =
，
cos1
c =
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b
a
c
<
<
B．c
a
b
<
<
C．c
b
a
<
<
D．a
c
b
<
<
5．（2026·安徽滁州·一模）已知函数
3
4
2
e
1
x
f x
x
=
-
-
+
，若函数
e
3
2
3
x
g x
f
f
ax
x
æ
ö
=
+
+
-
ç
÷
è
ø
恰有3个零
点，则a 的取值范围是（ ）
A．
2e
,
8
æ
ö
-¥ -
ç
÷
è
ø
B．
2e
, 4
æ
ö
-¥
ç
÷
è
ø
C．
2e ,
8
æ
ö
-
+¥
ç
÷
è
ø
D．
2e ,
4
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
6．（2026·湖南郴州·三模）已知两个不相等的正实数,x y 满足：
1
2
2
e
4log
2log
y
x
x
y
- -
=
-
，则下列不等式中
一定不成立的是（ ）
A．
1
x
y
<
<
B．
1
y
x
<
<
C．1
x
y
<
<
D．1
y
x
<
<
7．（2026·广东深圳·一模）若实数x ，y ，z 满足
2
2
log
y
x
z
-
=
= -
，则x ，y ，z 的大小关系不可能是
（ ）
A．z
x
y
>
>
B．z
y
x
>
>
C．y
x
z
>
>
D．y
z
x
>
>
8．（2026·湖南郴州·三模）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，且满足
6
f x
f x
+
=
，当
0,3
xÎ
时，
2
1
x
f x =
- ，则
2025
2026
f
f
-
+
的值为（ ）
A．10
-
B．3
-
C．3
D．10
二、多选题
9．（2026·广东佛山·二模）定义域关于原点对称的函数
f x ，
g x 满足
1
g x
g y
g x
y
g x g y
é
ù
+
=
+
-
ë
û ，
1
f x f
y
f x
y
g x g y
é
ù
=
+
-
ë
û ，
f x 为偶函数且
0
0
f
¹
，
则（ ）
A．
0
0
g
=
B．
0
1
f
=
C．
g x 为偶函数
D．若
3
3
g a =
，则
2
2
f
a =
三、填空题
10．（2026·湖南郴州·三模）若存在实数m，使得关于x 的方程
2
2
1
e
1
m a x
x
m
x
m
+ -
-
-
=
-
-
有两个不同的根，其中e
为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是__________.
四、解答题
11．（2026·安徽滁州·一模）已知函数
3
( )
9
ln
f x
x
x
m
=
-
-
．
(1)当
0
m =
时，求曲线
( )
y
f x
=
在点(1,
(1))
f
处的切线方程；
(2)若不等式
( )
0
f x >
恒成立，求m 的取值范围；
(3)证明：函数
(sin
cos )
f
x
x 的最小值小于函数
(
ln )
f x
x
-
的最小值．
12．（2026·江西·一模）已知函数
1
sin
sin2
2
f x
x
x
=
-
．
(1)求
f x 在
0,π 上的最大值；
(2)求证：
3
1
[0,
2
x
f x
x
¥
" Î
+
£
），
恒成立；
(3)若
π
0, 2
x
æ
ö
" Îç
÷
è
ø都有
3cos
>
f x
ax
x 恒成立，求a 的最大值．
13．（2026·湖南·模拟预测）已知
e
e
1
x
x
f x
x
a
=
+
- ．
(1)若
0
a ³
，证明：
ln
f x
x
x
³
+
恒成立．
(2)令
n
g
x
f x
n
=
-
，且
n
" Î
*
N ，
n
g
x 有唯一的正零点
nx ．
（i）求a 的取值范围；
（ii）当
1
a = 时，证明：
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2ln
n
n
n
n
x
x
x
+
-
<
+
+
+
<
+
+
L
．
14．（2026·宁夏银川·一模）已知函数
2
1
5
ln
2
2
f x
x
x
ax
=
-
+
.
(1)当
1
a = 时，求曲线
y
f x
=
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)若
f x 在
0, ¥
+
上单调递减，求a 的取值范围；
(3)证明：
1
2
3
1
2
2
3
3
4
1
2
2
2
2
1
1
1
1
e
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n+
é
ù é
ù é
ù
é
ù
ê
ú ê
ú ê
ú
ê
ú
+
+
+
×××
+
<
-
-
-
-
-
-
-
-
ê
ú ê
ú ê
ú
ê
ú
ë
û ë
û ë
û
ë
û
（n
+
ÎN ）.
