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2025 年高考押题预测卷
高三数学（广东卷02）·参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
C
C
A
A
B
B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
AB
BD
ABD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12． 8
13．
/
14． 3
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法、证明线面垂直
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得
平面
，从而有
，即得
是线段
的垂直
平分线，即可得证；
（2）由题意可得
，
，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：由圆锥
知
，（1 分）
又
，
，
1
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平面
，
平面
，
所以
平面
，（3 分）
平面
，
故
，又
是
中点，
即
是线段
的垂直平分线，（5 分）
故
．（6 分）
（2）解：由（1）知
，
结合
，可知
为等腰直角三角形，
故
；（7 分）
由
，知
，
故
；（8 分）
设
，则
；
以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴和
轴，
建立如图所示空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
；（9 分）
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，取
，则
；（11 分）
记直线
与平面
所成角为
，则
，（12 分）
故
，直线
与平面
所成角的余弦值为
．（13 分）
16．（15 分）
2
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【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的余弦公式化简、求值、用
和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）根据正弦定理将边化角，再利用和角的正弦公式化简即可；
（2）利用三角形的面积公式，结合正弦定理得到
，利用和角的余弦公式和同角三角函数的平
方关系求解即可.
【详解】（1）根据正弦定理设
，则
，（1 分）
代入
，得
，即
，（2 分）
整理得
，（4 分）
由
，得
，（5 分）
所以
；（6 分）
（2）由面积公式得
，（7 分）
由正弦定理得
，（8 分）
整理得
，（9 分）
由
，得
，（10 分）
由（1）得
，（11 分）
由平方关系得
（12 分）
解得
或
（14 分）
因为
，所以
，所以
．（15 分）
17．（15 分）
3
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【答案】(1)
(2)
不相互独立，理由见解析
【知识点】计算条件概率、相互独立事件与互斥事件、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）分别计算出事件
所包含的基本事件数，再利用条件概率公式计算可得结果；
（2）由
可得只需确定抛掷骰子3 次时，抛出的点数的数字个数，再按照从小到大的顺序
排列即可得事件
的个数，计算可得
，同理可得
，再求得
，验证
是否等于
即可.
【详解】（1）将事件
用有序数对
表示，则满足
事件
可以为：
，共10 种，即
；（3 分）
若满足
的事件
为
，共2 种，即
；（5 分）
所以可得
.（6 分）
（2）依题意事件
为
，需先确定抛掷3 次骰子上出现的点数的数字个数，
然后再从小到大排序即可.
则事件
包含以下三种情况：
第一种：抛掷3 次出现的点数完全相同，共有
种；
第二种：抛掷3 次出现的点数有2 个数字，共有
种；
以出现的数字为1，2 为例，则有
，
，共2 种排序方式，所以共有
种；
第三种：抛掷3 次出现的点数有3 个数字，共有
种；
抛掷3 次出现的总的情况为
种，（9 分）
所以可得
，（10 分）
同理
，（11 分）
事件
为仅当
时，即三个点数相同，共有
种情况，（12 分）
所以
，（13 分）
则
，（14 分）
所以
不相互独立.（15 分）
4
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18．（17 分）
【答案】(1)
；
(2)存在，
；
(3)证明见解析.
【知识点】利用导数研究函数的零点、由函数对称性求函数值或参数、零点存在性定理的应用、求在曲线
上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）把
代入，求出函数
的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）假定存在，求出曲线
关于原点对称的曲线方程，再利用两个函数相等求解.
（3）求出
，探讨二次函数
的零点并确定
的单调性，再利用零点存在性
定义推理判断.
【详解】（1）函数
，求导得
，（1 分）
则
，（2 分）
而
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
.（4 分）
（2）若存在
，则
，
，曲线
，（5 分）
又曲线
关于原点对称的函数为
，（6 分）
依题意，
，（7 分）
整理得
，（8 分）
所以
.（9 分）
（3）函数
的定义域为
，求导得
，（10 分）
令
，依题意，
，
方程
在
上有唯零点
，当
时，
，
；
当
时，
，
，函数
在
上递增，在
上递减，（12 分）
对任意
，存在
使得
，则
，（13 分）
而
，对任意
，
（14 分）
取
，
，
5
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由
在
上递增，得
，（15 分）
又当
从大于0 的方向趋近于0 时，
；当
时，
，
则对任意
，任意
，使得
有两个不同的零点，（16 分）
所以对任意
，存在
，使得
有两个不同的零点.（17 分）
19．（17 分）
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ⅱ）
【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n 项和、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】（1）利用给定条件应用点在双曲线上列式得出
，进而求出离心率；
（2）（ⅰ）由（1）求出双曲线方程，设出直线
的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理定理求出
直线
的斜率与直线
的斜率，计算即可得出等比数列；（ⅱ）利用（1）求出
的面积结合函
数值域得出最小值，求出数列
的所有项和即可.
【详解】（1）双曲线系
中曲线
经过
两点
由题意，得
，
，（1 分）
则
，（2 分）
所以双曲线
的离心率为
，（3 分）
所以双曲线系
的离心率为
；（4 分）
（2）（ⅰ）由（1）及题意，知
，
，
．
设
，
．
设直线
的方程为
，其中
在第二象限，
在第三象限，
联立得方程组
，（5 分）
消去
并整理，得
，
则
，
6
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，
，（6 分）
所以
，（7 分）
则
，（8 分）
所以
，则
．
故数列
是以
为公比的等比数列．（9 分）
（ⅱ）由（ⅰ）知
，直线
也恒过定点
，（10 分）
因此
，（12 分）
设
，则
，（13 分）
则
，（14 分）
7
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当
时，则
，（15 分）
，
（16 分）
所以数列
的所有项之和
.（17 分）
8
