题号猜押10 全国卷高考数学第16 题（解答题）
溯源
年份
卷别
原题号
考点
具体内容
2025
Ⅰ卷
T16
数列
递推数列证明等差、导函数求和
2025
Ⅱ卷
T16
圆锥曲线
椭圆方程、弦长与面积
2024
Ⅰ卷
T16
圆锥曲线
椭圆方程、离心率、直线与椭圆
2024
Ⅱ卷
T16
函数与导数
切线方程、极小值求参
2023
Ⅰ卷
T18
立体几何
正四棱柱、线线平行、二面角
2023
Ⅱ卷
T18
数列
等差数列通项、前n 项和不等式证明
2022
Ⅰ卷
T18
解三角形
边角互化、最值问题
2022
Ⅱ卷
T18
解三角形
面积、正弦定理求边
2021
Ⅰ卷
T18
概率统计
分布列、期望、决策
2021
Ⅱ卷
T18
解三角形
正弦定理、面积、钝角三角形条件
近5 年解答题第二题（等价T16）考点分布较为分散，无明显固定模块。解三角形出现3 次（2022Ⅰ、Ⅱ卷，
2021Ⅱ卷），圆锥曲线出现2 次（2025Ⅱ、2024Ⅰ），数列出现2 次（2025Ⅰ、2023Ⅱ），立体几何出现1 次
（2023Ⅰ），函数与导数出现1 次（2024Ⅱ），概率统计出现1 次（2021Ⅰ）。2021-2022 年以解三角形为主，
2023 年转向立体几何与数列，2024 年出现圆锥曲线与导数，2025 年则数列与圆锥曲线各占一席。整体呈现
“多模块轮换”的特点，该位置承担中档题功能，考查基础与综合能力并重。
预测
2026 年T16 极大概率在解三角形、数列、立体几何、圆锥曲线四类中轮换。解三角形若未出现在T15，则
可能在此位置考查，第（1）问利用正余弦定理求角或边，第（2）问结合面积、周长或最值问题；数列若
未出现在T15，则可能考查递推数列求通项、裂项相消或错位相减求和；立体几何常在此位置考查空间垂直
证明与二面角计算；圆锥曲线则考查椭圆或双曲线的基本量、直线与圆锥曲线的位置关系。函数与导数、
概率统计作为备选，但概率略低。
备考核心
主攻解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理的边角互化，会利用三角形面积公式、基本不等式求最值；
强化数列，掌握递推数列求通项的常见方法（累加、累乘、构造等比），熟练裂项相消与错位相减求和；
突破立体几何，掌握空间垂直关系的证明（线面垂直、面面垂直），能熟练建立空间直角坐标系求二面角、
线面角；掌握圆锥曲线，能根据条件求椭圆、双曲线方程，熟练运用设而不求、韦达定理处理弦长、面积
问题。规范书写，步骤清晰，注意分类讨论的完整性。限时训练，每道题控制在12~15 分钟。
考点1 数列
1. （2026·河北保定·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
+ -
=
+
.
(1)求
n
S
(2)若
1
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a a +
+
= -
，求数列
nb
的前n 项和.
【答案】(1)
1
2
n
n n
S
+
=
(2)
1
1
1
n
n
-
- +
+
【分析】（1）由题意可知数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是以首项为
1
1
1
S = ，公差为
1
2 的等差数列，结合等差数列的通项公式运
算求解；
（2）根据
n
S 与
na 之间的关系可得
na
n
=
，进而可得
1
1
1
1
n
nb
n
n
æ
ö
= -
+
ç
÷
+
è
ø，结合裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
+ -
=
+
，且
1
1
a = ，
可知数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是以首项为
1
1
1
S = ，公差为
1
2 的等差数列，
则
1
1
1
1
2
2
n
S
n
n
n
+
= +
-
=
，所以
1
2
n
n n
S
+
=
.
（2）由（1）可知：
1
2
n
n n
S
+
=
，
当
2
n ³
时，则
1
1
1
2
2
n
n
n
n n
n n
a
S
S
n
-
+
-
=
-
=
-
=
，
且
1
1
a = 符合上式，所以
na
n
=
，
可得
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a a
n n
n
n
+
+
+
æ
ö
= -
= -
= -
+
ç
÷
+
+
è
ø ，
设数列
nb
的前n 项和为
nT ，
则
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
1
1
n
n
nT
n
n
n
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
+
+
+
-
+
+×××+ -
+
= - +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以数列
nb
的前n 项和为
1
1
1
n
n
-
- +
+
.
2. （2026·广东广州·一模）已知数列
na
的首项
1
2
3
a =
，且满足
1
1
1
2
n
n
n
a
a
a
+
+
=
．
(1)证明：数列
1
1
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ
为等比数列；
(2)若数列
1
n
n
a
ì
ü
+
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
S 小于120，求n 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)14
【分析】（1）令
1
1
n
n
b
a - =
，得
1
1
n
n
a
b
=
+ ，代入已知条件整理即可得证；
（2）根据（1）中结论可得数列
1
ì
ü
+
í
ý
î
þ
n
n
a
的通项，应用分组求和及等差等比的前n 项和公式求
n
S ，利用单
调性及
120
n
S <
能成立求参数的最大值.
【详解】（1）令
1
1
n
n
b
a - =
，则
1
1
n
n
a
b
=
+ ，于是
1
1
1
1
n
n
a
b
+
+
=
+ ，结合已知有
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+ =
+ ，
所以
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
+
+
，即
1
2
n
n
b
b +
=
．
因为
1
1
1
1
1
0
2
b
a
=
- =
¹
，所以数列
nb
是以
1
2 为首项，
1
2 为公比的等比数列．
即数列
1
1
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ
为等比数列．
（2）由（1）知，1
1
1
2
n
na
æ
ö
- = ç
÷
è
ø
，则1
1
1
2
n
n
n
n
a
æ
ö
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
，
则
2
1
1
1
1
1
1
(1
)
2
2
[
]
(1
2
)
1
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
S
n
n
n
æ
ö
-
ç
÷
+
æ
ö
æ
ö
è
ø
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
-
L
L
2
2
1
1
2
3
n
n
n
+
= -
+
，
令
120
n
S <
，整理得
1
2
3
238
2
n
n
n
-
-
+
<
，而
2
1
3
2
n
y
n
n
-
+
-
=
在
*
N
nÎ
上单调递增，
且
1 14
1 15
13
14
2
2
1
1
2
238
23
14
3 14
15
3 15
8
2
270
2
2
-
-
+ ´
-
=
-
<
<
-
+ ´
=
-
，
所以
120
n
S <
，n 的最大值为14．
3. （2026·陕西咸阳·二模）已知数列
na
，
nb
满足
2
1
1
2
,
3
2,
+
+
+
+
=
=
+
ÎN
n
n
n
n
n
a
a
a
b
b
n
，且
2
2
1
2
2
=
=
+
=
b
a
a
．
(1)求
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列
n
n
a b
的前n 项和
n
S ；
(3)在数列
na
的前20 项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列
nb
中的项的概率．
【答案】(1)
2
2
na
n
=
-
，
1
3
1
n
nb
-
=
-
(2)
2
2
3 3
3
2
2
n
n
n
S
n
n
-
=
+
-
+
(3) 7
19
【分析】（1）根据递推关系得出
na
是等差数列，结合通项公式可得答案，通过构造等比数列可求
nb
的
通项公式；
（2）利用分组求和的方法及错位相减法可求答案；
（3）利用古典概率的求法可得答案.
【详解】（1）因为
2
1
2
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
，所以
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
=
-
，
又
2
1
2
2
a
a
=
+
=
，所以
1
2
1
0,
2
a
a
a
=
-
=
，所以
1
2
n
n
a
a
+ -
=
，
na
是首项为0，公差为2 的等差数列，所以
2
1
2
2
na
n
n
=
-
=
-
，
由
1
3
2
n
n
b
b
+ =
+
，得
1
1
3
1
n
n
b
b
+ + =
+
，所以
2
1
3
2
2
b
b
=
+
=
，所以
1
0
b =
，
故
1
1
1
0
b + = ¹
，所以
1
nb +
是等比数列，首项为1，公比为3，所以
1
1
3n
nb
-
+ =
，
所以
nb
的通项公式为
1
3
1
n
nb
-
=
- ．
（2）
1
2
1 3
2
1
n
n
n
a b
n
n
-
=
-
-
-
，
0
1
2
1
0 3
2 3
4 3
2
1 3
2 0 1
2
1
n
n
S
n
n
-
=
´
+ ´
+ ´
+×××+
-
-
+ +
+×××+
-
，
令
0
1
2
1
1 1 3
2 1 3
3 1 3
1 3n
S
n
-
=
-
+
-
+
-
+×××+
-
，
则
1
2
3
3
1 1 3
2 1 3
3 1 3
1 3n
S
n
=
-
+
-
+
-
+×××+
-
，
上两式相减，得
2
1
3
2
3
1 3
3
2
0
3
3
3
1 3
1
1 3
1 3
2
2
n
n
n
n
n
n
S
n
n
-
-
-
-
=
+ +
+×××+
-
-
= - +
-
-
= -
+
-
，
所以
2
3 3
3
4
4
n
n
S
-
=
+
，又
2
2 0 1
2
1
n
n
n
+ +
+×××+
-
=
-
，
所以
2
2
2
3 3
3
2
2
2
n
n
n
S
S
n
n
n
n
-
=
-
-
=
+
-
+
．
（3）因为
2
1
na
n
=
-
，
na
的前20 项分别为0,2,4,
,38
×××
，
由
1
3
1
38
n
nb
-
=
-
得
1,2,3,4
n =
，
又
1
0,
n
b
b
=
是偶数，所以在
na
的前20 项中有4 项是
nb
中的项，
所以所求概率
2
1
1
4
4
16
2
20
C
C C
7
C
19
P
+
=
=
．
4. （2026·江西·一模）已知数列
na
中，
1
1
a = ，满足
*
1
3
1
0
n
n
a
a
n
+ -
- =
ÎN
．
(1)证明数列
1
2
na
ì
ü
+
í
ý
î
þ 是等比数列，并求数列
na
的通项公式：
(2)设
3
log
2
1
n
n
n
b
a
T
=
+
，
为数列
1
2
n
n
b b +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和，求
2026
T
．
【答案】(1)证明见解析，
3
1
2
n
na
-
=
(2)
2026
4052
2027
=
T
【分析】（1）利用构造法将
1
3
1
n
n
a
a
+ =
+ 转化为
1
1
1
3
2
2
n
n
a
a
+
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø ，利用等比数列的通项公式求解.
（2）求出
nb ，求出
1
2
n
n
b b +
，利用裂项相消法求出
2026
T
.
【详解】（1）由题意，
1
3
1
n
n
a
a
+ =
+ ，
则
1
1
3
1
3
3
2
2
2
n
n
n
a
a
a
+
æ
ö
+
=
+
=
+
ç
÷
è
ø ，
1
1
1
1
3
2
0
3
1
2
2
2
+ +
+
=
¹
\
=
+
n
n
a
a
a
Q
，
，
所以
1
2
na
ì
ü
+
í
ý
î
þ 是以
1
1
3
2
2
a +
=
为首项，3 为公比的等比数列.
所以
1
3
2
2
n
na +
=
，则
3
1
2
n
na
-
=
.
（2）由
3
3
log
2
1
log 3n
n
n
b
a
n
=
+
=
=
，
则
1
2
2
1
1
2
1
1
n
n
b b
n n
n
n
+
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø，
所以
2026
1
1
1
1
1
1
2 1
2 1
2
2
3
2026
2027
2027
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
T
L
即
2026
4052
2027
=
T
.
5. （2026·广东汕头·模拟预测）已知在数列
na
中，
1
1,
N*
n
n
a
a
n
+ -
=
Î
，
nb
为等比数列，
n
S 为
na
的前n
项和．
1
3
5
6
2
,
b
a S
a
b
=
-
=
，
1
2
3
4
b
b
a
+
=
．
(1)若
n
n
n
c
a
b
=
+
，求数列
nc
的前n 项和
nT ；
(2)若
4
n
n
n
d
b
a
n
=
-
×
，求
n
d
前n 项和的最小值．
【答案】(1)
2
1
3
3
2
n
n
n
n
T
+
+
+
-
=
(2) 17
-
【分析】（1）根据题意建立关于
1
1
,
,
a b q 的方程并求解，进而得到
na
，
nb
的通项公式，再根据求和公式
求解
nT ；
（2）根据（1）得数列
2
3
4
n
n
d
n
=
-
，分析可知
4
n ³
时，
n
d
前n 项和大于0，进而求解最小值.
【详解】（1）由
1
1
n
n
a
a
+ -
= 可知
na
是公差
1
d = 的等差数列，则
1
1
1
1
na
a
n
d
a
n
=
+
-
=
+
- .
nb
为等比数列，设公比为q ，由
1
3
5
6
2
,
b
a S
a
b
=
-
=
，
1
2
3
4
b
b
a
+
=
，
可得
1
1
1
2
2
a
a
d
b
+
=
=
+
①，
1
5
5
6
6
2
1
5
2
q
a
a
S
a
a
b
b
-
=
+
´
=
-
=
，即
3
6
1
2
5
2
q
a
a
b
´
-
=
，
1
1
4
5
a
q
b
+
=
②，
1
2
1
1
3
1
4
4
2
q
b
b
b
b
a
a
+
=
+
=
=
+
③，
将①②代入③可得
1
1
1
1
1
2
4
5
4
2
b
b
a
a
q
a
=
+
+
+
+
=
+
，
解得
1
1
a = ，则
1
3
b =
，
3
q =
，
所以
na
n
=
，
1
1
3
n
n
nb
b q -
=
=
，
3n
n
n
n
c
a
b
n
=
+
=
+
，
故
1
1
1
2
3
1
2
3
1
3
2
1
3
n
n
n
n
n
b
a
a
n
T
a
a
a
a
b
b
b
b
-
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
-
L
L
2
1
3 3
1
1
3
3
2
2
2
n
n
n
n
n
n
+
-
+
+
+
-
=
+
=
.
（2）由（1）得
2
3
4
3
4
n
n
n
d
n n
n
=
-
×
=
-
，设
n
d
前n 项和为
n
U ，
则
1
1
3
4
1
d =
-
= - ，
2
3
9
7
d =
+
= - ，
3
3
3
3
4 2
9
d =
- ´
= - ,
4
4
4
3
4 2
17
d =
- ´
=
，
5
5
5
3
4 2
143,
d =
- ´
=
L
所以
1
1
1
U
d
=
= - ，
2
2
1
1
7
8
U
d
d
=
+
= - + -
= - ，
3
3
1
2
1
7
9
17
U
d
d
d
=
+
+
= - + -
+ -
= -
4
4
1
2
3
1
7
9
17
0
U
d
d
d
d
=
+
+
+
= - + -
+ -
+
=
，
2
5
1
3
4
5
1
7
9
17
143
143,
U
d
d
d
d
d
=
+
+
+
+
= - + -
+ -
+
+
=
L
由于从第4 项起，每一项
n
d 都大于0，即
n
U 在
3
n =
之后开始递增，
所以前3 项和最小，最小值为17
-
.
6. （2026·甘肃兰州·一模）已知数列
na
中，
1
1
a = ，当
2
n ³
时，
na 为
*
(1
)n
x
n
+
ÎN
的展开式第3 项的二
项式系数.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
nb
满足
1
n
n
b
a
=
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：1
3
nT
<
.
【答案】(1)
1,
1
(
1) ,
2
2
n
n
a
n n
n
=
ìï
= í
-
³
ïî
(2)证明见解析
【分析】（1）由二项式定理写出数列
na
的通项公式；
（2）应用裂项相消法求
nT ，结合单调性证明结论.
【详解】（1）由题意，
2
n ³
时
na 为
*
(1
)n
x
n
+
ÎN
的展开式第3 项的二项式系数，
所以
2
(
1)
C
2
n
n
n n
a
-
=
=
，且
1
1
a = ，故
1,
1
(
1) ,
2
2
n
n
a
n n
n
=
ìï
= í
-
³
ïî
；
（2）由（1）
1,
1
1
2
1
1
2
,
2
(
1)
1
n
n
n
b
n
a
n n
n
n
=
ì
ï
=
= í
æ
ö
=
-
³
ç
÷
ï
-
-
è
ø
î
，
当
2
n ³
时，
1
1
1
1
1
2
1
2 1
3
2
2
3
1
nT
n
n
n
æ
ö
= +
-
+
-
+
+
-
=
-
ç
÷
-
è
ø
L
，
因为
1
1
T = 满足上式，所以
2
3
nT
n
=
-
对
*
nÎN 恒成立，
易知
2
3
nT
n
=
-
在
*
nÎN 上单调递增，
2
1
2
n
n
= Þ
=
，
2
0
n
n
® +¥ Þ
®
，所以1
3
nT
<
.
考点2 解三角形
1. （2026·河北唐山·一模）记
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
cos2
cos2
2cos2
A
B
C
+
=
.
(1)证明：
2
2
2
2
a
b
c
+
=
；
(2)若
sin
3
b
A
c =
，求A.
【答案】(1)证明见详解
(2)
2π
3
A =
【分析】（1）根据二倍角公式可得
2
2
2
sin
sin
2sin
A
B
C
+
=
，再结合正弦定理即可得结果；
（2）利用余弦定理结合（1）中结论可得cos
2
b
c
A
c
b
=
-
，代入
sin
3
b
A
c =
整理可得sin 2
6
1
π
A
æ
ö =
ç
÷
è
ø
-
+
，进而分
析求解.
【详解】（1）因为cos2
cos2
2cos2
A
B
C
+
=
，可得
2
2
2
1 2sin
1 2sin
2 1 2sin
A
B
C
-
+ -
=
-
，
整理可得
2
2
2
sin
sin
2sin
A
B
C
+
=
，
由正弦定理可得
2
2
2
2
a
b
c
+
=
.
（2）因为
2
2
2
2
a
b
c
+
=
，即
2
2
2
2
a
c
b
=
-
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
2
2
2
b
c
c
b
b
c
a
b
c
b
c
A
bc
bc
bc
c
b
+
-
-
+
-
-
=
=
=
=
-
，
又因为
sin
0
3
b
A
c =
>
，则
3
sin
c
b
A
=
，可得
sin
cos
3
2sin
3
A
A
A =
-
，
即
2
2 3sin
cos
n
3
2si
A
A
A
=
- ，可得3sin 2
1 cos2
3
A
A = -
- ，
即
co
3s
s2
2
in 2A
A = -
+
，可得sin 2
6
1
π
A
æ
ö =
ç
÷
è
ø
-
+
，
且0
π
A
<
<
，则π
π
13π
2
6
6
6
A
<
+
<
，
可得
π
3π
2
6
2
A +
=
，解得
2π
3
A =
.
2. （2026·江西赣州·一模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
2
3sin
cos
c
a
C
C
b
-
-
=
.
(1)若tan
5 3
C=-
，求tanA的值.
(2)若
3 3 3,
a c
ABC
+ = +
△
的内切圆的面积为π ，求
ABC
V
的面积.
【答案】(1)
3
4
(2)3
2 3
+
【分析】（1）根据正弦定理及两角和正弦公式得
π
sin
1
6
B
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，求得tan
3
B =
，再根据两角和的正切公
式进行求解；
（2）根据三角形面积公式及内切圆半径公式，结合余弦定理，求得
3
3
b =
+
，进而求得
3
2 ac 的值，从而
求出ABC
V
的面积.
【详解】（1）因为
2
3sin
cos
c
a
C
C
b
-
-
=
，所以由正弦定理得
2sin
sin
3sin
cos
sin
C
A
C
C
B
-
-
=
，
所以
3sin
cos
sin
2sin
sin
C
C
B
C
B
C
-
=
-
+
，
所以
3sin
cos
sin
2sin
sin cos
cos sin
C
C
B
C
B
C
B
C
-
=
-
-
，
所以3sin sin
2sin
cos sin
C
B
C
B
C
=
-
在
ABC
V
中，因为sin
0
C ¹
，所以有3sin
cos
2
B
B
+
=
，即得
π
2sin
2
6
B
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，即
π
sin
1
6
B
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
因为
(0,π)
BÎ
，所以
π
π
6
2
B +
=
，即得
π
3
B =
，tan
3
B =
，
所以tan
tan[π
(
)]
tan(
)
A
C
B
C
B
=
-
+
= -
+
tan
tan
1
tan tan
C
B
C
B
+
= - -
5 3
3
3
4
1
5 3
3
-
+
= -
=
+
´
.
（2）
ABC
V
内切圆的面积为π ，所以内切圆半径
1
r = ，
又
1
1
sin
2
2
ABC
S
ac
B
a
b
c
r
=
=
+
+
×
V
，则有
3
3
3 3
2 ac
b
=
+
+ ，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
2
(
)
3
a
c
ac
=
+
-
2
3
3 3
(3
3 3)
3
3
2
b
+
+
=
+
- ´
2
3
2 3
2 3 3
2 3
3
3 3
3
3
2 3
b
b
=
+
-
+
+
=
+
+
-
，
所以
2
2 3
(3
3 3)(3
3)
0
b
b
+
-
+
+
=
，解得
3
3
b =
+
或
(3 3 3)
b = -
+
（舍），
所以
3
6
4 3
2 ac =
+
，
则
1
1
3
sin
3
2 3
2
2
2
ABC
S
ac
B
ac
´
=
=
=
+
V
.
3. （2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形ABCD 中，
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，
BAC
DAC
Ð
= Ð
．
(1)证明：CB
CD
=
；
(2)已知
2
AC =
，
ABC
V
的外接圆半径为2 ，求
BCD
△
面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
0,4
【分析】（1）利用正弦定理可证明结论.
（2）设
BAC
q
Ð
=
，利用正弦定理，结合三角形的面积公式，用q 表示出
BCD
△
的面积，再利用导数求
BCD
△
面积的取值范围.
【详解】（1）在
ABC
V
中，sin
sin
AC
CB
ABC
BAC
=
Ð
Ð
Þ
sin
sin
AC
BAC
CB
ABC
×
Ð
=
Ð
，
在
ADC
△
中，sin
sin
AC
CD
ADC
DAC
=
Ð
Ð
Þ
sin
sin
AC
DAC
CD
ADC
×
Ð
=
Ð
，
因为
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，所以sin
sin
ABC
ADC
Ð
=
Ð
，且
BAC
DAC
Ð
= Ð
，
所以CB
CD
=
.
（2）在
ABC
V
中，设
BAC
q
Ð
=
2 2
sin
sin
AC
CB
ABC
q
=
=
Ð
Þ
2
sin
2
ABC
Ð
=
，
2 2 sin
CB
q
=
.
所以
π
4
ABC
Ð
=
或3π
4 ，
π
2
BCD
q
Ð
=
-
，
所有由三角形内角和可得
π
0, 4
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø.
1
sin π
2
2
BCD
S
CB CD
q
=
×
×
-
V
2
4sin
sin 2
q
q
=
×
3
8sin
cos
q
q
=
×
所以
2
6
2
6
2
64sin
cos
64sin
1 sin
BCD
S
q
q
q
q
=
=
-
V
6
8
64 sin
sin
q
q
=
-
设
2
sin
t
q
=
，
1
0, 2
t
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
设
3
4
1
,
0, 2
f t
t
t
t
æ
ö
=
-
Îç
÷
è
ø ，则
2
3
2
3
4
3
4
0
f
t
t
t
t
t
¢
=
-
=
-
>
，
所以
f t 在
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增,
所以
1
0,16
f t
æ
ö
Îç
÷
è
ø .
所以
BCD
△
面积的取值范围为
0,4 .
4. （2026·浙江宁波·二模）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
3
c = ，
6
b =
，3sin
cos
2
A
A
+
=
．
(1)求A ；
(2)点D 在边BC 上，连接AD ，且
:
1: 2
BD DC =
，记
ABD
△
和ACD
V
的内切圆半径分别为1r ，2r ，求1
2
r
r
+
的值．
【答案】(1)
π
3
A =
(2) 1
2
15
7 3
2
r
r
-
+
=
【分析】（1）利用辅助角公式可得
π
sin
1
6
A
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，结合角A 的取值范围分析求解即可；
（2）利用余弦定理可得
3 3
a =
，进而可得
π
2
B =
，
1
3
2
BD
CD
=
=
，
2 3
AD =
，利用等面积法求1r ，2r ，即
可得结果.
【详解】（1）因为
3
1
π
3sin
cos
2
sin
cos
2sin
2
2
2
6
A
A
A
A
A
æ
ö
æ
ö
+
=
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，即
π
sin
1
6
A
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
且0
π
A
<
<
，则π
π
5π
6
6
6
A
<
+
<
，
可得
π
π
6
2
A+
=
，所以
π
3
A =
.
（2）由（1）可知：
π
3
A =
，且
3
c = ，
6
b =
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
2
cos
36
9
2 6 3
27
2
a
b
c
bc
A
=
+
-
=
+
- ´ ´ ´
=
，即
3 3
a =
，
则
2
2
2
a
c
b
+
=
，则
π
2
B =
，
且
1
3
2
BD
CD
=
=
，可得
2
2
2 3
AD
AB
BD
=
+
=
，
在ABD
V
中，则
1
1
1
3
3
3
3
2 3
2
2 r
´ ´
=
×
×
+
+
，解得1
3
3
2
r
-
=
；
在ACD
V
中，则
2
1
1
3 2 3
2 3
2 3
6
2
2 r
´ ´
=
×
×
+
+
，解得
2
3 2
3
r =
-
；
所以1
2
15
7 3
2
r
r
-
+
=
.
5. （2026·河北张家口·一模）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，满足
2 cos
b
b
A
c
+
=
．
(1)证明：
2
A
B
=
；
(2)若
2
b =
，
1
c = ，点D 为边BC 上一点，AD 为
BAC
Ð
的平分线，求
1
AD
a
+
的值；
(3)若
ABC
V
为锐角三角形，求c
b 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
6
2
(3)
1,2
c
b Î
【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证；
（2）先计算cos A，利用二倍角余弦公式得cos 2
A ，再由
ABC
ABD
ADC
S
S
S
=
+
V
V
V
结合二倍角正弦公式即可求解；
（3）由（1）有
2
A
B
=
，得
π
3
C
B
=
-
，又由正弦定理得
2
sin
3
4sin
sin
c
C
B
b
B
=
=
-
，利用锐角三角形求出B 的
范围，进而求解.
【详解】（1）由
2 cos
b
b
A
c
+
=
，利用正弦定理得：sin
2sin
cos
sin
B
B
A
C
+
=
，
又
sin
sin π
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
A
B
é
ù
=
-
+
=
+
=
+
ë
û
，
所以sin
2sin
cos
sin
cos
cos
sin
B
B
A
A
B
A
B
+
=
+
，
所以
sin
sin
cos
cos
sin
sin
B
A
B
A
B
A
B
=
-
=
-
，
所以B
A
B
=
-
或
π
A
B
B
-
=
-
，
所以
2
A
B
=
或
π
A =
（舍去）
所以
2
A
B
=
；
（2）由
2,
1,
2 cos
b
c
b
b
A
c
=
=
+
=
，所以
1
cos
2
4
c
b
A
b
-
=
= -
，
又
2
cos
2cos
1
2
A
A =
- ，所以
2
1 cos
3
cos 2
2
8
A
A
+
=
=
，
又
π
0
2
2
A
<
<
，所以
6
cos 2
4
A =
，
又由AD 为
BAC
Ð
的平分线，
所以
ABC
ABD
ADC
S
S
S
=
+
V
V
V
，
所以1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
A
A
bc
A
c AD
b AD
=
×
+
×
，
所以
6
2
cos
2 2 1
sin
6
2
4
1
2
3
sin
sin
2
2
A
bc
bc
A
AD
A
A
c
b
c
b
´ ´ ´
=
=
=
=
+
+
+
，
又由余弦定理得：
2
2
2
1
2
cos
4 1 2 2 1
6
4
a
b
c
bc
A
æ
ö
=
+
-
=
+ - ´ ´ ´ -
=
ç
÷
è
ø
，
所以
6
a =
，所以
1
6
6
6
3
6
2
AD
a
+
=
+
=
；
（3）由（1）有
2
A
B
=
，又
3
π
A
B
C
B
C
+
+
=
+
=
，所以
π
3
C
B
=
-
，
又由正弦定理得：
3
2
sin π
3
sin
sin3
3sin
4sin
3
4sin
sin
sin
sin
sin
B
c
C
B
B
B
B
b
B
B
B
B
-
-
=
=
=
=
=
-
，
又
ABC
V
为锐角三角形，所以
π
π
0
0
2
2
2
π
π
π
π
0
0
2
2
6
4
π
π
0
0
π
3
2
2
A
B
B
B
B
C
B
ì
ì
<
<
<
<
ï
ï
ï
ï
ï
ï
<
<
Þ
<
<
Þ
<
<
í
í
ï
ï
ï
ï
<
<
<
-
<
ï
ï
î
î
，
所以1
2
sin
2
2
B
<
<
，所以
2
1
3
4sin
2
B
<
-
<
，所以
1,2
c
b Î
.
6. （2026·湖北襄阳·一模）在
ABC
V
中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，M 为边BC 所在直线上一
点．
(1)若
2
3
BAC
p
Ð
=
，AM 平分∠BAC，
2
AM =
，
3 7
BC =
，求
ABC
V
的周长；
(2)若AM
BC
^
，且
3
4
AM
a
=
，求
2
b
c
bc
+
的最大值和最小值．
【答案】(1)9
3 7
+
(2)最大值2 13
2
3
+ ；最小值4
【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解；
（2）根据三角形面积公式可得
2
4
sin
3
a
bc
A
=
，根据余弦定理化简可得
2
2
2
4
2
cos
sin
2
cos
3
b
c
a
bc
A
bc
A
bc
A
+
=
+
=
+
，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用
基本不等式可得最小值.
【详解】（1）由题意得1
3
1
3
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
bc
b
c
=
´
+
´
所以
2
bc
b
c
=
+
①
又
2
2
63
b
c
bc
=
+
+
②
由①②解得
9
b
c
+
=
，所以
ABC
V
的周长为9
3 7
+
；
（2）∵
2
1
1
3
4
sin
sin
2
2
4
3
bc
A
a
a
a
bc
A
=
´
Þ
=
，
又
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
，∴
2
2
2
4
2
cos
sin
2
cos
3
b
c
a
bc
A
bc
A
bc
A
+
=
+
=
+
∴
2
2
2
2
2
2
2
b
c
b
c
bc
b
c
bc
bc
bc
+
+
+
+
=
=
+
4
2 13
2
3
2 13
2 13
sin
2cos
2
sin
cos
2
sin(
)
2
2
3
3
3
3
13
13
A
A
A
A
A f
æ
ö
=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
ç
÷
è
ø
当且仅当
sin
1
A f
+
= ，即
2 13
3 13
sin
,cos
13
13
A
A
=
=
时取“ = ”，
又
2
2
2
4
bc
b
c
bc
bc
+
³
=
，当且仅当b
c
=
时取“ = ”，
所以
2
b
c
bc
+
的最大值2 13
2
3
+ ，最小值
考点3 导数
1. （2026·福建福州·模拟预测）已知函数
4
2 ln
f x
x
x
a
=
+
+
.
(1)当
1
a = 时，求曲线
y
f x
=
在点
1,1 处的切线方程；
(2)若函数
2
2
g x
x
f
x
=
+
-
有且仅有一个零点，求a 的值.
【答案】(1)6
5
0
x
y
-
-
=
(2)9
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算法则、直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）方法一：利用二次求导法，结合零点的定义、函数的最值进行求解即可；
方法二：利用函数零点的定义，得到a 的表达式，利用构造新函数法，结合导数的正负性与函数单调性的关
系，最后求出函数的最值即可.
【详解】（1）当
1
a = 时，
(4
2)ln
1
f x
x
x
=
+
+ ，
4
2
4ln
x
f
x
x
x
+
¢
=
+
，
得
1
6
f ¢
=
，
所以曲线
y
f x
=
在点
1,1 处的切线方程为
1
6
1
y
x
- =
-
，
即6
5
0
x
y
-
-
=
.
（2）方法一：
2
( ) (
2)
(4
2)ln
g x
x
x
x a
=
+
-
+
-
，
0,
xÎ
+¥ ，
4
2
1
2(
2)
4ln
2
2ln
x
g x
x
x
x
x
x
x
+
æ
ö
¢
=
+
-
-
=
-
-
ç
÷
è
ø
，
令
1
2 ln
q x
x
x
x
=
-
-
，
0,
xÎ
+¥ ，得
2
2
2
1
2
(
1)
1
0
x
q x
x
x
x
-
¢
= +
-
=
³
，
故
q x 在
0, ¥
+
内单调递增，又
1
0
q
=
，
则当
0,1
xÎ
，
0
q x <
，得
0
g
x
¢
<
，
g x 单调递减，
当
1,
xÎ
+¥ ，
0
q x >
，得
0
g
x
¢
>
，
g x 单调递增，
从而
g x 在
1
x = 处取得极小值，同时也是最小值，
最小值为1
9
g
a
= - .
又当
0
x >
且
0
x ®
时，
g x
¥
® +
，当x ® +¥ 时，
g x
¥
® +
，
由函数
g x 有且仅有一个零点，可得1
9
0
g
a
= -
=
，
则a 的值为9.
方法二：
2
(
2)
(4
2)ln
g x
x
x
x
a
=
+
-
+
-
，
0,
xÎ
+¥ ，
令
0
g x =
得
2
(
2)
(4
2)ln
a
x
x
x
=
+
-
+
，
令
2
(
2)
(4
2)ln
h x
x
x
x
=
+
-
+
，
0,
xÎ
+¥ ，
则
4
2
1
2(
2)
4ln
2
2ln
x
h x
x
x
x
x
x
x
+
æ
ö
¢
=
+
-
-
=
-
-
ç
÷
è
ø
，
令
1
2 ln
q x
x
x
x
=
-
-
，
0,
xÎ
+¥ ，得
2
2
2
1
2
(
1)
1
0
x
q x
x
x
x
-
¢
= +
-
=
³
，
故
q x 在
0, ¥
+
内单调递增，又
1
0
q
=
，
则当
0,1
xÎ
，
0
q x <
，得
0
h x
¢
<
，
h x 单调递减，
当
1,
xÎ
+¥ ，
0
q x >
，得
0
h x
¢
>
，
h x 单调递增，
从而
h x 在
1
x = 处取得极小值，同时也是最小值，
最小值为1
9
h
=
.
又当
0
x >
且
0
x ®
时，
h x ® +¥ ，当x ® +¥ 时，
h x ® +¥ ，
由函数
g x 有且仅有一个零点，可得
1
9
a
h
=
=
，
则a 的值为9.
2. （25-26 高三下·四川成都·开学考试）已知函数
( )
ln
1
f x
a
x
x
=
-
- ，aÎR ．
(1)讨论函数
( )
f x 的单调性；
(2)当
1
a = 时，令
( )
1
1
( )
1
f x
x
g x
x
x
+
+
=
+
+
，求证：
ln
( )
1
x
g x
x
>
-
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出
( )
f x 的导数，再按
0,
0
a
a
>
分类讨论求出
( )
f x 的单调区间.
（2）把
1
a = 代入求出( )
g x ，再对所证不等式作等价变形，按
1,0
1
x
x
>
<
< 分段并构造函数，利用导数证明
不等式.
【详解】（1）函数
( )
ln
1
f x
a
x
x
=
-
- 的定义域为(0,
)
+¥ ，求导得
( )
1
a
a
x
f
x
x
x
¢
-
=
- =
，
当
0
a
时，
( )
0
f
x
¢
<
，函数
( )
f x 在(0,
)
+¥ 上单调递减；
当
0
a >
时，由
( )
0
f
x
¢
>
，得0
x
a
<
<
；由
( )
0
f
x
¢
<
，得x
a
>
，
函数
( )
f x 在(0, )
a 上单调递增，在( ,
)
a +¥ 上单调递减，
所以当
0
a
时，函数
( )
f x 在(0,
)
+¥ 上单调递减；
当
0
a >
时，函数
( )
f x 在(0, )
a 上单调递增，在( ,
)
a +¥ 上单调递减.
（2）当
1
a = 时，
( )
ln
1
f x
x
x
=
-
- ，
ln
1
( )
1
x
g x
x
x
=
+
+
，
不等式
2
ln
1
1
ln
1
1
1
ln
ln
ln
2ln
( )
1
1
1
1
x
x
x
x
g
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
>
Û
>
Û
+
>
-
+
>
-
-
-
+
-
Û
，
当
1
x > 时，
2
ln
( )
2ln
1
1
x
x
g x
x
x
x
-
>
>
- Û
，令函数
2
1
( )
2ln ,
1
x
x
h x
x x
-
=
-
> ，
求导得
2
2
1
2
1
( )
1
(1
)
0
h x
x
x
x
¢
= +
-
=
-
>
，函数( )
h x 在(1,
)
+¥ 上单调递增，
则( )
(1)
0
h x
h
>
=
，因此
2
2 n
1
l
x
x
x
- >
；
当0
1
x
<
< 时，
2
ln
( )
2ln
1
1
x
x
g x
x
x
x
-
>
<
- Û
，函数
2
( )
2 n ,0
1
1
l
x
h x
x
x
x
-
=
-
<
< ，
求导得
2
2
1
2
1
( )
1
(1
)
0
h x
x
x
x
¢
= +
-
=
-
>
，函数( )
h x 在( 0, 1) 上单调递增，
则( )
(1)
0
h x
h
<
=
，因此
2
2 n
1
l
x
x
x
- <
，
所以
ln
( )
1
x
g x
x
>
- .
3. （2026·黑龙江·一模）已知函数
2
(
1)
ln
f x
a x
x
x
=
+
+
+
，
R
aÎ
．
(1)讨论
f x 的单调性；
(2)当
1
0
2
a
-
<
时，求证：
1
2
1
2
f x
a
a
-
- ．
【答案】(1)当
0
a ³
时，函数
f x 在区间
0, ¥
+
上单调递增；
当
0
a <
时，函数
f x 在区间
1
0,
2a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增，在区间
1 ,
2a
æ
ö
-
+¥
ç
÷
è
ø 上单调递减．
(2)证明见解析
【分析】（1）求出
f
x
¢
，当
0
a ³
时，根据
f
x
¢
的形式可判断
0
f
x
¢
>
，当
0
a <
时，同样依据
f
x
¢
的
形式可判断
f
x
¢
在
1
0,
2a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø、
1 ,
2a
¥
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø 上符号，从而得到单调性区间；
（2）根据（1）中的单调性得到
max
f x
，根据恒成立得
1
1
1
ln
2
2
1
4
2
a
a
a
a
a
- -
-
-
-
- 在
1
0
2
a
-
<
上恒成
立，
1
1
ln
2
,
0
4
2
g a
a
a
a
a
=
-
+
-
-
<
，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立.
【详解】（1）由题意可知，函数
2
(
1)
ln
f x
a x
x
x
=
+
+
+
，
R
aÎ
的定义域为
0, ¥
+
，
导数
1
2
1
x
ax
f
x
x
¢
+
+
=
，
0
x >
当
0
a ³
时，
0,
x
¥
Î
+
，
0
f
x
¢
>
；
当
0
a <
时，
1
0,
2
x
a
æ
ö
Î
-
ç
÷
è
ø ，
0
f
x
¢
>
；
1 ,
2
x
a
¥
æ
ö
Î -
+
ç
÷
è
ø ，
0
f
x
¢
<
；
综上，当
0
a ³
时，函数
f x 在区间
0, ¥
+
上单调递增；
当
0
a <
时，函数
f x 在区间
1
0,
2a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增，在区间
1 ,
2a
¥
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø 上单调递减．
（2）由（1）可知，当
1
0
2
a
-
<
时，
函数
f x 在区间
1
0,
2a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增，在区间
1 ,
2a
¥
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø ，上单调递减．
所以
2
max
1
1
1
1
1
ln
1
ln
2
2
2
2
4
f x
a
a
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
=
-
-
+
-
=
- -
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
要证
1
2
1
2
f x
a
a
-
- ，需证
1
1
1
ln
2
2
1
4
2
a
a
a
a
a
- -
-
-
-
- ．
即需证
1
1
ln
2
0,
0
4
2
a
a
a
a
-
+
-
³
-
<
恒成立，
令
1
1
ln
2
,
0
4
2
g a
a
a
a
a
=
-
+
-
-
<
，
则
2
2
2
1
2
(2
1)
1
0
4
2
4
a
g
a
a
a
a
+
= +
+
=
³
¢
所以函数
g a 在区间
1 ,0
2
é
ö
-
÷
êë
ø 单调递增，
故
1
0
2
g a
g æ
ö
³
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
1
ln
2
0
4
a
a
a
-
+
-
³
，
1
0
2
a
-
<
恒成立，
所以当
1
0
2
a
-
<
时，
1
2
1
2
f x
a
a
-
- ．
4. （2026·福建莆田·二模）已知函数
2
ln
f x
ax
x
=
-
.
(1)当
2
a =
时，求
f x 的极值；
(2)若
2
³
-
f x
a x ，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)极小值为
1
1
ln2
2
2
f æ
ö =
+
ç
÷
è
ø
，无极大值
(2)
1,+¥
【分析】（1）求
'f
x ，根据其正负性得出函数的单调性即可；
（2）令
2
ln
2
g x
ax
x
a x
=
-
-
-
，根据1
2
2
g
a
=
- ≥0得出
1
a ³ ，接着利用导数得出
g x 的单调性，解
不等式min
0
g x
³
即可.
【详解】（1）当
2
a =
时，
2
2
ln ,
0
f x
x
x x
=
-
>
，则
2
'
1
4
1
4
x
f
x
x
x
x
-
=
-
=
，
由
'
0
f
x <
得
1
0
2
x
<
<
；
'
0
f
x >
得
1
2
x >
，
则
f x 在
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减，在1 ,
2
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø上单调递增，
则
f x 的极小值为
1
1
ln2
2
2
f æ
ö =
+
ç
÷
è
ø
，无极大值；
（2）
2
³
-
f x
a x 等价于
2
ln
2
ax
x
a x
-
³
-
，
令
2
ln
2
g x
ax
x
a x
=
-
-
-
，则
0
g x ³
在
0, ¥
+
上恒成立，
则1
2
2
g
a
=
- ≥0，得
1
a ³ ，
因为
2
'
2
2
1
2
1
1
1
2
2
ax
a x
x
ax
g
x
ax
a
x
x
x
-
-
-
+
-
=
-
-
-
=
=
，
则
'
0
g
x <
得
1
0
x
a
<
<
；
'
0
g
x >
得
1
x
a
>
，
则
g x 在
1
0, a
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，在1 ,
a
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø 上单调递增，
则min
1
ln
1
1
0
g
a
x
g a
a
æ
ö
=
=
ç
÷
è
-
+ ³
ø
，
因为
1
ln ,
y
a y
a
=
= -
在
1,+¥ 上单调递增，
所以
1
ln
1
h a
a
a
=
-
+ 在
1,+¥ 上单调递增，
所以当
1
a ³ 时，
1
0
h a
h
³
=
，
综上，实数a 的取值范围为
1,+¥ .
5. （2026·江苏盐城·二模）已知
ln
1
f x
x
x
ax
=
-
-
.
(1)当
1
a = 时，求曲线
( )
f x 在
2
x =
处的切线方程；
(2)若
( )
f x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
4
y
x
=
-
(2)
2
a
【分析】（1）求出
2
1
f ¢
= ，切点为
2, 2
-
，利用点斜式直线方程求出切线方程即可；
（2）转化为
0
f
x
¢
³
在
1, ¥
+
上恒成立，参变分离，令
ln
1
,
1
1
x
g x
x
x
x
=
-
+
>
-
，利用导数法求解
g x
的最小值，即可求得a 的取值范围.
【详解】（1）当
1
a = 时，
ln
1
f x
x
x
x
=
-
-
，
1
x >
，
则
1
ln
1
1
f
x
x
x
=
-
+
-
¢
，故
2
1
f ¢
= ，
2
2
f
= - ，
所以曲线
( )
f x 在
2
x =
处的切线方程为：
2
2
y
x
+
=
-
，即
4
y
x
=
-
.
（2）由题意得
ln
1
1
x
f
x
x
a
x
=
-
+
-
-
¢
，
若函数
( )
f x 在
1, ¥
+
上单调递增，则
0
f
x
¢
³
在
1, ¥
+
上恒成立，
即
ln
1
1
x
a
x
x
-
+
- 在
1, ¥
+
上恒成立，所以
min
a
g x
，
令
ln
1
,
1
1
x
g x
x
x
x
=
-
+
>
-
，
2
2
1
x
g
x
x
-
=
-
¢
，
当
2
x >
时，
0
g
x
¢
>
，当1
2
x
<
<
时，
0
g
x
¢
<
，
故
g x 的单调递增区间为
2, ¥
+
，
g x 的单调递减区间为
1,2 ，
所以函数
g x 的最小值为
2
2
g
=
，所以
2
a
.
6. （2026·四川·模拟预测）已知函数
2
( )
e
(
4)e
4
2
x
x
a
f x
a
x
=
+
-
-
．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)设aÎZ 且
0
a ¹
，若
9
10
( )
2
f x
a
>
-
，求a 的最小值.
【答案】(1)当
0
a
时，函数
( )
f x 在R 上单调递减；当
0
a >
时，函数
( )
f x 在
4
(
,ln
)
a
-¥
上单调递减，在
4
(ln
,
)
a +¥ 上单调递增.
(2)5.
【分析】（1）求出函数
( )
f x 的导数
( )
f
x
¢
，再按
0,
0
a
a
>
分类讨论求出函数
( )
f x 单调区间.
（2）由（1）求出
( )
f x 的最小值，进而建立不等式，利用导数确定函数单调性求解不等式.
【详解】（1）函数
2
( )
e
(
4)e
4
2
x
x
a
f x
a
x
=
+
-
-
的定义域为R，
求导得
2
( )
e
(
4)e
4
x
x
f
x
a
a
¢
=
+
-
-
(
4)(
1)
e
e
x
x
a
=
-
+
，
当
0
a
时，
( )
0
f
x
¢
<
，函数
( )
f x 在R 上单调递减；
当
0
a >
时，由
( )
0
f
x
¢
<
，得
4
ln
x
a
<
；由
( )
0
f
x
¢
>
，得
4
ln
x
a
>
，
函数
( )
f x 在
4
(
,ln
)
a
-¥
上单调递减，在
4
(ln
,
)
a +¥ 上单调递增，
所以当
0
a
时，函数
( )
f x 在R 上单调递减；
当
0
a >
时，函数
( )
f x 在
4
(
,ln
)
a
-¥
上单调递减，在
4
(ln
,
)
a +¥ 上单调递增.
（2）由（1）得，当
4
ln
x
a
=
时，
2
min
4
4
4
8
4
( )
( )
(
4)
4ln
4
4ln
2
a
f x
a
a
a
a
a
a
=
+
-
×
-
=
-
-
，
由
9
10
( )
2
f x
a
>
-
，得
8
4
9
10
4
4ln
2
a
a
a
-
-
>
-
，整理得4
4
8ln
1
0
a
a
-
- >
，
令4
t
a = ，由4
0,a
a >
ÎZ ，得0
4
t
<
，令函数
8ln
1,0
4
g t
t
t
t
= -
-
<
，
求导得
8
( )
1
0
g t
t
= -
<
¢
，函数( )
g t 在(0,4]上单调递减，
而(1)
0
g
=
，则由( )
0
g t >
，得0
1
t
< < ，因此
4
0
1
a
<
< ，解得
4
a > ，又aÎZ ，
所以a 的最小值为5.
考点4 圆锥曲线
1. （2026·河南开封·一模）在直角坐标系xOy 中，点P 到y 轴的距离等于点P 到点
2,0
F
的距离，记动点P
的轨迹为W ．
(1)求W 的方程；
(2)经过点F 且斜率为1 的直线l 交W 于A ，B 两点，求AB ．
【答案】(1)
2
4
1
y
x
=
-
(2)8
【分析】（1）先设点P 的坐标为
,x y ，再根据题意列式化简即可；
（2）先求出直线l 的方程，再利用距离公式即可求出.
【详解】（1）设点P 的坐标为
,x y ，依题意得
2
2
2
x
x
y
=
-
+
，
化简得
2
4
1
y
x
=
-
，所以W 的方程为
2
4
1
y
x
=
-
．
（2）直线l 过点F 且斜率为1，
\直线l 为
0
1
2
y
x
-
=
-
，即
2
y
x
=
-
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
联立
2
4
1
2
y
x
y
x
ì
=
-
í
=
-
î
，化简得：
2
8
8
0
x
x
-
+
=
，则
1
2
1
2
8,
8
x
x
x x
+
=
=
，
又
2
2
1
2
1
2
AB
x
x
y
y
=
-
+
-
，把
2
y
x
=
-
代入，
得
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
AB
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
-
+
-
-
+
=
-
+
-
=
-
,
2
1
2
1
2
1
2
4
64
4 8
4 2
x
x
x
x
x x
-
=
+
-
=
- ´
=
，
2
4 2
8
AB =
´
=
．
2. （2026·山东青岛·一模）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
，点F 为C 的焦点，
,
M N 是C 上任意不重合的两
点，当直线MN 过点F 且垂直x 轴时，|
| 4
MN =
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线MN 过点F 且OMN
V
的面积为4 ，求MN 的方程.
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2)
3
1
0
x
y
-
- =
或
3
1
0
x
y
+
- =
【分析】（1）当直线MN 垂直x 轴时，可求出M 、N 的坐标进而求出p 的值；
（2）三角形的面积可以用弦长公式和点到直线的距离公式表示底和高.
【详解】（1）设点
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
因为抛物线
2
:
2
,(
0)
C y
px
p
=
>
，所以
(
,0)
2
p
F
，
当直线MN 过点F 且垂直x 轴时，直线MN 的方程为
2
p
x =
，
把
2
p
x =
代入
2
2
y
px
=
可得
1
2
,
y
p y
p
=
= -
，
故
2
4
MN
p
=
=
，所以
2
p =
，所以方程为
2
4
y
x
=
.
（2）由（1）可知
1,0
F
，设直线MN 方程为
1
x
my
=
+ ，
联立
2
1
4
x
my
y
x
=
+
ì
í
=
î
得
2
4
4
0
y
my
-
-
=
，
则
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
m y y
+
=
= - ，
2
16
16
0
m
D =
+
>
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
|
|
1
(
)
4
1
16
16
MN
m
y
y
y y
m
m
=
+
×
+
-
=
+
×
+
2
4(1
)
m
=
+
，
又点O 到直线MN 距离
2
1
1
d
m
=
+
，
所以
2
2
2
1
1
1
4 1
2 1
2
2
1
OMN
S
MN d
m
m
m
=
=
×
+
×
=
+
+
V
，
令
2
2 1
4
m
+
=
，所以
2
1
2
m
+
=
，所以
2
3
m =
，解得
3
m =
或
3
m = -
，
所以直线MN 方程为
3
1
0
x
y
-
- =
或
3
1
0
x
y
+
- =
.
3. （2026·四川内江·二模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
经过点
2, 6
-
，其渐近线方程为
2
y
x
= ±
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点
1, 1
P
-
的直线l 与双曲线C 相交于
,
A B 两点，P 能否是线段AB 的中点？请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
2
y
x -
=
(2)不能,理由见解析
【分析】（1）由题设条件得出,a b 的方程，求解即得曲线的方程；
（2）假设P 是线段AB 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过
判别式判断方程是否有实根，即可确定P 能否为中点.
【详解】（1）双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
经过点
2, 6
-
，得
2
2
4
6
1
a
b
-
= ，
由渐近线方程为
2
y
x
= ±
，得
2
b
a =
，
解得
1
a = ，
2
b =
，
双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x -
= .
（2）假设P 是线段AB 的中点，设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，
则由
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
y
x
y
x
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
两式相减，可得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)(
)
(
)(
)
0
2
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
-
+
-
=
，
因为P 是线段AB 的中点，
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
+
=
+
= - ，
代入上式，可得
1
2
1
2
2
y
y
x
x
-
= -
-
，即此时直线AB 的斜率为
2
k = - ，
于是直线AB 的方程为
1
2(
1)
y
x
+ = -
-
，即
2
1
y
x
= -
+ .
联立
2
2
2
1
1
2
y
x
y
x
= -
+
ìïí
-
=
ïî
，消元得
2
2
4
3
0
x
x
-
+
=
，
2
Δ
4
4 2 3
8
0
= -
- ´ ´ = - <
，所以方程无实数解，
即此时直线与双曲线无交点，
故P 不能是线段AB 的中点.
4. （2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
左焦点
1( 1,0)
F -
，离心率为
2
2
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
1F 且斜率为k 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若
2
π
MON
Ð
>
，求k 的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)(
2,
2)
-
【分析】（1） 根据离心率及焦点列方程计算求解椭圆方程；
（2）先设直线再联立方程组计算韦达定理，把角转化为计算向量数量积计算求解.
【详解】（1）由已知
2
2
2
2
2
1
c
a
c
a
b
c
ì
=
ï
ïï =
í
ï
=
+
ï
ïî
，
解得
2
1
1
a
b
c
ì =
ï =
í
ï =
î
，所以C 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
=
（2）设MN：
(
1)
y
k x
=
+
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
将直线与椭圆方程联立
2
2
1
2
(
1)
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
+
î
，
整理得
2
2
2
2
1
2
4
2
2
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
，
经检验
0
D >
，
根据韦达定理
2
1
2
2
2
1
2
2
4
1
2
2
2
1
2
k
x
x
k
k
x x
k
ì
-
+
=
ïï
+
í
-
ï
=
ï
+
î
，
因为
π
2
MON
Ð
>
，所以
0
OM ON
×
<
uuuur uuur
，即
1
2
1
2
0
x x
y y
+
<
，
所以
2
1
2
1
2
1
1
0
x x
k
x
x
+
+
+
<
，整理得
2
2
2
1
2
1
2
1
0
k
x x
k
x
x
k
+
+
+
+
<
，
将韦达定理代入得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
0
1
2
1
2
k
k
k
k
k
k
k
-
-
+
+
+
<
+
+
，
去分母后整理得
2
2
k <
，解得
(
2,
2)
k Î -
，
5. （2026·福建莆田·二模）已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
的焦点为F ，准线为l ，直线
2 3
y =
与l ，C 的
交点分别为P ，Q ，且FP
FQ
=
.
(1)求p ；
(2)若过点
4,0
D
的直线m 交C 于A ，B 两点，且
24
AD
BD
×
=
，求
AD
BD 的值.
【答案】(1)2
(2) 1
2 或2 .
【分析】（1）由抛物线定义可得QP
FQ
=
进而得到
PQF
△
为等边三角形，从而求得
π
3
PFO
QPF
Ð
= Ð
=
，
结合图形特征及角的正切即可求解p ；
（2）设直线m ：
4
x
ty
=
+
,联立直线与抛物线可得
2
4
16
0
y
ty
-
-
=
，则由韦达定理得
3
4
2 2
y
y
+
= ±
，
3
4
16
y y = -
，计算弦长代入
24
AD
BD
×
=
中即可求得
2
2
t = ±
，再列方程结合弦长公式求值.
【详解】（1）
由抛物线定义得QP
FQ
=
，又因为FP
FQ
=
，所以
PQF
△
为等边三角形，
所以
π
3
PFO
QPF
Ð
= Ð
=
，
设准线为l 与x 轴交于点
,0
2
p
N æ
ö
-
ç
÷
è
ø，且P 的纵坐标为2 3 ，所以
2 3,
PN
FN
p
=
=
，
所以
π
2 3
tan
tan
3
3
PFO
p
Ð
=
=
=
，所以
2
p =
；
（2）
设m ：
4
x
ty
=
+
，
3
3
,
A x
y
，
4
4
,
B x
y
，
联立得
2
4
4
y
x
x
ty
ì
=
í =
+
î
，
2
4
16
0
y
ty
\
-
-
=
，
由韦达定理得
3
4
4
y
y
t
+
=
，
3
4
16
y y = -
，
所以
2
2
3
4
1
,
1
AD
t
y
BD
t
y
=
+
=
+
，
所以
2
1
16
24
AD
BD
t
×
=
+
´ -
=
，所以
2
1
2
t =
，则
2
2
t = ±
，
由韦达定理得
3
4
2 2
y
y
+
= ±
，
3
4
16
y y = -
，
所以
2
3
4
3
4
1
2
y
y
y y
+
= -
，所以
3
4
4
3
1
2
2
y
y
y
y
+
+
= -
，
所以
2
3
3
4
4
5
1
0
2
y
y
y
y
æ
ö
æ
ö
+
+ =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
3
4
1
2
y
y = -
或
3
4
2
y
y = - ，
所以
3
4
1
2
AD
y
BD
y
=
=
或
3
4
2
AD
y
BD
y
=
=
，
所以
AD
BD 的值为
1
2 或2 .
6. （2026·湖北恩施·二模）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
C
a
b
a
b
：
与直线
2
2
10
0
：
l
x
ay
b
+
+
-
=
交于
3,0 ,
0,
A
B
b
两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若C 上存在关于原点对称的两点M
N
，
，使得
MAB
△
与
NAB
△
的面积相等，求这两点的坐标．
【答案】(1)
2
2
1
9
4
x
y
+
=
(2) 3 2 ,
2
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
与
3 2 ,
2
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
【分析】（1）代入点求出,a b 即可求解；
（2）由对称性及三角形面积相等，可得
/ /
MN
l ，得出直线MN 方程，联立椭圆方程求交点坐标.
【详解】（1）将点
3,0
A
代入椭圆方程得
3
a =
，
将
0,
B
b 代入直线方程得
2
3
10
0
b
b
+
-
=
，解得
2
b =
或
5
b = - （舍去），
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
9
4
x
y
+
= .
（2）连接MN ，如图，
’
因为
MAB
△
与
NAB
△
的面积相等，则直线
/ /
MN
l ，
设直线MN 的方程为y
kx
=
由（1）可知，直线2
3
6
0
：
l
x
y
+
-
=
，所以
2
3
k = -
．.
由
2
2
2
3
1
9
4
y
x
x
y
ì
= -
ïïí
ï
+
=
ïî
，消去y ，整理得关于x 的方程
2
2
1
9
x = ，
解得
3 2
2
x = ±
，
所以这两点坐标为3 2 ,
2
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
与
3 2 ,
2
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
1．（2026·山西大同·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a = ，
1
3
1
n
n
S
a +
=
- .
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求数列
n
S
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
1
4n
na
-
=
(2)
1
4
1
4
9
3
9
n
nT
n
+
=
-
-
【分析】（1）根据
,
n
n
S
a 的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
（2）根据等比数列和等差数列前n 项和公式进行分组求和即可.
【详解】（1）因为
1
3
1
n
n
S
a +
=
- ，所以
1
3
1
n
n
S
a
- =
- ，
2
n ³
，
两式相减，得
1
3
2
n
n
n
a
a
a
n
+
=
-
³
，即
1
4
n
n
a
a +
=
，故
1
4
2
n
n
a
n
a
+ =
³
，
当
1
n = 时，
1
2
3
1
a
a
=
- ，所以
2
4
a =
，满足
1
4
n
n
a
a
+ =
，
所以数列
na
为以
1
1
a = 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
1
4n
na
-
=
.
（2）由（1）得
4
1
1
1
4
3
3
3
n
n
n
S
-
=
=
´
-
，
所以数列
n
S
的前n 项和
1
2
1
2
3
1
1
4
4
4
3
3
n
n
n
T
S
S
S
S
n
=
+
+
+
+
=
+
+
+
-
L
L
1
4 1 4
1
1
4
1
4
3
1 4
3
9
3
9
n
n
n
n
+
-
=
´
-
=
-
-
-
.
2．（2026·吉林通化·模拟预测）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
6
3
4
S
S
=
，
4
2
2
1
a
a
=
+ ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)数列
nb
满足
1
2
n
a
nb
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，求数列
n
n
a b
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2)
2
1
10
6
5
1
9
9
2
n
n
n
T
-
+
æ
ö
=
-
´ç
÷
è
ø
【分析】（1）设等差数列
na
的公差为d ，根据已知条件可得出关于
1a 、d 的方程组即可由等差数列的通
项公式求解；
（2）求出数列
nb
的通项公式，利用错位相减法可求得
nT 的表达式.
【详解】（1）设
na
的公差为d，则由题有
1
1
1
1
6
15
4 3
3
3
2
1
a
d
a
d
a
d
a
d
ì
+
=
+
ïí
+
=
+
+
ïî
，
1
1
a = 、
2
=
d
，所以
2
1
na
n
=
- ．
（2）由（1）得
2
1
1
1
2
2
n
a
n
nb
-
æ
ö
æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
1
1
2
1
2
n
n
n
a b
n
-
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，
所以
3
5
2
1
1 1
2
2
1
1
1
1
1
3
5
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
T
a b
a b
a b
n
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
= ´
+ ´
+ ´
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
L
，
所以
3
5
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
3
2
3
2
1
4
2
2
2
2
n
n
nT
n
n
-
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= ´
+ ´
+
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
两式相减得
3
5
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
4
2
2
2
2
2
n
n
nT
n
-
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+ ´
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
即
3
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
4
3
1
1
5
1 1
1
2
2
1
2
1
1
4
2
2
6
3 2
2
1
4
n
n
n
n
nT
n
n
-
+
-
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ë
û
=
+ ´
-
-
=
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
-
，
解得
2
1
10
6
5
1
9
9
2
n
n
n
T
-
+
æ
ö
=
-
´ç
÷
è
ø
．
3．（2026·福建福州·模拟预测）记
n
S 为等差数列
na
的前n 项和，已知
9
90
S =
，
3
14
a =
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)设函数
2
2
2
2
1
x
x
f x
+
- -
=
-
+ ，记
n
n
b
f a
=
，求数列
nb
的前21 项和
21
T .
【答案】(1)
2
20
na
n
= -
+
(2)21
【分析】（1）方法一：利用等差数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可；
方法二：利用等差数列的性质和前n 项和公式进行求解即可；
（2）方法一：利用分组求和法进行求解即可；
方法二：判断函数的对称性，利用函数的对称性进行求解即可.
【详解】（1）方法一：设等差数列
na
的公差为d ，则
9
1
3
1
9
36
90,
2
14,
S
a
d
a
a
d
=
+
=
ì
í
=
+
=
î
解得
1
18,
2,
a
d
=
ì
í
= -
î
所以
1
1
18
2
1
2
20
na
a
d n
n
n
=
+
-
=
-
-
= -
+
.
方法二：设等差数列
na
的公差为d ，
因为
na
是等差数列，所以
1
9
9
5
9
9
90
2
a
a
S
a
+
=
=
=
，所以
5
10
a =
，
因为
3
14
a =
，所以
5
3
2
4
a
a
d
-
=
= - ，所以
2
d = - ，
因为
3
1
2
a
a
d
=
+
，所以
1 4 14
a - =
，所以
1
18
a =
，
所以
1
(
1)
18
2(
1)
2
20
na
a
d n
n
n
=
+
-
=
-
-
= -
+
.
（2）方法一：因为
2
2
2
2
1
x
x
f x
+
- -
=
-
+ ，
所以
2
22
2
22
2
20
2
2
1
n
n
n
n
b
f a
f
n
-
+
-
=
=
-
+
=
-
+ ，
所以
21
1
2
21
T
b
b
b
=
+
+×××+
20
20
18
18
18
18
20
20
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
-
-
-
-
=
-
+
+
-
+
+×××+
-
+
+
-
+
20
18
18
20
20
18
18
20
2
2
2
2
2
2
2
2
21
21
-
-
-
-
=
+
+×××+
+
-
+
+×××+
+
+
=
.
方法二：因为
2
2
2
2
1
x
x
f x
+
- -
=
-
+ ，
所以
2
2
(
4) 2
2
1
x
x
f
x
- -
+
- -
=
-
+ ，
所以
(
4)
2
f x
f
x
+
- -
=
，
所以曲线
y
f x
=
关于点
2,1
-
中心对称，
因为
na
是等差数列，
所以
1
21
11
2
4
a
a
a
+
=
=- ，
因为
f x 的对称中心为
2,1
-
，
所以
1
21
1
21
2
b
b
f a
f a
+
=
+
=
，
同理可得：
2
20
3
19
10
12
2
b
b
b
b
b
b
+
=
+
= ××× =
+
=
，
11
1
b = ,
所以
21
1
2
21
2 10 1 21
T
b
b
b
=
+
+×××+
= ´
+ =
.
4．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
2
2
x
f x
x
=
+
.
(1)若数列
na
f n
=
，求数列
na
的前n 项和
n
S ；
(2)已知函数
f x 在
*
(
)
x
n n
=
ÎN
处的切线为直线nl ，直线nl 在y 轴上的截距为
nb ，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
1
2
2
2
n
n
S
n
n
+
=
-
+
+
(2)
1
1
2
2 [
1 2
2]ln2
n
n
nT
n
+
+
=
-
-
-
+
【分析】（1）将数列
2
2
n
na
n
=
+
拆分为等比数列
2n 和等差数列
2n ，分别求和后相加得到前n 项和
n
S .
（2）先求函数
f x 在x
n
=
处的切线方程，令
0
x =
得到截距
2
2 ln2
n
n
nb
n
=
-
×
，再用错位相减法求
2n
n×
的
和，最后结合
2n 的和得到
nT .
【详解】（1）因为
2
2
n
na
n
=
+
，所以
1
2
3
2
2
2
2
2
1
2
3
n
n
S
n
=
+
+
+ ×××+
+
´
+
+
+ ×××
1
2
2 1
2
1
2
2
2
1
2
2
n
n
n n
n
n
+
-
+
=
+
´
=
-
+
+
-
.
（2）
2 ln2
2
x
f
x =
+
¢
，
直线nl 的方程为
2
2
2 ln2
2
n
n
y
n
x
n
-
-
=
+
-
，
令
0
x =
，
得
2
2
2 ln2
2
2
2 ln2
n
n
n
n
y
n
n
n
=
+
-
+
=
-
×
，
所以
2
2 ln2
n
n
nb
n
=
-
×
，
令数列
2n
n ×
的前n 项和为
n
Q ，则
1
2
3
1 2
2 2
3 2
2n
n
Q
n
= ´
+ ´
+ ´
+×××+
´
，
2
3
1
2
1 2
2
2
1
2
2
n
n
n
Q
n
n
+
= ´
+
´
+ ×××+
-
´
+
´
，
两式相减得
2
3
1
1
1
2 1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
Q
n
n
n
+
+
+
-
-
=
+
+
+ ×××+
-
×
=
-
×
=
-
-
-
，故
1
1 2
2
n
n
Q
n
+
=
-
+
，
又数列
2n 的前n 项和为
1
2
2
n+ -
，
所以数列
nb
的前n 项和
1
1
2
2 [
1 2
2]ln2
n
n
nT
n
+
+
=
-
-
-
+
.
5．（2026·重庆·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2
1
1
2
n
n
nS
n
S
n
n
+ -
+
=
+
，且
1
2
a =
．
(1)证明：
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 为等差数列，并求
n
S ．
(2)若
1
2
1
n
n
b
S
=
- ，数列
nb
的前n 项和
nT ，求证：
1
2
nT <
．
【答案】(1)证明见解析，
2
2
n
S
n
=
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求
n
S ；
（2）利用裂项相消法求和即可证明．
【详解】（1）
2
1
1
1
2
2
1
n
n
n
n
S
S
nS
n
S
n
n
n
n
+
+ -
+
=
+
Þ
-
=
+
，
所以数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是以
1
1
2
1
1
S
a
=
=
为首项，2 为公差的等差数列，
所以
2
2
2
1
2
2
n
n
S
n
n
S
n
n =
+
-
=
Þ
=
；
（2）
2
1
1
1
1
1
1
2
1
4
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
n
n
b
S
n
n
n
n
n
æ
ö
=
=
=
=
-
ç
÷
-
-
-
+
-
+
è
ø ，
1
2
3
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
2
3
2 3
5
2 5
7
2 2
1
2
1
n
n
T
b
b
b
b
n
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
+
=
-
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
5
7
2
1
2
1
2
2
1
2
n
n
n
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
+
-
=
-
<
ç
÷
ç
÷
-
+
+
è
ø
è
ø
L
．
6．（2026·河北邯郸·一模）
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知, ,
a b c 成等差数列，且sin
2
sin
3
A
B =
．
(1)求cosB ；
(2)记
ABC
V
外接圆的面积为S ，若
64π
S ³
，求b 的取值范围．
【答案】(1) 11
16
(2)
3 15,
é
+¥
ë
【分析】（1）应用等差中项的性质及正弦边角关系有2b
a
c
=
+ 、
2
3
a
b =
，再应用余弦定理求cosB ；
（2）由（1）及正弦定理求出
ABC
V
外接圆的半径，结合
64π
S ³
求边长的范围.
【详解】（1）因为, ,
a b c 成等差数列，所以2b
a
c
=
+ ，又sin
2
sin
3
A
B =
，所以
2
3
a
b =
．
设
2
a
x
=
，则
3 ,
4
b
x c
x
=
=
，则
2
2
2
2
2
2
2
4
16
9
11
cos
2
16
16
a
c
b
x
x
x
B
ac
x
+
-
+
-
=
=
=
．
（2）由（1）得
2
3 15
sin
1 cos
16
B
B
=
-
=
，
则
ABC
V
外接圆的半径
3
8 15
2sin
15
3 15
8
b
x
R
x
B
=
=
=
，
则
2
2
64
π
π
64π
15
x
S
R
=
=
³
，则
2
15
x ³
，
15
x ³
，
则
3
b
x
=
的取值范围为
3 15,
é
+¥
ë
．
7．（2026·湖北黄石·一模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别, ,
a b c ，已知
2
2
sin 2
sin sin2
2sin
C
C
C
C
+
=
.
(1)求角C 的大小；
(2)若
1,
7
a
b
c
-
=
=
，求
ABC
V
的面积.
【答案】(1)
π
3
C =
(2) 3 3
2
【分析】（1）利用倍角公式进行化简，结合
0,π
C Î
的范围，得出
1
cos
2
C =
，即得角C ；
（2）通过
1
a
b
-
= 进行变量代换，借助余弦定理得出,a b 的值，再利用面积公式即得面积.
【详解】（1）由
2
2
sin 2
sin sin2
2sin
0
C
C
C
C
+
-
=
，
得
2
2
2
2
4sin
cos
2sin
cos
2sin
0
C
C
C
C
C
+
-
=
，
即
2
2
2sin
2cos
cos
1
0
C
C
C
+
-
=
，因为sin
0
C ¹
，
所以
2
2cos
cos
1
0
C
C
+
- =
，
即
2cos
1 cos
1
0
C
C
-
+
=
，
故cos
1
C = - （舍）或
1
cos
2
C =
，
由于
0,π
C Î
，所以
π
3
C =
.
（2）
2
2
2
π
1
cos
cos
2
3
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
=
=
，由
1
a
b
-
= ，
得
2
2
2
2
2
2
(
1)
1
2
2
1
2
a
b
c
b
b
c
ab
b
b
+
-
+
+
-
=
=
+
，又
7
c =
，
所以
2
6
0
b
b
+
-
=
，
解得
2
b =
或
3
b = - （负值舍），故
1
3
a
b
=
+ =
，
又由（1）知
3
sin
2
C =
，
故
ABC
V
的面积为1
1
3
3 3
sin
6
2
2
2
2
ab
C =
´ ´
=
.
8．（2026·贵州遵义·模拟预测）在
ABC
V
中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
6
b =
，且满足
3
cos
sin
3
b
C
a
c
B
=
+
．
(1)求角B ；
(2)若角B 的角平分线交AC 于点D ，
3
BD =
，求
ABC
V
的周长．
【答案】(1)
2π
3
B =
(2)6
4 3
+
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan B 的值，结合角B 的取值范围可得出角B
的值；
（2）由
ABC
ABD
CBD
S
S
S
=
+
V
V
V
结合三角形的面积公式得出
3
ac
a
c
=
+
，结合余弦定理可求得a
c
+ 的值，即
可得出
ABC
V
的周长.
【详解】（1）因为
3
cos
sin
3
b
C
a
c
B
=
+
及正弦定理可得
3
sin
cos
sin
sin
sin
3
B
C
A
C
B
=
+
，
即
3
3
sin
cos
sin
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
3
3
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
=
+
+
=
+
+
，
即
3
sin
cos
sin
0
3
C
B
B
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
因为B 、
0,π
C Î
，则sin
0
C >
，所以sin
3 cos
0
B
B
= -
>
，可得tan
3
B = -
，故
2π
3
B =
.
（2）因为
ABC
ABD
CBD
S
S
S
=
+
V
V
V
，即1
2π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
3
2
3
2
3
ca
c BD
a BD
=
×
×
+
×
×
，
可得
3
ac
a
c
BD
a
c
=
+
×
=
+
①，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2π
36
2
cos 3
b
a
c
ac
a
c
ac
a
c
ac
=
=
+
-
=
+
+
=
+
-
②，
联立①②可得
2
3
36
0
a
c
a
c
+
-
+
-
=
，即
3 3
4 3
0
a
c
a
c
+ +
+ -
=
，
因为
0
a
c
+
>
，解得
4 3
a
c
+
=
，故
ABC
V
的周长为
6
4 3
a
b
c
+
+
=
+
.
9．（2026·福建龙岩·一模）已知函数
2
3
1
sin2
sin
2
2
f x
x
x
=
-
+
.
(1)求
f x 的单调递增区间；
(2)在
ABC
V
中，
1
2
f
A =
，sin
2sin
B
C
=
，
ABC
V
的面积为
3 ，求边BC 的长.
【答案】(1)
π
π
π,
π
3
6
k
k
é
ù
-
+
+
ê
ú
ë
û ，k ÎZ
(2)
6
【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】（1）
2
3
1
3
1
π
sin2
sin
sin2
cos2
sin 2
2
2
2
2
6
f x
x
x
x
x
x
æ
ö
=
-
+
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
令
π
π
π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
-
+
+
+
，k ÎZ ，
解得
π
π
π
π
3
6
k
x
k
-
+
+
，k ÎZ ，
所以函数
f x 的单调递增区间为
π
π
π,
π
3
6
k
k
é
ù
-
+
+
ê
ú
ë
û ，k ÎZ .
（2）因为
π
1
sin 2
6
2
f
A
A
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
又A 为
ABC
V
的内角，则
0,π
AÎ
故
π
π 13π
2
,
6
6
6
A
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，
所以
π
5π
2
6
6
A+
=
，所以
π
3
A =
.
设角, ,
A B C 所对边分别为, ,
a b c ，
因为sin
2sin
B
C
=
，由正弦定理得
2
b
c
=
.①
因为三角形的面积为
3 ，所以1
sin
3
2 bc
A =
.②
由①②解得：
2 2
2
b
c
ì =
ïí
=
ïî
，
由余弦定理得
2
2
2
1
2
cos
8
8
6
2
2
BC
b
c
bc
A
=
+
-
=
+
- ´
=
，
所以
6
=
BC
.
10．（2026·广东佛山·一模）已知函数
π
( )
2sin(
)(0
2,0
)
2
f x
x
w
j
w
j
=
+
<
<
<
<
，
(0)
3
f
=
，且
π
( )
( )
6
f x
f
恒成立．
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
( )
0
f B =
，
4
a =
，ABC
V
的面积为2 3 ，求sinC ．
【答案】(1)
π
( )
2sin(
)
3
f x
x
=
+
(2)
21
14
【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式.
（2）由（1）求出B ，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解.
【详解】（1）由
2sin
3
(0)
f
j
=
=
，得
3
sin
2
j =
，而
π
0
2
j
<
<
，则
π
3
j =
，
由
π
( )
( )
6
f x
f
恒成立，得
π
π
π
( )
2sin(
)
2
6
6
3
f
w
=
+
=
，即
π
π
sin(
)
1
6
3
w +
= ，
0
w >
，
因此π
π
π
2 π,
6
3
2
k
k
w +
=
+
ÎN，解得
12
1,
k
k
w =
+
ÎN ，而0
2
w
<
<
，则
1
w = ，
所以
( )
f x 的解析式为
π
( )
2sin(
)
3
f x
x
=
+
.
（2）由（1）得，
π
( )
2sin(
)
0
3
f B
B
=
+
=
，而0
π
B
<
<
，解得
2π
3
B =
，
由
1
1
2π
sin
4 sin
2 3
2
2
3
S
ac
B
c
=
=
´
=
，解得
2
c =
，
由余弦定理得
2
2
1
2
cos
16
4
2 4 2 (
)
2 7
2
b
a
c
ac
B
=
+
-
=
+
- ´ ´ ´ -
=
，
由正弦定理sin
sin
b
c
B
C
=
，得
3
2
sin
21
2
sin
14
2 7
c
B
C
b
´
=
=
=
．
11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）在锐角
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，且
2 sin
π
6
a
c
b
C
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
.
(1)求B ；
(2)求
2
2
2
2
a
b
c
-
的最大值.
【答案】(1)
π
3
B =
(2) 1
-
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，结合三角形内角和公式和两角和的三角函数公式可求角B .
（2）利用余弦定理，结合（1）的结论，可求
2
2
2
2
a
b
c
-
的最大值.
【详解】（1）因为
π
2 sin
6
a
c
b
C
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø ，
由正弦定理可得
π
sin
sin
2sin
sin
3sin sin
sin cos
6
A
C
B
C
B
C
B
C
æ
ö
+
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
在
ABC
V
中，
sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
，
代入整理可得cos sin
sin
3sin sin
B
C
C
B
C
+
=
，
又
π
0, 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则sin
0
C >
，可得3sin
cos
1
B
B
-
= ，即
π
1
sin
6
2
B
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
又
π
0, 2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
π
π π
,
6
6 3
B
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø ，则
π
π
6
6
B -
=
，可得
π
3
B =
.
（2）由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
a
a
c
ac
B
a
b
c
c
-
+
-
-
=
2
2
2
2
2
a
a
c
ac
c
-
+
-
=
2
2
2
2
1
1
a
a
a
c
c
c
æ
ö
æ
ö
= -
+ ×
-
= -
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
因为
ABC
V
为锐角三角形，且
π
3
B =
，所以
π π
,
6 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
2π
3
A
C
=
-
，
所以
sin
sin
a
A
c
C
=
2π
sin
3
sin
C
C
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
=
3
1
cos
sin
2
2
sin
C
C
C
+
=
3
1
2tan
2
C
=
+
.
由
π π
,
6 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
3
tan
3
C >
，所以
3
1
1 ,2
2tan
2
2
C
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø
，即
1 ,2
2
a
c
æ
ö
Îç
÷
è
ø .
所以当
1
a
c = ，即a
c
=
时，即ABC 为等边三角形时，
2
2
2
2
a
b
c
-
取得最大值1
- .
12．（25-26 高三上·广西河池·期末）已知
3,0
A
是椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右顶点，且椭圆C 经过
点
2 6
1,
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线
:
1
l y
k x
=
-
与椭圆C 交于
1
1
,
E x y
，
2
2
,
F x
y
两点，且
1
2
1
1
2
0
x
x
+
+
=
，求弦EF 的长.
【答案】(1)
2
2
1
9
3
x
y
+
= ；
(2) 30 2
11
.
【分析】（1）根据椭圆右顶点以及经过点的坐标解方程即可求得椭圆C 的方程；
（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式直接计算即可得出结果.
【详解】（1）由题意知
3
a =
，
代入点
2 6
1,
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，即
2
2
2 6
3
1
1
9
b
æ
ö
ç
÷
è
ø
+
=
，解得
3
b =
，
可得椭圆C 的方程为
2
2
1
9
3
x
y
+
= ；
（2）联立
1
y
k x
=
-
与
2
2
1
9
3
x
y
+
= ，
化简得
2
2
2
2
3
1
6
3
9
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
可得
2
2
1
2
1
2
2
2
6
3
9
,
3
1
3
1
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
=
=
+
+
，
由
1
2
1
1
2
0
x
x
+
+
=
可得
2
1
1
2
2
x
x
x x
+
= - ，
即
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
6
6
2
3
1
2,
3
9
3
9
3
3
1
k
x
x
k
k
k
k
x x
k
k
k
+
+
=
=
=
= -
-
-
-
+
解得
2
3
2
k =
，
所以
1
2
1
2
18
9
,
11
11
x
x
x x
+
=
= -
，
可得
2
2
2
2
1
1
2
3
18
9
30 2
1
4
1
4
2
11
11
11
EF
k
x
x
x x
æ
ö
æ
ö
=
+
+
-
=
+
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
即弦EF 的长为30 2
11
.
13．（25-26 高二上·安徽六安·期末）已知函数
2
2 ln
2
,
2
x
f x
a
x
a
x a
=
+
-
+
ÎR ．
(1)若
0
a =
，求
( )
f x 在
1
x = 处的切线方程；
(2)讨论
f x 的单调性．
【答案】(1) 2
2
1
0
x
y
+
+ =
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；
（2）求导，对参数a 分类讨论即可.
【详解】（1）若
0
a =
，则
2
2
2
x
f x
x
=
-
，
2
f
x
x
¢
=
-
，所以
1
1
f ¢
= - ，
3
1
2
f
= -
，
故
f x 在
1
x = 处的切线方程为
3
1
2
y
x
+
= -
-
，即2
2
1
0
x
y
+
+ =
．
（2）因为
2
2
(
2)
2
(
2)(
)
( )
(
2)
a
x
a
x
a
x
x
a
f
x
x
a
x
x
x
-
+
+
-
-
¢
=
+
-
+
=
=
，且
(0,
)
xÎ
+¥ ，
当
0
a
时，
(0,2)
xÎ
时
( )
0
f
x
¢
<
，
(2,
)
xÎ
+¥ 时
( )
0
f
x
¢
>
，
所以，
( )
f x 在(0,2) 上单调递减，
( )
f x 在(2,
)
+¥ 上单调递增；
当0
2
a
<
<
时，
(0, )
x
a
Î
时
( )
0
f
x
¢
>
，
( ,2)
x
a
Î
时
( )
0
f
x
¢
<
，
(2,
)
xÎ
+¥ 时
( )
0
f
x
¢
>
，
所以，
( )
f x 在(0, )
a 、(2,
)
+¥ 上分别单调递增，
( )
f x 在( ,2)
a
上单调递减；
当
2
a =
时，
(0,
)
xÎ
+¥ 时
( )
0
f
x
¢
³
恒成立，故
( )
f x 在(0,
)
+¥ 上单调递增；
当
2
a >
时，
(0,2)
xÎ
时
( )
0
f
x
¢
>
，
(2, )
x
a
Î
时
( )
0
f
x
¢
<
，
( ,
)
x
a
Î
+¥ 时
( )
0
f
x
¢
>
，
所以，
( )
f x 在(0,2) 、( ,
)
a +¥ 上分别单调递增，
( )
f x 在(2, )
a 上单调递减．
综上，当
0
a
时，
( )
f x 在(0,2) 上单调递减，
( )
f x 在(2,
)
+¥ 上单调递增；
当0
2
a
<
<
时，
( )
f x 在(0, )
a 、(2,
)
+¥ 上分别单调递增，
( )
f x 在( ,2)
a
上单调递减；
当
2
a =
时，
( )
f x 在(0,
)
+¥ 上单调递增；
当
2
a >
时，
( )
f x 在(0,2) 、( ,
)
a +¥ 上分别单调递增，
( )
f x 在(2, )
a 上单调递减．
14．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
2
1
( )
ln
(
1)
1
2
f x
a
x
x
a
x
=
+
-
+
- ．
(1)当
2
a =
时，求
( )
f x 的极值；
(2)讨论
( )
f x 的单调性．
【答案】(1)极大值为
7
2
-
，极小值为2ln 2
5
- ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）把
2
a =
代入，利用导数求出函数的极值.
（2）求出函数的导数，再按
0,0
1,
1,
1
a
a
a
a
<
<
=
> 分类求出导函数值为正为负的解集即可.
【详解】（1）当
2
a =
时，函数
2
1
( )
2ln
3
1
2
f x
x
x
x
=
+
-
- 的定义域为(0,
)
+¥ ，
求导得
2
(
1)(
2)
( )
3
x
x
f
x
x
x
x
-
-
¢
=
+
-
=
，由
( )
0
f
x
¢
>
，得0
1
x
<
< 或
2
x >
；
由
( )
0
f
x
¢
<
，得1
2
x
<
<
，
则函数
( )
f x 在(0,1),(2,
)
+¥ 上单调递增，在(1,2) 上单调递减，
所以函数
( )
f x 的极大值为
7
(1)
2
f
= -
，极小值为
(2)
2ln 2
5
f
=
- .
（2）函数
2
1
( )
ln
(
1)
1
2
f x
a
x
x
a
x
=
+
-
+
- 的定义域为(0,
)
+¥ ，
求导得
(
1)(
)
( )
(
1)
a
x
x
a
f
x
x
a
x
x
-
-
=
+
-
=
¢
+
，
当
0
a
时，由
( )
0
f
x
¢
<
，得0
1
x
<
< ；由
( )
0
f
x
¢
>
，得
1
x > ，
函数
( )
f x 在( 0, 1) 上单调递减，在(1,
)
+¥ 上单调递增；
当0
1
a
<
< 时，由
( )
0
f
x
¢
<
，得
1
<
<
a
x
；由
( )
0
f
x
¢
>
，得0
x
a
<
<
或
1
x > ，
函数
( )
f x 在( ,1)
a
上单调递减，在(0, ),(1,
)
+¥
a
上单调递增；
当
1
a = 时，
( )
0
f
x
¢
³
恒成立，函数
( )
f x 在(0,
)
+¥ 上单调递增；
当
1
a > 时，由
( )
0
f
x
¢
<
，得1
x
a
<
<
；由
( )
0
f
x
¢
>
，得0
1
x
<
< 或x
a
>
，
函数
( )
f x 在(1, )
a 上单调递减，在(0,1),( ,
)
+¥
a
上单调递增，
所以当
0
a
时，函数
( )
f x 在( 0, 1) 上单调递减，在(1,
)
+¥ 上单调递增；
当0
1
a
<
< 时，函数
( )
f x 在( ,1)
a
上单调递减，在(0, ),(1,
)
+¥
a
上单调递增；
当
1
a = 时，函数
( )
f x 在(0,
)
+¥ 上单调递增；
当
1
a > 时，函数
( )
f x 在(1, )
a 上单调递减，在(0,1),( ,
)
+¥
a
上单调递增.
15．（2026·河北·模拟预测）设函数
ln
a
f x
ax
x
a
x
=
-
-
ÎR .
(1)当
1
a = 时，求函数
f x 在点
1,
1
f
处的切线方程．
(2)已知
f
x
¢
是函数
f x 的导函数，若
2
ln
a
f
x
x
x
¢
+
恒成立，求a 的最大值．
【答案】(1)
1
0
x
y
-
- =
(2)1
【分析】（1）求导，根据切点横坐标求出切线斜率和该点坐标，再结合直线点斜式求切线方程;
（2）根据
2
ln
a
f
x
x
x
¢
+
可得
1
ln
a
x
x
+
，设函数
1
ln
g x
x
x
=
+
，求导求解最小值.
【详解】（1）由
1
a = ，知
1
ln
f x
x
x
x
=
-
-
则
2
1
1
1
0,
1
f
f
x
x
x
¢
=
= -
+
,得
1
1
f ¢
= ，
故函数
f x 在点
1,
1
f
处的切线方程为
0
1
y
x
-
=
- ，即
1
0
x
y
-
- =
.
（2）由
2
ln
a
f
x
x
x
¢
+
恒成立，可得
2
2
1
ln
a
a
a
x
x
x
x
-
+
+
，
即
1
ln
a
x
x
+
在
0, ¥
+
恒成立，
设
1
ln
g x
x
x
=
+
，
0,
x
¥
Î
+
，则
2
2
1
1
1
x
g
x
x
x
x
=
¢
-
=
-
，
当
1,
x
¥
Î
+
时，
0
g
x
¢
>
，
g x 在
1, ¥
+
单调递增，
当
0,1
xÎ
时，
<0
g
x
¢
，
g x 在
0,1 单调递减，
所以
1
1
g x
g
³
= ，即
g x 的最小值为1，
所以
1
a ，即a 的最大值为1．
16．（25-26 高三上·河北衡水·期末）已知椭圆
2
2
1 :
1
35
23
x
y
C
+
= ，椭圆
2
C 与
1
C 有公共焦点，点
4,0 在
2
C 上.
(1)求
2
C 的方程；
(2)过点
2,1
P
的直线与
2
C 相交于
,
M N 两点，P 为MN 的中点，求直线MN 的方程.
【答案】(1)
2
2
1
16
4
x
y
+
=
(2)
2
4
0
x
y
+
-
=
【分析】（1）设椭圆
2
C 的方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，即可求出a 、b ；
（2）设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，利用点差法求出直线MN 的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【详解】（1）依题意设椭圆
2
C 的方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，
则
2
2
2
2
2
2
4
0
1
35
23
a
b
a
b
ì
+
=
ïí
ï
-
=
-
î
，解得
4
2
a
b
=
ì
í =
î
，
所以椭圆
2
C 的方程为
2
2
1
16
4
x
y
+
= .
（2）因为
2
2
2
1
1
1
16
4
2
+
=
< ，所以点P 在椭圆内，直线MN 与椭圆相交，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
16
4
1
16
4
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
0
16
16
4
4
x
x
y
y
-
+
-
=
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
0
16
4
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
+
-
+
=
，
又点
2,1
P
为MN 的中点，所以
1
2
1
2
4
2
x
x
y
y
+
=
ì
í
+
=
î
，
所以
1
2
1
2
4
2
0
16
4
x
x
y
y
-
-
+
=
，则
1
2
1
2
1
2
y
y
x
x
-
= -
-
，
即
1
2
MN
k
= -
，所以直线MN 的方程为
1
1
2
2
y
x
- = -
-
，即
2
4
0
x
y
+
-
=
.
17．（25-26 高三上·青海西宁·月考）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的离心率为
1
2 ，
,
A B 分别为椭圆的左､
右顶点，C 为椭圆的上顶点，且
4
CA CB
×
= -
uuur uuur
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线:
3
l x
my
=
+ 交椭圆于
,
M N 两点，直线AM 的斜率为
1k ，直线BN 的斜率为
2k ，求
1
2
k
k 的值.
【答案】(1)
2
2
1
16
12
x
y
+
=
(2) 1
7
【分析】（1）根据数量积公式，可得
2
2
,
a b 关系，根据离心率，可得
2
2
,
a b 的关系，联立求解，即可得答
案.
（2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，可得
1
2
y
y
+
，
1
2
y y 表达式，由题意得
1
2
k
k 的
表达式，化简整理，即可得答案.
【详解】（1）由题意
(
,0), ( ,0),
(0, )
A
a
B a
C
b
-
，所以
(
,
),
( ,
)
CA
a
b CB
a
b
= -
-
=
-
uuur
uuur
，
因为
4
CA CB
×
= -
uuur uuur
，所以
2
2
4
a
b
-
+
= - ，
又离心率
2
2
1
1
2
c
b
e
a
a
=
=
-
=
，解得
2
2
3
4
b
a =
，
联立解得
2
2
16,
12
a
b
=
=
，
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
16
12
x
y
+
= .
（2）将直线与椭圆联立
2
2
1
16
12
3
x
y
x
my
ì
+
=
ïí
ï =
+
î
，得
2
2
(3
4)
18
21
0
m
y
my
+
+
-
=
，
设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，则
1
2
1
2
2
2
18
21
,
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m
-
-
+
=
=
+
+
，
又
( 4,0),
(4,0)
A
B
-
，所以
1
2
1
2
1
2
,
4
4
y
y
k
k
x
x
=
=
+
-
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
21
18
4
1
3
4
3
4
21
4
(
7)
7
7
3
4
m
m
y
y
x
y
my
k
my y
y
m
m
m
k
y
x
y my
my y
y
y
m
-
-
æ
ö
-
-
ç
÷
-
-
-
+
+
è
ø
=
=
=
=
-
+
+
+
+
+
2
2
2
2
3
1
3
4
3
7
7 3
4
m
y
m
m
y
m
-
+
+
=
=
-
æ
ö
+
ç
÷
+
è
ø
.
18．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，长轴长为4．
(1)求C 的方程；
(2)过点(0, 2)
-
的直线l 交C 于
,
A B 两点，O 为坐标原点.若
OAB
△
的面积为2 ，求|
|
AB ．
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
=
(2)
5
【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；
（2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数t 表示面积后可求t 的值，从而可求弦长.
【详解】（1）因为长轴长为4，故
2
a =
，而离心率为
2
2 ，故
2
c =
，
故
2
b =
，故椭圆方程为：
2
2
1
4
2
x
y
+
= .
（2）
由题设直线AB 的斜率不为0，故设直线
:
2
l x
t y
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
由
2
2
2
2
4
x
t y
x
y
ì =
+
í
+
=
î
可得
2
2
2
2
2
4
4
4
0
t
y
t y
t
+
+
+
-
=
，
故
4
2
2
2
Δ
16
4
2
4
4
4 8
4
0
t
t
t
t
=
-
+
-
=
-
>
即
2
2
t
-
< <
，
且
2
2
1
2
1
2
2
2
4
4
4
,
2
2
t
t
y
y
y y
t
t
-
+
= -
=
+
+
，
故
2
2
1
2
1
2
1
2
2
32 16
1
2
4
2
2
2
OAB
t
t
S
t
y
y
t
y
y
y y
t
-
=
´
´
-
=
+
-
=
=
+
V
，
解得
6
3
t = ±
，
故
2
2
1
2
1
2
1
2
2
32 16
2
5
3
1
1
4
5
2
3
3
2
3
AB
t
y
y
y
y
y y
-
´
=
+
-
=
+
´
+
-
=
´
=
+
.
19．（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点
1 ,0
4
F æ
ö
ç
÷
è
ø ，且与直线
1
:
4
l x = -
相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)过点
1,1
A
作倾斜角为a ，b （
0
αβ ¹
）的两条直线交轨迹C 于M，N 两点，若
π
2
a
b
+
=
，求证：直线
MN 恒过定点．
【答案】(1)
2y
x
=
(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线的定义可得方程；
（2）设
:
MN x
my
n
=
+
，由
π
2
a
b
+
=
得出
1
AM
AN
k
k
= ，利用韦达定理化简即可.
【详解】（1）由题意可知，点C 到点
1 ,0
4
F æ
ö
ç
÷
è
ø 和到
1
:
4
l x = -
的距离相等，
故点C 的轨迹是以
1 ,0
4
F æ
ö
ç
÷
è
ø 为焦点，
1
:
4
l x = -
为准线的抛物线，
故动圆圆心的轨迹C 的方程为
2y
x
=
；
（2）由题意可知，直线
,
AM AN 的倾斜角均不为0 和π
2 ，
故直线
,
AM AN ，MN 的斜率存在且不为0 ，
因为
π
2
a
b
+
=
，所以
π
1
tan
tan 2
tan
a
b
b
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，即tan
tan
1
a
b = ，
即
1
AM
AN
k
k
= ，
若直线MN 的斜率为0 ，则与抛物线只有一个交点，若斜率不存在，则
,
M N 重合，均不符合题意；
故设
:
MN x
my
n
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
联立
2
x
my
n
y
x
=
+
ì
í
=
î
，得
2
0
y
my
n
-
-
=
，
则
1
2
1
2
0,
,
y
y
m y y
n
D >
+
=
= - ，
则
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
AM
AN
y
y
y
y
k
k
x
x
y
y
y
y
y y
y
y
-
-
-
-
=
×
=
×
=
=
-
-
-
-
+
+
+
+
+
1
1
1
n
m
=
=
- +
+
，
得m
n
=
，
则直线
:
1
MN x
my
m
m y
=
+
=
+
恒过点
0, 1
-
.
20．（25-26 高三下·重庆·月考）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率
3
2
e =
，且过点
1
(2, )
2 ，圆M 的
圆心为
(1,0)
M
，半径为
2
2 ，O 为坐标原点．
(1)求椭圆C 和圆M 的标准方程；
(2)设斜率为(
0)
k k >
的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点，N 为线段PQ 的中点，点N 在圆M 上，且满足
ON
MN
^
，求直线l 的斜率．
【答案】(1)椭圆C 的标准方程为
2
2
1
5
5
4
x
y
+
= ，圆M 的标准方程为
2
2
1
(
1)
2
x
y
-
+
=
；
(2)
1
4
k =
【分析】（1）根据给定的离心率及点的坐标求出,a b 即可得椭圆C 标准方程，再写出圆M 的标准方程.
（2）利用点差法及向量垂直的坐标表示求出k .
【详解】（1）由椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
+
= 的离心率
3
2
e =
，得
2
2
2
3
1
4
b
e
a
= -
=
，则
2
2
1
4
b
a
=
，
由点
1
(2, )
2 在椭圆C 上，得
2
2
1
4
4
1
a
b
+
= ，联立解得
2
5
a = ，
2
5
4
b =
，
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
5
5
4
x
y
+
= ；圆M 的标准方程为
2
2
1
(
1)
2
x
y
-
+
=
.
（2）设
1
1
2
2)
( ,
),
(
,
P x y
Q x
y
，中点
0
0
(
,
)
N x
y
，
由
,
P Q 在椭圆
2
2
:
4
5
C x
y
+
=
上，得
2
2
1
1
2
2
2
2
4
5
4
5
x
y
x
y
ì
+
=
í
+
=
î
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
4(
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
-
+
+
-
+
=
，
又
1
2
1
2
0
1
2
0
1
2
2
,
2
,
y
y
x
x
x
y
y
y k
x
x
-
+
=
+
=
=
-
，于是
0
0
4
0
k
x
y
+
=
，
而
0
0
0
0
(
,
),
(
1,
)
ON
x
y
MN
x
y
=
=
-
uuur
uuuur
，由ON
MN
^
，得
2
0
0
0
(
1)
0
x x
y
-
+
=
，
由
0
0
(
,
)
N x
y
在圆M 上，得
2
2
0
0
1
(
1)
2
x
y
-
+
=
，联立解得
0
1
2
x =
，
0
1
2
= ±
y
，
由1
1
1
20
5
+
< ，得点
1
1
( ,
)
2
2
N
±
在椭圆
2
2
:
1
5
5
4
x
y
C
+
= 内，即存在满足条件的点N，
当点
1 1
( , )
2 2
N
时，
1
0
4
k = -
<
，不符合题意，当点
1
1
( ,
)
2
2
N
-
时，
1
0
4
k =
>
，符合题意，
所以
1
4
k =
.
