数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和专项训练
1．（24-25 高三下·河北邯郸·开学考试）
2
3
10
1
1
1
1
19
17
15
1
2
2
2
2
´
+
´
+
´
+
+ ´
=
L
（ ）
A．
11
3
18
2
+
B．
11
3
17
2
+
C．
10
3
18
2
+
D．
10
3
17
2
+
【答案】D
【详解】令
2
3
10
1
1
1
1
19
17
15
1
2
2
2
2
S =
´
+
´
+
´
+×××+ ´
，
则
2
3
4
11
1
1
1
1
1
19
17
15
1
2
2
2
2
2
S =
´
+
´
+
´
+×××+ ´
两式相减得
2
3
10
11
11
1
1
1
1
1
1
17
3
19
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
S
æ
ö
=
´
-
+
+×××+
- ´
=
+
ç
÷
è
ø
所以
10
3
17
2
S =
+
，
故选：D.
2．（24-25 高二上·湖南株洲·期末）已知数列
na
的通项公式为
2
n
n
n
a =
，则数列
na
的前n 项和
n
S = （ ）
A．2
1
2
n
n
n
-
-
B．
1
2
2
2
n
n
n
+ -
-
C．2
1
2
n
n
n
-
+
D．
1
2
2
2
n
n
n
+ -
+
【答案】B
【详解】由题设
1
2
3
1
2
3
2
2
2
2
n
n
n
S =
+
+
+
+
L
，则
2
3
4
1
1
2
3
1
2
2
2
1
2
2
2
n
n
n
S
n
n
+
-
=
+
+
+
+
+
L
，
两式作差，有
2
3
4
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
S
+
+
=
+
+
+
+
+
-
= -
-
L
，
所以
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
n
n
+ -
-
=
-
-
=
.
故选：B
3．（24-25 高三下·江苏扬州·阶段练习·多选）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
1
1
a = ，
2
3
a =
，
1
1
3
2
2
n
n
n
a
a
a
n
+
-
=
-
³
，则下列说法正确的有（ ）
A．数列
1
n
n
a
a
+ -
为等差数列
B．数列
1
2
n
n
a
a
+ -
为等比数列
C．
1
2
2
n
n
S
n
+
=
-
-
D．若
n
n
b
na
=
，则数列
nb
的前n 项和
2
1
4
1 2
2
n
n
n
n
T
n
+
+
-
=
-
×
-
【答案】BCD
考点一
错位相减法
【详解】因为数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
1
1
a = ，
2
3
a =
，
1
1
3
2
2
n
n
n
a
a
a
n
+
-
=
-
³
，
对于A 选项，由已知等式变形可得
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
n
+
-
-
=
-
³
，且
2
1
2
a
a
-
=
，
所以，
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
=
-
，所以，数列
1
n
n
a
a
+ -
是首项和公比均为2 的等比数列，
故
1
1
2 2
2
n
n
n
n
a
a
-
+ -
=
×
=
，A 错；
对于B 选项，由已知等式变形得
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
n
+
-
-
=
-
³
，且
2
1
2
1
a
a
-
= ，
所以，数列
1
2
n
n
a
a
+ -
是首项和公比均为1的等比数列，则
1
2
1
n
n
a
a
+ -
= ，B 对；
对于C 选项，由
1
1
2
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
ì
-
=
í
-
=
î
可得
2
1
n
na =
- ，
所以，
2
3
2
3
2 1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
n
n
n
S
n
=
-
+
-
+
-
+
+
-
=
+
+
+
+
-
L
L
1
2 1
2
2
2
1
2
n
n
n
n
+
-
=
-
=
-
-
-
，C 对；
对于D 选项，
2
1
2
n
n
n
n
b
na
n
n
n
=
=
-
=
×
-
，
记
1
2
3
1 2
2 2
3 2
2n
n
A
n
= ×
+
×
+ ×
+
+
×
L
，
则
2
3
1
2
1 2
2 2
1 2
2
n
n
n
A
n
n
+
= ×
+ ×
+
+
-
×
+
×
L
，
这两个等式作差得
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
n
A
n
+
-
=
+
+
+
+
-
×
L
1
1
2 1
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
+
+
-
=
- ×
=
-
×
-
-
，
所以，
1
1 2
2
n
n
A
n
+
=
-
×
+
，
故
1
1 2
2
1
2
3
n
nT
n
n
+
=
-
×
+
-
+
+ +
+
L
2
1
1
1
4
1 2
2
1 2
2
2
n
n
n n
n
n
n
n
+
+
+
+
-
=
-
×
+
-
=
-
×
-
，D 对.
故选：BCD.
4．（24-25 高二下·浙江·期中·多选）已知在等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，其中
1
1
a = ，
2
2
1
n
n
a
a
=
+ ，在等比数列
nb
中，
1
2
b
a
=
，
2
5
b
a
=
，则（ ）
A．
2
n
S
n
=
B．数列
2
log
nb
是等差数列
C．数列
1
1
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
2
2
1
n
n +
D．数列
n
n
a b
的前n 项和为
1
1 3
3
n
n
+
-
+
【答案】ABD
【详解】设等差数列{
}
na
的公差为d ，已知
1
1
a = ，
2
2
1
n
n
a
a
=
+ ，
令
1
n = ，则
2
1
2
1
2 1 1
3
a
a
=
+ =
´ + = ．
所以
2
1
a
a
d
=
+
，即3
1
d
= +
，解得
2
=
d
．
所以
1
(
1)
1
2(
1)
2
1
na
a
n
d
n
n
=
+
-
= +
-
=
- ．
2
(1
2
1)
2
n
n
n
S
n
+
-
=
=
，故A 选项正确．
已知
1
2
3
b
a
=
=
，
2
5
1
4
1
4 2
9
b
a
a
d
=
=
+
= + ´
=
，
设等比数列{ }
nb
的公比为q ，则
2
1
9
3
3
b
q
b
=
=
=
，所以
1
3 3
3
n
n
nb
-
= ´
=
，
则
2
2
2
log
log 3
log 3
n
n
n
c
b
n
=
=
=
，
所以
1
2
2
2
(
1)log 3
log 3
log 3
n
n
c
c
n
n
+ -
=
+
-
=
（常数），
所以数列
2
{log
}
nb
是等差数列，故B 选项正确．
已知
1
1
1
1
1
1
(
)
(2
1)(2
1)
2 2
1
2
1
n
n
a a
n
n
n
n
+
=
=
-
-
+
-
+
．
设数列
1
1
{
}
n
n
a a +
的前n 项和为
nT ，则
1
1
1
1
1
1
[(1
)
(
)
(
)]
2
3
3
5
2
1
2
1
nT
n
n
=
-
+
-
+
+
-
-
+
L
1
1
2
(1
)
2
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
=
-
=
¹
+
+
+ ，故C 选项错误．
已知
(2
1) 3n
n
n
a b
n
=
-
´
．设数列{
}
n
n
a b
的前n 项和为
n
M ，
则
2
3
1 3
3 3
5 3
2
1
3n
n
M
n
= ´ + ´
+ ´
+
+
-
´
L
2
3
1
3
1 3
3 3
2
3
3
2
1
3
n
n
n
M
n
n
+
= ´
+ ´
+
+
-
´
+
-
´
L
所以
2
3
1
2
3
2
3
2
3
2
3
(2
1)
3
n
n
n
M
n
+
-
=
+
´
+
´
+
+
´
-
-
´
L
1
1
9(1
3
)
3
2
(2
1)
3
1
3
n
n
n
-
+
-
=
+
´
-
-
´
-
1
1
3
3
9
(2
1) 3
n
n
n
+
+
=
+
- -
-
´
1
6
(2
2) 3n
n
+
= - -
-
´
所以
1
(
1)3
3
n
n
M
n
+
=
-
+ ，故D 选项正确．
故选：ABD．
5．（24-25 高二下·辽宁·阶段练习）已知数列
na
的通项公式为
1
2
3n
n
a
n
-
=
-
×
，其前n 项和为
n
S ，则
n
S =
．
【答案】
2
5
3
5
4
n
n -
×
+
【详解】
0
1
2
2
1
3
0
3
3
3
3
2
3
n
n
n
S
n
n
-
-
= -
+
´
+
+
+
-
×
+
-
×
L
，
所以
1
2
3
1
3
3
0
3
3
3
3
2
3
n
n
n
S
n
n
-
= -
+
´
+
+
+
-
×
+
-
×
L
，
所以
1
2
3
1
5
2
3
5
3
3
2
1
3
3
3
3
2
3
1
2
3
1
3
2
n
n
n
n
n
n
n
S
n
n
-
-
×
-
-
-
= - +
+
+
+
+
-
-
×
= - +
-
-
×
=
-
L
，
所以
2
5
3
5
4
n
n
n
S
-
×
+
=
，
故答案为：
2
5
3
5
4
n
n -
×
+
．
6．（24-25 高二下·山西·开学考试）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足2
3
3
n
n
S
a
=
- ，则数列
2
n
na
的前n 项和
为
.
【答案】
1
8
1
9
9
64
n
n
+
-
´
+
【详解】当
1
n = 时，
1
1
2
3
3,
S
a
=
-
所以
1
3
a =
；
当
2
n ³
时，由
1
1
2
2
2
3
3
3
3
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
-
-
=
-
=
-
-
-
，
得
1
3
n
n
a
a -
=
，所以
2
2
3 ,
3
9
n
n
n
n
n
a
na
n
n
=
=
´
=
´
.
令
2
1
1 9
2 9
1
9
9
n
n
nT
n
n
-
= ´ +
´
+
+
-
´
+
´
L
，
则
2
3
1
9
1 9
2 9
1
9
9
n
n
nT
n
n
+
= ´
+
´
+
+
-
´
+
´
L
，
两式作差得
2
1
1
9 1
9
8
9
9
9
9
9
1
9
n
n
n
n
n
T
n
n
+
+
-
-
=
+
+
+
-
´
=
-
´
-
L
，
所以
1
8
1
9
9
64
n
n
n
T
+
-
´
+
=
.
故答案为：
1
8
1
9
9
64
n
n
+
-
´
+
7．（2025·全国一卷·高考真题）设数列
na
满足
1
3
a =
，
1
1
1
(
1)
n
n
a
a
n
n
n n
+ =
+
+
+
(1)证明：
n
na
为等差数列；
(2)设
2
1
2
( )
m
m
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+
L
，求
( 2)
f ¢ -
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
3
7
2
7
2
9
9
m
m
f
+
-
¢ -
=
-
【详解】（1）由题意证明如下，
*
N
nÎ
，
在数列
na
中，
1
3
a =
，
1
1
1
1
n
n
a
a
n
n
n n
+ =
+
+
+
，
∴
1
1
1
n
n
n
a
na
+
+
=
+ ，即
1
1
1
n
n
n
a
na
+
+
-
= ，
∴
n
na
是以
1
3
a =
为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，
*
N
nÎ
，
在数列
n
na
中，首项为3，公差为1，
∴
3 1
1
n
na
n
=
+ ´
-
，即
2
1
na
n
= +
，
在
2
1
2
m
m
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+
L
中，
2
2
3
2
1
m
f x
x
x
x
m
æ
ö
=
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
L
，
1
3
4
2
m
f
x
x
m
x
-
=
+
+
+
+
¢
L
∴
1
2
3
4
2
3
4
2
m
m
f
x
x
m
x
xf
x
x
x
m
x
-
ì
=
+
+
+
+
ïí
=
+
+
+
+
ïî
¢
¢
L
L
，
当
1
x ¹ 且
0
x ¹
时，
∴
1
2
1
1
1
3
2
3
2
1
m
m
m
m
x
x
x f
x
x
x
x
m
x
m
x
x
-
-
-
-
=
+
+
+
+
-
+
=
+
-
+
-
¢
L
，
∴
1
2
1
2
3
1
1
1
m
m
x
x
m
x
f
x
x
x
x
-
-
+
-
¢
=
+
-
-
-
∴
1
2
2 1
2
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
m
m
m
f
-
é
ù
-
- -
+
-
ë
û
-
=
+
-
- -
- -
é
ù
- -
ë
û
¢
1
2
1
2
2
2
1
9
3
m
m
m
-
é
ù
-
- -
+
-
ë
û
= +
-
2
2
2
2
1
9
9
3
m
m
m
-
+
-
= -
-
-
3
7
2
7
9
9
m
m +
-
=
-
.
8．（2025·云南昆明·模拟预测）设
n
S 为数列
na
的前n 项和，当
2
n ³
时，
2
1
1
5
8
4
n
n
n
n
S
S
S
S
+
+
-
=
-
+
，已知
1
1
a = ，
2
4
a =
，
3
12
a =
．
(1)证明：数列
1
2
n
n
a
a
+ -
为等比数列；
(2)求数列
na
的通项公式；
(3)求
n
S ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
1
2n
na
n
-
=
´
(3)
2
1
1
n
n
S
n
=
-
+
【详解】（1）当
2
n ³
时，
2
1
1
5
8
4
n
n
n
n
S
S
S
S
+
+
-
=
-
+
，
即
2
1
1
1
4
4
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
+
+
+
-
-
=
-
-
-
，
则
2
1
4
4
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
，而
1
2
3
1,
4,
12
a
a
a
=
=
=
，则
3
2
1
4
4
a
a
a
=
-
，
于是
*
N
n
" Î
时，
2
1
4
4
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
，整理得
2
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
=
-
，
又
2
1
2
2
0
a
a
-
=
¹
，
所以数列
1
2
n
n
a
a
+ -
是首项和公比都是2 的等比数列．
（2）由（1）知，数列
1
2
n
n
a
a
+ -
是首项和公比都是2 的等比数列，
则
1
2
2n
n
n
a
a
+ -
=
，因此
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a
+
+ -
=
，
所以数列2
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ是首项为
1
2 ，公差为
1
2 的等差数列，
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
a
n
n
=
+
-
=
，
所以数列
na
的通项公式
1
2n
na
n
-
=
´
．
（3）由（2）知，
0
1
2
1
1 2
2 2
3 2
2n
n
S
n
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+ ´
L
，
1
2
1
2
1 2
2 2
1
2
2
n
n
n
S
n
n
-
= ´
+ ´
+
+
-
´
+
´
L
，
两式相减得，
1
2
1
1 2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1 2
n
n
n
n
n
n
S
n
n
n
-
-
-
= +
+
+
+
- ´
=
- ´
= - +
-
´
-
L
，
则
2
1
1
n
n
S
n
=
-
+ ．
9．（24-25 高三下·甘肃庆阳·期中）记
n
S 为正项数列
na
的前n 项和，且
1
1
n
n
a S
n
a
=
+
.
(1)求
1a 的值；
(2)判断
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是否为等差数列，并求
na
的通项公式；
(3)求数列
2n
na
a
×
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
1
2
a =
(2)
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是常数列，也是等差数列，
2
na
n
=
.
(3)
3
1 2
8
n
nT
n
+
=
-
×
+
【详解】（1）令
1
n = 可得
2
1
1
2
a
a
=
，
又
1
0
a >
，故
1
2
a =
.
（2）
2
1
n
n
S
n
a
=
+
，①
1
1
2
2
n
n
S
n
a
+
+
=
+
，②
由②-①，得
1
1
2
2
1
n
n
n
a
n
a
n
a
+
+ -
=
+
+
，
即
1
1
n
n
na
n
a
+ =
+
故
1
1
n
n
a
a
n
n
+ =
+
，故
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是常数列，也是等差数列
故
1
2
1
na
a
n =
=
，故
2
na
n
=
.
（3）由（1）可得
2
2
2
2 2
2
n
n
n
na
a
n
n
+
×
=
× ×
=
×
故
3
4
2
1 2
2 2
2n
nT
n
+
= ´
+ ´
+
+ ´
L
，③
4
5
2
3
2
1 2
2 2
1
2
2
n
n
nT
n
n
+
+
= ´
+ ´
+
+
-
´
+
´
L
，④
由④-③得
3
3
3
3
2
3
3
2
2
2
2
2
2
1 2
8
1 2
n
n
n
n
n
nT
n
n
n
+
+
+
+
+
-
=
´
-
+
+
=
´
-
=
-
×
+
-
L
.
10．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，其中
3
3
a = ，
2
1
2
n
S
n
n
l
=
+
．
(1)求l 的值以及数列
na
的通项公式；
(2)若
5
4 3n
n
n
b
a
-
=
×
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
1
2
l =
，
na
n
=
(2) 15
39
39
3
2
4
4
n
n
æ
ö
-
´
+
ç
÷
è
ø
【详解】（1）依题意，
3
3
2
9
5
3
2
2
3
2
2
a
S
S
l
l
l
=
-
=
+
-
-
=
+
=
，解得
1
2
l =
，所以
2
1
1
2
2
n
S
n
n
=
+
．
当
2
n ³
时，
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
-
æ
ö
é
ù
=
-
=
+
-
-
+
-
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
，
当
1
n = 时，
1
1
1
a
S
=
= ，满足上式，
综上所述，
na
n
=
．
（2）依题意，
5
4
3n
nb
n
=
-
´
，
故
1
2
3
1 3
6 3
11 3
5
4
3n
nT
n
= ´
+ ´
+
´
+
+
-
´
L
，
故
2
3
1
3
1 3
6 3
5
9
3
5
4
3
n
n
nT
n
n
+
= ´
+ ´
+
+
-
´
+
-
´
L
，
两式相减可得，
1
2
3
1
2
1 3
5 3
5 3
5 3
5
4
3
n
n
nT
n
+
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+ ´
-
-
´
L
1
2
3
1
5 3
5 3
5 3
5 3
5
4
3
12
n
n
n
+
= ´
+ ´
+ ´
+
+ ´
-
-
´
-
L
1
15 1 3
39
39
5
4
3
12
15
3
2
2
1 3
n
n
n
n
n
+
-
æ
ö
=
-
-
´
-
=
-
´
-
ç
÷
è
ø
-
，
则
15
39
39
3
2
4
4
n
nT
n
æ
ö
=
-
´
+
ç
÷
è
ø
．
11．（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
*
1
1
1
4
N
n
n
n
a
a
S
n
n
+
+
+
=
+
Î
，数列
nb
为等比数列，首项
1
2
5
3,
b
b
a
=
=
．
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
a
b
=
×
，求数列
nc
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
2
1,
3n
n
n
a
n
b
=
-
=
(2)
1
3
(
1) 3n
nT
n
+
=
+
-
×
【详解】（1）由
1
1
1
4
n
n
n
a
a
S
n
+
+
+
=
+
，当
2
n ³
时，
1
1
1
1
4
1
n
n
n
a
a
S
n
-
-
+
+
=
+
-
，
相减得
1
1
1
4
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
+
=
-
+
，
已知数列
na
各项均为正数，即
1
0
na + ¹
，可化简得
1
1
4
n
n
a
a
+
-
-
=
，即数列
na
的公差d 满足2
4
d =
，解得
2
=
d
，
当
1
n = 时，
1
1
1
1
1
4
1
2
a
a
a
+
+
+
=
+
，解得
1
1
a = ，则数列
na
通项公式为
2
1
na
n
=
- ，
可得
5
2 5 1
9
a =
´ - =
，则
2
5
9
b
a
=
=
，
由数列
nb
为等比数列可得
2
1
9
b
b q
=
×
=
，由
1
3
b =
，求得
3
q =
，
则数列
nb
通项公式为
1
3 3
3
n
n
nb
-
= ×
=
.
（2）由（1）知
2
1,
3n
n
n
a
n
b
=
-
=
，则
(2
1) 3n
n
n
n
c
a
b
n
=
×
=
-
×
，
所以
1
2
3
1
2
3
1 3
3 3
5 3
(2
1) 3n
n
n
T
c
c
c
c
n
=
+
+
+
+
= ×
+ ×
+
×
+
+
-
×
L
L
，
则
2
3
4
1
3
1 3
3 3
5 3
(2
3) 3
(2
1) 3
n
n
nT
n
n
+
= ×
+ ×
+
×
+
+
-
×
+
-
×
L
，
作差的
1
2
3
1
1
2
3
1
2
1 3
2 3
2 3
2 3
(2
1) 3
2(3
3
3
3 )
3
(2
1) 3
n
n
n
n
nT
n
n
+
+
-
= ×
+ ×
+ ×
+
+ ×
-
-
×
=
+
+
+
+
- -
-
×
L
L
，
化简得
1
1
3(1 3 )
2
2
3
(2
1) 3
6
(2
2) 3
1 3
n
n
n
nT
n
n
+
+
-
-
=
- -
-
×
= - -
-
×
-
，
解得
1
3
(
1) 3n
nT
n
+
=
+
-
×
.
12．（2025·四川成都·一模）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
2
6
a =
，且
1
2
n
n
n
S
na +
+
=
.
(1)求
1S ，
2S ，
3S ；
(2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分）
①
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是等比数列；②
1
n
a
n
ì
ü
í
ý
+
î
þ 是等比数列.
(3)记
nT 为数列
n
S
的前n 项和，求
nT .
【答案】(1)
1
2
S =
，
2
8
S =
，
3
24
S =
(2)证明见解析
(3)
1
1 2
2
n
nT
n
+
=
-
×
+
，
*
nÎN
【详解】（1）（1）令
1
n = ，得
1
2
3S
a
=
.又
2
6
a =
，所以
1
2
S =
.
2
1
2
2
6
8
S
S
a
=
+
=
+
= .
令
2
n =
，得
2
3
4
2
S
a
=
.又
2
8
S =
，所以
3
16
a =
.
故
3
2
3
8 16
24
S
S
a
=
+
=
+
=
.
（2）若选择①：由已知，得
1
2
n
n
n
n
S
n S
S
+
+
=
-
.
故
1
2
1
n
n
n
S
nS +
+
=
，所以
1
2
1
n
n
S
S
n
n
+ =
´
+
，
*
nÎN .
故
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是首项和公比均为2 的等比数列.
若选择②：由已知，
1
2
n
n
n
S
a
n
+
=
+
.故当
2
n ³
时，
1
1
1
n
n
n
S
a
n
-
-
=
+
.
两式相减，得
1
1
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a
n
n
+
-
=
-
+
+
.
化简并整理，得
1
2
2
1
n
n
a
a
n
n
+
=
+
+ （
2
n ³
，且
*
nÎN ）.
又
1
1
2
a = ，
2
2
3
a =
，所以
2
1
2
3
2
a
a
=
´
.
故
1
n
a
n
ì
ü
í
ý
+
î
þ 是以1 为首项，2 为公比等比数列.
（3）若选择①：由（2）知，
2n
n
S
n =
，故
*
2n
n
S
n
n
=
×
ÎN
.
若选择②：由（2）知，
1
2
1
n
na
n
-
=
+
，故
1
*
1 2n
na
n
n
-
=
+
×
ÎN
.
所以
*
1
2
2
n
n
n
n
S
a
n
n
n
+
=
=
×
Î
+
N
.
所以
1
2
1
1 2
2 2
1 2
2
n
n
nT
n
n
-
= ´
+ ´
+
+
-
×
+
×
L
.
则
2
3
1
2
1 2
2 2
1 2
2
n
n
nT
n
n
+
= ´
+ ´
+
+
-
×
+
×
L
.
两式错位相减，得
1
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
nT
n
+
-
=
+
+
+
+
-
×
L
1
1
2 2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
+
+
=
-
- ×
=
-
×
-
.
所以
1
1 2
2
n
nT
n
+
=
-
×
+
，
*
nÎN
13．（24-25 高二下·辽宁·期末）已知数列
na
满足
1
2
a = - ，且
1
4 3n
n
n
a
a
+ +
= - ´
．
(1)求
2a ，
3a ，
4a ；
(2)求数列
na
的通项公式；
(3)设
n
n
b
na
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
2
10
a = -
，
3
26
a = -
，
4
82
a = -
(2)
1
1
3
n
n
na
-
= -
-
(3)
1
1
2
1 1 3
,
,
4
2
3
2
1 3
,
.
4
4
n
n
n
n
n
S
n
n
n
+
+
ì
-
-
ïï
= í
+
-
ï-
-
´
ïî
为奇数
为偶数
【详解】（1）由
1
4 3n
n
n
a
a
+ +
= - ´
，则
1
4 3n
n
n
a
a
+ = - ´
-
，
又
1
2
a = - ，
得
2
1
4 3
10
a
a
= - ´ -
= -
，
2
3
2
4 3
26
a
a
= - ´
-
= -
，
3
4
3
4 3
82
a
a
= - ´
-
= -
．
（2）由
1
4 3n
n
n
a
a
+ +
= - ´
，
得
1
1
3
3
3
n
n
n
n
n
n
a
a
a
+
+ +
= -
-
= -
+
，
所以
1
1
3
1
3
n
n
n
n
a
a
+
+ +
= -
+
，
又
1
3
1
a +
= ，
所以
3n
na +
是以1为首项，1
- 为公比的等比数列，
所以
1
3
1
n
n
na
-
+
= -
，
故
1
1
3
n
n
na
-
= -
-
．
（3）由（2）得
1
1
3
n
n
n
n
b
na
n
n
-
=
= -
- ´
，
所以
1
2
1 2
3
4
1
1 3
2 3
3
n
n
n
S
n
n
-
= -
+ -
+
+ -
-
´ + ´
+
+ ´
L
L
．
设
2
1 3
2 3
3n
nT
n
= ´ + ´
+
+
´
L
，①
则
2
3
1
3
1 3
2 3
3n
nT
n
+
= ´
+ ´
+
+
´
L
，②
由①－②得
2
3
1
1
1
3 1 3
2
1
3
2
3
3
3
3
3
3
3
,
1 3
2
2
n
n
n
n
n
n
n
T
n
n
+
+
+
-
-
-
=
+
+
+
+
- ´
=
- ´
= -
´
-
-
L
则
1
2
1
3
3
4
4
n
n
n
T
+
-
=
´
+
，
当n 为奇数时，
1
2
1
2
1 1 3
1
1
2
1
3
1 3
2 3
3
3
2
2
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
n
S
n
n
+
+
-
-
-
+
-
= -
+
-
´ + ´
+
+ ´
=
-
´
-
=
L
；
当n 为偶数时，
2
1
1
2
1
3
2
3
2
1
1 3
2 3
3
3
3
2
2
4
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
n
+
+
-
+
-
= -
-
´ + ´
+
+ ´
= -
-
´
-
= -
-
´
L
，
故
1
1
2
1 1 3
,
,
4
2
3
2
1 3
,
.
4
4
n
n
n
n
n
S
n
n
n
+
+
ì
-
-
ïï
= í
+
-
ï-
-
´
ïî
为奇数
为偶数
14．（24-25 高二下·辽宁大连·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a = ，
1
2
n
n
a
S
+ =
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
n
n
b
na +
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
2
1,
1
2 3
,
2
n
n
n
a
n
-
=
ì
= í ´
³
î
(2)
1
1
3
2
2
n
n
T
n
æ
ö
=
-
´
+
ç
÷
è
ø
【详解】（1）当
1
n = 时，
2
1
1
2
2
2
a
S
a
=
=
=
；
当
2
n ³
时，由
1
2
n
n
a
S
+ =
可知
1
2
n
n
a
S -
=
，
两式相减得
1
2
n
n
n
a
a
a
+
=
-
，即
1
3
n
n
a
a
+ =
．
又因为
2
2
0
a =
¹
，且
2
1
3
a
a
¹
，
所以数列
na
从第二项起是等比数列，公比为3，
所以
2
2 3
2
n
na
n
-
=
´
³
，
综上所述，
2
1,
1
2 3
,
2
n
n
n
a
n
-
=
ì
= í ´
³
î
；
（2）由（1）可知
1
2
3n
nb
n
-
=
´
．
2
1
2
4 3
6 3
2
3n
nT
n
-
=
+ ´ + ´
+
+
´
L
，①
2
1
3
2 3
4 3
2
1
3
2
3
n
n
nT
n
n
-
=
´ + ´
+
+
-
´
+
´
L
，②
①- ②，得
2
1
2
2
2 3
2 3
2 3
2
3
-
-
=
+ ´ + ´
+
+ ´
-
´
L
n
n
nT
n
1
1 3
2
2
3
1
2
3
1
1 3
n
n
n
n
n
´
-
=
´
-
´
=
-
´
-
-
．
所以
1
1
3
2
2
n
nT
n
æ
ö
=
-
´
+
ç
÷
è
ø
．
1．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
a =
，
1
2
2
1
n
n
S
a
n
+
=
-
+
，数列
nb
满足
1
1
n
n
n
n
a
b
a a +
+
=
，记
nb
的前n 项和为
nT ，若
nT
m
<
恒成立，则m 的最小值为（ ）
A．1
B．
1
2
C．1
3
D．1
4
【答案】D
【详解】因为
1
2
2
1
n
n
S
a
n
+
=
-
+
，①
当
1
n = 时，
1
2
2
4
a
a
=
-
，∵
1
2
a =
，∴
2
8
a =
；
当
2
n ³
时，
1
2
2
n
n
S
a
n
- =
-
，②
①②两式相减得
1
2
2
n
n
n
a
a
a
+
=
-
- ，整理，得
1
3
2
n
n
a
a
+ =
+
∴
1
1
3
1
n
n
a
a
+ + =
+
2
n ³
，又
2
1
1
3
1
a
a
+ =
+
，
∴数列
1
na +
是首项为3，公比为3的等比数列.
∴
1
3n
n
a +
=
，∴
3
1
n
na =
- ．
∴
1
1
1
1
3
1
1
1
2 3
1
3
1
3
1 3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a a
+
+
+
+
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
-
-
-
-
è
ø .
∴
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
2 3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
2 2
3
1
n
n
n
n
T
+
+
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+××××××+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
-
-
-
-
-
-
-
è
ø
è
ø
.
对于
N
n
*
" Î
，
1
3
1
8
n+ - ³ ，
1
1
1
0
3
1
8
n+
<
£
-
，
1
3
1
1
1
8
2
3
1
2
n+
£
-
<
-
所以
1
1 1
1
3
1
,
2 2
3
1
16 4
n
n
T
+
æ
ö
é
ö
=
-
Î
ç
÷
÷
ê
-
è
ø
ë
ø
.
由
nT
m
<
恒成立，得
1
4
m ³
.
故选：D.
2．（24-25 高二下·云南丽江·期末）已知数列
na
满足
*
1
2
1
2
N
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
n
a
a
+
+
+
+
-
-
=
Î
，且
1
1
a = ，
2025
1
1013
a
=
，则
1
2
2
3
1
n
n
a a
a a
a a +
+
+
+
=
K
（ ）
A．2
1
n
n +
B．
2
n
n +
C．
2
2
1
n
n +
D．2
2
n
n +
【答案】D
【详解】因为
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
-
-
=
，所以
1
1
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
- = -
，即
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
+
=
，
考点二
裂项相消法
所以
2
1
1
1
2
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
，即
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
=
-
，
所以
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
为等差数列，公差
2025
1
1
1
1013 1
1
2025 1
2024
2
a
a
d
-
-
=
=
=
-
，首项
1
1
1
a = ，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
d
n
a
a
+
=
+
-
= +
-
´
=
，
所以
2
1
na
n
=
+ ，
所以
1
2
2
3
1
n
n
a a
a a
a a +
+
+
+
L
4
4
4
1 1
2 1
2 1
3 1
1
2
n
n
=
+
+
+
+
´
+
+
´
+
+
´
+
L
1
1
1
1
1
1
4 2
3
3
4
1
2
n
n
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
ç
÷
+
+
è
ø
L
1
1
2
4 2
2
2
n
n
n
æ
ö
=
-
=
ç
÷
+
+
è
ø
．
故选：D.
3．（24-25 高二下·广东肇庆·期末）记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
S =
，
6
12
S =
，记
nT 为
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项
和，则
8T = （ ）
A．9
5
B．116
45
C．14
5
D．232
5
【答案】B
【详解】设
2
n
S
An
Bn
=
+
，则
4
2
2
36
6
12
A
B
A
B
+
=
ì
í
+
=
î
解得
1
4
1
2
A
B
ì
=
ïïí
ï
=
ïî
，所以
2
2
4
n
n
n
S
+
=
，
所以
2
1
4
1
1
2
2
2
n
S
n
n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø.
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
5
4
6
7
9
8
10
T
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
1
1
1
116
2 1
2
9
10
45
æ
ö
=
+
-
-
=
ç
÷
è
ø
.
故选：B.
4．（24-25 高二下·云南·期末）设数列
na
满足
*
1
2
3
2
3
2
1
n
a
a
a
na
n
n
+
+
+
+
=
-
ÎN
L
，则数列
2
na
n
ì
ü
í
ý
+
î
þ的前9 项和
为（ ）
A．161
165
B．106
165
C．49
66
D．71
66
【答案】A
【详解】解：当
1
n = 时，
1
1
a = ，
当
2
n ³
时，
1
2
3
2
3
2
1
n
a
a
a
na
n
+
+
+
+
=
-
L
，
所以
1
2
3
1
2
3
1
2
1
1
n
a
a
a
n
a
n
-
+
+
+
+
-
=
-
-
L
，
两式相减得
2
1
2
1
1
2
n
na
n
n
=
-
-
-
-
=
é
ù
ë
û
，
因此
2
na
n
=
（
2
n ³
），
当
1
n = 时，2
2
n =
，
不满足
1
1
a = ，
所以
1,
1
2 ,
2
n
n
a
n
n
=
ìï
= í
³
ïî
，
又因为当
1
n = 时，
1
1
1
2
3
2
na
a
n
=
+
=
+
，
当
2
n ³
时，
2
2
2
2
2
2
1
1
na
n
n
n
n n
n
n
=
=
=
-
+
+
+
+
，
所以数列
2
na
n
ì
ü
í
ý
+
î
þ的前9 项和为1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
4
3
5
4
6
8
10
9
11
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
1
1
1
1
1
161
3
2
3
10
11
165
=
+
+
-
-
=
．
故选：A.
5．（24-25 高二下·四川雅安·期末·多选）已知数列
na
中，
1
7
a = - ，
1
2
n
n
a
a
+ =
+
，
*
nÎN ，其前n 项和为
n
S ，则
（ ）
A．
2
9
na
n
=
-
B．
8
0
S =
C．当
n
S 取最小值时，
5
n =
D．数列
1
2
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
1
1
7
2
7
nT
n
= -
-
-
【答案】ABD
【详解】
1
2
n
n
a
a
+ =
+
，即
1
2
n
n
a
a
+ -
=
，
所以数列
na
首项
1
7
a = - ，公差
2
=
d
的等差数列，
1
1
7
2
1
2
9
na
a
n
d
n
n
=
+
-
= - +
-
=
- ，故A 正确；
1
2
8
2
n
n
a
a
n
S
n
n
+
=
=
-
，
8
0
S =
，故B 正确；
当
4
n =
时，
n
S 取最小值，故C 错误；
1
2
2
1
1
2
9
2
7
2
9
2
7
n
n
a a
n
n
n
n
+
=
=
-
-
-
-
-
，
1
1
1
1
2
9
2
7
7
2
7
1
1
1
1
7
5
5
3
nT
n
n
n
-
=
-
+
-
+
-
= -
-
-
-
-
-
+
-
-
L
，故D 正确；
故选：ABD.
6．（24-25 高二下·内蒙古包头·期末·多选）若等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
2
4
a =
，
7
42
S =
，则下列说法正确
的是（ ）．
A．
6
7
a =
B．
n
a
n
+
为递增数列
C．
2
1
5
2
2
n
S
n
n
=
+
D．
1
1
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前4 项和为5
21
【答案】BC
【详解】对于A，由
7
42
S =
，则
1
7
7
42
2
a
a
+
=
，所以
1
7
12
a
a
+
=
，即
2
6
12
a
a
+
=
，又
2
4
a =
，所以
6
8
a =
，故A
错误；
对于B，设等差数列
na
的公差为d ，由A 知
6
8
a =
，则
6
2
8
4
4
a
a
d
-
=
-
=
，
1
d
\
= ，
2
2
2
na
a
n
d
n
\
=
+
-
=
+
，
所以
2
2
na
n
n
+
=
+
，故数列
n
a
n
+
为递增数列，故B 正确；
对于C，由
2
na
n
=
+
，则
2
3
2
1
5
2
2
2
n
n
n
S
n
n
+
+
=
=
+
，故C 正确；
对于D，因为
1
1
1
1
1
2
3
2
3
n
n
a a
n
n
n
n
+
=
=
-
+
+
+
+
，
所以
1
1
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前4 项和为1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
3
4
4
5
5
6
6
7
3
7
21
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
-
+
-
+
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，故D 错误.
故选：BC.
7．（24-25 高二下·四川资阳·期末）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人
称为“三角垛.“三角垛”最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，…，设第n 层有
na 个球，则
5a =
，数列
1
{
}
na
的前50 项和为
.
【答案】
15
100
51 / 49
1 51
【详解】依题意，
1
1
a = ，当
2
n ³
时，
2
1
3
2
1
2,
3,
,
n
n
a
a
a
a
a
a
n
-
-
=
-
=
-
=
L
，
于是
2
1
3
1
1
2
( +1)
1
2
3
2
n
n
n
n n
a
a
a
a
a
a
a
n
a
-
-
+
-
+
+
-
= +
+ +
+
=
+
=
L
L
，
而
1
1
a = 满足上式，因此
( +1)
2
n
n n
a =
，
5
15
a =
；
由
1
2
1
1
2(
)
(
1)
1
na
n n
n
n
=
=
-
+
+
，得数列
1
{
}
na
的前n 项和
n
S ，
则
1
1
1
1
1
2
2[(1
)
(
)
(
)]
2
2
2
3
1
1
n
S
n
n
n
=
-
+
-
+
+
-
=
-
+
+
L
，所以
50
2
100
2
51
51
S
=
-
=
.
故答案为：15；100
51
8．（24-25 高二下·河南焦作·期末）在数列
na
中，
1
4
a =
，且
1
1
8
n
n
a
a
a
n
+ =
+
+
，则
1
2
3
2025
1
1
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
+
+
+
+
=
-
-
-
-
L
.
【答案】2025
4051
【详解】由题意得
1
8
4
n
n
a
a
n
+ =
+
+
，则
2
2
1
4
1
4
n
n
a
n
a
n
+ -
+
=
-
，
所以数列
2
4
n
a
n
-
为常数列，
因此
2
2
1
4
4 1
0
na
n
a
-
=
- ´
=
，即
2
4
na
n
=
，
则
2
1
1
1
1
1
1
1
4
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
na
n
n
n
n
n
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
-
-
-
+
-
+
è
ø ，
所以
1
2
3
2025
1
1
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
+
+
+
+
-
-
-
-
L
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2 2025 1
2 2025 1
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
ç
÷
´
-
´
+
è
ø
L
1
1
2025
1
2
2 2025 1
4051
æ
ö
=
-
=
ç
÷
´
+
è
ø
.
故答案为：2025
4051 .
9．（24-25 高二下·湖北武汉·期末）已知数列
2
1
4
n
n
a
ì
ü
-
í
ý
î
þ
既是等差数列又是等比数列，且
1
1
3
a =
，则数列
na
的前
50项的和
50
S
=
．
【答案】50
101
【详解】因为数列
2
1
4
n
n
a
ì
ü
-
í
ý
î
þ
既是等差数列又是等比数列，
所以数列
2
1
4
n
n
a
ì
ü
-
í
ý
î
þ
是非零的常数列，设
2
1
4
n
n
k
a -
=
（k 为常数），
已知
1
1
3
a =
，将
1
n = 代入可得：
2
1
1
4 1
k
a - ´
=
，即
1
4
1
3
k
-
=
，解得
1
k = - .
所以
2
1
4
1
n
n
a -
= - ，化简可得：
1
1
1
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
na
n
n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
-
+
-
+
è
ø .
所以
50
1
1
1
1
1
1
1
1
50
1
1
2
3
3
5
99
101
2
101
101
S
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
.
故答案为：50
101.
10．（24-25 高二下·湖南永州·期末）已知数列
na
满足
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
，则数列
1
1
n
n
a
a +
ì
ü
í
ý
×
î
þ
前100 项和
为
．
【答案】25
51
【详解】由题意得，
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
①，
当
1
n = 时，
1
1
1
2
2
a
=
´
=
，
当
2
n ³
时，
2
1
1
2
1
2
2
1 2
n
n
n
a
a
a
n
-
-
-
+
+
+
=
-
×
L
②，
用①减去②，得
1
1
2
2
1 2
n
n
n
na
n
n
-
-
=
×
-
-
×
，化简得
1
2
na
n
n
=
+
³
，
当
1
n = 时，
1
2
a =
也满足
1
na
n
=
+ ，
*
1
N
na
n
n
\
=
+
Î
，即
1
2
na
n
+ =
+
，
则
1
1
1
1
1
1
2
1
2
n
n
a
a
n
n
n
n
+
=
=
-
×
+
+
+
+
，
设数列
1
1
n
n
a
a +
ì
ü
í
ý
×
î
þ
前n 项和为
nT ，
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
1
2
2
2
nT
n
n
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
数列
1
1
n
n
a
a +
ì
ü
í
ý
×
î
þ
前100 项和
100
1
1
1
1
51 1
50
25
2
100
2
2
102
102
102
51
T
-
=
-
=
-
=
=
=
+
，
故答案为：25
51 .
11．（24-25 高三下·山西大同·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
6
a =
，
2
2
2
n
n
S
a
n
=
+
-
．
(1)求
na
的通项公式：
(2)若
1
n
n
b
a
=
，
1 2
2 3
1
n
n
n
T
b b
b b
b b +
=
+
+
+
L
，求
nT ．
【答案】(1)
4
2
na
n
=
+
；
(2)
12 2
3
n
n
T
n
=
+
.
【详解】（1）由
2
2
2
n
n
S
a
n
=
+
-
，得
2
2
1
1
1
2
1
2
2
4
n
n
n
S
a
n
a
n
n
+
+
+
=
+
+
-
=
+
+
，
两式相减得
1
1
4
2
n
n
n
a
a
a
n
+
+
=
-
+
+
，则
4
2
na
n
=
+
；
（2）由（1）可知
1
1
4
2
n
n
b
a
n
=
=
+
，则
1
1
1
1
1
4
2
4
6
8 2
1
2
3
n
n
b b
n
n
n
n
+
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
+
+
è
ø ，
所以
1 2
2 3
1
1
1
1
1
1
1
1
8
3
5
5
7
2
1
2
3
n
n
n
T
bb
b b
b b
n
n
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+×××+
=
-
+
-
+×××+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1 1
1
8 3
2
3
12 2
3
n
n
n
æ
ö
=
-
=
ç
÷
+
+
è
ø
.
12．（24-25 高二下·广东江门·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
3 .
n
S
n
n
=
+
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)令
1
4
1
n
n
n
b
a a +
=
+ ，求数列
nb
的前n 项和
.
nT
【答案】(1)
2
2
na
n
=
+
(2)
1
1
2
2
nT
n
n
=
-
+
+
【详解】（1）因为数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
3
n
S
n
n
=
+
，
当
2
n ³
时，
2
2
1
3
[
1)
3
1
2
2
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
-
ù
=
-
=
+
-
-
+
-
=
+
û
，
当
1
n = 时，
1
1
4
a
S
=
=
，适合上式，
故
2
2
na
n
=
+
.
（2）
1
4
4
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
4
1
2
1
2
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
n
n
+
=
+ =
+ =
+ =
-
+
+
´
+
+
+
+
+
，
1
1
1
1
1
1
1
1
.
2
3
3
4
1
2
2
2
nT
n
n
n
n
n
=
-
+
-
+
-
+
=
-
+
+
+
+
13．（24-25 高三下·云南·阶段练习）设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
*
1
1
2
n
n
n
S
a
n
a
æ
ö
=
+
Î
ç
÷
è
ø
N
.
(1)求
2a ；
(2)求证：数列
2
2
1
n
n
a
a
ì
ü
+
í
ý
î
þ
为等差数列；
(3)求数列
na
的前100 项的和
100
S
.
【答案】(1)
2
2
1
a =
-
(2)证明见解析
(3)10
【详解】（1）当
1
n = 时，
1
1
1
1
1
2
S
a
a
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，整理得
2
1
1
a = ，
又
1
0
a >
，所以
1
1
a = .
当
2
n =
时，
2
2
2
1
1
2
S
a
a
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
即
1
2
2
2
1
1
2
a
a
a
a
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
解得
2
1
2
a = - ±
，又
2
0
a >
，
所以
2
2
1
a =
- .
（2）
1
1
2
n
n
n
S
a
a
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
Q
，
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
S
a
n
a
-
-
-
æ
ö
\
=
+
³
ç
÷
è
ø
，
上述两式相减，得
1
1
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
a
-
-
-
æ
ö
æ
ö
-
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
\
-
= -
-
，
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
æ
ö
æ
ö
\
-
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
2
1
2
2
1
1
1
4
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
\
+
=
+
+
，
\数列
2
2
1
n
n
a
a
ì
ü
+
í
ý
î
þ
为等差数列，首项为2，公差为4.
（3））由（2）得：
2
2
1
4
2
n
n
a
n
a
+
=
-
Q
，
2
1
4
n
n
a
n
a
æ
ö
\
+
=
ç
÷
è
ø
，
1
0,
2
n
n
n
a
a
n
a
>
\
+
=
Q
，
2
2
1
0
n
n
a
na
\
-
+ =
，由求根公式得
1
na
n
n
=
±
- ，
1
1
1
1
0
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
-
= -
-
<
Q
，
*
1
n
a
n
n
n
\
=
-
-
ÎN
，
100
1
2
100
S
a
a
a
\
=
+
+
+
L
1
0
2
1
100
99
=
-
+
-
+
+
-
L
100
0
10
=
-
=
.
14．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知等差数列
na
的首项为
2
5
1,3a
a
=
.数列
nb
为等比数列，且
2
2
5
3
1,
1
b
a
a
b
-
=
-
= .
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)设数列
n
n
a
b
×
的前n 项和为
n
S ，求
n
S ；
(3)求证
2
1
1
1
(
1)
2
n
k
k
k
n
k
n n
a
a
a
=
+
+
+
=
×
å
.
【答案】(1)
2
1
na
n
=
- ；
2n
nb =
；
(2)
1
(2
3) 2
6
n
n
S
n
+
=
-
´
+
；
(3)证明见解析.
【详解】（1）等差数列
na
的首项为
2
5
1,3a
a
=
，
设公差为d ，所以
3 1
1
4
d
d
+
= +
，所以
2
=
d
，
所以
1
2
1
2
1
na
n
n
= +
-
=
- ，
设在等比数列
nb
中，公比为q ，
因为
2
2
5
3
1,
1
b
a
a
b
-
=
-
= ，所以
2
3
4,
8
b
b
=
=
，
即8
4q
=
， 解得
2
q =
，
所以
2
2
2
2
n
n
nb
b
-
=
´
=
；
（2）因为
(2
1) 2n
n
n
a b
n
=
-
´
，
所以
2
3
1
2
3
2
5
2
(2
1)
2n
n
S
n
= ´
+
´
+
´
+ ¼+
-
´
①
2
1
3
4
2
1
2
3
2
5
2
(2
1)
2n
n
S
n
+
= ´
+
´
+
´
+ ¼+
-
´
②
①- ②，得
2
1
3
1
2
2
2
2
2
2
2
(2
1)
2
n
n
n
S
n
+
= ´
+
´
+
´
+ ¼
-
´
-
+
´
-
1
1
n
8(1
2
)
2
(2
1)
2
1
2
n
n
S
n
-
+
-
-
=
+
-
-
´
-
1
(2
3)
2
6
n
n
S
n
+
-
= -
-
´
-
．
所以
1
(2
3) 2
6
n
n
S
n
+
=
-
´
+
（3）因为
2
2
2
2
1
2
1
2
1
4
1
k
k
k
k
k
a a
k
k
k
+
=
=
-
+
-
1
1
1
1
1
1
4
4 2
1
2
1
4
8 2
1
2
1
k
k
k
k
é
ù
=
+
=
+
-
ê
ú
-
+
-
+
ë
û ，
所以
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
8
3
3
5
2
1
2
1
n
k
k
k
k
n
a
a
n
n
=
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
×
-
+
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
å
L
2
1
1
1
1
(
1)
1
4
8
2
1
4
4 2
1
2 2
1
2
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
a +
+
+
é
ù
é
ù
=
+
-
=
+
=
=
ê
ú
ê
ú
+
+
+
ë
û
ë
û
.
15．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）已知各项均为正数的数列
na
满足
1
1
a = ，
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
4
1
n
n
b
a
=
- 数列
nb
的前n 项和为
nT ，若
100
n
n
T
b
>
，求满足条件的最小正整数n .
【答案】(1)
na
n
=
(2)8
【详解】（1）Q
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
，
2
2
1
1
1
1
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
\
-
-
+
=
+
-
-
=
，
0
na >
Q
，
1
1
n
n
a
a
+
\
-
= ，又
1
1
a = ，
\数列
na
是以
1
1
a = 为首项，1为公差的等差数列，
1
1
na
n
n
\
= +
-
=
；
（2）
2
2
1
1
1
1
1
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
n
n
b
a
n
n
n
n
n
æ
ö
=
=
=
=
-
ç
÷
-
-
+
-
-
+
è
ø
Q
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
5
7
2
1
2
1
2
2
1
2
1
n
n
T
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
=
-
+
-
+
-
+
+
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
-
+
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
，
100
n
n
T
b
>
Q
，
100
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
\
>
+
-
+
，
2
2
100
0
n
n
\
-
-
>
，
1 3 89
4
n
+
\
>
或
1 3 89
4
n
-
<
（舍去），
1 3 89
7.326
4
n
+
>
»
Q
，\满足条件的最小正整数n 为8.
16．（24-25 高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
4
11
a =
，
3
21
S =
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
b
a a +
=
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，求
100
T
．
【答案】(1)
2
3
na
n
=
+
(2) 4
41
【详解】（1）由已知可得
4
1
3
1
3
11
3
3
21
a
a
d
S
a
d
=
+
=
ì
í
=
+
=
î
，
解得
1
5
2
a
d
=
ì
í
=
î
，
所以
2
3
na
n
=
+ ．
（2）由（1）可知
1
1
1
2
3
2
5
n
n
n
b
a a
n
n
+
=
=
+
+
，
所以
1
1
1
2 2
3
2
5
nb
n
n
æ
ö
=
-
ç
÷
+
+
è
ø ．
100
1
2
3
100
T
b
b
b
b
=
+
+
+
+
L
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 5
7
7
9
9
11
201
203
203
205
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
-
+
-
ç
÷
è
ø
LL
1 1
1
2 5
205
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
4
41
=
．
1．（2025·河南·模拟预测）已知数列
na
和
nb
满足
1
2
1
2
2,
5,
2,
3,
n
n
a
a
b
b
a
b
=
=
=
=
+
是等比数列，
n
n
a
b
-
是等
差数列.
(1)求
n
n
a
b
+
和
n
n
a
b
-
的通项公式；
(2)求
na
和
nb
的通项公式；
(3)求
na
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
1
2n
n
n
a
b
+
+
=
，
2
2
n
n
a
b
n
-
=
-
；
(2)
2
1,
2
1
n
n
n
n
a
n
b
n
=
+
-
=
-
+ ；
(3)
2
1
4
2
2
n
n
n
n
S
+
-
-
=
+
.
【详解】（1）由
1
1
2
2
1
1
2
2
4,
8,
0,
2
a
b
a
b
a
b
a
b
+
=
+
=
-
=
-
=
，
因为
n
n
a
b
+
是等比数列，
则公比为
2
2
1
1
2
a
b
a
b
+
=
+
，所以
1
2n
n
n
a
b
+
+
=
，
因为
n
n
a
b
-
是等差数列，
则公差为
2
2
1
1
(
)
(
2
)
a
b
a
b
-
-
-
=
，所以
2
2
n
n
a
b
n
-
=
-
.
（2）由（1）得
1
2
2
2
n
n
n
n
n
a
b
a
b
n
+
ì
+
=
í
-
=
-
î
，
则
2
1
2
1
n
n
n
n
a
n
b
n
ì
=
+
-
í
=
-
+
î
.
（3）由（2）有
1
2
2
)
(1 2 )
(
1)
(2
2
2
(1
2
)
1 2
2
n
n
n
n n
S
n
n
n
-
+
=
+
+
+
+
+
+
+
-
=
+
-
-
L
L
2
1
4
2
2
n
n
n
+
-
-
=
+
.
2．（24-25 高二下·北京房山·期末）设
na
是等差数列，
nb
是各项均为正数的等比数列，已知
1
1
a = ，
1
2
b =
，
2
2
b
a
=
，
3
2
4
b
a
=
+
.
(1)求
na
和
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
a
b
=
+
，求数列
nc
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
3
2
na
n
=
-
，
2n
nb =
；
考点三
分组与并项求和
(2)
2
1
3
2
2
2
n
n
n
n
S
+
-
=
+
-
.
【详解】（1）因为
nb
是各项均为正数的等比数列，设公比为
0
q q >
，
又
1
2
b =
，所以
2
2
b
q
=
，
2
3
2
b
q
=
，
因为
2
2
b
a
=
，
3
2
4
b
a
=
+
，所以
3
2
4
2
4
b
b
q
=
+
=
+
，所以
2
2
4
2
q
q
+
=
，
解得
2
q =
或
1
q = - （舍），所以
1
2 2
2
n
n
nb
-
=
×
=
，
所以
2
2
4
b
a
=
=
，因为
na
是等差数列，设公差为d ，因为
1
1
a = ，则
2
1
3
d
a
a
=
-
=
，
所以
1 3
1
3
2
na
n
n
= +
-
=
-
.
所以
3
2
na
n
=
-
，
2n
nb =
.
（2）有（1）可得
3
2
2n
n
n
n
c
a
b
n
=
+
=
-
+
，
则
1
2
3
1
2
4
2
7
2
3
2
2n
n
S
n
= +
+
+
+
+
+
+
-
+
=
L
2
3
1
4
9
3
2
2
2
2
2n
n
=
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
L
L
2
1
2 1
2
1 3
2
3
2
2
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
+
-
+
-
-
=
+
=
+
-
-
3．（24-25 高二下·河南商丘·期末）已知数列
na
的首项是
1
1,
1,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
为奇数，
为偶数
(1)证明：
na
的奇数项成等差数列；
(2)求
na
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
2
3
,
4
3
1 ,
.
4
4
n
n
n
S
n
n
ì
ïï
= í
ï
+
ïî
为偶数，
为奇数
【详解】（1）证明：若n 为奇数，则
1
n + 是偶数，
2
n +
是奇数，
所以
1
2
1,
1
2
3
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
=
+
=
+
+
=
+ ，即
2
3
n
n
a
a
+ -
=
，
所以
na
的奇数项是首项为
1
1
a = ，公差为3 的等差数列．
（2）当
*
2
n
k k
=
ÎN
时，
2
1
3
5
2
1
2
4
6
2
n
k
k
k
S
S
a
a
a
a
a
a
a
a
-
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
L
L
1
3
5
2
1
1
3
5
2
1
1
1
1
1
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
=
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+
L
L
1
3
5
2
1
1
(
1)
2
2
3
2
k
k k
a
a
a
a
k
ka
k
-
-
é
ù
=
+
+
+
+
+
=
+
´
+
ê
ú
ë
û
L
2
2
2
3
3
3
2
4
n
k
n
æ
ö
=
= ´
=
ç
÷
è
ø
.
因为
2
2
1
1
1
3(
1) 1
3
1
k
k
a
a
a
k
k
-
=
+ =
+
-
+ =
- ，
所以当
*
2
1
n
k
k
=
-
ÎN
时，
2
2
1
2
2
3
3
1
n
k
k
k
S
S
S
a
k
k
-
=
=
-
=
-
+
2
2
1
1
3
1
3
3
1
2
2
4
4
n
n
n
+
+
æ
ö
= ´
- ´
+ =
+
ç
÷
è
ø
.
综上所述，
2
2
3
,
4
3
1 ,
.
4
4
n
n
n
S
n
n
ì
ïï
= í
ï
+
ïî
为偶数，
为奇数
.
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知数列
na
满足
1
2
3,
6
a
a
=
=
，数列
nb
为各项均为正数的等比数列，且满足
*
1
1,
n
n
n
n
b
a
a
b
n
+
+
-
=
ÎN
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)已知数列
nb
的前n 项和为
n
S ，若______．
下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中．
①
2
3
3
3
S
S
=
-
；
②
2
3
3
,2
,
b
a b 成等差数列；
③
1
3
3
,
,
b a b 成等比数列．
记数列
nc
满足
3
2
,
,
log
,
,
n
n
n
a n
c
b
n
ì
= í
î
为奇数
为偶数求数列
nc
的前20 项和
20
T ．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
3
na
n
=
(2)520
【详解】（1）设等比数列
nb
的公比为q ，(
0)
q >
1
1
n
n
n
n
b
a
a
b
+
+
-
=
Q
，
1
1
n
n
n
n
b
a
a
q
b
+
+
\
-
=
=
又
1
2
3,
6
a
a
=
=
，
2
1
3
q
a
a
\
=
-
=
，
1
3
n
n
a
a
+
\
-
=
，
na
\
是等差数列，且公差为3
3
1
3
3
na
n
n
\
=
+
-
´ =
，\数列
na
的通项公式为
3
na
n
=
（2）选①：
2
3
3
3
S
S
=
-
，
1
1
1
1
1
3
3
3
9
3
b
b
b
b
b
\
+
=
+
+
- ，
1
3
b
\
=
选②：
2
3
3
,2
,
b
a b 成等差数列
3
2
3
4a
b
b
\
=
+
，
1
1
36
3
9
b
b
\
=
+
，
1
3
b
\
=
选③：
1
3
3
,
,
b a b 成等比数列
2
3
1 3
a
b b
\
=
，
1
1
81
9
b
b
\
=
×
，
1
3
b
\
=
1
2
2
3 3
3
3
n
n
n
n
n
b
b
-
\
=
´
=
\
=
，
3 ,
,
2 ,
,
n
n n
c
n n
ì
\
= í
î
为奇数
为偶数
20
1
3
5
19
2
4
6
20
T
c
c
c
c
c
c
c
c
\
=
+
+
+×××+
+
+
+
+×××+
10
3
57
10
4
40
3
9 15
57
4
8 12
40
520
2
2
´
+
´
+
=
+
+
+×××+
+
+ +
+×××+
=
+
=
5．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
a = - ，
1
2,
2
1,
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
为奇数
为偶数，记
2
1
n
n
b
a
-
=
，
(1)证明：数列
2
1
5
n
a
- +
是等比数列；
(2)求数列
nb
的通项公式；
(3)求数列
n
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)证明见解析
(2)
1
2
5
n
nb
+
=
-
(3)
2
2
5
5
1 2
4
2
2
n
n
S
n
n
n
+
=
-
-
-
+
【详解】（1）因为
2
2
1
2
n
n
a
a
-
=
+
，
2
1
2
2
1
n
n
a
a
+ =
+ ，
*
nÎN ，
所以
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
5
n
n
n
a
a
a
+
-
-
=
+
+ =
+
，
即
2
1
2
1
5
2
5
n
n
a
a
+
-
+
=
+
，
又
1
5
4
a +
=
，所以数列
2
1
5
n
a
- +
是首项为4，公比为2 的等比数列.
（2）由（1）可知
1
1
2
1
5
5
4 2
2
n
n
n
n
b
a
-
+
-
+
=
+
=
´
=
，
所以
1
2
5
n
nb
+
=
-
.
（3）由（2）得
1
2
5
n
n
nb
n
n
+
=
´
-
，
设
1
2n
nc
n
+
=
´
，其前n 项和为
nT ，
则
2
1
3
4
1 2
2 2
3
2
2
n
nT
n
+
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
+×××
，
3
4
5
2
2
1 2
2 2
3 2
2n
nT
n
+
= ´
+ ´
+ ´
+×××+
´
，
两式相减得
2
2
3
4
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
nT
n
n
-
+
+
-
-
=
+
+
+×××+
- ´
=
- ´
-
，
所以
2
1 2
4
n
nT
n
+
=
-
+
，
所以
2
2
2
5
5
5
5 1
2
3
1 2
4
1
1 2
4
2
2
2
n
n
n
n
S
T
n
n
n n
n
n
n
+
+
=
-
+
+ +×××+
=
-
+
-
+
=
-
-
-
+
.
6．（2025·福建莆田·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
2,
,
2
,
,
n
n
n
a
n
a
a n
+
+
ì
= í
î
为奇数
为偶数
(1)记
2
2
n
n
b
a
=
+
，求
1b ，
2b ，并证明数列
nb
是等比数列；
(2)记
2
3
n
n
c
a
=
+
，求满足
1
2
3
100
n
c
c
c
c
+
+
+
+
<
L
的所有正整数n 的值.
【答案】(1)
1
5
b =
，
2
10
b =
，证明见解析
(2)1，2，3，4.
【详解】（1）由题意，
2
3
a =
，
3
6
a =
，
4
8
a =
，
所以
1
5
b =
，
2
10
b =
，
又因为
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
a
b
a
a
a
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
，
所以数列
nb
是首项为5，公比为2 的等比数列；
（2）由（1）知
1
5 2n
nb
-
= ´
，所以
1
5 2
1
n
nc
-
= ´
+ ，
所以
0
1
1
1
2
3
5
2
2
2
5 2
5
n
n
n
c
c
c
c
n
n
-
+
+
+
+
= ´
+
+
+
+
= ´
+
-
L
L
，
因为
1
2
3
n
c
c
c
c
+
+
+
+
L
单调递增，
且
1
2
3
4
1
2
3
4
5
79
100
160
c
c
c
c
c
c
c
c
c
+
+
+
=
<
<
+
+
+
+
=
，
所以正整数n 的所有取值为1，2，3，4.
7．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知
na
是等差数列，
nb
是等比数列，且
1
1
3
a
b
=
=
，
2
4
2
2
a
a
b
+
=
，
1
3
3
a a
b
=
．
(1)求
na
和
nb
的通项公式；
(2)求数列
n
n
a
b
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
S ；
(3)求数列{|
18|}
na -
的前n 项和
n
W ．
【答案】(1)
3
na
n
=
，
3n
nb =
(2)
1
9
1
3
1
4
2
4 3
n
n
S
n
-
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
(3)
2
2
3
33,
6
2
3
33
180 ,
6
2
n
n
n
W
n
n
n
ì
-
-
£
ïï
= í
-
+
ï
>
ïî
【详解】（1）设公差为d ，公比为
0
q q ¹
，
2
4
2
2
a
a
b
+
=
，故
1
1
2
4
2
a
d
b q
+
=
，6
4
6
d
q
+
=
，
1
3
3
a a
b
=
，故
2
3 3
2
3
d
q
+
=
，
联立
2
6
4
6
3 3
2
3
d
q
d
q
+
=
ì
í
+
=
î
，解得
3
3
d
q
=
ì
í =
î
或
3
2
0
d
q
ì
= -
ïí
ï =
î
（舍去），
故
3
3
1
3
na
n
n
=
+
-
=
，
1
3 3
3
n
n
nb
-
= ×
=
；
（2）
1
3
3
3
n
n
n
n
a
n
n
b
-
=
=
，
设数列
n
n
a
b
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
n
S ，
则
0
2
3
1
1
2
3
4
3
3
3
3
3n
n
n
S
-
+
+
+
+
+
=
L
，①
2
3
4
3
1
1
2
4
3
3
3
3
3
3n
n
S
n
+
+
+
+
+
=
L
，②
两式①-②得：
2
3
1
1
1
2
1
1
1
1
3
3
1
3
1
1
3
3
3
3
3
3
3
2
2 3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n
S
n
-
-
æ
ö
= +
+
+
+
+
-
=
-
=
-
+
ç
÷
è
ø
-
L
，
所以
1
9
1
3
1
4
2
4 3
n
n
S
n
-
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
；
（3）令
18
3
18
n
n
c
a
n
=
-
=
-
，设数列{ }
nc
的前n 项和为
nT ，
则
2
15
3
18
3
33
2
2
n
n
n
n
n
T
-
+
-
-
=
=
，
由
0
nc =
，解得
6
n =
，
当
6
n £
时，
0
nc £
，则
2
1
2
3
33
2
n
n
n
n
n
W
c
c
c
T
-
= -
-
- ××× -
= -
= -
，
当
6
n >
时，
0
nc >
，
则
1
2
6
7
6
6
6
2
n
n
n
n
W
c
c
c
c
c
T
T
T
T
T
= -
-
-×××-
+
+×××+
= -
+
-
=
-
2
2
2
3
33
3 6
33 6
3
33
180
2
2
2
2
n
n
n
n
-
´
-
´
-
+
=
- ´
=
，
综上：
2
2
3
33,
6
2
3
33
180 ,
6
2
n
n
n
W
n
n
n
ì
-
-
£
ïï
= í
-
+
ï
>
ïî
.
8．（2025·陕西安康·模拟预测）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
3
7
a =
，
8
92
S =
．
(1)求数列
na
的通项公式以及
n
S ；
(2)记数列
1
1
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
nT ，求满足
7
22
nT >
的n 的最小值；
(3)若数列
nb
满足：
1
,
3 ,
m
n
m
m
m
m n
a
b
a
n
a +
=
ì
= í
<
<
î
，求数列
nb
的前14 项和．
【答案】(1)
3
2
na
n
=
-
；
3
1
2
n
n
n
S
-
=
(2)8
(3) 498
【详解】（1）设公差为d ，所以
3
1
1
8
1
2
7
1
8
28
92
3
a
a
d
a
S
a
d
d
=
+
=
=
ì
ì
Þ
í
í
=
+
=
=
î
î
，
所以
1
1
3
3
2
na
n
n
= +
-
´ =
-
，
1
3
1
2
2
n
n
n a
a
n
n
S
+
-
=
=
，
（2）令
1
1
1
1
1
1
3
2
3
1
3 3
2
3
1
n
n
n
c
a a
n
n
n
n
+
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
-
+
-
+
è
ø ，
所以
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
4
7
3
2
3
1
3
3
1
n
n
T
c
c
c
n
n
n
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
=
-
+
-
+
+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
-
+
+
è
ø
è
ø
L
L
，
所以
1
1
7
1
3
3
1
22
nT
n
æ
ö
=
-
>
ç
÷
+
è
ø
，解得
7
n >
，所以满足
7
22
nT >
的n 的最小值为8；
（3）由题意有
1
,
3 ,
m
n
m
m
m
m a
n
b
a
n
a +
=
ì
= í
<
<
î
，由
3
2
m
a
m
n
=
-
=
，
所以当
1
n = 时，
1
m = ，所以
1
1
b = ，
当3
2
3
1
m
n
m
-
<
<
+ ，
1
m = 时，1
4
n
<
<
，所以
2
3
3
b
b
=
=
，
当
2
n =
时，
4
m =
，所以
4
2
b =
，当
2
m =
时，4
7
n
<
<
，所以
2
5
6
3
b
b
=
=
，
同理得
3
7
8
9
3,
3
b
b
b
=
=
=
，
4
5
10
11
12
13
14
4,
3 ,
5,
3
b
b
b
b
b
=
=
=
=
=
，
设数列
nb
的前n 项和为
n
A ，
所以
2
5
14
1
2
14
1 3
3
2
3
3
A
b
b
b
=
+
+
+
= + + +
+
+
+
L
L
4
2
3
4
5
5
3 1 3
1
2
3
4
5
2
3
3
3
3
3
15
2
3
498
1 3
-
=
+
+ +
+
+ ´
+
+
+
+
=
+ ´
+
=
-
，
所以数列
nb
的前14 项和为498 .
