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知识点46：探究动能定理及用能的方法测量动摩擦因数
题型一：探究动能定理
【知识思维方法技巧】
牵引法：重物拉线跨过定滑轮牵引小车或滑块在轨道上运动
纸带法：测出计数点间距，由打出某点前后两点时间内的平均速度替代打出该点时的速度
光电门法：测出遮光条的宽度及遮光时间，由遮光时间内的平均速度代替物体经过光电门
时的速度
类型一：应用打点计时器探究动能定理
【典例1a 拔尖题】某同学利用图(a)所示装置验证动能定理．调整木板的倾角平衡摩擦阻
力后，挂上钩码，钩码下落，带动小车运动并打出纸带．某次实验得到的纸带及相关数据
如图(b)所示．
(1)已知打出图(b)中相邻两点的时间间隔为0.02 s，从图(b)给出的数据中可以得到，打出B
点时小车的速度大小vB＝ m/s，打出P 点时小车的速度大小vP＝ m/s.(结
果均保留2 位小数)
(2)若要验证动能定理，除了需测量钩码的质量和小车的质量外，还需要从图(b)给出的数据
中求得的物理量为 ．
【典例1a 拔尖题】【答案】(1)0.36 1.80 (2)B、P 之间的距离
【解析】纸带上某点的瞬时速度可用相邻两点间的平均速度来替代．
vB＝ m/s＝0.36 m/s
vP＝ m/s＝1.80 m/s
根据实验原理Fx＝mv－mv，需测量的物理量有钩码的质量，小车的质量，B、P 之间的距
离和B、P 点的速度．
【典例1a 拔尖题对应练习】如图1 所示，用质量为m 的重物通过滑轮牵引小车，使它在长
木板上运动，打点计时器在纸带上记录小车的运动情况．利用该装置可以完成“探究动能
定理”的实验．
1
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(1)打点计时器使用的电源是 (选填选项前的字母)．
A．直流电源
B．交流电源
(2)实验中，需要平衡摩擦力和其他阻力．正确操作方法是 (选填选项前的字母)．
A．把长木板右端垫高
B．改变小车的质量
在不挂重物且 (选填选项前的字母)的情况下，轻推一下小车．若小车拖着纸带做
匀速运动，表明已经消除了摩擦力和其他阻力的影响．
A．计时器不打点
B．计时器打点
(3)接通电源，释放小车，打点计时器在纸带上打下一系列点，将打下的第一个点标为O.在
纸带上依次取A、B、C…若干个计数点，已知相邻计数点间的时间间隔为T.测得A、B、
C…各点到O 点的距离为x1、x2、x3…，如图2 所示．
实验中，重物质量远小于小车质量，可认为小车所受的拉力大小为mg.从打O 点到打B 点
的过程中，拉力对小车做的功W＝ ，打B 点时小车的速度v＝ .
(4)以v2为纵坐标，W 为横坐标，利用实验数据做出如图3 所示的v2W 图象．由此图象可得
v2随W 变化的表达式为 ．根据功与能的关系，动能的表达式中可能包
含v2 这个因子；分析实验结果的单位关系，与图线斜率有关的物理量应是
．
(5)假设已经完全消除了摩擦力和其他阻力的影响，若重物质量不满足远小于小车质量的条
件，则从理论上分析，图4 中正确反映v2W 关系的是 ．
2
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【典例1a 拔尖题对应练习】【答案】(1)B (2)A B (3)mgx2 (4)v2＝kW，k＝(4.5～
5.0) m2·s－2·J－1 质量 (5)A
【解析】 (1)打点计时器使用的电源是交流电源，故选B.
(2)实验中，平衡摩擦力和其他阻力时，应先不挂重物，把长木板右端适当垫高，在小车后
面挂上纸带，接通电源，在打点计时器打点的情况下，轻推一下小车，给小车一个初速度
若小车拖着纸带做匀速运动，则表明已经消除了摩擦力和其他阻力的影响．
(3)实验中，可认为小车所受的拉力F 大小为mg，从打O 点到打B 点的过程中，拉力对小
车做的功W＝Fx2＝mgx2.在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平
均速度，故vB＝＝.
(4)由题图3 可知，v2＝kW，斜率k＝，其单位为m2·s－2·J－1.又1 J＝1 N·m,1 N＝1 kg·m·s－
2，故1 J＝1 kg·m2·s－2，故J－1＝kg－1·m－2·s2，因此斜率k＝的单位为，故与图线斜率有关的
物理量应是质量．
(5)假设完全消除了摩擦力和其他阻力的影响，对由小车和重物组成的系统，其动能增加量
为ΔEk＝，考虑到我们按重力做功W＝mgx，有ΔEk＝＝W，即v2＝W，因此图象为过原点
的倾斜直线，故选项A 正确．
类型二：应用光电门探究动能定理
【典例1b 拔尖题】某同学利用图中的实验装置探究机械能变化量与力做功的关系。所用器
材有：一端带滑轮的长木板、轻细绳、50 g 的钩码若干、光电门2 个、数字计时器、带遮
光条的滑块(质量为200 g，其上可放钩码)、刻度尺。当地重力加速度为9.80 m/s2。实验操
作步骤如下：
①安装器材，调整两个光电门距离为50.00 cm，轻细绳下端悬挂4 个钩码，如图5 所示；
②接通电源，释放滑块，分别记录遮光条通过两个光电门的时间，并计算出滑块通过两个
光电门的速度；
③保持绳下端悬挂4 个钩码不变，在滑块上依次增加一个钩码，记录滑块上所载钩码的质
量，重复上述步骤；
3
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④完成5 次测量后，计算出每次实验中滑块及所载钩码的总质量M、系统(包含滑块、滑块
所载钩码和轻细绳悬挂钩码)总动能的增加量ΔEk及系统总机械能的减少量ΔE，结果如下
表所示。
M/kg
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
ΔEk/J
0.587
0.490
0.392
0.294
0.195
ΔE/J
0.393
0.490
0.686
0.785
回答下列问题：
(1)实验中轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量为______J(保留3 位有效数字)；
(2)步骤④中的表格所缺数据为________；
(3)以M 为横轴，ΔE 为纵轴，选择合适的标度，在图中绘出ΔE－M 图象；
若只考虑滑块与木板之间的摩擦力做功，则滑块与木板之间的动摩擦因数为________(保留
2 位有效数字)。
【典例1b 拔尖题】【答案】(1)0.980 (2)0.588 (3)见解析图 0.40
【解析】(1)实验中轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量,ΔEp＝4mgL＝4×0.05 kg×9.80
m/s2×0.50 m＝0.980 J。
(2)根据能量守恒定律得ΔE3＝ΔEp－ΔEk3＝0.980 J－0.392 J＝0.588 J。
(3)根据表格中的数据描点、连线，得到ΔE－M 图象如图所示。
4
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由功能关系得ΔE＝μMgL＝μgLM，可知k＝μgL＝，解得μ＝0.40。
【典例1b 拔尖题对应练习】某同学利用如图甲所示的装置测量弹簧弹力做功。在水平桌面
上固定好光电门，弹簧左侧固定，右侧连接固定有遮光条的滑块，将光电门与数字计时器
（图中未画出）连接，弹簧原长为
。
实验过程如下：
（1）先用游标卡尺测量滑块上遮光条宽度d，如图乙所示，则
______m。
（2）用滑块压缩弹簧，遮光条到光电门距离为
，并由静止释放，数字计时器记
下遮光条通过光电门所用的时间t，以此得到滑块到达光电门时的速度
______（用题中
所给符号表示）。
（3）右移光电门的位置，再次压缩弹簧到同一位置，重复（2）的操作，得到多组x 与v
的值。根据这些数据作出
的图像，如图丙所示。
5
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（4）已知小车质量为m，重力加速度大小为g，根据图像可得到横轴截距为a，纵轴截距
为b，可求出滑块每次运动过程中弹簧对其所做的功
______；还可求出滑块与桌面之
间的动摩擦因数
______。（用m、g、a、b 表示）
【典例1b 拔尖题对应练习】【答案】
【解析】（1）游标卡尺的读数为：主尺读数+游标尺读数分度值=1.1cm+10
0.05mm=1.150cm=
。
（2）利用平均速度求瞬时速度，则有
（4）根据动能定理有
整理可得
由图像可得
，
，解得
，
类型三：应用光电门+测力计（力传感器）探究动能定理
【典例1c 拔尖题】某学习小组用图甲所示的实验装置探究“动能定理”．他们在气垫导轨
上安装了一个光电门B，滑块上固定一遮光条，滑块用细线绕过气垫导轨左端的定滑轮与
力传感器相连，传感器下方悬挂钩码，每次滑块都从A 处由静止释放．
甲 乙
（1）某同学用游标卡尺测量遮光条的宽度d，如图乙所示，则d＝______________mm.
（2）下列实验要求中不必要的一项是____________(请填写选项前对应的字母)．
A．应使滑块质量远大于钩码和力传感器的总质量
B．应使A 位置与光电门间的距离适当大些
C．应将气垫导轨调至水平
D．应使细线与气垫导轨平行
（3）实验时保持滑块的质量M 和A、B 间的距离L 不变，改变钩码质量m，测出对应的力
传感器的示数F 和遮光条通过光电门的时间t，通过描点作出线性图象，研究滑块动能变化
与合外力对它所做功的关系，处理数据时应作出的图象是___________(填写选项前对应的
字母)．
A．t－图象 B．－F 图象 C．t2－图象
D．－F2图象
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【典例1c 拔尖题】【答案】(1)2.30 (2)A (3)C
【解析】(1)由题图知d＝2 mm＋6×0.05 mm＝2.30 mm.
(2)拉力是直接通过力传感器测量的，故A 不必要；应使A 位置与光电门的距离适当大些，
有利于减小误差，故B 是必要的；应将气垫导轨调节水平，保持细线与气垫导轨平行，这
样拉力才等于合力，故C、D 是必要的．
(3)根据牛顿第二定律：F＝Ma，滑块通过光电门的速度为：v＝，根据运动学公式：v2＝
2ax，代入可得：2＝2L，解得：t2＝，所以处理数据时应做出t2－的图象，故选C.
【典例1c 拔尖题对应练习】利用气垫导轨验证动能定理，实验装置示意图如图所示．
实验主要步骤如下：
①在水平桌面上放置气垫导轨，将它调至水平；
②用游标卡尺测量遮光条的宽度d；
③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离L；
④将滑块移至光电门1 左侧某处，待托盘静止不动时，释放滑块，从固定在滑块上的拉力
传感器读出细线拉力的大小F，从数字计时器读出遮光条通过光电门1 的时间Δt1，通过光
电门2 的时间Δt2；
⑤用天平称出滑块、遮光条和拉力传感器的总质量M.
回答下列问题：
(1)以滑块(包含遮光条和拉力传感器)为研究对象，在实验误差允许的范围内，若满足关系
式________(用测量的物理量的字母表示)，则可认为验证了动能定理；
(2)关于本实验，某同学提出如下观点，其中正确的是
________；
A．理论上，遮光条的宽度越窄，遮光条通过光电门的平均速度越接近瞬时速度
B．牵引滑块的细绳应与导轨平行
C．需要考虑托盘和砝码受到的空气阻力对实验结果产生的影响
D．托盘和砝码的总质量m 必须远小于滑块、遮光条和拉力传感器的总质量M
(3)不计空气阻力，已知重力加速度g 和实验测得的物理量，根据“mg－F＝ma”，可以计
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算托盘和砝码的总质量m.若不考虑遮光条宽度的影响，计算出托盘和砝码的总质量为m1；
若考虑遮光条宽度的影响，计算出托盘和砝码的总质量为m2，则m1________m2(选填“大
于”“等于”或“小于”)．
【典例1c 拔尖题对应练习】【答案】(1)FL＝M()2－M()2 (2)AB (3)大于
【解析】 (1)滑块经过两光电门的速度分别为v1＝、v2＝，对滑块运用动能定理有FL＝
M()2－M()2.
(2)理论上，遮光条的宽度越窄，通过光电门的时间越短，遮光条通过光电门的平均速度越
接近瞬时速度，故A 正确；牵引滑块的细绳应与导轨平行，若不平行，则细绳对滑块拉力
方向就在不停变化，其做功变为变力做功，导致计算结果不准确，故B 正确；本实验的研
究对象是滑块，故不需要考虑托盘和砝码受到的空气阻力做功，故C 错误；该实验细绳拉
力直接可以用传感器测量，故托盘和砝码的总质量m 不用必须远小于滑块、遮光条和拉力
传感器的总质量M，故D 错误．
(3)不考虑遮光条宽度的影响，设滑块的加速度为a1，则()2－()2＝2a1L
考虑遮光条宽度的影响，设滑块的加速度为a2，则＝v1＋a2，＝v2＋a2，2a2L＝v2
2－v1
2,联立
以上几式得2a2L＝()2－()2－a2
2[(Δt1)2－(Δt2)2],故2a1L>2a2L，a1>a2，由m＝，得m1>m2.
题型二：用能的方法测量动摩擦因数
【知识思维方法技巧】
利用能量方法测动摩擦因数的原理：
在利用能量的观点测定动摩擦因数时，关键点是求出摩擦力以外的力所做的功，而这些功
最终又是通过摩擦力来消耗的，以此将摩擦力以外的力做的功与摩擦力做的功建立等量关
系，最后求出动摩擦因数。
类型一：应用牵引法测量动摩擦因数
【典例2a 拔尖题】为测定木块与桌面之间的动摩擦因数，小亮设计了如图所示的装置进行
实验．实验中，当木块A 位于水平桌面上的O 点时，重物B 刚好接触地面．将A 拉到P 点，
待B 稳定后静止释放，A 最终滑到Q 点．分别测量OP、OQ 的长度h 和s.改变h，重复上
述实验，分别记录几组实验数据．
(1)实验开始时，发现A 释放后会撞到滑轮．请提出两个解决方法．
_______________________________________
(2)请根据下表的实验数据在图中作出sh 关系的图象.
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h/cm
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
s/cm
19.5
28.5
39.0
48.0
56.5
(3)实验测得A、B 的质量分别为m＝0.40 kg、M＝0.50 kg.根据s-h 图象可计算出A 木块与
桌面间的动摩擦因数μ＝________(结果保留一位有效数字)．
(4)实验中，滑轮轴的摩擦会导致μ 的测量结果________(选填“偏大”或“偏小”)．
【典例2a 拔尖题】【答案】(1)减小B 的质量；增加细线的长度(或增大A 的质量；降低B
的起始高度) (2)见解析图 (3)0.4 (4)偏大
【解析】(1)为使A 不撞到滑轮，应设法减小B 落地瞬间A 的速度，因而可以减小B 的质量；
增加细线的长度或增大A 的质量；降低B 的起始高度．
(2)如图
(3)对A 木块应用动能定理，有(Mg－μmg)h＝μmgs
即(M－μm)＝μs h＝s ＝s
由图可知k＝＝＝代入数据可士大夫以解得：μ＝0.4
考虑到滑轮的摩擦力做负功，实验中要克服滑轮的摩擦力做功，造成实验结果偏大
类型二：应用自滑法测量动摩擦因数
【典例2b 拔尖题】某同学设计了测定动摩擦因数的方案，其装置如图所示，A 是可在水平
桌面任意位置固定的滑槽，其末端与水平桌面相切，B 是体积较小的质量为m 的滑块．请
你根据相关知识完善以下实验操作：(重力加速度为g，不计空气阻力)
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(1)如图甲所示，将滑槽末端与桌面右边缘M 对齐并固定，让滑块从滑槽最高点由静止滑下，
最终落在水平地面上的P 点，测出滑槽最高点距离桌面的高度h、M 距离水平地面的高度
H、M 与P 间的水平距离x1，则滑块经过滑槽末端时的速度为________(用实验中所测物理
量的符号表示)．
(2)如图乙所示，将滑槽沿桌面向左移动一段距离并固定，让滑块B 再次从滑槽最高点由静
止滑下，最终落在水平地面上的P′点，测出滑槽末端与桌面右边缘M 的距离L、M 与
P′间的水平距离x2，则滑块离开桌面右边缘M 时的速度为____________(用实验中所测物
理量的符号表示)．
(3)由第(1)、(2)步的测量，可以写出滑块与桌面之间的动摩擦因数的表达式为μ＝
________(用实验中所测量物理量的符号表示)．
【典例2b 拔尖题】【答案】(1)x1 (2)x2 (3)
【解析】(1)设滑块在滑槽末端时的速度大小为v1，
水平方向有x1＝v1t，竖直方向有H＝gt2，联立解得：v1＝x1.
(2)同理，第二次实验经过桌面右边缘M 点的速度大小为：v2＝x2.
(3)滑块在水平桌面上运动，由动能定理得：－μmgL＝mv2
2－mv1
2，解得：μ＝.
【典例2b 拔尖题对应练习】某同学为测量小滑块和两不同木板间的动摩擦因数，设计的实
验步骤如下：
①将其中一木板水平放置在桌面上，一端伸出桌面外；另一木板倾斜放置，一端与水平木
板平滑连接，如图甲所示。
②用量角器测得倾斜木板与水平桌面夹角为37°；用刻度尺测得水平木板的长度及水平木
板距地面的高度均为1m。
③将小滑块从倾斜木板的某位置由静止释放，最终会落在水平地面上。测出小滑块释放点
到倾斜木板底端的距离s（单位：m），小滑块离开水平木板后平抛的水平位移x（单位：
m）。
④改变小滑块从倾斜木板开始释放的位置，重复步骤③。
⑤根据测量数据，描点画图像处理数据。
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不计小滑块经倾斜木板与水平木板连接处的能量损失，请回答以下问题：
（1）在步骤⑤中，若画出的图像如图乙所示，纵轴为x2，则横轴应为______
A．s B． C．s2 D．
（2）由图乙可知，小滑块与倾斜木板间的动摩擦因数μ1＝______，与水平木板间的动摩擦
因数μ2＝______。
【典例2b 拔尖题对应练习】【答案】A 0.125 0.1
【解析】(1)物体沿斜面运动到水平将要离开桌面前，由
，物体离开斜面做平抛运动
；
其
中L，y 均为1m。联立得
故y 轴代表
，则x 轴为s。
(2)根据图像，当s=0 时；当时此时，解得
11
