文档文本内容
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
第二十四章 圆（单元测试）
一、单选题（每题3 分，共30 分）
1．（23-24 九年级上·内蒙古·阶段练习）有下列结论，①弦比直径短．②过圆心的线段是直径．③半圆是
弧．④长度相等的两条弧为等弧．⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的
有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆的基本概率，垂径定理，弧、弦，圆周角之间的关系，熟知圆的相关知识是解
题的关键．
【详解】解：①弦（非直径）比直径短，原说法错误；
②过圆心且两个端点都在圆上的线段是直径，原说法错误；
③半圆是弧，原说法正确；
④同圆或等圆中长度相等的两条弧为等弧，原说法错误；
⑤平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误；
⑥同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，原说法错误；
∴说法正确的有1 个，
故选：A．
2．（23-24 九年级上·全国·期末）如图，
是
的直径，
，若
，则
的度数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查同弧或等弧所对圆心角相等，圆周角定理．
由
得到
，从而求得
，进而根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：∵
，
∴
，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∵
，
∴
．
故选：B
3．（23-24 九年级上·全国·期末）如图，
，
，
都是
上的点，
与
交于点
，过点
且与
相切的直线与
的延长线交于点
．
，
，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查切线的定义、圆周角定理和平行线的判定与性质，正确添加辅助线，灵活运用相关知识
是解题的关键．
根据切线的性质可得
，由圆周角定理得
，所以
，所以
，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：根据切线的性质可得
，
，
，
，
，
，
故答案为：A
4．（2023 九年级·云南·学业考试）如图，如果从半径为
的圆形纸片上剪去
圆周的一个扇形，将留
下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（ ）
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了扇形的弧长以及勾股定理，先根据留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠）得出圆
锥的底面半径为
，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：留下的扇形的弧长为
，
则圆锥的底面半径为
，
圆锥的高为
．
故选：C
5．（22-23 九年级上·安徽·期末）如图，圆O 的半径
垂直弦
于点C，连接
并延长交圆O 于点
E，连接
．若
，则
长为（ ）
A．2
B．
C．3
D．4
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，三角形中位线性质，设
的半径为r，在
中，
利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】解：设
的半径为r，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
为直径，
，
是
的中点，
，
在
中，
，
，
，
，
．
故选：A．
6．（23-24 九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中
，
，
，经过A，B，C 三
点的圆，圆心为M，若线段
，则点D 与
的位置关系为（ ）
A．点D 在
上
B．点D 在
外
C．点D 在
内
D．无法确定
【答案】C
【分析】连接
，作
和
的垂直平分线，交点为
，则圆心
的坐标为
，然后求出
的
5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
半径，比较即可解答．
【详解】解：如图：
连接
，作
和
的垂直平分线，交点为(2,0)，
∴圆心M 的坐标为(2,0)，
∵
，
∴
，
∵线段
，
∴
半径
，
∴点D 在
内，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，
确定圆心的位置是解题的关键．
7．（23-24 九年级上·湖北武汉·期末）如图，
为
的切线，A 为切点，B 为
上的一点，连接
、
交AB于点C，
的延长线交
于点D．则下列条件不能判断
为
的切线的是（ ）
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．点A，B 都在以
为直径的圆上
D．
平分
【答案】D
【详解】本题考查切线的性质和判定，全等三角形，连接
，
，根据选项条件证明
即可
解题．
解：∵
为
的切线，
∴
，
连接
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为
的切线，故A 正确，不符合题意；
∵
，
，
∴
垂直平分AB，
∴
，
即
，
∴
，
∴
为
的切线，故B 正确，不符合题意；
∵点A，B 都在以
为直径的圆上，
∴
，
又∵
，
∴
为
的切线，故A 正确，不符合题意；
∵
平分
，
∴
，
7
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
再根据
，
，不能判断
，故D 错误，符合题意；
故选：D
8．（2023·辽宁鞍山·一模）两圆的半径分别为
和
，且两圆的圆心距为
，则这两圆的位置关系
是（ ）
A．相交
B．外切
C．内切
D．相离
【答案】B
【分析】本题利用了两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和的性质求解．根据圆心距和圆的半径之间的数
量关系，可以判断出两圆的位置关系．设两圆的半径分别为
和，且
，圆心距为
：外离，则
；外切，则
；相交，则
；内切，则
；内含，则
．
【详解】解：
两圆的半径分别为
和，且两圆的圆心距为
，
，
由于两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和，
两圆外切．
故选：B
9．（23-24 九年级上·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1 的正方形，则以格点为圆心，半径为1
和2 的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接
，则阴影部分面积
，依此计算即可求解．
【详解】解：连接
，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
由题意得，阴影部分面积
．
故选：A．
10．（23-24 九年级上·河南驻马店·期末）如图，边长为1 的正六边形
放置于平面直角坐标系中，
边
在x 轴正半轴上，顶点F 在y 轴正半轴上，将正六边形
绕坐标原点O 逆时针旋转，每次旋
转
，那么经过2023 次旋转后，顶点D 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，掌握正多边形各边
相等，各角相等的性质，熟练掌握旋转的性质，找出规律是解题的关键．根据正六边形的性质及它在坐标
系中的位置，求出点
的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2023 次后顶点
的坐标即可．
【详解】解：连接
，
，如图，
在正六边形
中，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
9
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
，
在
中，
，
，
，
，
，
点
的坐标为
，
将正六边形
绕坐标原点
逆时针旋转，每次旋转
，
次一个循环，
，
经过2023 次旋转后，顶点
的坐标与第三次旋转后得到的
的坐标相同，
过点
作
轴于P，
∴
，
由旋转可知
，
，
∴
，
∴
，
∵点
在第四象限，
∴点
的坐标为
，
经过2023 次旋转后，顶点
的坐标为
，
故选：C．
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
二、填空题（每题4 分，共20 分）
11．（23-24 九年级上·内蒙古·阶段练习）正三角形的半径为
，则此三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆内接正多边形，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练运用数形结合的数学思
想是解题的关键；
先画出相应的图形，然后连接
、
，过点
作
于
，根据等腰三角形性质得出
，求出
，根据勾股定理求出
，即可求出
，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：如图，
是
的内接正三角形，连接
、
，过点
作
于
，
由题意可知
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
12．（22-23 九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，
的直径为20，弦
的长为16，P 是弦
上一点，
则线段
的长的最小值为 ．
11
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
【答案】6
【分析】本题考查了最短路径问题，垂径定理，勾股定理，熟练掌握最短路径问题及垂径定理是解题的关
键．过点O 作
于点H，连结
，根据垂径定理可得
，再根据勾股定理可求得
，当点P 在点H 处时，线段
的长取最小值，即得答案．
【详解】解：过点O 作
于点H，连结
，
，
的直径为20，
，
，
当点P 在点H 处时，线段
的长取最小值，最小值为6．
故答案为：6．
13．（23-24 九年级上·四川广安·阶段练习）如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线
上运
动，当
与
轴相切时，圆心
的坐标为 ．
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
，
或
，
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征．当
与
轴相切时，点
的
纵坐标是2 或
，把点
的坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标．
【详解】依题意，可设
或
．
①当
的坐标是
时，将其代入
，得
，
解得
，
此时
，
或
，
；
②当
的坐标是
时，将其代入
，得
，即
，此时无解．
综上所述，符合条件的点
的坐标是
，
或
，
；
故答案为：
，
或
，
．
14．（23-24 九年级上·四川广安·期末） 如图，
是圆锥底面的直径，已知
，圆锥的母线长为
．若一只蚂蚁从
点出发沿圆锥的侧面爬行到
点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
13
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
/
厘米
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．先画
出圆锥侧面展开图，再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出
结果即可．
【详解】解：画出圆锥侧面展开图，点A 在点
处，连接
，如图所示：
根据题意得：
，点
为
的中点，设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为
，根据题意得：
，
解得：
，
∴
，
∴蚂蚁爬行的最短路程为：
，
故答案为：
．
15．（22-23 九年级下·天津滨海新·期末）在每个小正方形的边长为1 的网格图形中，每个小正方形的顶点
称为格点．如图，在
的正方形网格图形中，
，
均是格点．
（1）线段
的长等于 ；
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
（2）点
是这个网格图形中的格点，连接
，
，且满足
．在如图所示的网格中，画出
点
的位置，在所有满足条件的
中，边
的长的最大值是 ．
【答案】
、
、
、
、
【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，圆周角定理，圆的性质
等，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
（1）运用勾股定理即可求得答案；
（2）在
边上取点
，使
，连接
，
，可证得
，进而可得
是等腰直角三角形，再作
的外接圆可得出符合条件的点，再运用圆的性质可知当
为直
径时最长，利用勾股定理可求得答案．
【详解】解：（1）如图1，在
中，
，
，
，
．
故答案为：
；
（2）如图2，在
边上取点
，使
，连接
，
，
，
，
15
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
作
的外接圆交网格于
、
、
、
，
根据圆周角定理可得：
，
根据题意得到点
的轨迹为圆弧，当
为直径时最长，即点
位于点
处时，
最长，
在
中，
．
故答案为：
；
．
三、解答题（16-18 题每题4 分，19 题6 分，20 题7 分，21、22 题每题8 分，23 题9 分，共50 分）
16．（23-24 九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在
中，弦
交于点E，且
．求证：
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了弧、弦之间的关系，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，根据弧、
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
弦之间的关系证明
得到
，再由
可证明
，据此可证
明
．
【详解】证明：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
17．（23-24 九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在
中．
(1)尺规作图：以边
上一点
为圆心，线段
的长为半径作
，使得
与边
相切于点
；（保
留作图痕迹，不写作法．）
(2)在（）的条件下，连接BD，记
与边
的另一交点为
，
，
．求
的半径．
【答案】(1)作图见解析；
(2)
的半径为．
【分析】（）作
的角平分线，交边
于点
，以
为圆心，线段
的长为半径作
，则
与边
相切于点
；
（
）设
，根据（）的条件知
，在
中，由勾股定理解即可求解；
本题考查了尺规作图—作角平分线，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）如图，作
的角平分线，交边
于点
，以
为圆心，线段
的长为半径作
，
则
与边
相切于点
，
（2）如图所示，设
，
由（）可知
，
∵
，
，
在
中，
，
，
∴
，
即
，
解得：
，
∴
的半径为．
18．（23-24 九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系内，
的三个顶点的坐标分别为
．
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
(1)画出
绕点O 逆时针旋转
后的
；
(2)在（1）的条件下，求线段
扫过的面积(结果保留π)．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查坐标与旋转，求扇形的面积：
（1）依据旋转变换的性质画出图形即可；
（2）依据图形面积的和差关系，可得
扫过的面积
扇形
的面积
扇形
的面积，由此计算即
可．
【详解】（1）解：如图，
即为所求；
（2）由勾股定理，得：
，
∴线段
扫过的面积为：
．
19
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
19．（22-23 九年级下·江苏宿迁·自主招生）已知点
和直线
，则点P 到直线
的
距离d 可用公式
计算，利用公式解决下列问题：
(1)求直线
与直线
之间的距离．
(2)已知直线
分别交x，y 轴于A，B 两点，
是以
为圆心，2 为半径的圆，P 为
上
的动点，试求出
面积的最大值．
【答案】(1)这两条直线之间的距离等于
(2)18
【分析】（1）在直线
上任取一点
，由直线
与
平行，则两直线间的距离
即为点
到
的距离；再根据题干所给距离公式解答即可；
（2）分别令
、
求得对应的y 和x，进而确定点A，B 的坐标和
的长度；设圆心
到直线
即
的距离为
的半径为
，然后根据题干所给距离公式求得半径R，然后
再根据直线与圆的位置关系列出不等式，求得点
到直线
的距离的最大值，最后运用圆的面积
公式求解即可．
【详解】（1）解：在直线
上任取一点
，
∵直线
与
平行，
∴这两条平行线之间的距离等于点
到直线
的距离．
∵直线
可变形为
，其中
．
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
∴点
到直线
的距离
．
∴这两条直线之间的距离等于
；
（2）解：令
得
；令
得
，
∴
，
设圆心
到直线
即
的距离为
的半径为
，
∴
，
，
又∵
上任意点
到直线
的距离
，
∴
上任意点
到直线
的距离的最大值
，此时，直线与
相切，
所以
的面积的最大值为：
．
【点睛】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式，直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、平
行线的性质等知识，弄清题意，明确所给“点到直线的距离公式”的内涵是解答本题的关键．
20．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，已知
是
的外接圆，连接
，
，过点
作
，
交
的延长线于
，
交
于
，
．
(1)求证：
是
的切线；；
(2)若
，
．求图中阴影部分的面积．
21
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接
，根据圆周角定理可知
，利用平行线的性质即可求出
，从而可知
是
的切线；
（2）设
，由于
，所以
，在
中，由勾股定理可知：
，解
得
，所以半径
；根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．
本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，圆周角定理，切线的判定，扇形面积公式等知识，需要学生灵活
运用所学知识．
【详解】（1）证明：连接
，
，
，
，
，
是
的半径，
是
的切线；
（2）解：设
，则
，
，
∵
，
在
中，由勾股定理可知：
，
，
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
，
（舍去），
，
的半径为4，；
∴
，
，
图中阴影部分的面积
．
21．（2023·四川广安·一模）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面
的宽度为
，拱高
（
的中点到水面的距离）为
．
(1)求
所在圆的半径；
(2)若水面下降
，求此时水面的宽度（保留根号）．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查垂径定理，勾股定理：
（1）根据垂径定理得到
，
，结合勾股定理求解即可得到答案；
（2）根据（1）即可得到
，
，结合勾股定理求解即可得到答案；
【详解】（1）解：如图，设
所在圆的圆心为O，连接
，
，
是
的中点，
，即
为圆的半径，
，
设
，则
，
23
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
在
中，
，
即
，解得
，
故
所在圆的半径为
；
（2）解：如图，连接
，设
与
交于点G，则
，
在
中，
，
，
，
，
故此时水面的宽度为
．
22．（23-24 九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，
、
是
的切线，
切
于点
，
的
周长为12，
．求：
(1)求
的长；
(2)求
的度数．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查的是切线长定理，切线长定理提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出
图形的各对相等切线长．
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形
的周长等于
的结论，即可求出
的长；
（2）根据三角形的内角和求出
和
的度数和，然后根据切线长定理，得出
和
的
度数和，再根据三角形的内角和求出
的度数．
【详解】（1）
，
都是圆
的切线，
，
同理
，
，
三角形
的周长
，
即
的长为6；
（2）
，
，
，
，
是圆
的切线，
；
同理：
，
，
．
23．（23-24 九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，
的斜边
在
轴上，
边
与
轴交于点
，
平分
交边
于点
，经过点
、
、
的圆的圆心
恰好在
轴上，
与
轴相交于另一点
．
(1)求证：
是
的切线；
25
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
(2)若点
、
的坐标分别为A (0,−1)，
，求
的半径；
(3)在（2）的条件下，求
的长。
(4)试探究线段
、
、
三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
的半径为
(3)
(4)
【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，勾股定理的运用，三
线合一，矩形的判定和性质，即可．
（1）连接
，根据角平分线的性质，则
，根据等边对等角，等量代换，则
，
根据平行线的性质，直角三角形的性质，则
，即可；
（2）连接
，根据题意，则
，
，设
的半径为，得到
，
，根据勾股
定理，则
，求出，即可；
（3）过点
作
交
于点
，根据矩形的判定和性质，则四边形
是矩形，
，根
据等腰三角形三线合一，勾股定理求出
，即可；
（4）由（3）得，四边形
是矩形，
，
，根据圆的性质，则
为
的
直径，
，等量代换，则
，根据
，即可．
【详解】（1）证明如下：
连接
，
∵
是直角三角形，
为斜边，
∴
，
∵
平分
交边
于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
即
是
的切线．
（2）解：连接
，
∵点
、
的坐标分别为A (0,−1)，
，
∴
，
，
设
的半径为，
∴
，
，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴
的半径为
．
（3）解：过点
作
交
于点
，
∴
，
27
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴
．
（4）
，证明如下：
由（3）得，四边形
是矩形，
，
∴
，
∵
为
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
