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专题10 直线和圆的方程
易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问
题）
距离问题
技巧总结
①两点间的距离：已知
则
②点到直线的距离:
③两平行线间的距离：两条平行直线
与
的距离公式
．
易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线x , y 前的系数统一，然后代入公式求算.
例．已知直线
，
，则（ ）
A．直线
过定点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
之间的距离为
【详解】由
，令
，可得
，所以
过
1
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定点
，A 对
时，
，而
，即
，B 对
时，
，而
，显然不垂直，C 错
，则
，可得
，由上知，
之间的距离为
D 对.故选：ABD
变式1．曲线
在点
处的切线与其平行直线l 的距离为
，则直线l 的方程可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
设直线
（
），依题意得
，解得
或
所以直线的方程为
或
故选：AB
变式2．已知直线：
，
：
，圆C：
，下列说法正确的是（ ）
A．若经过圆心C，则
B．直线
与圆C 相离
C．若
，且它们之间的距离为
，则
D．若
，与圆C 相交于M，N，则
【详解】对于A，因为圆心
在直线
上，所以
，解得
，A 正确,对于B，因为直
2
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线
恒过点
，且
即点
在圆C 内，所以
与圆C 相交，B 错误,对于C，因为
，则
故
与
之间的距离
，所以
，C 正确
对于D，
时，直线：
，即
因为圆心
到直线
的距离
,所以
，D 错误,故选：AC
变式3．已知直线
，则（ ）
A．直线
过定点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，两直线
之间的距离为1
【详解】依题意，直线
，由
解得：
,
因此直线
恒过定点
，A 不正确
当
时，直线
，而直线
，显然
，即直线
不垂直，B 不正确
当
时，直线
，而直线
，显然
，即
，C 正确
当
时，有
，解得
，即直线
,因此直线
之间的距离
3
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，D 正确故选：CD
1．若直线
与
之间的距离为
，则a 的值为（ ）
A．4
B．
C．4 或
D．8 或
【答案】C
【分析】将直线
化为
，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线
化为
，
则直线
与直线
之间的距离
，
根据题意可得：
，即
，解得
或
，
所以a 的值为
或
.
故选：C
2．若两条直线
，
与圆
的四个交点能构成正方形，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【分析】由直线方程知
，由题意正方形的边长等于直线、
的距离
，又
，结合两线距离公
式即可求
的值.
【详解】由题设知：
，要使
，
，
，
四点且构成正方形
，
∴正方形的边长等于直线、
的距离
，则
，
4
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若圆的半径为r，
，即
，则
，
由正方形的性质知：
，
∴
，即有
.
故选：B.
3．两条平行直线
和
间的距离为
，则
，
分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据两直线平行的性质可得参数
，再利用平行线间距离公式可得
.
【详解】由直线
与直线
平行，
得
，解得
，
所以两直线分别为
和
，即
和
，
所以两直线间距离
，
故选：D.
4．两条平行直线
与
之间的距离（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】C
【分析】首先根据两条直线平行求出参数
的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由已知两条直线平行，得
，所以
，
所以直线
可化为
，
5
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则两平行线间的距离
.
故选：C
5．已知直线
和
与圆
都相切，则圆
的面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】易得
互相平行，故圆
的直径为
间的距离，再表达出距离求最大值即可得圆
的直径最
大值，进而得到面积最大值
【详解】由题，
互相平行，且
，故圆
的直径为
间的距离
，
令
，则
，
，故当
，即
时
取得最大值
，此时圆
的面积为
故选：A
6．若直线
与
平行，则与
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由两直线平行的判定有
且
求参数a，应用平行线距离公式求与
间的
距离.
6
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【详解】∵直线
与
平行，
∴
且
，解得
．
∴直线与
间的距离
．
故选：B．
7．已知直线：
（
），
：
，若
，则与
间的距
离为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由直线平行的结论列方程求
，再由平行直线的距离公式求两直线的距离.
【详解】由
得
，解得
，
所以直线：
，即
，
所以与
间的距离为
，
故选B．
8．已知直线
，
，若
，则
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，解得
，
时舍去，可得
，再利用平行线之间的距离公
式即可得出．
【详解】由于两条直线平行，得
，解得
，
当
时，两直线方程都是
故两直线重合，不符合题意.
7
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当
时，
，
，
故两平行直线的距离为
.
故选A.
【点睛】本题主要考查了直线平行的充要条件及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．若两条平行直线
与
之间的距离是
，则m+n=
A．0
B．1
C．-2
D．-1
【答案】C
【分析】根据直线平行得到
，根据两直线的距离公式得到
，得到答案.
【详解】由
，得
，解得
，即直线
，
两直线之间的距离为
，解得
(
舍去)，
所以
故答案选C.
【点睛】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.
10．已知直线
，则两条直线之间的距离为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用两平行直线距离公式即可求得.
【详解】因为
，则
，故选C.
【点睛】本题考查了两平行直线距离问题，运用平行直线距离公式可以求解，但要注意将两直线一般方程
的
系数化为相同的值；也可以在其中一条直线中选取一个特殊点，然后利用点到直线距离公式进行求
解，属于基础题.
易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的
8
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考点）
直线方程的五种形式的比较如下表：
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
是直线上一定点，k 是斜率
不垂直于x 轴
斜截式
k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距
不垂直于x 轴
两点式
，
是直线上两定点
不垂直于x 轴和y 轴
截距式
a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直
线在y 轴上的非零截距
不垂直于x 轴和y
轴，且不过原点
一般式
A、B、C 为系数
任何位置的直线
给定一般式求截距相等时，具体方案如下：
形如：第一种情况
Ax +By +C=0⇒{
x
令=0⇒y=−C
B
y
令=0⇒x=−C
A
⇒−C
A =−C
B ⇒A=B
第二种情况：Ax +By +C=0⇒C=0时，横纵截距皆为0
截距之和为0 时，横纵截距都为0 也是此类模型
易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0 的情况从而漏解
例．已知直线过点（2，1）且在x，y 轴上的截距相等
（1）求直线的一般方程；
（2）若直线在x，y 轴上的截距不为0，点
在直线上，求
的最小值．
【详解】试题分析：（1）当截距为0 时，得到
；当截距不为0 时设直线方程为
，代入
点坐标即可得方程．（2）由第一问可得
，
，
由不等式得到结果.
9
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⑴ ①
即
②截距不为0 时，设直线方程为
，代入
，计算得
，则直线方程为
，综上，
直线方程为
⑵由题意得
变式1．已知直线过点
且在
轴上的截距相等
(1)求直线的一般方程；
(2)若直线在
轴上的截距不为0，点
在直线上，求
的最小值．
【详解】（1）因为直线过点
且在
轴上的截距相等，当截距为0 时，则
当截距不为0 时，可设
，则
，即
，∴
综上，的一般方程：
或
（2）由题意得
，
，当且仅当
时，等号成立
的最小值为
变式2．已知直线：
，直线
：
，其中a，b 均不为0.
(1)若
，且过点
，求a，b；
(2)若
，且在两坐标轴上的截距相等，求与
之间的距离.
【详解】（1）当过点
时，
，所以
，
因为
，所以
，即
，于是
（2）由：
，令
，则
，令
，则
因为在两坐标轴上的截距相等，所以
，故
，又
，所以
，所以
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则：
与
：
之间的距离
，所以与
之间的距离为
.
变式3．已知直线
，直线
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数
的值；
(2)若
，求直线
的方程.
【详解】（1）由题意可知，
，直线
在
轴上的截距为
，在
轴上的截距为
，则
，解得：
（2）若
，则
且
，解得：
此时直线
的方程为
1．已知圆
为圆O 上位于第一象限的一点，过点M 作圆O 的切线l．当l 的横纵截
距相等时，l 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用过圆上点的切线的性质可得
，利用点
表示出切线方程，结合l 的横纵截距
相等，即得解
【详解】由题意，点
在第一象限，故过点M 的的切线l 斜率存在；
点
在圆上，故
，即
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故直线l 的方程为：
令
令
当l 的横纵截距相等时，
又
解得：
即
，即
故选：A
2．“直线
在坐标轴上截距相等”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由直线
在坐标轴上截距相等得
或
，再根据充分条件和必要条件的定义
判断即可.
【详解】解：由题知：
，由
得
；由
得，
.
因为在坐标轴上的截距相等，所以
，解得
或
.
所以直线
在坐标轴上截距相等”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查直线的截距与充分条件、必要条件，属于基础题.
3．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0
B．x+y-3＝0
C．y＝2x 或x+y-3＝0 D．y＝2x 或x-y+1＝0
【答案】D
【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.
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【详解】当直线过原点时，其斜率为
，故直线方程为y＝2x；
当直线不过原点时，设直线方程为
，代入点（1，2）可得
，解得a＝－1，故直线方程
为x-y+1＝0.
综上，可知所求直线方程为y＝2x 或x-y+1＝0，
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线
方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.
4．下列说法正确的是（ ）
A．若直线
与直线
互相垂直，则
B．已知
，
，点
，
到直线的距离分别为和，则满足条件的直线的条数是2
C．过
，
两点的所有直线的方程为
D．经过点
且在
轴和
轴上截距都相等的直线方程为
【答案】B
【分析】对于A，利用直线与直线垂直的条件判断；对于B，利用点到直线的距离、直线与圆的位置关系
判断；对于C，利用两点式方程判断；对于D，利用直线的截距式方程判断
【详解】解：对于A，若直线
与直线
互相垂直，则
，解得
或
，所以A 错误；
对于B，因为
，
，所以
，分别以点
，
为圆心，2，4 为半径作
圆，因为
，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2 条，所以满足条件的直线的条数是2，
所以B 正确；
对于C，当
且
时，过
，
两点的直线方程为
，所以C 错误；
对于D，当截距为零时，设直线方程为
，则
，所以直线为
，当截距不为零时，设直线方程
为
，则
，得
，所以直线方程为
，综上，经过点
且在
轴和
轴上截
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距都相等的直线方程为
或
，所以D 错误
故选：B
5．过点
，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【详解】当直线过原点时，直线方程为y=
x，即4x
3y=0
﹣
；
当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a．
则3+4=a，得a=7．
∴直线方程为x+y
7=0
﹣
．
∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x
3y=0
﹣
或x+y
7=0
﹣
．
故选：D
6．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“
”的否定是“
”
B．命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”
C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件
D．若“p 或q”为假命题，则p，q 均为假命题
【答案】C
【分析】利用含有一个量词的命题的否定、否命题的概念、两直线平行的充要条件以及
的真假进行判
断.
【详解】对于A，命题“
”的否定是“
”，故A 正确；
对于B，命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”，故B 正确；
对于C，若两直线斜率相等，则两直线平行或重合；但若两直线平行，斜率可能不存在，故C 错误；
对于D，若“p 或q”为假命题，则p，q 均为假命题，故D 正确.
故选：C.
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7．与圆
相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．6 条
【答案】A
【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为
，
根据圆心到直线的距离等于半径可得
有两解，综合可得结果.
【详解】圆
的圆心为
，半径为1，
由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意；
当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为
，
圆心到直线的距离
，解得
，此时满足条件的直线有两条，
综上可得：满足条件的直线有两条，
故选：A.
【点睛】本题主要考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线，属于中档题.
8．已知直线过点
，且与
轴、
轴分别交于A，B 点，则（ ）
A．若直线的斜率为1，则直线的方程为
B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为
C．若M 为
的中点，则的方程为
D．直线的方程可能为
【答案】AC
【分析】根据直线点斜式判断A，由过原点直线满足题意判断B，由中点求出A,B 坐标得直线方程判断
C，由直线与坐标轴有交点判断D.
【详解】对于A，直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为
，即
，故A 正确；
对于B，当直线l 在两坐标轴上的截距都为0 时，l 的方程为
，故B 错误；
对于C，因为中点
，且A，B 在
轴、
轴上，所以
，
，故AB 的方程为
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，即
，故C 正确；
对于D，直线
与x 轴无交点，与题意不符，故D 错误．
故选：AC．
9．已知直线：
，
：
，则下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若，
在x 轴上的截距相等则
D．
的倾斜角不可能是倾斜角的2 倍
【答案】AB
【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB 选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD 选项的正
确性.
【详解】若
，则
，得
，选项A 正确；
若
，则
，得
，选项B 正确；
若，
在x 轴上的截距相等，则
，解得
，选项C 错误；
当
时，
的倾斜角
恰好是的倾斜角
的2 倍，选项D 错误．
故选：AB
【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其
次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在
性.
10．直线与圆
相切，且在
轴、
轴上的截距相等，则直线的方程可能是
A．
B．
C．
D．
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【答案】ACD
【解析】由于直线在
轴、
轴上的截距相等，设直线为：
或
，利用圆心到直线的距离
为半径，即得解
【详解】由于直线在
轴、
轴上的截距相等，设直线为：
或
由于直线与圆
相切，
故圆心
到直线的距离等于半径
或
故直线的方程为：
故选：ACD
易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问
题）
技巧总结
第一类：求过圆上一点
(x0, y0)
的圆的切线方程的方法
正规方法：
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
−1
k
第三步：利用点斜式
y−y0=k (x−x0)
求出切线方程
注意：若k=0 则切线方程为x=x0 ，若k 不存在时，切线方程为y= y0
秒杀方法：
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①经过圆x2+ y2=r2
上一点
P(x0, y0)
的切线方程为
x0 x+ y0 y=r2
②经过圆
(x−a)2+( y−b)2=r2
上一点
P(x0, y0)
的切线方程为(x0−a)(x−a)+( y0−b)( y−b)=r2
③经过圆x2+ y2+Dx +Ey +F=0
上一点
P(x0, y0)
的切线方程为
x0 x+ y0 y+D⋅x+x0
2
+E⋅y+ y0
2
+F=0
第二类：求过圆外一点
(x0, y0)
的圆的切线方程的方法
方法一：几何法
第一步：设切线方程为
y−y0=k (x−x0)
，即
kx −y−kx 0+ y0=0
，
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k ，切线方程即可求出
方法二:代数法
第一步：设切线方程为
y−y0=k (x−x0)
，即
y=kx −kx 0+ y0，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ=0 可求得k ，切线方程即可求出
注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的k 只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存
在，可得数形结合求出.
第三类：求斜率为k 且与圆相切的切线方程的方法
方法一：几何法
第一步：设切线方程为y=kx +m
，即kx −y+m=0
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得m ，切线方程即可求出.
方法二:代数法
第一步：设切线方程为y=kx +m
，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ=0 可求得m ，切线方程即可求出
方法三：秒杀方法
已知圆x2+ y2=r2
的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为y=kx ±r√k2+1
已知圆(x−a)2+( y−b)2=r2
的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为y=kx ±r√k2+1+b−ka
工具：点与圆的位置关系判断
圆的标准方程为(x−a)2+( y−b)2=r2(r>0)
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一般方程为x2+ y2+Dx +Ey +F=0( D2+E2−4 F>0).
①点在圆上：( x0−a)2+( y0−b)2=r2
x0
2+ y0
2+Dx 0+Ey 0+F=0
②点在圆外：
( x0−a)2+( y0−b)2>r2
x0
2+ y0
2+Dx 0+Ey 0+F>0
③点在圆内：
( x0−a)2+( y0−b)2<r2
x0
2+ y0
2+Dx 0+Ey 0+F<0
易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理
例、圆的方程为x2+ y2=1，过点(
1
2
，√3
2 )
的切线方程
解：正规方法：
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k
k=
√3
2
1
2
=√3
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
−1
k
k
'=−1
k =−√3
3
第三步：利用点斜式
y−y0=k
'(x−x0)
求出切线方程
y−√3
2 =−√3
3 (x−1
2)
秒杀方法：
经过圆x2+ y2=1上一点
P(
1
2 , √3
2 )
的切线方程为
1
2 x+ √3
2 y=1
变形1、圆的方程为x2+ y2−4 x+2 y+4=0 ，过点(
3
2
，√3
2
−1)
的切线方程
解：正规方法：
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k
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圆的一般式转化为标准形式为
(x−2)2+( y+1)2=1⇒
k=
√3
2
−1
2
=−√3
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
−1
k
k
'=−1
−√3
=√3
3
第三步：利用点斜式
y−y0=k
'(x−x0)
求出切线方程
y−(
√3
2 −1)=√3
3 (x−3
2)
秒杀方法：
经过圆上x2+ y2−4 x+2 y+4=0 一点
P(
3
2
，√3
2
−1)
的切线方程为
3
2 x+(
√3
2 −1) y−4⋅
x+ 3
2
2
+2⋅
y+ √3
2 −1
2
+4=0
变形2、圆的方程为x2+ y2−4 x+2 y+4=0
，过点
(1，1)
的切线方程
解：由题意的点在圆外
方法一：几何法
第一步：设切线方程为y−1=k (x−1)
，即kx −y−k+1=0
，
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k ，切线方程即可求出
x2+ y2−4 x+2 y+4=0⇒(x−2)2+( y+1)2=1
圆心为
(2，−1)
则
1= |k+2|
√1+k2 ⇒k=−3
4
故：
−3
4 x−y+ 7
4 =0
，x=1
方法二:代数法
第一步：设切线方程为y−1=k (x−1)
，即y=kx −k+1
，
20
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第二步：代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ=0 可求得k ，切线方程即可求出
x2+(kx −k+1)2−4 x+2(kx −k+1)+4=0 Δ=0⇒k=−3
4
故：
−3
4 x−y+ 7
4 =0
，x=1
变形3、圆的方程为
(x−2)2+( y+1)2=1
，切线斜率为1方程为
方法一：几何法
第一步：设切线方程为y=x+m
，即x−y+m=0
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得m ，切线方程即可求出.
1=|3+m|
√2
⇒m=−3±√2
故x−y−3−√2=0 x−y−3+√2=0
方法二:代数法
第一步：设切线方程为y=kx +m
，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ=0 可求得m ，切线方程即可求出
(x−2)2+(kx +m+1)2=1 Δ=0⇒m=−3±√2
故x−y−3−√2=0 x−y−3+√2=0
方法三：秒杀方法
已知圆(x−a)2+( y−b)2=r2
的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为y=kx ±r√k2+1+b−ka
故x−y−3−√2=0 x−y−3+√2=0
1．在平面直角坐标系中，过直线
上一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
21
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【答案】A
【分析】由题意圆
的标准方程为
，如图
，
又
，所以
，又由圆心到直线的距离可求出
的最小值，
进而求解.
【详解】如下图所示：
由题意圆
的标准方程为
，
，
又因为
，所以
，
所以
，
又圆心
到直线
的距离为
，
所以
，所以不妨设
，
则
，
又因为
在
单调递增，所以当且仅当
即
，即当且仅当直线
垂直已知直线
时，
22
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有最大值
.
故选：A.
2．已知点
在圆
上，过
作圆
的切线，则的倾斜角为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】圆心为
，所以
,所以过
的切线的斜率为
，
设倾斜角为
，则
，
由于
，故
，
故选：D
3．已知圆
与直线
，P，Q 分别是圆C 和直线l 上的点且直线PQ 与
圆C 恰有1 个公共点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
，
的最小值为圆心
到直线的距离，可求
的最小值.
【详解】圆
化为标准方程为
，
则圆C 的圆心为
，半径
，则
，
直线PQ 与圆C 相切，有
，
23
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因为点Q 在直线l 上，所以
，则
．
即
的最小值是
.
故选：A
4．已知直线
与圆
，过直线上的任意一点
向圆
引切
线，设切点为
，若线段
长度的最小值为
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，则
，可得
，而
的最小值是圆心到直线的距离，
然后列方程可求出实数m 的值.
【详解】圆
，设
，
则
，则
，
，
则
，所以圆心
到直线的距离是
，
，得
，
．
故选：A．
5．已知圆
，直线
，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数k，使得直线l 与圆C 相切
B．若直线l 与圆C 交于A，B 两点，则
的最大值为4
C．当
时，圆C 上存在4 个点到直线l 的距离为
D．当
时，对任意
，曲线
恒过直线与圆C 的交点
【答案】BCD
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【分析】根据直线与圆的位置关系逐项判断即可.
【详解】
，圆心
且半径为
，
因为直线
过定点
，且点
在圆上，若直线l 与圆C 相切，则直线l 的斜率不存在，即
，
故A 不正确；
当直线l 经过圆心时，
取最大值即圆的直径
，故B 正确；
当
时，直线
，因为圆心C 到直线l 的距离
，所以
，
所以圆C 上有4 个点到直线的距离为
，故C 正确；
当
时，直线
，曲线
，
即
一定过直线
与圆
的交点，故D 正确．
故选：BCD．
6．过圆
上一点P 作圆
的两条切线，切点分别为A，B，则（ ）.
A．
B．
C．
D．直线AB 与圆
相切
【答案】BCD
【分析】根据圆的切线的性质，建立直角三角形，结合勾股定理以及锐角三角函数，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：
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设圆
与圆
的圆心为
，则
，
，
因为
与圆
相切，所以
，
在
中，
，易知
，所以
.
又
，所以
，故A 错误，B、C 正确.
故
与
交于点
，由
与圆
相切，则
，
由
，则
，易知
，
在
中，
，
又圆
的半径为
，所以直线
与圆
相切，故D 正确.
故选：BCD.
7．已知圆
的方程为
，点
，点
是
轴上的一个动点，过点
作圆
的两条切线，
切点分别为
，则（ ）
A．存在切点
使得
为直角
B．直线
过定点
C．
的取值范围是
D．
面积的取值范围是
【答案】BD
【分析】通过分析知
不可能为直角，可判断A、C 错误；求出直线
的方程
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，令
，
，即可得直线
恒过的定点可判断B；求出
面积的取值范
围可判断D.
【详解】对于A，圆的上顶点为
，即
点，若
为直角，则
为直径，
显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以
不可能为直角，故A 错误；
同理C 选项的数量积也取不到，所以C 错误；
对于B,设
，
因为
，
，
，
则
的方程为：
，因为
化简可得：
，
同理
的方程为：
，
而
在切线
，
上，所以
，
，
因为
在直线
故直线
的方程为
，令
，
，
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即
过定点
，故B 正确；
对于D，圆心
到直线
的距离平方为
，
线段
一半的平方为：
，
点
到直线
的距离的平方为：
，
所以
面积的平方为：
①，因为
，
所以由对勾函数的性质可知当
时，①的分母取得最小值
，
所以
面积平方的最大值
，
故
面积的最大值为
，故
面积的取值范围是
，故D 正确.
故选：BD.
8．已知直线
与圆
，下列说法正确的是（ ）
A．所有圆
均不经过点
B．若圆
关于直线对称，则
C．若直线与圆
相交于
、
，且
，则
D．不存在圆
与
轴、
轴均相切
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【答案】ABD
【分析】A 假设存在圆
经过点
，将
代入圆的方程判断
是否有解；B 由
在直线
上，代入即可判断；C 几何法先求
到直线的距离，结合点线距离列方程求
；D 根据题
设，假设存在圆
与数轴相切，
判断是否有解.
【详解】A：将
代入
，则
，
所以
，此时
，
所以不存在
值，使圆
经过点
，对；
B：若圆
关于直线对称，则
在直线
上，
所以
，则
，对；
C：由题意，
到直线的距离
，
所以
，则
，可得
或
，错；
D：若圆
与
轴、
轴均相切，则
，显然无解，即不存在这样的圆
，对；
故选：ABD
9．已知
，过点
作圆
的切线，切点分别为
，则下列命题中真命题是
（ ）
A．
B．直线
的方程为
C．圆
与
共有4 条公切线
D．若过点
的直线与
交于
两点，则当
面积最大时，
.
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【答案】ABD
【分析】由圆的方程确定圆心坐标和半径，结合切线性质求
，判断A，
求过点
的圆的方程，再求其与圆
的公共弦可得直线
的方程，判断B，
判断圆
与圆
的位置关系，判断C，
结合三角形面积公式求
的面积的最大值，求
，判断D，
【详解】因为圆
的方程为
，
所以圆心
的坐标为
，半径为
，所以
，
又
，所以
，
由已知
，
所以
，A 正确，
因为
，
所以点
四点共圆，且圆心为
的中点，
线段
的中点坐标为
，
所以圆
的方程为
，即
，
因为
，所以圆
与圆
相交，
又圆
的方程可化为
所以圆
与圆
的公共弦方程为
，
故直线
的方程为
，B 正确，
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圆
的圆心
的坐标为
，半径为，
因为
，
，
所以圆
与圆
相交，故两圆只有2 条公切线，C 错误；
设
，则
，
的面积
，
所以当
时，
的面积取最大值，最大值为
，此时
，D 正确.
故选：ABD.
10．已知点
为直线
与
轴交点，
为圆
上的一动点，点
，
则（ ）
A．
取得最小值时，
B．
与圆
相切时，
C．当
时，
D．
的最大值为
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【答案】ABD
【分析】A：
取得最小值时
位于
即
轴上，根据三角形面积公式可得.
B：直接在直角三角形
利用勾股定理可得.
C：运用向量的坐标表示和对于坐标运算可得.
D：根据正弦定理
，将求
的最大值转化为求外接圆半径最小，
此时，外接圆与圆
相内切，根据内切半径差等于圆心距可得外接圆半径，进而可得.
【详解】因
，令
，得
，
故
，
，圆心
，半径
选项A：
如图，根据圆的性质当
位于
轴上时，
取得最小值，
此时
，故A 正确；
选项B：
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当
与圆
相切时，
，
故B 正确；
选项C：
设
，
则
，
，
当
时，
，
故
，
又
，
得
，
，
，
若
，则
，
又
得，
，
，
此时
，
这与点
在圆上矛盾，故C 错误；
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选项D：
设
外接圆圆心为
，半径为
由题意可得
在
中垂线上，可设其坐标为
，
则
，
，
由正弦定理知
，所以
，
当
最小，即外接圆与圆
相内切时，
的最大值，
此时圆心距等于两圆半径之差，则
，
两边同时平方可得
，
，故D 正确.
故选：ABD.
易错点四：忽略斜率是否存在（与圆的代数结构有关的最值问题）
处理此类问题宗旨：截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值
①截距式：求形如mx +ny 的最值转化为动直线斜率的最值问题
②斜率式：求形如
y−m
x−n 的最值转化为动直线截距的最值问题
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③距离式：求形如(x−a)2+( y−b)2=r2
的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
形如：若
P(x , y)
是定圆
C :(x−a)2+( y−b)2=r2
上的一动点，则求mx +ny
和
y
x
这两种形式的最值
思路1：几何法
①mx +ny 的最值，设mx +ny =t ，圆心C (a,b)
到直线mx +ny =t 的距离为
d=|ma+nb−t|
√m2+n2
,
由d=r
即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值
②
y
x
的最值：
y
x
即点P
与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值
思路2：代数法
①mx +ny 的最值，设mx +ny =t ，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0 ，求得t 的两
个值，一个为最大值，一个为最小值.
②
y
x
的最值：设
t= y
x
，则
y=tx
，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0
，求得t
的两
个值，一个为最大值，一个为最小值.
易错提醒：截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要
注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在
例、已知
为圆
：
上任意一点.
(1)求
的最大值；
(2)求
的最大值和最小值；
(3)求
的最大值和最小值.
解：(1)∵
的圆心
，半径
，
设
，将
看成直线方程，
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∵该直线与圆
有公共点，∴圆心
到直线的距离
，
解上式得：
，∴
的最大值为
.
(2)记点
，∵
表示直线
的斜率，设直线
的方程为：
，即
，由直线
与圆
有公共点，
∴
，可得
，
∴
的最大值为
，最小值为
；
(3)∵设
，等价于圆
的圆心
到原点的距离的平方，
则
，
；
变形1、如果实数
，
满足
，求：
（1）
的最大值与最小值；
（2）
的最大值与最小值；
（3）
的最大值和最小值．
解：（1）实数
，
满足
，
则设
整理得
，所以圆心
到直线的距离
，
整理得
，即
，
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所以
的最大值为
，最小值为
．
（2）设
，所以整理直线为
，
圆心
到直线
的距离
，
整理得
，解得
，
所以
的最大值为
，最小值为
．
（3）由于
的表示的是，原点
到圆上的任意点的距离的平方
所以利用最大距离为圆心
到原点的距离与半径的和，
即
的平方，故最大值为
．
最小距离为
的平方，故最小值为
．
变形2、已知实数
，
满足方程
.
（1）求
的最大值和最小值；
（2）求
的最大值和最小值；
（3）求
的最大值和最小值.
解：（1）方程表示以点
为圆心，
为半径的圆，
设
，即
，
当直线
与圆相切时，斜率
取得最大值和最小值，
此时
，解得
.故
的最大值为
，最小值为
.
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（2）设
，即
，
当
与圆相切时，纵截距
取得最大值和最小值，
此时
，即
.
故
的最大值为
，最小值为
.
（3）
表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个
交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故
，
.
变形3、已知实数
满足
．
（1）求
的最大值和最小值；
（2）求
的最大值和最小值．
解：将方程
化为标准方程为
，
此方程表示以
为圆心，2 为半径的圆．
（1）
表示圆上的点
与定点
连线的斜率，
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所以令
，即
．
当直线
与已知圆相切时（如图），
取得最值，
所以
，解得
或
．
因此
的最小值是
，最大值为0．
（2）
，它表示圆上的点
与定点
的距离．
因为定点
到已知圆的圆心距离为
，
所以
的最大值为
，最小值为
．
1．
可以转化为平面上
点与点
之间的距离．结合上述观点，可得
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】函数变形，设
，
，
，则
表示的几何意义为
的长，作出
辅助线，由几何关系得到最小值，得到答案.
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【详解】
，
设
，
，
，
故
表示的几何意义为
的长，
如图所示，取点
关于
轴的对称点
，连接
，
则
的长即为
的最小值，即最小值为
.
故选：B
2．已知实数
满足曲线
的方程
，则下列选项错误的是（ ）
A．
的最大值是
B．
的最大值是
C．
的最小值是
D．过点
作曲线
的切线，则切线方程为
【答案】C
【分析】选项A 转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B 转化为斜率即可求解；选项C 转化为点到
直线的距离的
倍即可求解；选项D 设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解
【详解】
的方程
可化为
，
它表示圆心
，半径为
的圆.
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对选项A：
表示圆
上的点到定点
的距离的平方，
故它的最大值为
，A 正确；
对选项B：
表示圆上的点与点
的连线的斜率
，
由圆心
到直线
的距离
，
可得
，B 正确；
对选项C：
表示圆上任意一点到直线
的距离的
倍，
圆心到直线的距离
，
所以其最小值为
，故C 错误；
对选项D：设过点
作曲线
的切线，则其斜率存在，
故可设切线方程为
，
由
，解得
，
故切线方程为
，故D 正确.
故选：C.
3．点
到直线
的最大距离为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】由题意可得直线恒过定点
，题意所求最大距离即为点
到定点
的距离，结合两点
求距离公式计算即可求解.
【详解】由题意知，
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直线
即
，
所以该直线恒过定点
，
则点
到直线
的最大距离即为点
到定点
的距离，
即
.
故选：C.
4．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决，如：
可以转化为平面上点
与点
的距离．结合上述
观点，可得
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用两点间距离公式可将问题转化为
轴上一点
到点
与点
的距离之和的
最小值，当
三点共线时
，进而即得.
【详解】
，
则
可看作
轴上一点
到点
与点
的距离之和，即
，
则可知当
三点共线时，
取得最小值，
即
.
42
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故选：A.
5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决，如：
可以转化为点
到点
的距离，则
的最小值为（ ）．
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.
【详解】
,
可以看作点
到点
的距离之和，
作点
关于
轴的对称点
，显然当
三点共线时，取到最小值，
最小值为
间的距离
.
故选：D.
6．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”
事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与
相关的代数问题，可
以转化为点
与点
之间的距离的几何问题.已知点
在直线
，点
在直
线
上，且
，结合上述观点，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】D
【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点
到点
的距离与点
到点
的
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距离和，过点
作
，垂足为
，证明
，由
求目标函数最小值.
【详解】由已知
表示点
到点
的距离，
表示点
到点
的距离，
所以
，
过点
作
，垂足为
，
因为直线的方程为
，
，
所以
，
又直线
与直线
平行，
，
所以
，
所以
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
所以
，
又
，
当且仅当
三点共线时等号成立，
所以当点
为线段
与直线
的交点时，
取最小值，最小值为
，
因为过点
与直线垂直的直线的方程为
，
44
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联立
，可得
，
所以点
的坐标为
，所以
，
所以
的最小值为，
故选：D.
【点睛】本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形
将问题转化为两点之间的距离问题.
7．已知
为抛物线
的准线上一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出图形，根据几何意义即可求解.
【详解】作出图形，如图所示，根据题意可知:点
，
，
表示点
到点
的距离，
表示点
到点
的距离，
则
，
如图
（当点
三点共线时取等号）
因为
，
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所以
的最小值为
，
故选：
.
8．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与
三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性
质，.则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，证明出三角形ABC 为等腰直角三角形，作出辅助线，找到费马点，求出最小
值.
【详解】由题意得：
的几何意义为点
到点
的距离之和的最小值，
因为
，
，
，
所以
，故三角形ABC 为等腰直角三角形，，
取
的中点
，连接
，与
交于点
，连接
，故
，
，
因为
，所以
，故
，则
，
故点
到三角形三个顶点距离之和最小，即
取得最小值，
因为
，所以
，同理得：
，
，
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，
故
的最小值为
.
故选：B
9．已知实数
满足
，那么
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将
配方得
，由几何意义可知，
表示直线
上的动点
与
的距离的平方，根据点到直线的距离公式计算点
到直线
的距离，即可求解出最小值.
【详解】由
可得
，
可以看作直线
上的动点
与
的距离的平方，
又因为点
与
的最小距离为
到直线
的距离，
为
，
故
的最小值为
.
故选：A.
10．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化
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为几何问题加以解决，如：
可以转化为平面上点
与点
的距离.结合上述
观点，可得
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】记点
、
、
，可得出
，数形结合可求得
的最小值.
【详解】因为
，
记点
、
、
，则
，
当且仅当点
为线段
与
轴的交点时，等号成立，即
的最小值为
.
故选：C.
48
