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2025 年高考数学终极押题猜想（上海专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 数列小压轴题（含新定义）（2024 年上海高考第16 题）..................................1
押题猜想二 集合新定义小压轴题（2024 上海高考选择15、16 题连考两题）......................2
押题猜想三 圆锥曲线小压轴题（含新定义与多结论题）（2025 春考连考3 题2023 年选择
16 题圆锥曲线新定义）..................................................................................................................4
押题猜想四 立体几何解答题（必考题型）（2 年2 考空间角与体积）..................................6
押题猜想五 函数的零点解答题（必考题型）（2 年2 考隐零点）..........................................9
押题猜想六 计数原理与概率统计解答题（必考题型）（2 年2 考）....................................12
押题猜想七 圆锥曲线解答题（压轴必考题型）.......................................................................16
押题猜想八 函数与导数综合新定义问题解答题（压轴必考题）（2 年2 考切线方程（斜
率））.............................................................................................................................................20
押题猜想一 数列小压轴题
限时：4min
定义：对于数列
，若存在常数
，使得对一切正整数
，恒有
成立，则称
为有界数列.
设数列
的前
项和为
，满足
，若
为有界数列，则实数
的取值范围为
.
押题解读
填空压轴热考题型
押题方向
数列与函数的综合；数列与不等式的综合；数列的新定义问题；递推数列问题：
1
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1．已知数列
满足
，
，记数列
的前n 项和为
．若对于任
意
，不等式
恒成立，则实数k 的取值范围为 ．
2．设数列
是等比数列，
，公比q 是
的展开式中的第二项（按x 的降
幂排列），且
为
的前n 项和，若
，则
.（用含n 和x 的式子表
达）
3．数列
满足
，
，
，若不等式
恒成立，
则正整数
的最大值为 .
4．已知
表示不超过
的最大整数，记
，设
，且
，当
时，所有满足条件的n 的和等于 .
5．已知三个正数
构成公比为
的等比数列，圆
：
，过圆
上一
点P 分别作圆
，
的切线，切点分别为
，若
，则
．
押题猜想二 集合新定义小压轴题
限时：4min
设D 是边长为3 的等边
及其内部的点构成的集合，点
是
的中心，集合
，则
的取值范围为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
押题解读
选择压轴热考题型
押题方向
定义新概念：通过重新定义集合的元素、子集等概念，考查学生对新概念的理解和运用能力。例如，
定义一种新的集合元素关系，要求判断某些元素是否属于该集合，或者求满足特定条件的元素个数等。
定义新运算：创新集合的运算规则，如定义一种新的集合乘法、加法等运算，让学生根据新运算规则
进行计算、判断运算性质等。比如，给定两个集合，通过特定的规则定义它们的 “乘积集合”，然后
研究该乘积集合的性质和相关运算结果。
定义新性质：赋予集合一些新的性质，如集合的 “对称性”“传递性” 等不同于常规集合性质的新
特性，要求学生根据这些新性质来解决问题，如判断集合是否具有某种新性质，或者利用新性质进行
集合的分类、构造等。
结合其他知识：将集合新定义与函数、数列、几何等其他数学知识相结合，增加问题的综合性和难度。
例如，结合函数的定义域、值域来定义集合，或者根据数列的项来构造集合并定义相关性质，让学生
在多个知识领域之间进行综合运用和推理。
1．对任何非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下：设
，
，其中
，则的“绝对交错和”为
；当
时，的“绝对交错
和”为
.若数集
，则
的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的
数开始交替地加减各数，例如
的“交替和”是
；而
的交替和是，则集合
3
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的所有非空子集的“交替和”的总和为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.设有集合
，定义在
上的函数
为偶函数，求
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．集合
的所有三个元素的子集记为
记
为集合
中的最大
元素，则
（ ）
A．10
B．40
C．45
D．50
5.设集合
的最大元素为
，最小元素为
，记
的特征值为
，若集合中只有一个元素，规
定其特征值为0．已知
是集合
的元素个数均不相同的非空真子集，且
，则
的最大值为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
押题猜想三 圆锥曲线小压轴题
限时：4min
椭圆具有如下光学性质：如图，
分别是椭圆
的左、右焦点，从点
发出的光
线在到达椭圆上的点P 后，经过到达点的切线反射后经过点
，有以下两个命题：
4
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①若P 是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x 轴的交点为
，则
②若从
发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到
所经过的路程为
，则该椭圆的离心率为
；
则以下说法正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①是假命题，②是假命题
押题解读
选择填空压轴热考题型
押题方向
分析近几年上海高考真题，圆锥曲线填空题常考抛物线的定义、焦点与准线，双曲线的性质，直线与
圆锥曲线的位置关系，离心率的计算，椭圆中最值与范围等问题。例如 2024 年秋考第 7 题考查了抛
物线的相关知识，2023 秋考第 16 题涉及与曲线方程有关的新定义等。
1．设点
在“笑口”型曲线
上，则
的最小值为 .
2．在空间直角坐标系下，由方程
所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆
面）.如果用坐标平面
分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程
分别为
，
，
上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球
5
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面的轴与坐标轴重合，且过椭圆
与点
，则这个椭球面的方程为 .
3．已知点
在圆
上，点
在圆
上，且
为坐标
原点.对于以下两个命题，判断正确的是（ ）
①在坐标平面内存在点
，使得
恒成立；
②三角形
面积的最小值为
.
A．①是真命题，②是真命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①是假命题，②是假命题
4．已知圆锥曲线
的对称中心为原点
，若对于
上的任意一点
，均存在
上两点
，
，使得原点
到直线
，
和
的距离都相等，则称曲线
为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
5．在平面直角坐标系
中，已知点
，点
是平面内的一个动点，若以
为直径的圆与圆
：
相切，记点P 的轨迹为曲线C，过曲线C 上一点Q 作直线分别与直线
，
相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若
，
，则
面积的取
值范围为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
押题猜想四 立体几何解答题
限时：8min
在四面体
中，
，
．
(1)若
为正三角形，平面
平面
，求四面体
体积；
(2)若
，
，求二面角
的大小．
押题解读
解答必考题型
押题方向
线面位置关系的证明：证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等关系是常考内容。比如通过
构造中位线、平行四边形来证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直等。
7
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空间角的计算：常考异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。通常需要先作出角，再通
过解三角形或利用向量法进行计算。
空间距离的计算：可能会涉及点到平面的距离、线面距离等。可以利用等体积法、向量法等求解。
几何体的表面积与体积：以常见的棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等几何体为载体，计算其表面积或体积。
1．已知梯形
中，
，
为
上的一点且
，
，
，将
沿
翻折使得二面角
的平面角为
，连接
、
，
为棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)当
时，求直线
和平面
所成角的大小.
2．座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八
棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，
分别为正八棱柱的上下两
个底面的中心，已知
.
8
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(1)求证：
；
(2)求点
到平面
的距离.
3．如图，在四棱锥
中，底面
为长方形，
底面
，
是
中点，已知
．
(1)证明：
；
(2)求二面角
的大小．
4．如图所示，在四棱锥
中，底面
为矩形，
，
，
，
，
分
别是
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，求直线
与平面
所成角的余弦值．
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5．如图，平行六面体
中，
与
交于点
，在对角线
上取一点
，使得平面
平面
．
(1)求证：
；
(2)若平面
平面
，且
，求
与平面
所成角的正
弦值．
押题猜想五 函数的零点
限时：8min
10
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已知函数
.
（1）若
，
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若在定义域内存在实数
，满足
，则称
为“有点奇函数”，若
为定义域
上的“有点奇函数”，求实数
的取值范围.
押题解读
解答题必考题型
押题方向
关注新教材中新增或强调的函数内容，如一些特殊的函数模型、函数的新性质等，可能会与函数零点
结合出题。例如，以实际问题为背景，构建函数模型，然后考查函数零点在实际问题中的应用。
创新题型：上海高考数学注重创新，可能会出现一些新颖的函数零点问题，如与数学文化、高等数学
知识初步结合的题目，或者是给出新的函数定义，让考生根据定义来研究函数零点的相关问题。
1．已知二次函数
，
(1)设函数
在
范围内的最大值为
，最小值为
，且
，求实数
的
取值范围；
(2)已知关于
的方程
在
范围内有解，求实数
的取值范围.
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2．对于函数
，若
，则称实数
为
的“不动点”，若
，则称实数
为
的“稳定点”，函数
的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为
和
，即
，
.
(1)对于函数
，分别求出集合
和
；
(2)设
，若
，求集合
.
3．不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数
，若存在
，使
成立，则称
为
的不动点.已知二次函数
(1)若
时，讨论
不动点的个数；
(2)若
，
，
为
两个相异的不动点，且
，
，求
的最小值.
4．已知向量
．
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(1)求函数
的单调递减区间；
(2)若函数
在区间
上恰有2 个零点，求实数a 的取值范围．
5．已知函数
.
(1)当
时，求证：
最大值小于
；
(2)若
有两个零点，求实数k 的取值范围.
押题猜想六 计数原理与概率统计
限时：8min
1．传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏．将中学组
和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100 名选手进行调查，下面
是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
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(1)若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2 列联表，并据此资料你是否有
95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？
优秀
合格
合计
大学组
中学组
合计
注：
，其中
.
0.10
0.05
0. 005
2.706
3.841
7.879
(2)若江西参赛选手共80 人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；
(3)如果在优秀等级的选手中取4 名，在良好等级的选手中取2 名，再从这6 人中任选3 人组成一个比赛团
队，求所选团队中的有2 名选手的等级为优秀的概率.
押题解读
解答题必考题型
押题方向
查看近几年上海高考数学中计数原理与概率统计的解答题，了解常考的题型和知识点。比如 2024 年
上海高考考查了二项展开式中各项系数和以及项的系数、从不同题库选题的正确率、集合中元素个数
相关的概率问题等。
对于计数原理问题，要明确是分类还是分步，做到不重不漏。在处理排列组合问题时，常用的方法有
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捆绑法、插空法、隔板法等，要根据具体问题选择合适的方法。
对于概率问题，首先要确定事件的类型，是古典概型、几何概型还是其他概率模型。然后根据相应的
公式和方法进行计算。在涉及多个事件的概率问题时，要善于利用概率的加法公式、乘法公式、条件
概率公式等进行分析和求解。
对于统计问题，要熟练掌握各种统计图表的特点和用途，能够准确读取数据并进行计算。在处理线性
回归问题时，要记住最小二乘法的原理，能够正确计算回归系数。
1．为测试
、
两款人工智能软件解答数学问题的能力，将
道难度相当的数学试题从到
编号后随
机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
试题类别
软件
软件
测试试题数量
正确解答的数量
测试试题数量
正确解答的数量
几何试题
函数试题
(1)分别估计
软件、
软件能正确解答数学问题的概率；
(2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第
题（假设其难度和测试的
道题基本相同），但
该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为
，是函数题的概率为
．将频率视为概率，
试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？
(3)小浦决定采用这两款软件解答
道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答
一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款
软件解决其擅长的题型．用
、
分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机
变量
的数学期望和方差．
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2．王老师将全班40 名学生的高一数学期中考试（满分100 分）成绩分成5 组，绘制成如图所示的频率分
布直方图，现将
记作第一组，
、
、
、
分别记作第二、三、四、五组．
已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
(2)王老师将测试成绩在
和
内的试卷进行分析，再从中选2 人的试卷进行优秀答卷展示，求
被选中进行优秀答卷展示的这2 人的测试成绩至少1 个在
内的概率；
(3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65 和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83 和70，
据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差．
3．“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，
常采用最大似然估计的方法：最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估
计方法，其原理是从总体中抽出具有
个值的采样
，求出似然函数
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，似然函数
表示样本同时取得
的概率，当似然函数
取得最大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值.
(1)已知一工个生产产品的合格率为
，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取20 件进
行检测，有2 件不合格：
（ⅰ）用频率估计该批次产品合格率；
（ⅱ）求合格率
的最大似然估计值，并判断用最大似然估计法计算概率是否合理；
(2)设一次试验中随机变量
的概率分布如下：
1
2
3
现做
次独立重复试验，
出现了
次，
出现了
次，
出现了
次，求
的最大似然估计值；
(3)泊松分布是种重要的离散分布，其概率分布为
，设一次试验中随机变量
的取值服从泊松分布，进行
次试验后得到
的值分别为
，已知
的最大似然估计值为2，
求数列
的前
项和
．
4．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马
尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第
次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第
，
，
，…次状态无关．已知有A，B 两个盒子，各装有1 个黑球、1 个黄球和1 个红球，现
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从A，B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行
次这样的操作后，记A 盒子中
红球的个数为
，恰有1 个红球的概率为
，恰有2 个红球的概率为
．
(1)求
，
的值；
(2)证明：
是等比数列，并求
的通项公式；
(3)求
的数学期望．
押题猜想七 圆锥曲线
限时：15min
已知双曲线E：
（
，
）的虚轴长为2，离心率为
.
(1)求双曲线E 的标准方程：
(2)过点
的直线l 与E 的左、右两支分别交于A，B 两点，点
，直线BC 与直线
交于点
N.
（ⅰ）证明：直线AN 的斜率为定值：
（ⅱ）记
，
分别为
，
的面积，求
的取值范围.
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押题解读
解答压轴必考题型
押题方向
仔细分析上海高考历年圆锥曲线解答题的命题特点，包括常见的题型、考点、设问方式等。比如，从
真题中可以看出常考的知识点有椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质，直线与圆锥曲线的位置关系，
以及定点、定值、最值等问题。
定点问题：证明直线或曲线过某一定点。解题时通常将直线或曲线方程中的变量当作常数看待，把方
程一端化为零，让参数的系数全部等于零，得到一个关于变量的方程组，其解所确定的点就是定点。
定值问题：如求某代数式、点到直线的距离或某线段长度为定值。一般需要依题设条件，得出与所求
定值相关的等式，再代入化简求值。
最值问题：可分为几何法和代数法。若题目条件和结论能体现几何特征，可利用图形性质求解；若能
建立明确的函数关系，则可通过配方法、判别式法、基本不等式法及函数单调性法等求最值。
取值范围问题：常利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，也可根据已知参数范围建立参数
间的等量关系来求解，还可利用隐含或已知的不等关系构造不等式，或者将待求量表示为其他变量的
函数，通过求函数值域确定取值范围。
1．已知抛物线
.
(1)倾斜角为
的直线过
的焦点，且与
交于
、
两点，求
；
(2)设
是
上一点，
、
是
的准线上两个不同的点，且圆
是
的内切圆.
①若
，求点
的横坐标；
②求
面积的最小值.
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2．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点A 是其左顶点，点P 是双曲线上一点，且位于
第一象限，若双曲线
的离心率
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若三角形
是等腰三角形，求点P 的坐标；
(3)直线
不垂直于x 轴，且与曲线
的另一个交点为Q，若
是锐角，求直线
的斜率的取值范
围．
3．已知上下顶点分别为
的椭圆
经过点
为直线
上的动点，且
不在椭圆
上，
与椭圆
的另一交点为
与椭圆
的另一交点为
（
均不与椭圆
上下顶点重合）.
(1)求椭圆
的方程；
(2)证明：直线
过定点；
(3)设（2）问中定点为
，过点
分别作直线
的垂线，垂足分别为
，记
，
，
的面积分别为
，
，
，试问：是否存在常数，使得
，
，
总为等比数列？若存在，求
出的值；若不存在，说明理由.
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4．已知双曲线
的右焦点为
，过点
的直线交双曲线
右支于
、
两点（点
在
轴上
方），点
在双曲线
上，直线
交
轴于点
（点
在点
的右侧）．
(1)求双曲线
的渐近线方程；
(2)若点
，且
，求点
的坐标；
(3)若
的重心
在
轴上，记
、
的面积分别为
、
，求
的最小值．
5．已知椭圆C：
经过点
．
(1)求C 的离心率．
(2)设A，B 分别为C 的左、右顶点，P，Q 为C 上异于A，B 的两动点，且直线
的斜率恒为直线
的
斜率的5 倍．
①当b 的值确定时，证明：直线
过x 轴上的定点；
21
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②按下面方法构造数列
：当
时，直线
过的定点为
，且
，设
，
证明：
．
押题猜想八 函数与导数综合题
限时：20min
在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI 已应用到国防军事方面，在2024 年的珠海航展上，中国“机器
狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引
发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，
“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有
步的台阶上，
假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概
率为
，上两步台阶的概率为
；且每次上一步台阶用时
，上两步台阶用时
.
(1)假设
，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒?
(2)若“机器狼”走3 次后从地面到达第5 步台阶的概率为
，当
取最大值时，求“机器狼”从地
面上到第7 步台阶用时最少的概率.
(3)若
，记“机器狼”从地面上到第
步台阶的概率为
，其中
，证明：数列
是等比
数列，并求
.
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押题解读
解答压轴必考题型
押题方向
上海高考第 21 题常出现新定义问题，如给定一个新的函数性质或概念，要求考生根据定义进行推理
和计算。对于这类问题，要仔细阅读定义，理解其内涵，将新定义转化为已有的数学知识和方法来解
决。例如，若定义 “超导函数”，则需要根据其给定的条件，结合函数导数的相关知识进行分析和求
解
1．若存在正数
，对任意的
，
恒成立，则称函数
，
在
上具有性质“
”．
(1)判断函数
，
在
上是否具有性质“
”，并说明理由；
(2)若函数
，
在
上具有性质“
”，求
的取值范围；
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(3)若函数
与
在
上具有性质“
”，且存在
，
，使得
，求证：
．
2．已知
，
为正整数，对于函数
，若对任意的
，都有
，则称
为
次切比雪夫函数．例如：因为
，所以
为二次切
比雪夫函数．
(1)求
；
(2)证明：对任意正整数
，都有
；
(3)若函数
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于
1．
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3．已知函数
的定义域是
．对于
，定义集合
．
(1)
，求
；
(2)对于集合
，若对任意
都有
，则称
是对称集．若
是对称集，证明：“函数
是
偶函数”的充要条件是“对任意
，
是对称集”；
(3)若
，
．求
的取值范围，使得对于任意
，都有
．
4．已知函数
在定义域
上存在导函数
．对于给定的一个有序实数对
，若存在
，使得
，则称
为
在定义域
上的一个“分
割数对”．
(1)已知
，判断数对
是否为
在
上的“分割数对”，并说明理由；
(2)已知
，若
为
在区间
上的“分割数对”，求实数
的取值范围；
(3)已知
，若有且仅有一个实数
满足对任意
，
都不
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是
在
上的“分割数对”，求实数
的值．
5．定义域为
的可导函数
满足，在曲线
上存在三个不同的点
，使得直线
与曲线
在点
处的切线平行（或重合）．
若
成等差数列，则称
为“等差函数”；若
成等差数列且
均为整数，则称
为“整数等差函数”．
(1)设
，
，分别判断
和
是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
(2)若
为“整数等差函数”，求实数
的最小值；
(3)已知
的导函数
在
上为增函数，且存在一个正常数
， 使得对任意
，
成立，证明：
为“等差函数”的充要条件是
为常值函数．
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