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高三数学考前冲刺押题模拟卷 01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．若复数 是纯虚数，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据纯虚数的概念可知 即可求 ，进而计算可得结果.
【详解】由题意知： ,可得 ，
所以 ,根据虚部的概念，可得 的虚部为 .
故选：A
2．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，得到 ， ，再利用集合的运算，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
又由 ，得到 ，即 ，
所以 ，
故选：B.
3．如图，将一个圆柱 等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组
合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧
面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆柱的底面半径为 ，高 分析可得新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面
积，由此可得 ，由圆柱的侧面积公式计算可得答案.
【详解】根据题意，设圆柱的底面半径为 ，高 ，其轴截面的面积为 ，
新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，
若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了 ，
即
所以圆柱的侧面积为 .故选：A.
4．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用正弦定理边化角整理求得 ，在将条件中的向量等式两边平方可求得 ，进而可求 .
【详解】因为 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，即
又 两边同时平方得 ，
即 ，所以 ，
.
故选：A.
5．已知 ，则下列选项中，能使 取得最小值25的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求解；C选项，可以
举出反例；D选项，设 ， ，利用三角恒等变换得到
.
【详解】A选项， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，A错误；
B选项，因为 ，所以 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，B正确；
C选项，当 时，满足 ，此时 ，C错误；
D选项， ，设 ，其中 ，则 ，
因为 ，所以 ，故 ，
显然 取不到最小值25，D错误.
故选：B
6．已知数列{a}的前n项和分别为S， ，若任取n∈N*，不等式 恒成立，则实数λ的
n n
取值范围为（ ）
A．（ ） B．（ ） C．（ ） D．（ ）
【答案】A
【分析】由 推理得到 ， ，再对n进行奇偶分类，分别解决恒成立问题即得实数
λ的取值范围.
【详解】已知数列 的前n项和分别为 ，由题意， ①， ②， 得
，即 ，
因为 ，所以 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，故 ；
当n为奇数时， 恒成立， ，因为 随着n的增大而减小，所以
时取最大值 ，故 ；
当n为偶数时， 恒成立，只需 ，显然 随着n的增大而增大，所以 时取
最小值 ，故 ，所以 ．
故选: A．
7．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小
华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事
件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数 ，并确定向上或向右各走的步数 ，则最短路
径的走法有 ，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明
经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.
【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移
动，
对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，
所以最短路径条数为 条，错误；
对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为
条，正确；
对于③，小明到 的最短路径走法有 条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小
明到老年公寓共有 条，
所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为 ，正确；
对于④，由题意知：事件 的走法有18条即 ，事件 的概率 ，
所以 ，错误.
故说法正确的个数是2.
故选：B.
8．已知 ，若存在实数 ，当 时，满足
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数性质，得 ， ，将问题转化为求 的取值范围，构造函数
，利用导数求函数 的值域即可.
【详解】作出函数 的图象如图，
当 时， ，由 得 ，由 可得 ，
由图可知， ，点 、 关于直线 对称，则 ，
点 、 关于直线 对称，则 ，
所以 ，
令 ，其中 ，，当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
所以，当 时， ，
当 时， ；当 时， ，则 ，
所以 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是利用正弦型函数的周期性和对称性，将问题转化为求函数
的值域，求值域时，除函数的单调性外还要注意函数的取值特点.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为 ，则（ ）
A．
B．这组数据的中位数为4
C．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D．这组数据的第70百分位数为5.5
【答案】ACD
【分析】根据平均数求出 值，再根据百分位的性质求出结果．
【详解】由题意得 ，解得 ，故A正确；
将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数 ，故B错误；
若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为 ，故C正确；
因为 ，所以这组数据的第 百分位数为 ，故D正确．
故选：ACD．
10．双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应
用．在空间直角坐标系中，将一条 平面内开口向上的抛物线沿着另一条 平面内开口向下的抛物线
滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为
，则下列说法正确的是（）
A．用平行于 平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B．用法向量为 的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C．用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D．用过原点且法向量为 的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
【答案】AB
【分析】利用空间向量的相关知识，结合马鞍面的标准方程，逐一变换方程判断各选项即可得解.【详解】因为马鞍面的标准方程为 ，
对于A，平行于 平面的面中 为常数，不妨设为 ，
得 ，故所得轨迹是双曲线.，故A正确；
对于B，法向量为 的平面中 为常数，不妨设为 ，
则 ，为抛物线方程，故B正确；
对于C，垂直于 轴的平面中 为常数，不妨设为 ，
则 ，为抛物线方程，故C错误；
对于D，不妨设平面上的点坐标为 ，
因为平面过原点且法向量为 ，由 ，得 ，
故 ，代入马鞍面标准方程，得 ，
当 时，方程为 ，不是物物线，故D错误.
故选：AB.
11．在三棱锥 中， 平面 ，平面 内动点 的轨迹是集合
.已知 且 在棱 所在直线上， ，则（ ）
A．动点 的轨迹是圆
B．平面 平面
C．三棱锥 体积的最大值为3
D．三棱锥 外接球的半径不是定值
【答案】ABC
【分析】首先底面建坐标系，利用轨迹法求得点 的轨迹，点 也在轨迹圆上，再根据几何关系，以及体
积公式，外接球的半径问题，利用数形结合，即可求解.
【详解】A.因为 ，所以在平面 内，以 所在直线为 轴，以线段 的中垂线为 轴，建立平
面直角坐标系，如图，
设 ， ， ，
由 知， ，化简为 ，即点 的轨迹为圆，故A
正确；
B. 根据以上证明可知，点 和 在圆 与 轴的两个交点，如上图，由条件可知，点 在
圆上，
则 ，而 平面 ， 平面 ,所以 ，所以 是二面角 的平面角，则平面 平面 ，故B正确；
C.当点 到 的距离为2时，此时 的面积最大，此时最大面积是 ,
则三棱锥 体积的最大值为 ，故C正确；
D.由以上证明可知， ，且 ，如图，
取 的中点 ，作 平面 ，且 ，
所以 ，
所以三棱锥 外接球的半径是定值 ，故D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并在底面建立坐标系，求点 的轨迹，后面的选项就会迎
刃而解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）
【答案】80
【分析】 中有2个括号提供 ，还有3个括号都是 ，求出系数即可.
【详解】 可看作5个 相乘，有2个括号提供 ，还有3个括号都是 ，
则 ，系数为80.
故答案为：80
13．已知圆 ，圆 ，直线 上存在点 ，过点 向圆 引两
条切线 和 ，切点是 和 ，再过点 向圆 引两条切线 和 ，切点是 和 ，若
，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意作出图形，结合图象转化得 ，从而利用两点距离公式求得点 的轨迹方程，
进而得到直线 与圆 有交点，由此得解.
【详解】连接圆心和切点，如图所示，则有 ，易知 ，
故 ， ，
不妨设 ， ， ，
，化简得 ，
P的轨迹为以圆心 ， 为半径的圆，
又 P在直线 上， 直线 与圆 有交点，
，故 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将题设条件转化得 ，从而利用阿氏圆的相关知识可知
点 的轨迹方程为圆，进而得解.
14．设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】先分析 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取 ，结合图像即可判断；对于②，分段
讨论 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知 的范围；对于④，取 ，结合图像
可知此时 存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意， ，
当 时， ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当 时， ，易知其图像是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴上方的图像（即半
圆）；
当 时， ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取 ，则 的图像如下，
显然，当 ，即 时， 在 上单调递增，故①错误；
对于②，当 时，
当 时， ；
当 时， 显然取得最大值 ；
当 时， ，
综上： 取得最大值 ，故②正确；
对于③，结合图像，易知在 ， 且接近于 处， 的
距离最小，
当 时， ，当 且接近于 处， ，
此时， ，故③正确；
对于④，取 ，则 的图像如下，
因为 ，
结合图像可知，要使 取得最小值，则点 在 上，点 在，
同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径 ，
此时，因为 的斜率为 ，则 ，故直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
显然 在 上，满足 取得最小值，
即 也满足 存在最小值，故 的取值范围不仅仅是 ，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得 的图像，特别是当 时， 的图
像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图所示，在等腰直角 中， 为线段 的中点，点 分别在线段
上运动，且 ，设 .
(1)设 ，求 的取值范围及 ；
(2)求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得 ，即可得 ，在 中，利用
即可求出结果；
（2）根据条件得到 ，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为 为等腰直角三角形， 为线段 的中点，所以 .
因为点 在线段 上运动，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ..............................................................6分
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 面积的最小值为 ...............................................................13分
16．(15分）如图，在梯形 中， ， ， .将 沿对角线
折到 的位置，点P在平面 内的射影H恰好落在直线 上.
(1)求二面角 的正切值；
(2)点F为棱 上一点，满足 ，在棱 上是否存在一点Q，使得直线 与平面 所成的角
为 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）过点 作 于点 ，连接 ，可证得 平面 ，进而可知 为二面角 的平面角，利用三角形计算即可得出结果.
（2）连接 ，由 为等边三角形，H为线段 的中点， ，又 平面 ，以H为
坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，求得平面 的法向
量，假设棱 上存在满足要求的点 ，设 ， ，利用 ，计算可求得 ，即
可得出结果.
【详解】（1）如图，过点 作 于点 ，连接 ， ，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ， .
为二面角 的平面角.
∵ ， ，∴ 为等边三角形， ，
又 中， ， ， ， .
又 ， ， ，H为线段 的中点.
， ，
中， ， ，
所以二面角 的正切值为 ..............................................................7分
（2）连接 ， 为等边三角形，H为线段 的中点， ，
又 平面 ，则 ， ， 两两垂直，
以H为坐标原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， .
设平面 的法向量为 ， ，
令 ，可得 .
假设棱 上存在满足要求的点Q，设 ， ， .
，因为直线 与平面 所成的角为 ，
，
整理得： ，解得 或 （舍去）.
所以 ，则 .
所以当 时， 与平面 所成的角为 .............................................................15分
17．(15分）已知函数 ， .
(1)若 （其中 为 的导函数），讨论 的单调性；
(2)求证： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出 的导数，通过讨论 的范围，求出 的单调区间；
（2）构造函数 ，利用导数研究函数 的单调性和最值，从而证明 .
【详解】（1） ，
则 ，
当 时，由 得 ， 得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， ，∴ 在 上单调递增，
当 时，令 ，得 或 ；
令 ，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
当 时，令 ，得 或 ；
令 ，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 和 上单调递
增...............................................................7分
（2）构造函数 ，则 ， ，
则 在 上单调递增， ， ，
∴ ， ，即 ，∴ .当 ， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增，
∴ 的最小值为 ，
∵ ，∴等号不能取，∴ ，∴ ..............................................................15分
18．(17分）已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者 将依次通过摸出小
球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色
不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红
球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球
各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至
甲队，否则被分至乙队．
(1)求 三人均被分至同一队的概率；
(2)记甲，乙两队的最终人数分别为 ， ，设随机变量 ，求 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由题意， 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出 被分至甲队即
摸出红球的概率、 被分至甲队即 摸出红球的概率、 被分至甲队即 摸出红球的概率，再应用条件概
率公式及互斥事件加法求 三人均被分至同一队的概率；
（2）根据题意有 可能取值为 ，分析 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.
【详解】（1） 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，
记事件 “ 被分至甲队”， 事件 “ 被分至甲队”， 事件 “ 被分至甲队”，
当 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则 被分至甲队即 摸出红球的概率为 ；
当 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则 被分至甲队即 摸出红球的概率为 ；
当 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则 被分至甲队即 摸出红球的概率为
；
所以 ，则 ，
同理知：新增登山爱好者 均被分至乙队的概率也为 ，
所以 三人均被分至同一队的概率为 ...............................................................8分
（2）由题设， 可能取值为 ，
为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则 ，
为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，
设新增的第 名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则
， ，
， ，所以 ，
为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则
，
所以 ................................................................17分
19．(17分）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为
“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妺”圆锥曲线， 分别
为 的离心率，且 ，点 分别为椭圆 的左､右顶点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 .
（i）试探究 与 的比值 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）为定值， （ii）
【分析】（1）设出双曲线方程 ，根据离心率的乘积得到方程，求出 ，得到答案；
（2）（i）设 ，直线 的方程为 ，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之
积，得到 ；
（ii）方法一：设直线 ，代入双曲线方程，由两根之积得到 ，结合点A在
双曲线的右支上，得到 ，同理得到 ，结合 确定
，由 和函数单调性得到答案；
方法二：求出双曲线的渐近线方程，由于点A在双曲线 的右支上，与渐近线的斜率比较得到
，同理可得 ，结合 求出 ，由
和函数单调性得到答案.
【详解】（1）由题意可设双曲线 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 ................................................................5分（2）（i）设 ，直线 的方程为 ，
由 ，消元得 .
则 ，且 ，
，
或由韦达定理可得 ，即 ,
，
即 与 的比值为定值 ................................................................11分
（ii）方法一：设直线 ，
代入双曲线方程并整理得 ，
由于点 为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为 ，.
由韦达定理得： ，解得 .
因为点A在双曲线的右支上，所以 ，解得 ，
即 ，同理可得 ，
由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ，故 ，
设 ，其图象对称轴为 ，
则 在 上单调递减，故 ，
故 的取值范围为 ；
方法二：由于双曲线 的渐近线方程为 ，
如图，过点 作两渐近线的平行线 ，由于点A在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 之间（含 轴，不含直线 ），
所以 .
同理，过点 作两渐近线的平行线 ，
由于点 在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 之间（不含 轴，不含直线 ），
所以 .
由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ,
故 ........................... ..................17分
【点睛】方法点睛：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法
来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
