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第十五章 机械波
1、理解波的形成和传播
2、波的多解问题
3、波的干涉和衍射现象、多普勒效应
一、简谐运动
1．简谐运动
(1)定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，
物体的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力
①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2．简谐运动的两种模型
模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运
动条件
(1)弹簧质量可忽略
(2)无摩擦等阻力
(3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细线
(2)无空气阻力等
(3)最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π
能量
转化
弹性势能与动能的相互转化，系
统的机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
二、简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式
1
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(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A 代表振幅，ω＝2πf 代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0 代表简谐运
动的相位，φ0 叫作初相。
2．简谐运动的图像
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图像如图乙所示。
3．简谐振动的规律
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x 的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x 都减小，v 增大；远离平衡位置时，a、F、x 都增大，
v 减小
能量特征
振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐
运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性特征
关于平衡位置O 对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相
对平衡位置的位移大小相等
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频
率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。
2．共振
做受迫振动的物体，驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这
就是共振现象。共振曲线如图所示。
四、单摆及其周期公式
1．对单摆的理解
(1)回复力：摆球重力沿轨迹切线方向的分力，F 回＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F 回与位移x
2
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的方向相反。
(2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F 向＝FT－mgcosθ。
两点说明：
①当摆球在最高点时，F 向＝＝0，FT＝mgcosθ。
②当摆球在最低点时，F 向＝，F 向最大，FT＝mg＋m。
(3)单摆是一个理想化模型，摆角θ<5°时，单摆的周期为T＝2π，与单摆的振幅A、摆球质量m 无关，式中
的g 由单摆所处的位置决定。
2．等效摆长及等效重力加速度
(1)l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l′＝r＋Lcosα。乙图中
小球(可看作质点)在半径为R 的光滑圆槽中A 点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。
(2)g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。
①在不同星球表面：g′＝，M 为星球的质量，R 为星球的半径。
②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a 和g′＝g－a，a 为超重或失重时单摆系统
整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。
五、机械波
1．形成条件
(1)有发生机械振动的波源。
(2)有传播介质，如空气、水等。
2．传播特点
(1)传播振动形式、传播能量、传播信息。
(2)质点不随波迁移。
3．机械波的分类
(1)横波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直，有波峰和波谷。
(2)纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上，有疏部和密部。
4．机械波的描述
(1)波长(λ)：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
3
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①在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。
②在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。
(2)频率(f)：波的频率等于波源振动的频率。
(3)波速(v)：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。
(4)波长、频率(或周期)和波速的关系
v＝＝λf。
5．波的图像
(1)坐标轴：横坐标表示沿波传播方向上各个质点的平衡位置，纵坐标表示该时刻各个质点离开平衡位置的
位移。
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。
六、波的干涉和衍射现象 多普勒效应
1．波的干涉和衍射
波的干涉
波的衍射
条件
两列波的频率必须相同，相位差保
持不变
明显衍射现象的条件：障碍物或孔的
尺寸比波长小或相差不多
现象
形成加强区和减弱区相互隔开的稳
定的干涉图样
波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
2．多普勒效应
(1)条件：声源和观察者之间有相对运动(距离发生变化)。
(2)现象：观察者感到频率发生变化。
(3)实质：声源频率不变，观察者接收到的频率变化。
七、机械振动与机械波的区别和联系
名称
项目
机械振动
机械波
区别
运动
特点
机械振动是单个质点以平衡位置
为中心所做的往复运动
机械波是介质中大量质点依次发生受迫振动而形成
的“集体运动”
产生
原因
机械振动是质点受到回复力作用
的结果
机械波是从波源处开始，由近及远，介质中质点依
次施力带动相邻质点发生受迫振动形成的
能量
变化
情况
机械振动过程中，动能和势能不
断地相互转化，总机械能守恒
波源将能量传递给相邻质点，相邻质点再将能量传
递给它的相邻质点，由近及远，每个质点在不断地
吸收和放出能量，从而把波源的能量传播出去，是
一个能量的传播过程
联系
(1)机械波是机械振动在介质中传播形成的
(2)机械波的周期等于介质中质点机械振动的周期
(3)有机械振动不一定有机械波，但有机械波一定有机械振动
4
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(4)波源停止振动后，介质中的机械振动并不立即停止传播，而是继续向远处传播，直
到振动能量全部损耗完
八、波动图像和振动图像的综合应用
波动图像和振动图像的比较
比较项目
振动图像
波的图像
研究对象
一个质点
波传播方向上的所有质点
研究内容
某质点位移随时间的变化规律
某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标
表示时间
表示各质点的平衡位置
物理意义
某质点在各时刻的位移
某时刻各质点的位移
振动方向的判断
(看下一时刻的位移)
(同侧法)
Δt 后的图形
随时间推移，图像延伸，但已有形状
不变
随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原
有波形做周期性变化
九、波的多解问题
一、造成波的多解问题的主要因素
1．周期性
(1)时间周期性：时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确。
(2)空间周期性：波传播距离Δx 与波长λ 的关系不明确。
2．双向性
(1)传播方向双向性：波的传播方向不确定。
(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定。
如：①只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
②只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。
③只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x 轴正方向或沿x 轴负方向传
播。
二、解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内满足条件的关系Δt 或Δx，若此关系为时间，则t
＝nT＋Δt(n＝0,1,2…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2…)。对于双向性问题，则两个方向对应的
情形都要分别考虑。
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一、单选题
1．如图所示，实线和虚线分别是沿x 轴负方向传播的一列简谐横波在
和
时刻的波形图。则该
波（ ）
A．传播的速度大小可能为
B．周期可能为
C．在
到
时间内，
的质点通过的位移可能为
D．在
到
时间内，
的质点通过的路程可能为
2．如图所示，光滑圆弧轨道竖直固定，其半径远大于弧长，圆弧底端切线水平。现将两个相同的小球分
别从圆弧轨道的顶端和中点由静止释放。下列说法正确的是（ ）
A．甲球到达底端时的动能大于乙球到达底端时的动能
B．甲球到达底端时的动能小于乙球到达底端时的动能
C．甲球到达底端所用的时间大于乙球到达底端所用的时间
D．甲球到达底端所用的时间小于乙球到达底端所用的时间
3．两个质量相同的弹簧振子，甲的固有频率是
。乙的固有频率是
，若它们均在频率为
的驱动力
作用下做受迫振动。则（ ）
A．振子甲的振幅较大，振动频率为
B．振子乙的振幅较大。振动频率为
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C．振子甲的振幅较大，振动频率为
D．振子乙的振幅较大，振动频率为
4．图（a）为一列简谐横波在某一时刻的图像，P、Q 为平衡位置在xp=3m 和xQ=6m 的两质点，图（b）为
质点P 从该时刻开始计时的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．该波波速为3m/s
B．该波沿x 轴负方向传播
C．P 在平衡位置时Q 质点总在波谷
D．质点P 在t=5s 时沿y 轴负方向运动
5．在平静的水面，有一块石头在O 点落入水中，一列水波在xOy 水平面内传播。
时波面分布如图
（a）所示，其中实线表示波峰，虚线表示波谷，实线与虚线间还有两个波峰未画出。某质点的振动图像
如图（b）所示，z 轴正方向竖直向上。下列说法正确的是（ ）
A．该波的波长为3m
B．该波从A 点传播到B 点所需的时间为10s
C．
时，坐标为（8m，6m）的M 质点正在沿z 轴正方向运动
D．若该波能与另外一水波形成稳定的干涉图样，则两列波的波长可能不同
6．舞龙是中国传统民俗活动。在某次舞龙活动中，将“龙”左右摆动形成的波看作沿x 轴正方向传播的简
谐波，自某时刻开始计时，波源O 的振动方程为
，则
时的波形图为（ ）
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A．
B．
C．
D．
7．t=0 时刻，平衡位置在坐标原点O 的质点开始向y 轴正方向做简谐运动。t=2 s 时刻，在x=0 至x=4m 的
区域内第一次出现如图所示的波形。下列说法正确的是（ ）
A．图中的质点K 正在向y 轴负方向运动
B．这列机械波的波速大小为2 m/s
C．t=1 s 时刻，位于x =3 m 处的质点L 开始振动
D．位于O 点的质点的位移-时间关系为y =20sin（ πt）cm
8．如图所示，两根轻质细线分别连接两个可视为质点的小球，小球甲在竖直面内摆动，摆线的最大摆角
为
，小球乙在水平面内绕
点做匀速圆周运动，连接小球乙的细线与竖直方向的夹角始终为
，
两小球运动的周期恰好相等，下列说法正确的是（ ）
A．两根细线的长度相等
B．两小球的质量一定相等
C．两小球的机械能一定相等
D．连接甲、乙两球的细线长度之比为
9．如图甲所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器在竖直面做小角度
8
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内摆动时，沿着垂直于摆动方向匀速拖动一张硬纸板，注射器流出的墨水在硬纸板上形成了如图乙所示的
曲线。关于图乙所示的图像，下列说法中正确的（ ）
A．匀速拖动硬纸板移动距离L 的时间等于注射器振动的周期
B．可以利用x 轴作为时间坐标轴，可以用y 轴表示注射器振动的位移
C．拖动硬纸板的速度越大，注射器振动的周期越短
D．拖动硬纸板的速度越大，注射器振动的周期越长
10．如图所示，在一条张紧的绳子上挂着
四个摆。当摆振动的时候，其余各摆在摆的驱动下也逐
步振动起来，不计空气阻力，达到稳定时，下列说法正确的是（ ）
A．稳定时摆的振幅最大
B．稳定时
摆的周期最小
C．稳定时
摆的频率等于摆的频率
D．稳定时摆的频率小于
摆的频率
二、多选题
11．如图所示，利用弹簧和条形磁铁做成两个弹簧振子，将磁铁分别放入两个线圈内，相隔较远，当线圈
A 中的磁铁上下振动时，发现线圈B 中的磁铁也会上下振动。下列判断正确的是（ ）
A．线圈A 和线圈B 之间必定由导线连成闭合回路
B．两个磁铁的振动周期一定相同
C．当两个振子的弹簧和磁铁规格都一样时线圈B 中的磁铁振幅最大
D．当两个线圈的匝数一样时线圈B 中的磁铁振幅最大
12．近年来，中科院研发的第三代横波远探测成像测井仪在超深井中实现了清晰的井外地质成像及8340 米
深度的探测纪录，下该类国产仪器深度探测纪录。图甲为一列沿x 轴传播的简谐横波在t=0 时刻的波形
9
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图，图乙为x=6m 处质点P 的速度一时间（v-t）图像。下列说法正确的是（ ）
A．该波沿x 轴负方向传播
B．波的传播速度大小为5m/s
C．在0.6s 内质点P 运动的路程为3m
D．质点P 在t=0.5s 时刻的位移为5cm
E．当测井仪运动时，接收到该波的频率为
13．某简谐横波沿
轴正方向传播，坐标为
和
的两质点的振动图像如图中实线和虚线所
示．已知该波波速为
，波长大于
，
时刻
处的质点位于波谷，则下列说法正确的是
（ ）
A．该波的周期为
B．
时两质点位移大小相等，振动方向相同
C．从
时刻起
处的质点至少要经过
才能处于波峰
D．
时刻
处的质点偏离平衡位置的位移为
E．该波遇到大小为
的障碍物时能发生明显的衍射现象
14．下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1Hz 的简
谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图（a）所示。以木棒所受浮力F 为纵
轴，木棒水平位移x 为横轴建立直角坐标系，浮力F 随水平位移x 的变化如图（b）所示。已知河水密度为
ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
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A．x 从0.05m 到0.15m 的过程中，木棒的动能先增大后减小
B．x 从0.21m 到0.25m 的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C．
和
时，木棒的速度大小相等，方向相反
D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为
三、实验题
15．甲同学利用单摆测定当地重力加速度。
（1）甲同学用10 分度的游标卡尺测摆球的直径，如图所示，他测量的读数应该是
。
（2）实验过程中，下列操作正确的是 （选填选项前的字母）
A．为防止测量摆线长度时直尺与摆线不平行，应让摆线平放在桌面测量
B．为减小偶然误差，实验中改变摆线长度多次实验，最后将摆长相加取平均记为平均摆长
C．将摆球拉离平衡位置一个小角度，从静止释放摆球，当小球某次通过最低点时开始计时，并数为1，以
后小球每次经过最低点时，依次数为1、2、3…数到30 时停止计时，以这段时间除以30 作为周期
D．将摆球拉离平衡位置一个小角度，从静止释放摆球，当小球某次向右通过最低点时开始计时，并同时
数30，以后小球每次向右经过最低点时，他依次计数为29、28、27…，数到0 时停止计时，以这段时间除
以30 作为周期
（3）甲同学通过改变摆线的长度l，并测出对应的单摆振动周期为T。作出
图线，在图线上选取相距
较远的A、B 两点，读出与这两点对应的坐标，如图所示。计算重力加速度的表达式为
。
（4）乙同学从甲同学的上述图像上选取一点，将该点数据带入周期公式中计算重力加速度的值，其所得
结果与甲同学的结果比较会 （填“偏大”、“偏小”或“相等”）
16．某物理课外活动小组准备测量当地的重力加速度，装置如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，
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下端系一小球，用刻度尺多次测量摆线长度，并求出其平均值l，再用螺旋测微器多次测量小球的直径，
并求出其平均值d，将l+d 作为摆长L。将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，小球通过最低点时
按下秒表同时数1，每次通过最低点计数一次，数到n 时停止计时，秒表的读数为t，计算出单摆的周期
T，多次改变摆长L 并测出对应的摆动周期T。
（1）以下说法正确的有 。
A．小球应该选用密度大的钢球或铁球
B．摆线要选择细些的，伸缩性小些的，并且尽可能长一些
C．应该先悬挂摆球后再测量摆线的长度
D．单摆周期的计算式为
（2）某次测量小球直径的结果如图所示，则这次测量的读数为 mm。
（3）该小组以T2为纵轴、L 为横轴作出函数关系图像，如图乙所示，可以通过此图像得出当地的重力加速
度g。由图像求出的重力加速度g= m/s2。（保留两位有效数字）
（4）造成图像不过坐标点的主要原因是 。
四、解答题
17．有两列简谐横波
、
在同一介质中分别沿x 轴正方向和负方向传播。两列波在t＝0 时刻的波形曲线
如图所示，已知
波的传播速度为4m/s。求：
（1）两列波的传播周期；
（2）从
时刻开始，最短经过多长时间坐标原点
的质点偏离平衡位置的位移为0.16 m？
18．两列简谐横波分别沿x 轴正方向和负方向传播，两波源分别位于
和
处，两列波的波
速均为
，波源的振幅均为
。图为
时刻两列波的图像，此刻平衡位置在
和
的P、Q 两质点开始振动。质点M 的平衡位置处于
处。
（1）求两列波的波峰何处何时相遇。
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（2）求
质点M 运动的路程。
19．如图所示，一列简谐横波沿x 轴方向传播，在
时刻波形如图中的实线所示，且质点P 的振动方向
沿y 轴负方向。
时刻的波形如图中虚线所示。
（1）求该列波的波长
及可能的波速；
（2）若该列波的周期
，
时刻质点M（图中未画出）的位移为2.5cm，求从
时刻开始经
12s 时间该质点经过的路程。
20．如图甲是一列沿x 轴传播的正弦波在某时刻的图像，O 点是波源，图乙为波源O 点的振动图像，图中
、
、
均为已知量。由图像可求波的传播速度？从
时刻到图甲对应时刻，波源O 点的位移为？
21．如图所示，光滑水平面上放有一个弹簧振子，已知振子滑块的质量
，弹簧劲度系数为
，将振子滑块从平衡位置O 向左移4cm，由静止释放后在B、C 间运动，设系统在B 处时具有
的弹性势能为0.0256J，问：
（1）滑块的加速度的最大值
为多少？
（2）求滑块的最大速度？
（3）滑块完成5 次全振动时走过的路程？
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22．如图所示为一水平弹簧振子的振动图像，已知振动系统的最大动能为16J，求：
（1）该振子简谐运动的表达式；
（2）该振子在100s 内通过的路程是多少？
（3）在第2s 末弹簧振子的加速度多大？第4s 末振子速度方向？第5s 末弹性势能多大？
23．如图所示，一根长为L 的细线，上端固定于O 点，下端系一可视为质点的小球，质量为m。若小球在
竖直平面内做简谐运动，其动能Ek随时间t 的变化关系如图所示，求：
（1）该单摆的摆长；
（2）小球的最大向心加速度？
14
