山东日照市2025-2026 学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系内，角
2π
3
-
的顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，则其终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知某扇形的圆心角为π
3 ，半径为4 ，则该扇形的面积为（ ）
A．2π
3
B．4π
3
C．8π
3
D．16π
3
3．已知a 、b ÎR ，“sin
sin
a
b
=
”是“
2 π
k
k
a
b
=
+
ÎZ ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若
3π
4
a
b
+
=
且
π
π
2
k
a ¹
+
，
π
π
,
2
m
m k
b ¹
+
ÎZ ，则
1
tan
1
tan
a
b
-
-
= （ ）
A．2 2
-
B．
3
C．1
D．2
5．已知a 是第二象限角，
π
21
cos 2
7
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，则
π
cos
6
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．
21
14
-
B．
7
7
-
C．
3 21
14
-
D．
7
7
6．已知函数
1
2
sin
0
0
1
f x
x
f x
f x
w
w
=
>
=
=
，
，
，且
1
2
x
x
-
的最小值为π
4 ，则w =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．已知
( )
sin
f x
x
x
=
,若
(sin
)
(sin
)
f
f
a
b
<
,则一定有（ ）
A．cos2
cos2
a
b
>
B．cos2
cos2
a
b
<
C．sin
sin
a
b
>
D．sin
sin
a
b
<
8．已知向量a
r ，b
r 满足
1
a =
r
，a b
a
b
×
=
-
r r
r
r
.当a
r 与b
r 的夹角最大时，b =
r
（ ）
A．2 2
B．2
C．
3
D．2
二、多选题
9．已知向量
1, 2
a =
-
r
，
1,1
b = -
r
，
2,3
c =
r
，则下列说法正确的是（ ）
A．
10
a
c
+
=
r
r
B．
6
b
a
c
×
-
= -
r
r
r
C．b
r 与c
r 夹角的余弦值为
26
26
D．
a
c
b
^
-
r
r
r
10．已知函数
π
sin
0,
0,
2
f x
A
x
A
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
>
<
ç
÷
è
ø 的部分图象如图所示，阴影部分的面积为4π，则下
列说法正确的有（ ）
A．函数
f x 的最小正周期为π
B．函数
f x 的一条对称轴为
2π
3
x =
C．将函数
f x 向右平移π
3 个单位长度得到函数
π
2sin 2
6
g x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
D．函数
f x 在区间3π ,π
4
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增
11．记函数
2
2
*
sin
2
cos
2
2,
k
k
kf
x
x
x k
k
=
+
³
ÎN
，则（ ）
A．
kf
x 的一个周期为π
2
B．函数
2f
x 在区间
π
0, 8
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增
C．函数
kf
x 的图象关于直线
π
8
x = -
对称
D．当
3
k ³
时，
1
1
1
0
4
k
k
k
f
x
f
x
f
x
+
-
£
-
£
三、填空题
12．已知角a 的顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点
2, 1
P
-
，则sina = ______．
13．函数
sin
0, π
0
f
x
A
x
w
j
w
j
=
+
>
-
<
<
在一个周期内的图象经过π ,0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø、π ,1
4
æ
ö
ç
÷
è
ø、2π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 三点．写
出一个符合条件的函数
f x 的解析式
f x =______．
14．已知正n边形
1
2
n
A A
A
×××
内接于单位圆O，且满足
1
3
1,2,
,
2
i
OA OA
i
n
×
£
=
uuur u r
L
uu
的顶点
iA 共有
3
n- 个，若
正三角形PMN 的顶点M 、N 在圆O上，则
1
2
3
n
PA
PA
PA
PA
+
+
+×××+
uuur
uuuur
uuur
uuuur
的最大值为______．
四、解答题
15．已知函数
1
3 cos
sin
sin
2
f x
x
x
x
=
-
+
．
(1)求
π
3
f æ
ö
ç
÷
è
ø 的值；
(2)求函数
f x 的最小正周期及单调递减区间．
16．已知函数
π
π
sin
cos
3sin cos
4
4
f x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
(1)若
π
12
3
2
2
2
f
a
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
，且
7π
π
6
a
<
<
，求sina 的值；
(2)在
ABC
V
中，若
1
2
A
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，求sin
sin
B
C
+
的取值范围．
17．如图，有一块矩形铁皮ABCD ，其中
4
AB
t t
=
³
，
4
=
AD
，阴影部分AMN 是一个半径为3 的扇形．设
这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在BC 与
CD 上的矩形铁皮PQCR ，使点P 在弧
MN 上．设
π
0
2
MAP
q
q
æ
ö
Ð
=
£
£
ç
÷
è
ø，矩形PQCR 的面积的表达式为
f q ．
(1)当
6
t =
时，设
2
9sin cos
18sin
sin
12
f
g
q -
q
q +
q
q =
-
q ，求
g q 的值域；
(2)当
4
t = 时，求
f q 的最小值，并求出当
f q 取得最小值时，所对应的sinq 的值．
18．已知函数
2
3
π
3
3cos
sin
π cos
(
0)
2
2
2
f x
x
x
x
w
w
w
w
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，若
f x 的最小正周期为π．
(1)求
f x 的解析式；
(2)若函数
2
4
a
g x
f
x
af x
=
-
+
在
π π
,
6 4
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上有三个不同零点
1
x ，
2x ，
3x ，且
1
2
3
x
x
x
<
<
．
①求实数a取值范围；
②若
1
2
π
2
4
x
x
+
> -
，证明
2
1
2
2
1
f
x
f x
+
> ．
19．已知
ABC
V
为边长为4 3 的等边三角形，O 为
ABC
V
的重心．
(1)求
OB
OA
OC
×
+
uuur
uuur
uuur
的值；
(2)P 为平面内一点，满足
1
OP =
uuur
．
（ⅰ）若
1
0
OB
OB
+
=
uuur
uuur
r
，求
1
PB
PB
+
uuur
uuur
的取值范围；
（ⅱ）已知点M 为边AC 的中点，且存在实数x，y，z，使得
0
xPA
yPB
zPM
+
+
=
uuur
uuur
uuuur
r
，求出当x
y 最大时的
z
x
y
+
的值．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．D
5．A
6．B
7．A
8．D.
9．AC
10．ABD
11．ACD
12．
5
5
-
13．
π
2sin 2
3
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø （或2 3
2π
sin 4
3
3
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
）
14．48
15．（1）因为
2
1
1
3 cos
sin
sin
3sin cos
sin
2
2
f x
x
x
x
x
x
x
=
-
+
=
-
+
3
1 cos2
1
3
1
π
sin 2
sin 2
cos2
sin 2
2
2
2
2
2
6
x
x
x
x
x
-
æ
ö
=
-
+
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
所以
π
π
π
5π
1
sin 2
sin
3
3
6
6
2
f æ
ö
æ
ö
=
´
+
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
（2）由（1）可知，
π
sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
所以函数
f x 的最小正周期为
2π
π
2
T =
=
，
由
π
π
3π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
k
+
£
+
£
+
ÎZ ，得
π
2π
π
π
6
3
k
x
k
k
+
£
£
+
ÎZ ，
所以函数
f x 的单调递减区间为
π
2π
π,
π
6
3
k
k
k
é
ù
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z .
16．（1）
1
3
( )
sin
cos
3sin
cos
sin 2
sin 2
4
4
2
4
2
1
3
1
3
sin
2
sin 2
cos2
sin 2
sin 2
2
2
2
2
2
6
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
p
p
p
p
p
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
已知
π
2 2
12
2
3
f
a
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
，代入化简后的
f x ：
π
π
2 2
π
π
2 2
π
2 2
sin 2
sin
sin
12
2
6
3
6
6
3
3
3
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
= -
Þ
+
+
= -
Þ
+
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
已知
7π
π
6
a
<
<
，则4π
π
3π
3
3
2
a
<
+
<
，该区间内余弦值为负：
2
π
2 2
1
cos
1
3
3
3
a
æ
ö
æ
ö
+
= -
- -
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
π
π
sin
sin
3
3
a
a
é
ù
æ
ö
=
+
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
π
π
π
π
2 2
1
1
3
2 2
3
sin
cos
cos
sin
3
3
3
3
3
2
3
2
6
a
a
æ
ö
-
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
= -
´
- -
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
（2）已知
1
2
A
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，即
π
π
sin 2
1 sin
1
2
6
6
A
A
æ
ö
æ
ö
×
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
n
在ABC
V
中，0
π
A
<
<
，故
π
π
6
2
A+
=
，得
π
3
A =
，
则
2π
3
B
C
+
=
，
2π
3
C
B
=
-
，且
2π
0
3
B
<
<
.
2π
2π
2π
sin
sin
sin
sin
sin
sin
cos
cos
sin
3
3
3
3
1
3
3
π
sin
cos
sin
sin
cos
3sin
2
2
2
2
6
B
C
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
æ
ö
+
=
+
-
=
+
-
ç
÷
è
ø
æ
ö
=
+
+
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
由
2π
0
3
B
<
<
，得π
π
5π
6
6
6
B
<
+
<
，
故
π
1
sin
,1
6
2
B
æ
ö
æ
ù
+
Î
ç
÷
ç
ú
è
ø
è
û ，因此
π
3
3sin
, 3
6
2
B
æ
ù
æ
ö
+
Îç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
17．（1）
过P 作PE
AB
^
，垂足为E ，由题意可得：
3sin
PE
q
=
，
3cos
AE
q
=
，
所以
3cos
PQ
AB
AE
t
q
=
-
= -
，
4
3sin
PR
AD
PE
q
=
-
=
-
所以矩形PQCR 的面积
π
4
3sin
3cos
0
2
f
PR PQ
t
q
q
q
q
æ
ö
=
×
=
-
-
£
£
ç
÷
è
ø ，
当
6
t =
时，
2
4
3sin
6
3cos
9sin
cos
18sin
sin
12
g
q
q
q
q
q
q
q
-
-
-
+
=
-
2
24 12cos
18sin
9sin
cos
9sin
cos
18sin
sin
12
q
q
q
q
q
q
q
q
-
-
+
-
+
=
-
2
2
π
2
cos
1 cos
cos
cos
1 0
2
q
q
q
q
q
æ
ö
=
-
-
-
=
-
+
£
£
ç
÷
è
ø，
令cos
u
q =
，因为
π
0, 2
q
é
ù
Îê
ú
ë
û ，所以
0,1
u Î
，
则函数
2
1
y
u
u
=
-
+ ，其对称轴为
1
2
u =
，
当
1
2
u =
时，
2
min
1
1
3
1
2
2
4
y
æ
ö
=
-
+ =
ç
÷
è
ø
，
当
0
u =
或1时，
max
1
y
= ，所以
3 ,1
4
g q
é
ù
Îê
ú
ë
û ，即函数
g q 的值域为3 ,1
4
é
ù
ê
ú
ë
û
.
（2）因为
π
4
3sin
3cos
0
2
f
t
q
q
q
q
æ
ö
=
-
-
£
£
ç
÷
è
ø，
当
4
t = 时，
q
4
3sin
4
3cos
f
=
-
q
-
q
16
12 sin
cos
9sin cos
=
-
q +
q +
q
q
2
9
16 12 sin
cos
sin
cos
1
2
q
q
q
q
=
-
+
+
+
-
2
9
23
sin
cos
12 sin
cos
2
2
=
q +
q
-
q +
q +
2
9
4
7
7
sin
cos
.
2
3
2
2
æ
ö
=
q +
q -
+
³
ç
÷
è
ø
当且仅当
4
sin
cos
3
q
q
+
=
，即
2
2
2
4
4
sin
1
sin
,1
sin
sin
3
3
æ
ö
q +
-
q =
-
q =
-
q
ç
÷
è
ø
2
8
7
2sin
sin
0
3
9
q -
q +
=
，解得
4
2
sin
6
q
+
=
或
4
2
sin
6
q
-
=
时，等号成立．
所以
f q 的最小值是7
2 ，当
f q 取得最小值时，所对应的sinq 的值是4
2
6
+
或4
2
6
-
．
18．（1）由函数
2
3
π
3
3cos
sin
π cos
2
2
2
f x
x
x
x
w
w
w
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
3 1 cos2
3
1
3
3cos
cos
sin
sin 2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
w
w
w
w
w
+
=
+
-
=
+
-
3
1
π
cos2
sin 2
sin 2
2
2
3
x
x
x
w
w
w
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
因为
f x 的最小正周期为π，所以2π
π
2w =
，即
1
w = ，
所以
π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
.
（2）①由（1）知
2
π
π
sin
2
sin 2
3
3
4
a
g x
x
a
x
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
由
π
π
6
4
x
-
£
£
，可得
π
5π
0
2
3
6
x
£
+
£
，
令
π
sin 2
3
t
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，则
2
4
a
g t
t
at
=
-
+
，0
1
t
£ £ ，
若函数
2
π
π
sin
2
sin 2
3
3
4
a
g x
x
a
x
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
在
π π
,
6 4
é
ù
-
ê
ú
ë
û 有三个零点，
即
2
π
π
sin
2
sin 2
0
3
3
4
a
x
a
x
æ
ö
æ
ö
+
-
+
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
在
π π
,
6 4
é
ù
-
ê
ú
ë
û 有三个不相等的实数根，
即关于t 的方程
2
0
4
a
t
at
-
+
=
须有两个不同的实根，
在区间
1
0, 2
é
ö
÷
êë
ø 内有一个实根，另一个实根在1 ,1
2
é
ö
÷
êë
ø 内，
或一个实根是1，另一个实根在1 ,1
2
é
ö
÷
êë
ø 内，
（i）当一个根在
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，另一个根在1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
故
0
0
1
0
2
1
0
g
g
g
ì
>
ïï æ
ö <
í ç
÷
è
ø
ï
ï
>
î
，
0
4
1
1
0
4
2
4
1
0
4
a
a
a
a
a
ì
>
ï
ïï
-
+
<
í
ï
ï
-
+
>
ïî
，解
4
1
3
a
<
<
，
（ii）当一个根为0时，即
0
4
a =
，所以
0
a =
，
此时方程为
2
0
t =
，所以
0
t =
，不合题意，
（iii）当一个根是1
2 ，即1
1
0
4
2
4
a
a
-
+
=
，解得
1
a = ，
此时方程为
2
1
0
4
t
t
- +
=
，
1
2
t =
，不合题意；
（iv）当一个根是1，另一个实根在1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，由1
0
4
a
a
-
+
=
，可得
4
3
a =
，
此时方程为
2
4
1
0
3
3
t
t
-
+
=
，解得
1
t = 或
1
3
t =
，
当
1
t = 时，对应的一个x的解，当
1
1
[0, )
3
2
t =
Î
也对应一个x的解，
共有两个解，不满足有三个不同的零点，不合题意，
综上可得，实数a的取值范围是
4
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø ；
②由
1
2
π
2
4
x
x
+
> -
，可得
1
2
π
2
4
x
x
> -
-
，
所以
1
2
2
π
2
π
π
π
3
4
3
12
x
x
x
> -
+
+
-
=
-
，
因为
1
π
π
2
0,
3
6
x
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø，
2
π
π π
2
,
3
6 2
x
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，即
2
π
π
,
12 12
x
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，
2
π
π
0,
12
6
x
æ
ö
-
Îç
÷
è
ø，
所以
1
2
π
π
sin 2
sin
3
12
x
x
æ
ö
æ
ö
+
>
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，
所以
2
2
2
2
1
2
π
π
1 cos
2
1 sin 2
π
π
6
3
sin
2
sin
3
12
2
2
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
-
-
+
ç
÷
ç
÷
æ
ö
æ
ö
è
ø
è
ø
+
>
-
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
2
1
2
2
1
f
x
f x
+
> .
19．（1）因为O为
ABC
V
的重心，所以
0
OA
OB
OC
+
+
=
uuur
uuur
uuur
r .
因此OA OC
OB
+
= -
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
OB
OA
OC
OB
OB
OB
×
+
=
× -
= -
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
.
等边三角形ABC 的边长为4 3 ，它的高为
3
4 3
6
2
×
=
.
重心到顶点的距离等于中线长的2
3 ，所以
2 6
4
3
OB =
×
=
.
故
2
4
16
OB
OA
OC
×
+
= -
= -
uuur
uuur
uuur
.
（2）（ⅰ）由
1
0
OB
OB
+
=
uuur
uuur
r
，得
1
OB
OB
= -
uuur
uuur
.
所以B ，
1B 关于点O对称，且
1
4
OB
OB
=
=
.
又
1
OP = ．设
BOP q
Ð
=
，则
1
π
B OP
Ð
q
=
-
.
在
BOP
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
17
8cos
PB
OB
OP
OB OP
q
q
=
+
- ×
×
=
-
.
在
1
B OP
V
中，由余弦定理得
2
2
2
1
1
1
2
cos π
17
8cos
PB
OB
OP
OB OP
q
q
=
+
- ×
×
-
=
+
.
令
cos
t
q
=
，则1
1
t
- £ £ ，于是
1
17
8
17
8
PB
PB
t
t
+
=
-
+
+
.
设
1
u
PB
PB
=
+
.
则
2
2
34
2
17
8
17
8
34
2 289
64
u
t
t
t
=
+
-
+
=
+
-
因为
2
0
1
t
£
£ ，所以
2
225
289
64
289
t
£
-
£
.
从而
2
15
289
64
17
t
£
-
£
.
所以
2
64
68
u
£
£
.
又
0
u >
，故8
2 17
u
£
£
.
即
1
8,2 17
PB
PB
é
ù
+
Îë
û .
（ⅱ）以O为原点，建立平面直角坐标系，取
0,4 ,
2 3, 2 ,
2 3, 2
A
B
C
-
-
-
.
则M 为AC 的中点，所以
3,1
M
.
设
,
P u v ，由
1
OP = ，得
2
2
1
u
v
+
= .
由
0
xPA
yPB
zPM
+
+
=
uuur
uuur
uuuur
r
.
可得
0
,4
2 3
, 2
3
,1
0,0
x
u
v
y
u
v
z
u
v
-
-
+
-
-
- -
+
-
-
=
.
整理得
,
0,4
2 3, 2
3,1
x
y
z
u v
x
y
z
+
+
=
+
-
-
+
.
若
0
x
y
z
+
+
=
，则结合上式可得
0
x
y
z
=
=
=
，此时x
y 无意义，不合题意．
因此
0
x
y
z
+
+
¹
．
由于x，y ，z 同乘同一个非零常数时，x
y 和
z
x
y
+
都不变，所以可令
1
x
y
z
+
+
= .
于是
,
0,4
2 3, 2
3,1
u v
x
y
z
=
+
-
-
+
.
对横坐标、纵坐标分别比较，得
2 3
3
u
y
z
= -
+
,
4
2
v
x
y
z
=
-
+
.
又
1
x
y
z
+
+
= .
解这个方程组，得
3
1
12
4
x
u
v
= -
+
，
3
1
1
12
12
3
y
u
v
= -
-
+
，
2
3
1
3
6
6
z
u
v
=
+
-
.
因为
2
2
1
u
v
+
= ，所以可设
cos ,
sin
u
v
q
q
=
=
.
于是
3cos
3sin
4
3cos
sin
x
y
q
q
q
q
-
+
=
-
-
.
这里分母4
3cos
sin
4
2
2
0
q
q
-
-
³
-
=
>
.
所以可以直接比较x
y 的大小．设x
k
y =
.
则
3cos
3sin
4
3cos
sin
k
q
q
q
q
-
+
=
-
-
.
整理得
3
1 cos
3 sin
4
k
k
k
q
q
-
+
+
=
.
左边是形如cos
sin
A
B
q
q
+
的式子，它的最大值为
2
2
A
B
+
，所以要使上式有解，必须满足
2
2
4
3
1
3
k
k
k
£
-
+
+
.
两边平方，得
2
2
2
16
3
1
3
k
k
k
£
-
+
+
.
化简得
2
2
16
4
12
k
k
£
+
.
所以
2
1
k £ .
因此
1
x
y £ .
当
0,1
P
时，即
0
u =
，
1
v = ，有
1
1
1
,
,
4
4
2
x
y
z
=
=
=
.
此时
1
x
y = .
所以x
y 的最大值为1．此时
1
2
1
1
1
4
4
z
x
y =
=
+
+
.
