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第4 讲 概率与统计的创新题型（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................5
【考点一】概率和数列的综合问题..................................................................................................5
【考点二】概率和函数的综合问题................................................................................................12
【专题精练】...............................................................................................................................18
考情分析：
目录
1
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概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅
读理解能力和数据分析能力．要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、
各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．
记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
2．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0 代，
经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有
相同的分布列，设X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，
．
（1）已知
，求
；
（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：
的一个最小正实根，求证：当
时，
，当
时，
；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
参考答案：
1．(1)
(2)
真题自测
2
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(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设
，由题意可得
，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件
，“第次投篮的人是乙”为事件
，
所以，
.
（2）设
，依题可知，
，则
，
即
，
构造等比数列
，
设
，解得
，则
，
又
，所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
即
．
（3）因为
，
，
所以当
时，
，
3
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故
．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
2．（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得
.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合
及极值点的范围可得
的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1）
.
（2）设
，
因为
，故
，
若
，则
，故
.
，
因为
，
，
故
有两个不同零点
，且
，
且
时，
；
时，
；
故
在
，
上为增函数，在
上为减函数，
若
，因为
在
为增函数且
，
而当
时，因为
在
上为减函数，故
，
故为
的一个最小正实根，
4
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若
，因为
且在
上为减函数，故1 为
的一个最小正实根，
综上，若
，则
.
若
，则
，故
.
此时
，
，
故
有两个不同零点
，且
，
且
时，
；
时，
；
故
在
，
上为增函数，在
上为减函数，
而
，故
，
又
，故
在
存在一个零点
，且
.
所以
为
的一个最小正实根，此时
，
故当
时，
.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
【考点一】概率和数列的综合问题
一、单选题
1．（2024·山东聊城·三模）设正项数列
的前
项和
满足
表示从
个不同元素中任取
个元素的组合数，则
（ ）
A．512
B．1024
C．5120
D．10240
考点突破
5
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2．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列
共有9 项，
，
，且满足：
（
，
），则符合条件的数列
共有（ ）个．
A．16
B．40
C．70
D．80
二、多选题
3．（2024·河南信阳·模拟预测）甲乙两个口袋中各装有1 个黑球和2 个白球，现从甲、乙两口袋中各任取
一个球交换放入另一口袋，重复进行
次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为
，恰有1 个黑球
的概率为
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列
是等比数列
D．
的数学期望
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知随机变量X 的分布列如下：
1
2
3
…
n
…
若数列
是等差数列，则（ ）
A．若n 为奇数，则
B．
C．若数列
单调递增，则
D．
三、填空题
5．（2024·江西·一模）斐波那契数列
，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那
契
以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、
2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：
6
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且
中，则B 中所有元素之和为奇数
的概率为 ．
四、解答题
6．（2025·广东广州·模拟预测）已知有穷数列
的通项公式为
，将数列
中各项重新排
列构成新数列
，则称数列
是
的“重排数列”；若数列
各项均满足
，则称数列
是
的“完全重排数列”，记项数为
的数列
的“完全重排数列”的个数为
．
(1)计算
，
，
；
(2)写出
和
，
之间的递推关系，并证明：数列
是等比数列；
(3)若从数列
及其所有“重排数列”中随机选取一个数列
，记数列
是
的“完全重排数列”
的概率为
，证明：当
无穷大时，
趋近于
．（参考公式：
）
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
C
C
ACD
ACD
1．C
【分析】根据
，利用数列通项和前n 项和的关系求解得
，结合组合数性质
及二项式系数和性质即可求解.
【详解】由
，当
时，
，解得
，
当
时，
，则
，
整理
，
又数列{an}为正项数列，则
，所以
，即
，
所以数列{an}是以为首项，为公差的等差数列，所以
.
7
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因为
，
所以
.
故选：C
2．C
【分析】对于
用分组分解解出
或
，根据数列的
项的规律结合等差数列性质求解即可.
【详解】因为
，即
，
所以
或
，
①
时，
与
的取法均只有1 种；
②
时，
与
的取法有
种；
③
时，
与
的取法有
种；
④
时，
与
的取法有
种；
⑤
时，
与
的取法有1 种．
所以满足条件的数列{an}共有
个．
故选：C.
3．ACD
【分析】先求出
各自的概率
为
，然后利用数学期望的定义
8
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证明
，再逐一验证选项即可.
【详解】
只可能取
，记
分别表示事件
，它们发生的概率分别为
，这里
是非负整数.（事实上，
）
则
，
，且
；
；
.
故
，
，
.
由于
，
而
，故
，即
.
而
,
所以
，
而
，故
，即
.
又因为
，
，故
.
这就得到了
，所以
.
9
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从而有
，而
，故
.
综上，我们得到了如下结论：
①
；
②
；
③
.
回到原题.
对于A，由①知
，故A 正确；
对于B，由②知
，故B 错误；
对于C，由①知
，故
是等比数列，故C 正确；
对于D，由③知
，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数列{bn}的求解，需要灵活运用等比数列工具.
4．ACD
【分析】根据分布列的性质可得
，结合等差数列的前
项和公式，可得
.结合等差
数列的性质，可判断A 的真假；由
可判断B 的真假；结合数列的单调性，可判断C 的真假；结
合数列求和，可判断D 的真假.
【详解】由数列
是等差数列且
，得
，所以
，
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对于A，当n 为奇数时，
，故A 正确；
对于B，由
得
，故选项B 错误；
对于C，若数列
单调递增，则
可得
，故
，故选项C 正确；
对于D：由
，其中
，
所以
，
因为
，
，
所以
，故选项D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：在D 的判断过程中，利用
这一结论，作为选择
题，该结论可以熟记，直接应用.
5．
【分析】记A 中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C 的子集为E，集合D 中含有
奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B 可看成
，然后可解.
【详解】由斐波那契数列规律可知，集合
中的元素有675 个偶数，1349 个奇数，
记A 中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C 的子集为E，集合D 中含有奇数个元
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素的子集为F，
则所有元素之和为奇数的集合B 可看成
，
显然集合E 共有
个，集合F 共有
个，
所以所有元素之和为奇数的集合B 共有
个，
又集合A 的非空子集共有
个，所以B 中所有元素之和为奇数的概率为
.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将集合
分拆成所有偶数组成的集合及所有奇数组成的集合，利用
二项式系数的性质求出含有奇数个奇数组成的集合个数.
6．(1)
；
；
.
(2)
，
；证明见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据“完全重排数列”的概念求
，
，
；
（2）根据“完全重排数列”的概念，结合乘法原理列出递推公式，再利用等比数列的定义证明所给数列
是等比数列；
（3）根据第二问的结果，推导
的通项公式，结合
，可得当
无穷大时，
趋近于
．
【详解】（1）当
时，
，所以
；
当
时，
，
，则其完全重排数列必为：
，
，故
；
当
时，数列
的完全重排数列可以为：
或
，故
；
当
时，为得到数列
的完全重排数列，可先排1，有3 种排法，比如1 排到2 的位置，那就再排
2，也有3 种排法，剩下的两个数字只有1 种排法，由乘法原理可得：
.
（2）当数列{an}有
项时，其“完全重排数列”的排法可以分为两个步骤：
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第一步：重排第
项，有
种排法；
第二步：重排其余
项，根据第一步的排法，可以分为两类：
第一类：若第
项排在第
项的位置，但第
项不排在第
项的位置，这样的排法有
种；
第二类：若若第
项排在第
项的位置，第
项排在第
项的位置，这样的排法有
种.
所以
，
，又
，
所以
.
所以数列
，
是等比数列，且
，公比为
.
（3）由（2）可得：
.
所以：
，
，
，
，
，
以上各式相加，可得：
，
所以
.
又数列{an}的重排数列的个数为：
，
所以
，
当
无穷大时，
【点睛】关键点点睛：本题在总结出数列
是等比数列以后，得到
，需在公式
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两边同除以
，再用累加法求通项公式.
规律方法：
概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：
(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出
通项公式．
(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和．
(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限．
【考点二】概率和函数的综合问题
一、单选题
1．（2024·浙江·三模）定义函数集
．已知函数
，
，
，
．若函数
，则在
为奇函数的条件下，
存在单调递减区间的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河南·三模）有以下6 个函数：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
.记事件
：从中任取1 个函数是奇函数；事件
：从中任
取1 个函数是偶函数，事件
的对立事件分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
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3．（23-24 高三上·河北邢台·开学考试）欧拉是18 世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看
到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数
的函数值等于所有不超过正整数n，且与n 互素(两个数
只有公约数1)的正整数的个数.例如：
，
.现从
中任选两个数，
则这两个数相同的概率是 .
4．（23-24 高二上·福建泉州·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数
称为高
斯函数，其中
表示不超过
的最大整数.设
，则除以2023 的余数是 .
三、解答题
5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检
验，筛查出该种疾病携带者.
(1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为
0.05.
①求检测结果显示患有该疾病的概率；
②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）
(2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按
人一组分组，然后将
个人的血样混合再化
验，如果混合血样呈阴性，说明这
人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次
（每一小组都要按要求独立完成），
取何值时，总化验次数最少？
说明：函数
先减后增.
0.8858
0.8681
0.8508
0.8337
6．（2024·广东·一模）某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直
接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产
品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：
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利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值
，将该指标大于
的产品判定为“不合格”，小于或等
于
的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为
；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为
．假设数据在组内均匀分布，
以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏检率
时，求临界值
和错检率
；
(2)设函数
，当
时，求
的解析式，并求
在区间
的最小值．
参考答案：
题号
1
2
答案
A
D
1．A
【分析】首先根据奇偶性的知识找出符合条件的所有函数，然后在这些函数中找出存在单调递减区间的函
数，得出答案.
【详解】解析：集合A 中的函数为奇函数的有
，
，
，
而有单调递减区间的函数有
和
，所以概率为
.
故选：A．
2．D
【分析】首先判断各函数的奇偶性，再由古典概型的概率公式一一判断即可.
【详解】对于①：
，则
，解得
，
所以
，故为偶函数且为奇函数；
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对于②
为奇函数；对于③
为奇函数；对于④
为偶函数；
对于⑤：
定义域为
，为非奇非偶函数；
对于⑥
为非奇非偶函数；
则事件
为：①，②，③；事件
为：④，⑤，⑥；
事件
为：①，④；事件
为：②，③，⑤，⑥；
事件
为：①，②，③，④；
为：⑤，⑥；
所以
，
，
，
，
，
，
所以
，
，故A、C 错误；
又
为：①；所以
为：②，③，④，⑤，⑥，所以
，
则
，故B 错误；
又
，
，所以
，故D 正确.
故选：D
3．
【分析】根据函数新定义求出
的值，然后结合组合知识利用古典概型概率公
式求解即可.
【详解】根据欧拉函数的定义知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
从
中任选两个数有
种结果，
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其中这两个数相同的有
共8 种结果，
所以根据古典概率公式得所求的概率为
.
故答案为：
4．1011
【分析】先求得每项除以2023 的余数，求每项除以2023 的余数时，分奇偶项进行讨论，余数求和后再求
除以2023 的余数即可.
【详解】
，
又
，
则
，
又
，
所以
，
所以当
，
，
其除以2023 的余数为
，
当
时，
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，
其除以2023 的余数2022 和3，
当
且
时，
，
其除以2023 的余数为
，
当
时，
，
其除以2023 的余数为
，
除以2023 的余数为
除以2023 的余数，
即
除以2023 的余数，
又
其除以2023 的余数为1011，
故答案为：1011.
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【点睛】本题的关键一是分奇偶项进行讨论，特别是偶数项时，最后两项求得结果与前面项，求得结果不
同，要分开讨论；二是余数求和后要再除以2023 二次求余.
5．(1)①0.0688；②0.2878
(2)
【分析】（1）①用全概率公式即可求出概率，②结合①的结果，用条件概率公式即可求解；
（2）设每小组检验次数为X，根据题意求出期望
，总化验次数为
，根据表格即可求出使
得化验次数最少的k.
【详解】（1）设A 表示患病，B 表示检测结果显示患病，则
，
（2）设总居民人数为M，每小组检验次数为X，X 的可能取值为1，
，
，则
，
总化验次数为
，
根据附表计算，
时，化验次数最少.
6．(1)
；
(2)
；
【分析】（1）根据题意结合频率分布直方图求得
，进而可求容错率；
（2）分
、
两种情况，根据题意求
，即可得
的解析式，并根据解析
式求最值.
【详解】（1）由题意可知：第一个图中第一个矩形面积为
，可知
，
可得
，解得
，
所以错检率
.
（2）当
时，则
，
20
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，
可得
；
当
时，则
，
，
可得
；
所以
，
当且仅当
时，
取到最小值
.
规律方法：
构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制．
一、单选题
1．（2024·福建三明·三模）随机变量
，函数
没有零点的概率是
，则μ 的值
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2024·湖南常德·一模）将三个分别标注有
，x，
的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒
中.无放回的随机取出2 个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为
.若
，
则
在
上单调递减的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计
专题精练
21
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算速度和准确度.已知
，
，若从集合M，N 中各任取一个数x，y，则
为整数
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1 开头的数出现的频率较高，
以1 开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b 进制随机数据中，以n 开头的数出现的
概率为
，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定
律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若
（
，
），则k 的
值为（ ）
A．11
B．15
C．19
D．21
5．（2024·河南·二模）单调递增数列
满足：
.在
的条件下，
的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高三下·云南·阶段练习）随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种
流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依
赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解
的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局
通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游
戏币到预期的
个.设当参与者手中有
个（
）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为
，
下列说法错误的是（ ）
A．
，
B．记
参与者通关的局数，在前13 局中，
，
22
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C．
D．若参与者最初手中有20 个游戏币，他希望赢到100 个，则他输光的概率为
7．（24-25 高三上·福建·开学考试）某城市采用摇号买车的方式，有20 万人摇号，每个月摇上的人退出摇
号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为
，
第二个月为
，第三个月为
，则平均每个人摇上需要的时间为（ ）个月.
A．7
B．8
C．9
D．10
8．（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）已知A 细胞有0.4 的概率会变异成
细胞，0.6 的概率死亡；
细
胞有0.5 的概率变异成A 细胞，0.5 的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次．下列结论成立的是（ ）
A．一个细胞为A 细胞，其死亡前是A 细胞的概率为0.75
B．一个细胞为A 细胞，其死亡前是
细胞的概率为0.2
C．一个细胞为
细胞，其死亡前是A 细胞的概率为0.35
D．一个细胞为
细胞，其死亡前是
细胞的概率为0.7
二、多选题
9．（2024·广西来宾·一模）甲，乙，丙，丁等4 人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者
将球等可能地传给另外3 人中的任何1 人，经过n 次传球后，球在甲手中的概率为Pn(n=1,2,⋯)，则下列
结论正确的是（ ）
A．经过一次传球后，球在丙中概率为
B．经过两次传球后，球在乙手中概率为
C．经过三次传球后，球在丙手中概率为
D．经过n 次传球后，
10．（2024·全国·模拟预测）甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两
人中的任何一人是等可能的．假设第1 次由甲将球传出，第k 次传球后，球回到甲处的概率为
（
），则（ ）
23
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A．
B．
C．
D．
11．（22-23 高二下·贵州贵阳·阶段练习）甲乙丙丁
､
､
､
4 人做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随
机传向另外3 人中的1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3 人中的1 人，如此不停地传下去，
假设传出的球都能接住.记第
次传球之前球在甲手中的概率为
，易知
.下列选项正确的是
（ ）
A．
B．
为等比数列
C．设第
次传球之前球在乙手中的概率为
D．第4 次传球后，球落在乙手中的传球方式有20 种
三、填空题
12．（2024·北京海淀·二模）二维码是一种利用黑白方块记录数据符号信息的平面图形
､
.某公司计划使用一
款由
个黑白方块构成的
二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器
每秒能随机生成
个不重复的二维码，为确保一个
二维码在1 分钟内被破译的概率不高于
，则
的最小值为 .
13．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知某公司加工一种芯片的不合格率为p，其中
，若加工后的
30 颗这种芯片中恰有6 颗不合格的概率为
，且各颗芯片是否为不合格品相互独立，则当
取最大
值时，
．
14．（22-23 高二下·北京丰台·期末）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每
次投掷结果是正面的概率为p（
）.现在连续投掷该枚硬币10 次，设这10 次的结果恰有2 次是正
面的概率为
，则
；函数
取最大值时，
.
四、解答题
24
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15．（2024·浙江·三模）为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某
校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3 次机会，击中靶心得1 分，否则得0 分、已知甲选手第一枪
击中靶心的概率为
，且满足：如果第n 次射击击中靶心概率为p，那么当第n 次击中靶心时，第
次
击中靶心的概率也为p，否则第
次击中靶心的概率为
．
(1)求甲选手得分X 的分布列及其数学期望；
(2)有如下定义：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
，
称为X 的分布函数，
对于任意实数
，
，有
．因此，若已知X
的分布函数，我们就知道X 落在任一区间
上的概率．
（i）写出（1）中甲选手得分X 的分布函数（分段函数形式）；
（ii）靶子是半径为2 的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选
手射击都能中靶，以Y 表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y 的分布函数．
16．（2024·福建龙岩·三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五
个层级，分别对应如下五组质量指标值：
.根据长期检测结果，得到
芯片的质量指标值
服从正态分布
，并把质量指标值不小于80 的产品称为
等品，其它产品称
为
等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100 件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数
作为
的近似值，用
样本标准差作为
的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为
等品的概率(保留小数点后
25
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面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量
服从正态分布
，则
，
. )
(2)（i）从样本的质量指标值在
和[85，95]的芯片中随机抽取3 件，记其中质量指标值在[85，95]的
芯片件数为
，求
的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100 件一箱包装. 已知一件
等品芯片
的利润是
元，一件
等品芯片的利润是
元，根据(1)的计算结果，试求
的值，使得
每箱产品的利润最大.
17．（2024·贵州遵义·二模）商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中
参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5 分的原始分，然后从装有4 个红球，2 个白球，2 个黑
球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1 分，否则扣1 分，过程中若顾客
持有分数变为0 分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15 分，则获得一等奖，抽奖结束．
(1)求顾客3 次取球后持有分数
的数学期望
；
(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为
分最终获得一等奖的概率为
；
①证明：
是等差数列；
②求顾客获得一等奖的概率．
18．（2024·四川南充·一模）今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，
主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在
太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内
游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一；该游
泳馆在App 平台上推出了优惠券活动，下表是App 平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.
星期t
1
2
3
4
5
6
销售量y（张）
218
224
230
232
236
90
26
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经计算可得：
，
，
.
(1)因为优惠券销售火爆，App 平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔
除周六数据，求y 关于t 的经验回归方程；
(2)若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为
，选择B 套餐的概率为
，并且A 套餐包含两张优惠券，B
套餐包含一张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为
，求
；
(3)请依据下列定义，解决下列问题：
定义：如果对于任意给定的正数
，总存在正整数
，使得当
时，
（a 是一个确定的实
数），则称数列
收敛于a.
运用：记（2）中所得概率
的值构成数列
.求
的最值，并证明数列
收敛.
参考公式：
，
.
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
A
B
C
C
A
BCD
AC
题号
11
答案
BCD
1．D
【分析】根据函数
没有零点，求得
，结合题意可得出
，继而由正态分布
的对称性，可得答案.
【详解】由函数
没有零点，得
，
函数
没有零点的概率是
，即
,
结合
，可知
，
故选：D
27
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2．D
【分析】利用导数求解函数的单调性，即可由古典概型概率公式求解.
【详解】若
，由
均为(0,1)上的单调递增函数，且为正，故h(x)为(0,1)上
的单调递增函数，
若
，则x∈(0,1)时，
，故h(x)为(0,1)上的单调递减函数，
若
，则x∈(0,1)时，
，故h(x)为(0,1)上的单
调递减函数，
故h(x)在x∈(0,1)上单调递减的概率为
,
故选：D
3．C
【分析】基本事件总数
，利用列举法求出
为整数包含的基本事件有4 个，再利用古典
概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
，
，从集合M，N 中各任取一个数x，y，
基本事件总数
.
为整数包含的基本事件有
，
，
，
，共4 个
为整数的概率为
.
故选：C.
4．A
【分析】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解.
【详解】
，
即
，则
，得
.
故选：A
5．B
28
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【分析】缩小样本空间，从
这6 个数字中任取3 个共有
种不同的结果，列出满足
的共有6 种结果，求得相应概率.
【详解】缩小样本空间，当
时，从
这6 个数字中任取3 个，并按照从小到大的顺序对应
，共有
种不同的结果.
因为
，所以
构成等差数列，满足条件有，
，共计6 种，所以概率为
，
故选：B.
6．C
【分析】根据游戏规则可直接判定A；根据
，可计算
，
，判断B；由全概率公式判
断C；由选项C 可得
为等差数列，结合1 数列通项公式可判断D.
【详解】对于A，当
时，游戏币已经输光了，因此
，
当
时，参与者已经到了终止游戏的条件，因此输光的概率
，故A 正确；
对于B，由题意可得，
，
所以
，
故B 正确；
对于C，参与者有n 个游戏币的状态，可能来源于有
个游戏币再赢一局，
也可能来源于有
个游戏币再输一局，
由全概率公式，
，故C 错误；
对于D，由C 得
，
所以
为等差数列，其中首项
，
设公差为
，则
，即
，
，
29
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所以
，当
时，
，故D 正确.
故选：C．
7．C
【分析】表示每个人摇上需要的时间及其对应概率后，借助期望公式与错位相减法计算即可得.
【详解】设
表示摇上需要的时间，则
可能取、
、、
、
、
，
则
，
，
，
，
，
，
，
故
，
则
，
故
30
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即
，
当
时，
，故平均每个人摇上需要的时间为9 个月.
故选：C.
8．A
【分析】设n 次为
（A 或B）细胞的概率为
，可知
次为
细胞概率
，设n 次为
A 细胞的概率为
，为B 细胞的概率为
，则n 次细胞死亡的概率
，对于AB：可知
，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解；对于CD：可知
，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解.
【详解】设n 次为
（A 或B）细胞的概率为
，则一次变异不为
细胞，两次变异为
细胞，
可知
次为
细胞概率
，
设n 次为A 细胞的概率为
，为B 细胞的概率为
，则n 次细胞死亡的概率
，
对选项AB：若一个细胞为A 细胞，可知奇数次为A 细胞，偶数次为B 细胞，
则
，
可得
，
，
则A 细胞死亡的概率为
，B 细胞死亡的概率为
，
31
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可得细胞死亡的概率为
，
所以其死亡前是A 细胞的概率为
，其死亡前是
细胞的概率为
，
故A 正确，B 错误；
对选项CD：若一个细胞为B 细胞，可知奇数次为B 细胞，偶数次为A 细胞，
则
，
可得
，
，
则A 细胞死亡的概率为
，B 细胞死亡的概率为
，
可得细胞死亡的概率为
，
所以其死亡前是A 细胞的概率为
，其死亡前是
细胞的概率为
，
故CD 错误；
故选：A.
9．BCD
【分析】依据题意根据古典概型公式及相互独立事件乘法公式逐项计算即可判断A,B,C;对于D,根据题意得
到Pn+1= 1
3 (1−Pn)，构造等比数列进行计算即可求解.
【详解】对于A，依题可知经过一次传球后，球在丙中概率为
，
故A 错误；
对于B，过两次传球后，球在乙手中概率为
，
故B 正确；
对于C,经过三次传球后，球在丙手中的事件包括两种情况，
32
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①第1 次传球在丙手中，第2 次传球不在丙手中，第3 次传球在丙手中，
概率为
；
②第1 次传球不在丙手中，第2 次传球不在丙手中，第3 次传球在丙手中，
其概率为
所以经过三次传球后，球在丙手中概率为1
9 + 4
27 = 7
27 ，
故C 正确；
对于D，经过
次传球后，球在甲手中的概率为Pn(n=1,2,⋯)，
则Pn+1= 1
3 (1−Pn)，Pn+1=−1
3 Pn+ 1
3
整理得Pn+1−1
4 =−1
3(Pn−1
4)，
即
Pn+1−1
4
Pn−1
4
=−1
3，又
，
所以{Pn−1
4}是以公比为
，首项为
的等比数列，
则Pn−1
4 =−1
4 ×(−1
3)
n−1
，
Pn= 1
4 −1
4 ×(−1
3)
n−1
= 1
4[1−(−1
3)
n−1
]，
故D 正确，
故选：BCD.
10．AC
【分析】由传球规则得
，判断各选项的正误.
【详解】因为
，A 正确；
因为
，
，所以
，B 错误；
33
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因为
，即
，C 正确；
因为
，所以
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，所以
，
所以
，D 错误．
故选：AC．
【点睛】第
次传球后，球回到甲处等价于第
次传球后，球不在甲处且下一次传球给甲.
11．BCD
【分析】对于A，求得
，可判断A 错误；对于B，依题意可得
，
从而可证明，即可判断B 选项；对于C，由B 选项求得
，从而可判
断；对于D，列举法可判断.
【详解】对于A，因为第2 次传球之前球不在甲手中，所以
， A 错误；
对于B，因为第
次传球之前球在甲手中的概率为
，则当
时，第
次传球之前球在甲手中的概率
为
，第
次传球之前球不在甲手中的概率为
，
则
，从而
，又
，
是以
为首项，公比为
的等比数列，故
正确；
对于C，由
选项可得
，故
，故C 正确；
34
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对于D，第3 次传球后球在甲手中有：甲乙丙甲，甲乙丁甲，甲丙乙甲，甲丙丁甲，甲丁乙甲，甲丁丙甲，
共6 种传法，
第3 次传球后球在丙手中有：甲乙甲丙，甲乙丁丙，甲丙甲丙，甲丙乙丙，甲丙丁丙，甲丁甲丙，甲丁乙
丙，共7 种传法，
第3 次传球后球在丁手中有：甲乙甲丁，甲乙丙丁，甲丙甲丁，甲丙乙丁，甲丁甲丁，甲丁乙丁，甲丁丙
丁，共7 种传法，
所以第4 次传球后，球落在乙手中的传球方式共20 种，故D 正确.
故选：BCD.
12．7
【分析】根据题意可得
，即可由不等式求解.
【详解】由题意可知
的二维码共有
个，
由
可得
，故
，
由于
，所以
，
故答案为：7
13．1
5/
【分析】先根据独立重复实验的概率求出
，再利用导数求函数的极值.
【详解】由题意
，
设
，
，
则
，
由
得
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
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所以当
时，
有极大值.
即当
时，
取得最大值.
故答案为：
14．
【分析】利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得
，之后对其求导，利用导数在
相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点.
【详解】10 次的结果恰有2 次是正面的概率为
.
因此
.
令
，得
.
当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，函数
取最大值.
故答案为：
；
.
15．(1)分布列见解析，
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）列出
的可能值，并求出对应的概率，可得
的分布列，并求期望.
（2）根据分布函数的概念，求分布函数.
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【详解】（1）甲选手得分X 的取值可为0，1，2，3，
，
．
，
，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
X 的数学期望是
．
（2）（i）X 的分布函数为
；
（ii）设随机变量Y 的分布函数为
，
若
，此时
；
若
，由题意设
，
当
时，有
，又因为
，
所以
，即
，
所以
；
若
，此时
，
37
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综上所述，
．
16．(1)
(2)（i）分布列见解析，
；（ii）
【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.
（2）（i）先求出
的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；
（ii）先根据二项分布的期望求出
，然后构造函数
，利用导数求出最大值时的
即可.
【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100 件的平均数为：
．
即
，
，所以
，
因为质量指标值
近似服从正态分布
，
所以
，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为
等品的概率约为
.
（2）（i）
，所以所取样本的个数为20 件，
质量指标值在
的芯片件数为10 件，故
可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
，
，
，
，
随机变量
的分布列为：
38
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0
1
2
3
所以
的数学期望
.
（ii）设每箱产品中A 等品有
件，则每箱产品中
等品有
件，
设每箱产品的利润为
元，
由题意知：
，
由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为
，
所以
，所以
，
所以
.
令
，由
得，
，
又
，
，
单调递增，
，
，
单调递减，
所以当
时，
取得最大值.
所以当
时，每箱产品利润最大.
17．(1)5
(2)证明见解析；
【分析】（1）先求出一次取出红球的概率，设顾客3 次取球取得红球的次数为随机变量为
，可得其服
从二项分布，再设3 次取球后累计分数为随机变量
，得出其与
的关系，从而得出答案.
（2）①由
可证明；②由①中的结论先求出
，然后得出
，由题意求出
即可.
【详解】（1）记事件
：“一次取出红球”，则
，
设顾客3 次取球取得红球的次数为随机变量为
， 3 次取球后累计分数为随机变量
.
39
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则
，
则
，故
，
所以
；
（2）①由题意当
时，
，即
所以
是等差数列；
②由题意
，由上可知：
，
所以
，
又由题意
，所以
.
由先赋予参加抽奖的顾客5 分的原始分，即
，
所以先赋予参加抽奖的顾客5 分的原始分，顾客获得一等奖的概率
.
18．(1)
(2)
(3)最大值为
，最小值为
，证明见解析
【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出
的值，进而得到y 关于t 的经验回归方程；
（2）由题意可知
，
，其中
，
，构造等比数列，再利用等比数列的通项
公式求解；
（3）分
为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运
算，即可得证．
40
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【详解】（1）由题意，
，
，
则
，
，
所以y 关于t 的经验回归方程为
.
（2）由题意，可知
，
，
当
时，
，即
，
又
，
所以当
时，数列
为各项都为1 的常数列，
即
，
所以
，
，又
，
所以数列
为首项为
公比为
的等比数列，
所以
，即
.
（3）由（2）知，
，
当
为偶数时，
，且
随
的增大而减小，
因此
的最大值为
；
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当
为奇数时，
，且
随
的增大而增大，
因此
的最小值为
，
综上所述，
的最大值为
，最小值为
.
对于任意
，总存在正整数
，其中
表示不超过
的最大整数，
当
时，
，
所以数列
收敛于
.
【点睛】知识方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读
理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
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