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第 小题 复数
2
第2小题 复数...................................................................1
一、主干知识归纳与回顾......................................................2
2.1复数的概念...........................................................2
2.2复数的四则运算.......................................................2
（一）命题角度剖析..........................................................3
（二）考情分析..............................................................3
（三）高考预测..............................................................4
二、题型分类与预测..........................................................4
命题点一：复数及其几何意义...............................................4
1.1母题精析（三年高考真题）..........................................4
一．虚数单位i、复数（共1小题）...................................4
二．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）......................4
三．共轭复数（共4小题）..........................................5
四．复数的模（共2小题）..........................................6
1.2解题模型..........................................................7
1.3对点训练（四年省市模考）..........................................8
一．虚数单位i、复数（共1小题）...................................8
二．复数的代数表示法及其几何意义（共10小题）.....................8
三．纯虚数（共5小题）...........................................11
四．共轭复数（共12小题）........................................13
五．复数的模（共15小题）........................................17
命题点二：复数的四则运算................................................23
1.1母题精析（三年高考真题）.........................................23
一．复数的运算（共10小题）......................................23
1.2解题模型.........................................................26
1.3对点训练（四年省市模考）.........................................26一．复数的运算（共21小题）......................................26
三、类题狂刷（五年区模、校模）：...........................................33
一．复数的代数表示法及其几何意义（共9小题）.....................33
二．纯虚数（共1小题）...........................................36
三．复数的运算（共18小题）......................................36
四．共轭复数（共10小题）........................................43
五．复数的模（共18小题）........................................46
一、主干知识归纳与回顾
2.1复数的概念
1.复数：形式如 的数叫复数，其中 叫虚数单位， .
叫复数的实部， 叫复数的虚部.
2.复数的分类
复数
3．复数的几何意义
复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
4.复数的模
|z|=|a+bi|= √a 2 +b 2
向量 的模叫复数 的模或绝对值，即 .
5.共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用 表示， .
2.2复数的四则运算
1．复数的加、减运算及其几何意义
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
（1）复数加减法： ；
（2）复数加法的几何意义：
复数的加法可以按照向量的加法来进行：
分别对应复数 ，即 ，
则 对应复数 .
2.复数的乘、除运算
（1）复数的乘法： ；
（2）复数的除法 .
3.常见的运算规律（一）命题角度剖析
1.复数及其几何意义 ★★★★☆ 2.复数的四则运算★★★★★
（二）考情分析
高考频率：100% 试题难度：容易 呈现形式：以选择题或填空题呈现
（三）高考预测
试题试题以复数的相关概念(纯虚数、共轭复数、模等)为载体，考查复数的四则运算及其几
何意义，常出现在选择题前两题的位置上
二、题型分类与预测
命题点一：复数及其几何意义
1.1母题精析（三年高考真题）
一．虚数单位i、复数（共1小题）
1．（2022•浙江）已知 ， ， 为虚数单位），则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．
【解答】解： ， ， ， ， ，故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．二．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）
2．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内， 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解： ，
则在复平面内， 对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．（2021•新高考Ⅱ）复数 在复平面内对应点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．
【解答】解： ，
在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ， ，位于第一象限．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
三．共轭复数（共4小题）
4．（2023•北京）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数
A． B． C． D．
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出结论．
【解答】解： 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，
，
则 的共轭复数 ，
故选： ．【点评】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（2023•全国）已知 ，则
A． B． C． D．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数即复数的模的概念得答案．
【解答】解：由 ，
得
，
则 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
6．（2022•新高考Ⅰ）若 ，则
A． B． C．1 D．2
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 ，再求出 ．
【解答】解：由 ，得 ，
，则 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
7．（2022•甲卷）若 ，则
A． B． C． D．
【分析】先求出 ，由此能求出 ．【解答】解： ，
，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
四．复数的模（共2小题）
8．（2023•乙卷）
A．1 B．2 C． D．5
【分析】直接利用复数的模的运算求出结果．
【解答】解：由于 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础
题．
9．（2022•北京）若复数 满足 ，则
A．1 B．5 C．7 D．25
【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】解：由 ，得 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．1.2解题模型
1.复数概念的有关问题的解法
(1)求一个复数的实部与虚部，首先要将已知的复数化为标准的代数形式Z=a+bi(a,b∈R),再得
到该复数的实部为a,虚部为b.
(2)根据复数是实数、纯虚数等，求参数值时，只需将复数化为标准的代数形式，再列出实部、
虚部满足的方程(组)或不等式(组)即可.
(3)求一个复数的共轭复数，只需将此复数化为标准的代数形式，然后其实部不变，虚部变为
相反数，即得原复数的共轭复数.
(4)复数相等的充要条件是两个复数的代数形式的实部与实部相等、虚部与虚部相等，所以解
决与复数相等有关的问题，可利用复数相等的充要条件，列出相关方程(组),把复数问题转化
为实数问题进行求解.
(5)求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a+bi|= 和性质 = ;
进行计算.若已知复数的模求解相关量，则先根据复数的运算法则把复数化为标准的代数形式，
再根据题目中关于复数的模的条件建立相应的关系式，或根据复数的模的定义，把问题转化
为实数问题进行解决.
2.复数几何意义的应用策略
对复数的几何意义的考查往往以复数的运算为载体，简单考查复数的几何意义.其一般步骤如
下：
第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准形式；
第二步，把复数问题转化为复数与复平面内的点、复数与平面向量之间的关系问题，依据是
复数a+bi(a,b∈R)与复平面上的点(a,b)一一对应，复数a+bi(a,b∈R)与平面向量OZ(O为坐标原
点，Z为点(a,b))一一对应1.3对点训练（四年省市模考）
一．虚数单位i、复数（共1小题）
1．（2020•福建二模）若 ，则
A． B．0 C．1 D．2
【分析】化简复数，利用复数的相等即可得出 ， ．再进行乘方运算即可．
【解答】解： ， ，则 ， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了复数的相等，属于基础题．
二．复数的代数表示法及其几何意义（共10小题）
2．（2023•莆田模拟）已知 ，则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据复数的乘法求复数 ，再根据复数的几何意义分析判断．
【解答】解：由题意可得： ，
所以复数 对应的点为 ，位于第四象限．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3．（2023•泉州模拟）在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．
【解答】解： ，
复数 对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（2023•福州模拟）在复平面内，复数 对应的点位于第二象限，则复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】设 ，然后由复数除法运算得 ，根据 对应的点在第二象限可解．
【解答】解：设 ，则 ，
因为复数 对应的点位于第二象限，
所以 ，得 ，
所以复数 对应的点在第三象限．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
5．（2022•福州模拟）设复数 满足 ，则复平面内与 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，先对 化简，再结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解： ，
，
复平面内与 对应的点 位于第一象限．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．
6．（2022•漳州模拟）复数 满足 ，则 在复平面内对应的点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：设复数 ，则 ，
，
，
复数 在复平面内对应的点 在以 为圆心，2为半径的圆上，
故 在复平面内对应的点所在的象限为第一象限．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
7．（2022•漳州模拟）已知 ，则在复平面内 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解： ，
，
在复平面内 对应的点 ，位于第四象限．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基
础题．
8．（2021•漳州模拟）若 ，其中 ， ，则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先利用复数的乘法运算化简，然后利用复数相等列出方程，求出 ， 的值即可．
【解答】解：因为 ，
所以 ，故 ，解得 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第二象限．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数相等的应用，属于基础题．
9．（2021•厦门一模）已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】将复数 表示出来，然后分子分母同乘分母的共轭复数，化简即可求出所求．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ．
故点 在第三象限．
故选： ．
【点评】本题主要考查了复数的代数表示及其几何意义，同时考查了运算能力，属于基础题．
10．（2020•厦门一模）若复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则
A． B．
C． D．
【分析】根据条件可得 ，化简即可得到 在复平面内对应的点的轨迹．
【解答】解： 在复平面内对应的点为 ， ，
，
，故选： ．
【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．
11．（2022•厦门模拟）在复平面内，复数 对应的点位于直线 上，则 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解： ，
又 复数 对应的点 位于直线 上，
，解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．
三．纯虚数（共5小题）
12．（2023•泉州模拟）已知复数 为纯虚数，则实数 等于
A． B．0 C．1 D．2
【分析】根据复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果．
【解答】解：因为 为纯虚数，
所以 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
13．（2022•泉州模拟）若 ， 是虚数单位）是纯虚数，则
A．1 B． C． D．2
【分析】根据纯虚数的定义求出 的值，根据复数的运算性质以及复数求模求出 的值即可．
【解答】解：若 ， 是虚数单位）是纯虚数，
则 ，解得： ，故 ，
则 ，故选： ．
【点评】本题考查了纯虚数的定义，考查复数的运算以及复数求模问题，是基础题．
14．（2021•泉州二模）已知复数 ，其中 ， ．若 为纯虚数，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】由题意利用纯虚数的定义，求得 、 的值，可得结论．
【解答】解： 复数 ，其中 ， ，
若 为纯虚数，则 ，且 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
15．（2020•福州三模）设 为虚数单位，若纯虚数 满足 ，则实数 等于
A．2 B．1 C． D．
【分析】利用复数的运算法则化简 ，再根据 为纯虚数，即可得出．
【解答】解： ，
，
， ．
为纯虚数，
， ．
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（2021•莆田模拟）写出一个虚数 ，使得 为纯虚数，则 ．
【分析】设 ， ， ，利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：设 ， ， ，
则 为纯虚数，， ，
取 ， ，
则 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
四．共轭复数（共12小题）
17．（2023•福建模拟）已知 是方程 的一个根，则
A．1 B． C． D．2
【分析】根据实系数一元二次方程的性质，结合共轭复数、复数模的性质进行求解即可．
【解答】解：因为方程 是实系数方程，且△ ，
所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，
即 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查共轭复数的概念，以及复数模公式，属于基础题．
18．（2023•南平模拟）已知 ，则
A． B．1 C． D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解： ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
19．（2022•三明模拟）已知复数 的共轭复数为 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础
题．
20．（2022•莆田模拟）若复数 ，则
A． B． C． D．
【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算求解即可．
【解答】解：复数 ，则 ，
故选： ．
【点评】本题考查了共轭复数的定义、复数的四则运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
21．（2022•龙岩模拟）已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解： ，
，
，
复数 在复平面内对应的点 ，位于第四象限．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基
础题．
22．（2020•龙岩一模）设 ，则
A． B． C． D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解： ，．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
23．（2021•南平模拟）复数 满足 ，则复平面上表示复数 的点位于
A．第一或第三象限 B．第二或第四象限
C．实轴 D．虚轴
【分析】设 ， ，由 ，利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．
【解答】解：设 ， ，
， ，
， ， 与 不全为0，
复平面上表示复数 的点 位于第二或第四象限，
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
24．（2021•漳州一模）已知 为虚数单位，复数 满足 ，则
A． B． C． D．
【分析】由 ， ，再利用复数的运算法则及共轭复数的定义即可得出．
【解答】解： ， ，
，
，
则 ，
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则及共轭复数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（2021•龙岩一模）若复数 满足 为虚数单位），则 的共轭复数的虚部为
A．2 B． C． D．
【分析】根据复数除法运算法则求出复数 ，然后根据共轭复数的定义求出 ，最后根据虚部的定义可求
出所求．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，即 的共轭复数的虚部为 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数和虚部的定义，同时考查了运算求解的能力，属于基
础题．
26．（2020•漳州一模）已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的共轭复数 的虚部为
A． B． C． D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解： ， ，
， ，
，
共轭复数 的虚部为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
27．（2020•福建二模）已知复数 的共轭复数为 ，且满足 ，则
A． B． C．3 D．5
【分析】把复数 设出来，由复数相等求出 ，再求模．【解答】解：设 ，则 ， ，即 ，
， ，即 ．则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数模长的计算，共轭复数，比较基础．
28．（2020•厦门一模）复数 的共轭复数是
A． B． C． D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】解： ，
复数 的共轭复数是 ．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
五．复数的模（共15小题）
29．（2023•莆田模拟）设 为虚数单位， ，则
A．1 B． C． D．2
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解： ，
则 ，即 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
30．（2023•漳州模拟）复数 满足 ，则
A． B． C． D．2【分析】设 ，由已知列式求解 ， 的值，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：令 ，
， ，整理得 ．
， ，整理得 ．
，则 ．
故选： ．
【点评】本题考查复数模的求法，是基础题．
31．（2020•宁德二模）已知 ，则
A． B． C． D．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．
【解答】解：由 ，
得 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
32．（2023•漳州模拟）已知复数 为复数 的共轭复数，且满足 ， 在复平面内对应的点在第二象
限，则
A． B． C．1 D．
【分析】根据共轭复数的定义，利用复数的运算以及复数相等，建立方程组，结合复数的几何意义，可得
实部与虚部，根据复数的模长公式，可得答案．【解答】解：设 ，
在复平面内对应的点在第二象限，
故 ， ，
则 ，即 ，
由 ，得 ，
结合 ， ，解得 ，
则 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
33．（2023•龙岩模拟）若复数 满足 ，则
A．5 B． C．3 D．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解： ，
则 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
34．（2023•福州模拟）已知 ，则A．2 B． C．4 D．10
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解： ，，
则 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
35．（2021•福州一模）设复数 ，则满足 的复数 有
A．7个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】表示出 ，得到 ，而 ， ，求出 或0，代入求出 的值，求
出 即可．
【解答】解： ， ，
，
， ，
，而 ， ，
或0，
时， ，
时， ，1，2，
综上： ， ， ， ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算，考查复数求模，是基础题．
36．（2021•厦门二模）已知 为虚数单位， ，则
A．5 B．7 C．9 D．25【分析】把已知等式变形求得 ，再由 求解．
【解答】解：由 ，得 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．
37．（2021•莆田二模） 是虚数单位，复数 满足 ，则
A．10 B． C．8 D．
【分析】利用复数的原式法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解： ，
，
，
则 ，
故选： ．
【点评】本题考查了复数的原式法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
38．（2019•福州一模）设复数 满足 ，则
A． B．1 C． D．2
【分析】根据复数的运算法则先求出 ，结合复数的模长公式进行计算即可．
【解答】解法一：因为 ，所以 ，故选 ．
解法二：因为 ，所以 ，所以 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的模长的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．
39．（2020•漳州三模）若复数 的模为1，则 不可能是A． B． C． D．
【分析】对四个选项中的复数分别计算求模即可．
【解答】解： ，又通过计算 ， ， 对应复数的模都等于1，
则 不可能是 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的乘除运算及模长的计算，比较基础．
40．（2020•漳州三模）已知复平面内点 ， 分别对应复数 和 ，则向量 的模长为
A．1 B． C． D．3
【分析】求出向量 对应的坐标，进而求解结论．
【解答】解：因为复平面内点 ， 分别对应复数 和 ，
则 ， ；
故 ；
故向量 的模长为： ；
故选： ．
【点评】本题考查复数的几何表示以及向量的模长，考查计算能力，是基础题．
41．（2020•莆田一模）若 ，则
A． B． C．3 D．5
【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】解： ，
，则 ．
故选： ．
【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．42．（2022•泉州模拟）设 ， 为复数，则下列命题正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 或
【分析】根据向量的模和复数运算法则判断 ；通过反例判断 ．
【解答】解：对于 ，设 ， ， ， ， ， ，
， ，
， ， ，故 正确；
对于 ，令 ， ，
则 ，此时 ，故 错误；
对于 ，令 ， ，
则 ，此时 ，故 错误；
对于 ，设 ， ， ， ， ， ，
则 ，
， ， ，
若 ，则 成立，此时 ，
若 ， ，由 ，知 ，由 知， ，此时 ，
同理可知：当 时， ，由 ，得 ，
，此时 ，综上，若 ，则 或 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
43．（2021•厦门模拟）若复数 ， ， 为虚数单位）满足 ，写出一个满足条件
的复数 ．
【分析】利用已知以及模的运算公式建立方程，求出 的值，进而可以求解．
【解答】解：因为复数 ， ， 为虚数单位）满足 ，
所以 ，即 ，解得 ， ，
所以满足条件的复数 可以为 ，故答案为： ．
【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到模的运算性质，属于基础题．
命题点二：复数的四则运算
1.1母题精析（三年高考真题）
一．复数的运算（共10小题）
1．（2023•新高考Ⅰ）已知 ，则
A． B． C．0 D．1
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解： ，
则 ，故 ．故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2．（2023•甲卷）若复数 ， ，则
A． B．0 C．1 D．2
【分析】根据复数的运算法则和复数相等的定义，列方程组求出 的值．【解答】解：因为复数 ，
所以 ，
即 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则和复数相等的应用问题，是基础题．
3．（2022•新高考Ⅱ）
A． B． C． D．
【分析】由已知结合复数的四则运算即可求解．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
4．（2022•甲卷）若 ，则
A． B． C． D．
【分析】由已知求得 ，代入 ，则答案可求．
【解答】解： ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
5．（2022•乙卷）设 ，其中 ， 为实数，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．【解答】解： ，
，即 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．
6．（2022•全国）已知 ，则
A． B．1 C． D．3
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解： ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
7．（2021•浙江）已知 ， 为虚数单位），则
A． B．1 C． D．3
【分析】利用复数相等的定义求解即可．
【解答】解：因为 ，即 ，
由复数相等的定义可得， ，即 ．
故选： ．
【点评】本题考查了复数相等定义的理解和应用，属于基础题．
8．（2021•全国） 的共轭复数
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解： ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
9．（2023•天津）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求解即可．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
10．（2022•天津）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】解： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
1.2解题模型
1.复数四则运算的运算法则（1）
（2）
其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ．
（3） ．
2.复数四则运算的常用结论
（1）
（2） .
（3） ；
（4） ， ， ，
1.3对点训练（四年省市模考）
一．复数的运算（共21小题）
1．（2023•三明三模）复数 的共轭复数为 ， 为虚数单位），则
A．1 B． C．2 D．4
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解： ，
则 ，
故 ．故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2．（2023•厦门模拟）复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】首先根据复数的几何意义求复数，再根据复数的乘法公式求解．
【解答】解：由复数的几何意义可知， ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．
3．（2022•漳州模拟）若复数 满足 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解： ，
为纯虚数，
设 ， ，
，即 ，解得 ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数模公式，属于基础题．
4．（2022•泉州模拟）若复数 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解： ，
则 ，故 ， ，故 错误，
，故 正确；
，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
5．（2022•南平模拟）已知复数 ，则复数 的虚部为
A． B． C． D．
【分析】由复数的运算，结合复数的概念求解即可．
【解答】解： ，
则复数 的虚部为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算，重点考查了复数的概念，属基础题．
6．（2022•莆田模拟）设 ，则
A． B． C． D．
【分析】利用复数的运算性质化简即可求解．
【解答】解：由题意可得 ，
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算性质，考查学生的运算能力，属于基础题．
7．（2022•龙岩模拟）复数 满足 ，则
A．2 B． C． D．
【分析】利用复数的四则运算法则即可得出．
【解答】解： ，，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（2022•厦门模拟）复数 的虚部为
A． B． C．2 D．4
【分析】根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解： ，
复数 的虚部为2．
故选： ．
【点评】本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基
础题．
9．（2022•三明模拟）已知复数 满足 ，则 的虚部为
A． B． C． D．2
【分析】根据复数模公式，先对 化简，再结合虚部的定义，即可求解．
【解答】解： ，
，即 ，
的虚部为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及虚部的定义，属于基础题．
10．（2021•漳州模拟）若复数 ，则A． B．1 C． D．0
【分析】直接展开完全平方公式求解，结合共轭复数的概念得答案．
【解答】解： ，
．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
11．（2021•宁德三模）复平面内复数 ， 对应的点关于实轴对称，若 ，则
A． B． C． D．25
【分析】根据复数在复平面内的几何意义求出复数 ，再利用复数的四则运算求解．
【解答】解： 复平面内复数 ， 对应的点关于实轴对称， ，
，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了复数在复平面内的几何意义，考查了复数的四则运算，是基础题．
12．（2020•南平三模）若复数 在复平面内的对应点为 ，则 的虚部为
A． B． C．0 D．1
【分析】由已知求得 ，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由题意得， ，
．
的虚部为 ．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．13．（2020•福州模拟）复数 满足 为虚数单位），则复数 的模等于
A． B． C． D．
【分析】由复数的模的性质可得： ，进而得出结论．
【解答】解： 为虚数单位），
则 ．
故选： ．
【点评】本本题考查了复数运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（2020•福州一模）在复平面内，复数 对应的点与 对应的点关于实轴对称，则
A． B． C． D．
【分析】由已知求得 ，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由题意， ，
则 ，
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
15．（2020•厦门模拟）已知复数 （其中 是虚数单位），则复数 的虚部为
A． B． C．1 D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解： ，
的虚部为 ．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
16．（2020•宁德二模）复数 在复平面上对应的点的坐标A． B． C． D．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数 在复平面上对应的点的坐标 ．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17．（2023•漳州模拟）已知复数 满足 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据复数的运算及复数的模、共轭复数的概念即可得解．
【解答】解： ，
，
， ， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的运算及复数的模、共轭复数的概念，属于基础题．
18．（2023•宁德模拟）已知复数 满足 ，则 5 ．
【分析】设 ， ， ，根据复数的模及复数相等的充要条件得到方程组，解得 、 ，即可求
出 ，从而得解．
【解答】解：设 ， ， ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
19．（2023•厦门模拟）若 ， ，则 0 ．
【分析】先利用题给条件求得 ， 的值，进而求得 的值．
【解答】解： ，又 ，
则 ，解之得 ，则 ．故答案为：0．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
20．（2012•福州一模）已知 是虚数单位，则复数 ．
【分析】先把 的分子分母同时乘以分母的共轭复数，得到 ，再由复数的乘除运算法则进行
计算．
【解答】解： ．故答案为： ．
【点评】本题考查得复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
21．（2023•泉州模拟）已知复数 满足 ， ，则 2 ．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解： ，则 ，即 ，解得 ，
， ．故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．三、类题狂刷（五年区模、校模）：
一．复数的代数表示法及其几何意义（共9小题）
1．（2023•思明区校级一模）已知是数 满足 ，则 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数的运算化简复数 ，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论．
【解答】解：因为 ，则 ，则 ，
因此， 对应的点 ， 位于第一象限．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（2023•福建模拟）若复数 满足 ，则 在复平面上所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．
【解答】解： ，
则 ，即 ，
故 在复平面上所对应的点 位于第三象限．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．
3．（2012•漳州二模）在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据所给的复数的代数形式，先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理
出复数的代数形式的标准形式，写出点的坐标，看出点的位置．
【解答】解： 复数 ，复数对应的点的坐标是
复数对应的点的在第二象限，
故选： ．
【点评】本题看出复数的代数形式的运算和复数的几何意义，本题解题的关键是正确运算复数的除法运算，
本题是一个基础题．
4．（2014•仙游县校级模拟）复数 在复平面内的对应点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由于复数 ，在复平面内对应点的坐标为 ，从而得出结论．
【解答】解：由于复数 ，在复平面内对应点的坐标为 ，
故复数 在复平面内的对应点在第二象限，
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
5．（2022•涵江区校级模拟）已知复数 ，则 在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论．
【解答】解： ，
，
，
，
，对应的点为 ，属于第二象限，
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（2022•福建模拟）复数 （其中 为虚数单位）在复平面内对应的点在A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标得答案．
【解答】解： ，
复数 对应的点的坐标为 ，在第一象限．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
7．（2022•荔城区校级模拟）已知复数 为虚数单位），复数 满足 ， 在复平
面内对应的点为 ，则
A．复数 在复平面内对应的点位于第二象限
B．
C．
D． 的最大值为
【分析】根据题意，对选项中的命题真假性判断即可．
【解答】解：对于 ，复数 ，则 在复平面内对应的点位于第三象限，选项 错误；
对于 ， ，所以选项 错误；
对于 ，因为 ，所以 在复平面内对应的点 满足 ，选项 错误；
对于 ，因为 在复平面内对应的点表示圆，设圆心为 ， 表示点为 ，且 ，
所以 的最大值为 ，选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
8．（2021•上杭县校级模拟）若复数 满足 ，则 在复平面内所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先利用复数的运算法则求出复数 的代数形式，由复数的几何意义得到对应的点的坐标，即可得
到答案．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 在复平面内所对应的点为 在第二象限．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的几何意义，考查了复数的运算法则的运用，解题的关键是求出复数的代数形式，
属于基础题．
9．（2023•鼓楼区校级模拟）已知复数 ，若 在复平面内对应的点位于第四象限，写出
一个满足条件的 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：当 时，
，其在复平面内对应的点 位于第四象限．
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
二．纯虚数（共1小题）
10．（2012•集美区校级模拟）复数 为纯虚数，则 的取值是
A．3 B． C． D．1
【分析】实部为0而虚部不为0的虚数被称为纯虚数，由此定义建立关系式，不难得到本题的答案．
【解答】解： 是纯虚数
且 ，解之得
故选： ．
【点评】本题给出含字母参数的虚数为纯虚数，求参数 的值，着重考查了复数的代数形式和纯虚数的定
义等知识，属于基础题．三．复数的运算（共18小题）
11．（2023•蕉城区校级模拟）设 ，若复数 的虚部为3（其中 为虚数单位），则
A． B． C． D．3
【分析】利用 的性质和复数的除法运算化简求出其虚部，令其等于3可得答案．
【解答】解：复数 ，
因为其虚部为3，所以 ，可得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
12．（2023•蕉城区校级一模）已知 ，则 的虚部为
A． B．2 C． D．
【分析】根据复数的四则运算运算求解．
【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 的虚部为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
13．（2023•鼓楼区校级模拟）已知 ，则 的值为
A． B．0 C．1 D．2
【分析】根据复数的运算法则和复数相等，列方程组求出 、 的值．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算与复数相等的应用问题，是基础题．
14．（2023•泉州模拟）若复数 所对应的点在第四象限，且满足 ，则A． B． C． D．
【分析】根据题意求出 ，再根据复数 所对应的点所在象限，即可求解．
【解答】解：因为复数 满足： ，即 ，
故 或 ，
因为复数 所对应的点在第四象限，
故复数 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
15．（2023•晋安区校级模拟）在复平面内，复数 满足 ，则
A． B． C． D．
【分析】利用复数的运算法则直接求解．
【解答】解：在复平面内，复数 满足 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查复数的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（2023•思明区校级模拟）已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
【解答】解： ，
则 ，
故 ，即 的虚部为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．17．（2023•宁德模拟）已知复数 ， ， ，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据复数的除法运算法则，可得 ，再利用复数相等的条件，即可得解．
【解答】解： ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，熟练掌握复数的代数运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能
力，属于基础题．
18．（2012•集美区校级模拟）已知复数 满足 ，则
A． B． C． D．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解： ，
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
19．（2023•福鼎市校级一模）已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解： ，则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
20．（2023•惠安县模拟）已知复数 ，则 的值为
A． B． C．0 D．1
【分析】根据复数 的性质计算可得 ，由此利用等比数列的前 项和公式计算 ，即可求得答案．
【 解 答 】 解 ： 由 于 复 数 ， 故 ，
，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
21．（2023•新罗区校级三模）已知复数 满足 ，则复数 的虚部为
A．2 B． C． D．
【分析】根据复数的模长和复数的代数运算可得答案．
【解答】解：已知复数 满足 （其中 为虚数单位），
则 ，
，
则复数 的虚部为2．
故选： ．
【点评】本题考查复数的模长和代数运算，属于基础题．22．（2023•思明区校级模拟）若虚数 使得 是实数，则 满足
A．实部是 B．实部是 C．虚部是0 D．虚部是
【分析】设 ， 且 ，计算 ，由其为实数求得 后可得．
【解答】解：设 ， 且 ，
， 是实数，
因此 ， （舍去）或 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
23．（2022•德化县校级模拟） 为虚数单位，复数 满足 ，则下列说法正确的是
A．
B．
C． 的虚部为
D． 在复平面内对应的点在第三象限
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质和几何意义，即可求解．
【解答】解： ，
，
，故 错误，
，故 错误，
的虚部为 ，故 错误，在复平面内对应的点 在第三象限，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质和几何意义，属于基础题．
24．（2022•三元区校级模拟）已知 是虚数单位，若 ，则 的值是
A． B． C． D．1
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．
【解答】解： ，
则 ， ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．
25．（2021•思明区校级模拟）设 为虚数单位，则复数 的虚部为
A． B． C． D．
【分析】先利用复数的模长公式和复数的四则运算求出复数 ，再利用复数的虚部的定义求解．
【解答】解： ,
复数 的虚部为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算，考查了复数的模长公式，考查了复数虚部的定义，是基础题．
26．（2015•南安市校级模拟）复数
A． B． C． D．
【分析】直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位 的幂运算性质，求得结果．【解答】解：复数 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位 的幂运算性质，属于基础题．
（多选）27．（2023•思明区校级三模）设有下面四个命题
p ：若复数z满足 则z R；
1
p ：若复数满足z2 R，则z R；∈
2
∈ ∈
p ：若复数z ，z 满足z z R，则z ＝ ；
3 1 2 1 2 1
∈
p ：若复数z R，则 R
4
∈ ∈
其中的真命题为（ ）
A．p B．p C．p D．p
1 2 3 4
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于p ：设z＝a+bi（a，b R），
1
∈
则 ＝ ＝ ，
若
则b＝0，
故z＝a R，故p 正确；
1
对于p ：∈ 不妨令z＝i，满足z2 R，但z R，故p 错误；
2 2
对于p ：不妨令z ＝i，z ＝2i，∈满足z z∉ R，但z ，z 不为共轭复数，故p 错误；
3 1 2 1 2 1 2 3
对于p ：设z＝a+bi（a，b R）， ∈
4
则 ， ∈
若z R，
∈
则b＝0， R，故p 正确．
4
∈
故选：AD．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数的四则运算，以及特殊值法，属于基础题．28．（2023•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数 对应的点为 ，则 ．
【分析】由复数的几何意义得到复数 ，由共轭复数的概念得到 ，再由复数的除法运算法则即可求．
【解答】解： 在复平面内，复数 对应的点为 ，
， ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查复数的几何意义及其四则运算、共轭复数，属于基础题．
四．共轭复数（共10小题）
29．（2023•蕉城区校级二模）已知非零复数 满足 ，则 的共轭复数是
A． B． C． D．
【分析】设复数 ，代入 中化简，再利用复数相等的条件列方程组可求出 ，
，从而可求出复数 ，进而可求出 的共轭复数．
【解答】解：设复数 ，由 ，得
，化简得 ，
所以 ，解得 （舍去），或 ，
所以 ，则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
30．（2023•鼓楼区校级模拟）若复数 满足 为纯虚数，且 ，则 的虚部为
A． B． C． D．1【分析】设 ，利用复数除法运算和向量模长运算可构造方程求得 的值，即为所求虚部．
【解答】解：设 ，
为纯虚数，
，
，
又 ，
，解得 ，
的虚部为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
31．（2023•南平模拟）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数
（其中 为“等部复数”，则复数 在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据新定义求得 的值，代入求得复数 的代数形式，可得复数所对应的点的坐标，进而可
得结果．
【解答】解： ，
又 “等部复数”的实部和虚部相等，复数 为“等部复数”，
，解得 ，
，
，即 ，
复数 在复平面内对应的点是 ，位于第一象限．
故选： ．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
32．（2022•上杭县校级模拟）已知复数 ，则
A．2 B．3 C． D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
33．（2023•仙游县校级模拟）设 ，则复数
A． B． C． D．
【分析】由已知利用复数的四则运算法则、共轭复数的定义即可得出方程组，进而得出结论．
【解答】解：设复数 ，
由 ，
，
，
，
解得
．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的四则运算法则、共轭复数的定义、方程组，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．34．（2022•城厢区校级模拟）若 ，则 的值为
A． B．2 C． D．3
【分析】由复数模的运算结合复数模的性质，求解即可．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
则 ，
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算和复数模的性质，属基础题．
35．（2022•荔城区校级模拟）复数 ，则
A．10 B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的乘法法则，即可求解．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的乘法法则，属于基础题．
36．（2021•鼓楼区校级模拟）复数 ，则 的共轭复数
A． B． C． D．
【分析】利用复数的运算法则化简 ，然后根据共轭复数的定义得到 ．
【解答】解：复数 ，
则 的共轭复数 ．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
37．（2023•石狮市校级模拟）已知复数 满足 为虚数单位），复数 的共轭复数为 ，则A．
B．
C．复数 的实部为
D．复数 对应复平面上的点在第二象限
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由 ，得 ，
，故 错误；
，故 正确；
复数 的实部为 ，故 错误；
复数 对应复平面上的点的坐标为 ， ，在第二象限，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
38．（2023•鲤城区校级模拟）已知复数 满足 ，则 2 ．
【分析】利用复数的四则运算法则及共轭复数的概念计算即可．
【解答】解： ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
五．复数的模（共18小题）
39．（2023•新罗区校级模拟）复平面内复数 满足 ，则 的最小值为
A．1 B． C． D．3
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：设 ，
，
则 ，即 ，即 ，表示以 为圆心，1为半径的圆，
，表示圆上的点到点 之间的距离，
故 的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
40．（2023•鲤城区校级模拟）已知复数 满足 ，则 的最大值为
A． B．2 C． D．3
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：设 ，
，
，表示以 为圆心，1为半径的圆，
圆上的点到 的距离，
故 的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
41．（2023•思明区校级模拟）若 为虚数单位，复数 满足 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：设 ， ， ，则 ，表示以 为圆心，1为半径圆上和圆内的点，
，表示圆上和圆内的点到点 的距离，
故 的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
42．（2023•福州模拟）已知复数 满足 ，则
A． B． C．1 D．
【分析】根据题意，由复数的运算化简复数 ，再由复数的模长公式即可得到结果．
【解答】解：因为 ，则 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
43．（2023•鲤城区校级模拟）设 为虚数单位），则
A． B．1 C． D．
【分析】由 的意义知 ，再由复数除法法则求出 ，再求模．
【解答】解： 为虚数单位），且 ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查复数的四则运算及复数的模，属于基础题．
44．（2023•泉州模拟）设复数 满足 是虚数单位），则A． B． C． D．
【分析】根据题意，得到 ，再计算模长即可．
【解答】解： 是虚数单位），则 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．
45．（2016•福建模拟）已知复数 满足 ，则
A． B． C．10 D．18
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解： ，
，
，
．
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
46．（2023•晋江市校级模拟）已知复数 满足 ，则
A． B． C． D．
【分析】直接利用复数对应关系和模的应用求出结果．
【解答】解：设 ，
所以 ，故 ，
解得： ，故 ，
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：复数的模的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于
基础题型．
47．（2022•龙岩模拟）已知 为虚数单位，若复数 且 ，则 的值为
A． B． C． D．
【分析】先对 化简，再结合复数模公式，即可求解．
【解答】解： ， ，
，解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
48．（2022•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数 对应的点在第二象限，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：设 ，
，
，解得 ， ，
．
故选： ．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
49．（2021•福州模拟）已知 为复数， ，则 等于
A．0 B．1 C． D．2
【分析】由已知求得 ，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：由 ，得 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ．
综上， ．
故选： ．
【点评】本题考查虚数单位 的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．
50．（2021•三元区校级模拟）已知复数 满足 ，则 的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用复数的几何意义得到，点 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，分析即可求得答案．
【解答】解：因为 ，所以 在复平面内所对应的点 到点 的距离为1，
所以点 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
所以 的取值范围为 ， ，
则 的最大值为3．
故选： ．
【点评】本题考查了复数几何意义的理解和模的运算，属于基础题．
51．（2021•龙岩模拟）已知复数 ，则
A．5 B． C． D．【分析】先化简复数 的关系式，再根据模的运算公式即可求解．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到求解复数模的运算公式，属于基础题．
52．（2021•厦门二模）已知 为虚数单位， ，则
A．5 B．7 C．9 D．25
【分析】把已知等式变形求得 ，再由 求解．
【解答】解：由 ，得 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．
53．（2023•思明区校级四模）已知复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，下列说法中正
确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若 ，则
【分析】 ．利用复数的几何意义求解判断； ．利用向量的数量积运算求解判断； ．设
求解判断； ．举例 ， 判断．
【解答】解： ．因为 ，所以 ，则 ，即 ，则 ，故 正确；
．因为 ，所以 ，即 ， ，故
正确；
．设 ，因为 与 在复平面上对应的点关于实轴对称，则 ，所以
， ，则 ，故 正确；
．如 ， ，满足 ，而 ，故 错误；故选： ．
【点评】本题考查复数的模和复数的几何意义，是基础题．
54．（2022•鼓楼区校级三模）设复数 ，当 变化时，下列结论正确的是
A． 恒成立 B． 可能是纯虚数
C． 可能是实数 D． 的最大值为
【分析】首先根据得到 ，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可．
【解答】解： ，
对于 ， ，
，故 正确；
对于 ， ，当 时， 是纯虚数，故 正确；
对于 ， ，
令 ，即 无解，故 错误；
对于 ， ，当且仅当 时，取等号，
的最大值为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
55．（2022•芗城区校级模拟）已知复数 ， ，下列结论正确的有
A． B．若 ，则 或
C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：设 ， ， ， ， ，
对于 ，当 ，则 ， ，
所以 ，故 错误，
对于 ，因为 ，
则 ，则 或 ，
所以 ， 中至少有一个0，故 正确，
对 于 ， 由 复 数 模 的 运 算 性 质 可 知 ，
，
，故 正确，
对于 ， ， ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于中档题．56．（2023•鼓楼区校级模拟）已知复数 ， 满足 ， ，则 的最大值为 4 ．
【分析】根据题意设出复数，结合复数的模相关知识转化为函数关系求解最值．
【解答】解；设 ，
则 ，
所以 ，即 ， ， ，
，
当 时，则 取得最大值，最大值为 ．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
