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冲刺2026年高考数学分题型专项突破
狂练小题（二）
（题组1）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（25-26高三上·广东深圳·期末）设集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出 ，再由交集的定义求解即可.
【详解】集合 ， 或 ，
所以 .
故选：B.
2．（25-26高三上·陕西西安·期末）若复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】解复数方程求出 ，再利用复数模的意义求解.
【详解】由 ，得 ，即 ，解得 ，
故由模长公式得 .
故选：B
3．（2026·山东威海·一模）将函数 图象上的所有点向左平移 个单位后，得到的函数图象关于点 中心对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得平移后的函数解析式 ，再结合对称中心求解
即可.
【详解】函数 图象上的所有点向左平移 个单位得：
，此函数图象关于点 中心对称，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， .
故选：C
4．（2026·河南鹤壁·一模）已知双曲线 与椭圆 的离心率
互为倒数，则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出椭圆、双曲线的离心率，根据它们的离心率互为倒数求出 的值，进而
求出双曲线的渐近线方程.
【详解】椭圆 的离心率为 ，
双曲线 的离心率为 ，因为双曲线与椭圆的离心率互为倒数，所以 ，
解得 ，故双曲线 的方程为 ，所以，渐近线方程为 ．
故选：A
5．（2026·安徽黄山·一模）已知 是 上的奇函数，且 ，若 在 上
单调递减，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，画出函数 的图像，结合图像，即可求得不等式的解集.
【详解】由函数 是 上的奇函数，且 ， 在 上单调递减，
可得函数的图像关于原点对称， ，且 在 上单调递减，
函数 的图像如图所示，
结合图像可得，不等式 的解集为 .
故选：A.
6．（25-26高三上·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为 ，一艘船从河岸边的 地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度 的大小为 ，水
流速度 的大小为 ．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为 ，行驶完全程需
要的时间为 ，若船的航程最短，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，可分析 的范围，再由同角三角函数基本关系求出 ，据
此可求出速度 ，再由 求解.
【详解】如图，设 ，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸
边垂直，
由图可知 ，所以 ，故 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 （ ），故 .故选：D.
7．（2026·山东泰安·一模）如图，已知函数 的
部分图象与圆 的两个公共点 ，当 时，
的图象无限逼近 轴，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数 的图象与圆 的公共信息，分别求出圆的半径 、
函数中的参数 的值，再逐一判断选项.
【详解】由点 在圆 上，
所以 ，解得 .因为当 时， ，
即 ，因为 ，取 ，则 ，
所以 .
将 代入圆的方程，得 ，解得 或 ，
结合图象知 ，即 ，将 代入 ，得 ，
所以 ，即 ，因为 ，由图象可知 ，即
，所以取 ，得 .
所以 ，将 代入，得 ，
所以 .
因此，A，B，C选项错误，D选项正确.
故选：D
8．（25-26高三上·安徽·期末）已知 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ， ， ，得到
设 和 ，利用导数求得 和 的单调性，结合函数的单调性，比较大小，即可得到答案.
【详解】令 ， ， ，
可得 ，
设 ，其中 ，
可得 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，即 ，
故 ，所以 ；
设 ，其中 ，
可得 ，令 ，
可得 ，故 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，
故 ，所以 ，所以 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·河北·模拟预测）如图，在正方体 中，点 P，Q 分别为线段 ，
上异于端点的动点，则下列结论中，可能成立的有（ ）A． 平面 B． 平面
C． 平面 D． 平面
【答案】ABC
【分析】根据图形，选项A和C，假设图形中点 为线段AC中点，点 为线段 中点，
结合正方体图形性质可以判断；选项B，取线段 靠近点 的四等分点为 ，点 为线段
中点，可证明 进而证明 平面 ；选项D，根据经过点 且垂直于平面
的直线在平面 可以判断.
【详解】选项A和C，如图所示，
令点 分别为线段 和 中点，在 中，根据中位线性质知 ，
因为 ， 不在平面 ，所以 平面 ，故A正确，
因为 平面 ， ，所以 平面 ，故C正确；
选项B，如图所示，取线段 靠近点 的四等分点，点 为线段 中点，线段 交线段 于 ，
易知 ,则在 中由中位线性质知 ，且 不在平面 ，
所以 平面 ，故正确；
选项D，如图所示，平面 平面 ，
点 在平面 ，所以过点 且垂直平面 的直线在平面 ，
因为点 不在平面 ，所以不存在 平面 ，故错误，
故选：ABC.
10．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知抛物线 （ ）的焦点为 ，准线
为 ， 是抛物线上一动点， 是准线上一动点，若 的最小值为2，则（ ）
A．
B．
C．当 的横坐标为1时， 的最小值为D．过 作圆 ： 的两条切线，切点为 、 ，则四边形 面积
的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用焦半径最小值可判断A，利用抛物线定义可判断B，利用对称性求最小值可
判断C，利用圆的切线长转化为两点间距离来求解判断D．
【详解】抛物线 （ ）的焦点 ，
设 ，则 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，
对于A，由 的最小值为2，得 ，解得 ，故A错误；
对于B，过 作 于 ，则 ，故B正确；
对于C，抛物线 ， ，准线 ： ，
当 时， ，令点 关于直线 的对称点为 ，则 ，
当且仅当 是 与 的交点时取等号，故C正确；
对于D，圆 ： 的圆心 ，
半径 ，四边形 的面积
，当且仅当 时取等号，故D正确.
故选：BCD
11．（2026·江西九江·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由 变形可得 的值，再由 结合二倍角公式
和平方关系变形可得 ，进而得到 ，再结合余弦定理可得 两边
的关系，由B可得 ，结合正弦定理可求得 的值，进而比较大小，
对 利用完全平方公式进行放缩可得到 的大小.【详解】对于A选项 ，由 ，所以 ，
得 ，A选项正确；
对于B选项 ，由 ，
则 ，
得 ，由正弦定理，即 ，
代入 ，得 ，
解得 或 ，B选项错误；
对于C， ，
由 , ，
，C选项错误；
对 D选项， ，
，D选项正确.
故选:AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知等比数列 的前 项和为 ，公比
，若 ， ，则 ______.
【答案】155
【分析】根据等比数列的性质即可求解公比，即可得解.
【详解】由 ，故 ，
，故 ，由于 ，故
，故 ，
故答案为：155
13．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时，
，则曲线 在 处的切线方程为___________．
【答案】
【分析】先由偶函数定义得到 时解析式，求出切点坐标，再求导得到切线的斜率，由
点斜式求出切线方程.
【详解】任取 ，则 ， ，又 为偶函数， ，
所以 ，
所以 ，所以切点坐标为 ，
又 ，所以 ，
即切线的斜率 ，所以切线的点斜式方程为 ，
整理得 ，
故答案为： .
14．（25-26高三上·广东深圳·期末）盒子里装有6个小球，其中2个红球，4个黑球.从盒
子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放回盒子中.
则
（1）取了3次后，恰好取出1个红球的概率为__________；
（2）取了 次后，所有红球刚好全部取出的概率为__________.
【答案】
【分析】（1）对前三次中取出一次红球的序数分三种情况讨论，分别求出所对应的概率，
再由互斥事件的概率公式计算可得；（2）利用相互独立事件的概率的乘法公式及等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）若第一次取红球，第二次、三次取黑球，则概率 ；
若第一次取黑球，第二次取红球，三次取黑球，则概率 ；
若第一次取黑球，第二次取黑球，三次取红球，则概率 ；
所以取了3次后，恰好取出1个红球的概率 ；
（2） 次所有红球刚好全部取出表示最后一次是红球，则前 次中有一次取得红球，
所以
，
记 ①，
则 ②，
① ②得 ，所以 ，
所以
.
故答案为： ；（题组2）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（2026高三上·福建厦门）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的除法计算可得.
【详解】由 ，得 ，则 .
故选：A
2．（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知集合 ，且 ，
则实数 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，结合集合子集的定义与运算，列出不等式，即可求解.
【详解】由集合 ，
因为 ，则满足 ，所以实数 的最小值为 .
故选：C.
3．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，点 在椭圆 上，若 ，椭圆 的焦距为8，则该椭圆的短轴长等于
（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义和性质可得 ，从而得椭圆的短轴长.【详解】因为 ，
由椭圆的定义可得： ，解得 .
设椭圆的焦距为 ，所以 ，即 .
由 ，解得 ，
所以该椭圆的短轴长等于 .
故选：B.
4．（25-26高三上·湖南娄底·期末）从 这五个数中任选三个数，其中至少有两个
数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有（ ）
A．8个 B．54个 C．10个 D．60个
【答案】B
【分析】利用对立事件的性质与排列数的性质求解即可.
【详解】由题意得至少有两个数为相邻的数的对立事件是三个数都不相邻，
则在 中选数，共有 符合，共 个，
而从 这五个数中任选三个数组成三位数，共有 个，
可得符合题意的三位数共有 个，故B正确.
故选：B
5．（25-26高三上·山西临汾·期末）定义在 上的函数 不恒为0，对任意 均有
，且 .则下列说法正确的是（ ）
A． B． 周期为4
C． D． 为奇函数
【答案】B
【分析】对于选项A，令 ，代入恒等式解出 或 ，经验证答案为
；对于选项B，令 ，代入恒等式解出 ，用 代替 ，则，再用 代替 ，则 ，由此得到函数
周期为4；对于选项C，由函数 周期为4得出 ，再通过赋值法得到
即可；对于选项D，令 ，代入恒等式得出 ， 为偶函数.
【详解】对于选项A，令 ，则 ，
整理得 ，
解得 或 ；
若 ，令 ，则 ，
即 ，这与函数 不恒为0矛盾，
所以 ，选项A错误；
对于选项B，令 ，
则 ，
所以 ；
用 代替 ，则 ，
再用 代替 ，则 ；
所以函数 周期为4，选项B正确；
对于选项C，因为函数 周期为4，
所以 ，
令 ，则 ，即 ，因为 ，
所以 ，所以 ，选项C错误；
对于选项D，令 ，则 ，
即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
为偶函数，选项D错误.
故选：B
6．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知过原点 且斜率为 的直线与
交于 、 两点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知 是腰长为 的等腰直角三角形，于是得出圆心 到直线 的距离，
可知直线 的方程为 ，利用点到直线的距离公式可得出关于 的等式，即可解得
的值.
【详解】圆心为 ，半径为 ，易知 ，
因为 ，所以 是腰长为 的等腰直角三角形，
且 ，
故圆心 到直线 的距离为 ，
由题意可知直线 的方程为 ，即 ，由点到直线的距离公式可得 ，解得 .
故选：D.
7．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，若
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 成等差数列
C． D．
【答案】D
【分析】先通过 和 求出等差数列的首项与公差，得到通项和前 项和公
式，再逐一验证各选项，其中选项D利用放缩法结合裂项相消证明不等式成立.
【详解】由 ，依据等差数列前 项和性质 ，得
；
又 ，利用通项公式展开得 ，结合 ，联立得
；
故 ；
选项A： ，选项A错误；
选项B： ，但 ，不构成等差数列，选项B错误；
选项C： ，选项C错误；选项D： ，拆分前两项，对后续项放缩；
当 时， ，不等式成立；
当 时， ，不等式成立；
当 时，前两项和 ；对 的项用放缩，利用不等式 ，而
，
因此，从 到 的和可以裂项为： ，
合并放缩得 ，因为 ，所以 ，
综上， 成立，选项D正确.
故选：D
8．（2025·江苏连云港·模拟预测）设 是定义在 上的函数，若 是奇函数，
是偶函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得出 ，解出这个方程组可得出 的值.
【详解】由于函数 是奇函数，函数 为偶函数，
所以， ，即 ，解得 .
故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定
消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为 ，从第二次
抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为 ，若前一次中奖，则这次抽奖
的中奖概率为 ．记顾客第 次抽奖的中奖概率为 ，则（ ）
A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为
C． 的最大值为 D．当 时， 越大， 越小
【答案】AC
【分析】对A，根据抽奖规则建立递推公式，代入 算出 验证选项；对B，用对立事件
概率公式计算两次抽奖至少中奖一次的概率进行判断；对C，将递推公式变形构造等比数
列 ，求出通项后分奇偶讨论验证选项；对D，根据通项公式分析奇偶项的单调性，
进行判断.
【详解】对于A：由题意可得 ，
所以 ，A正确；
对于B：第一次未中奖的概率为 ，在第一次未中奖的条件下，第二次也未中奖的
概率为 ，
因此，两次均未中奖的概率为 ，由对立事件的概率可得其中奖概率为： ，
B错误；对于C：由 得 ，所以 是等比数列，
首项为 ，公比为 ，
所以 .
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， 随 增大而减小，当 时取得最大值 ，
综上， 的最大值为 ，C正确；
对于D：当 为奇数时， ，随 的增大而增大；
当 为偶数时， 随 增大而减小，D错误；
故选：AC.
10．（25-26高三上·海南·期末）已知双曲线 与 ，则（ ）
A． 的离心率大于 的离心率
B．动直线 与 的交点的个数之和为0或2
C． 绕坐标原点顺时针旋转 可得到
D． 的两条渐近线夹角的正切值为
【答案】ABD
【分析】对于A，计算出离心率即可判断；对于B，分 和 两类情况，分别考虑与 的交点个数即可判断；对于C，根据两双曲线的离心率不同，
故两者无法通过旋转得到；对于D，利用到角公式计算即可判断.
【详解】由 可知其焦点在 轴上，实半轴长为 ，虚半轴长为 ，半
焦距为 ；
由 可知其焦点在 轴上，实半轴长为 ，虚半轴长为 ，半焦距为
.
对于A， 的离心率 ，而 的离心率 ，显然 ，故A正确；
对于B，因 与 的一条渐近线方程都是 ，
当 时， 与 的交点个数都为0，则交点的个数之和为0；
当 时， 与 的交点个数都为1，则交点的个数之和为2，
故动直线 与 的交点的个数之和为0或2，即B正确；
对于C，因 的离心率不同，故 绕坐标原点顺时针旋转 不能得到 ，故C错误；
对于D， 的两条渐近线的斜率为 ，
设它们的夹角为 ，则 ，故D正确.
故选：ABD.
11．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，在直三棱柱 中，， 为 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B．
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】ABD
【分析】结合三角形的中位线定理，利用线面平行的判定定理判断A；利用余弦定理计算
判断B；利用题目条件建立空间坐标系，根据异面直线夹角的余弦公式计算判断C选项；
利用线面角夹角的向量公式计算判断D.
【详解】如图所示，连接 与 交于点 ，连接 ，
由三棱柱 为直三棱柱，又 ，故四边形 为正方形，
即 与 交点 为两直线中点，又 为 的中点，则 中， ，又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，A选项正确；
由 ，则 ，
化简得 ，所以 ，B选项正确；
由 ，又 为 的中点，故 ，取 中点 ，连接 ，
如图所示，以 为原点， 方向为 轴建立空间坐标系.
则 ， ，
由 得 ，即 ，
故 ， ， ， ，
则异面直线 与 所成角的余弦值：
，C选项错误；
由直三棱柱 的性质可得： 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，故 平面 ，
即 为平面 的一个法向量， ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（25-26高三上·贵州铜仁·期末） 的展开式中 的系数是______.（用数字作
答）
【答案】24
【分析】利用二项式展开的通项公式，求出 项对应的 值，再计算该项的系数.
【详解】二项式 的展开式通项公式为 .
令 ，则含 项的系数为 .
故答案为：24
13．（25-26高三上·河北邢台·期末）已知向量 ， 且 ，则向量 在
向量 上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【分析】根据向量垂直求出 的值，再通过投影向量计算公式求出对应的投影向量.
【详解】本题考查投影向量，考查数学运算的核心素养.
由 ，得 ，解得 ，所以 ，
则向量 在向量 上的投影向量为
.故答案为：
14．（25-26高三上·湖南娄底·期末）如图所示，点 是半圆柱底面的圆心， 和 是
圆柱的母线，点D为母线 的中点，若 ， 和 的弧长为 .则点E到
平面 的距离为_______.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用点到平面
距离的向量求法求解即可.
【详解】如图，以 为原点，建立空间直角坐标系，连接 ，
设 中点为 ， 中点为 ，由题意得 ， ，
因为 和 的弧长为 ，所以 与 弧长为 ，
可得 ，
所以 ，设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，取 ，
则 到平面 距离为 .
故答案为：
（题组3）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（25-26贵州安顺期末）已知某学习小组一次数学测试成绩（单位：分）分别为78，
82，85，90， ，95，98，105，若该组数据的第50百分位数为92，则实数 （ ）
A．89 B．92 C．94 D．99
【答案】C
【分析】利用百分位数的概念和计算公式求解即可.
【详解】共有8个数据，
故该组数据的第50百分位数为从小到大第4个与第5个数据的平均值，
若 ，则第50百分位数 ，不合题意；
若 ，则第50百分位数 ，不合题意；
所以 ，解得 .
故选：C
2．（2026河北沧州八县联考）已知全集 ，集合 ， ，
则 的元素个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由并集，补集定义结合题设可得答案.
【详解】由题可得 ，于是 ，其中共4个元素.
故选：B.
3．（2026湖南永州第二次模拟）已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的
平面，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论.
【详解】如图， ，
若 ，则 与 相交或异面，不一定垂直；
若 ，则 不一定成立.
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
4．（25-26河南新未来期末）已知圆 ： ， ， 是圆 上的两
个动点，且 ，则 （ ）
A．4 B． C．16 D．8【答案】D
【分析】根据向量数量积的坐标表示对 进行化简，进而根据已知条件计算即可.
【详解】因为 ， 是圆 上的两个动点，
所以 ，所以
.
因为 ，所以 .
故选：D.
5．（2026内蒙古包头期末检测）已知随机变量 且 ，
则 展开式中各项系数之和为（ ）
A．64 B．128 C．-64 D．-128
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性，求出参数值，再根据赋值法求出二项式展开式的系数之
和，判断结果即可.
【详解】由 可知正态曲线对称轴为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
可得二项式为 ，
令 ，则 ，
所以展开式中各项系数之和为 .
故选：B.
6．（25-26陕西西安期末）已知双曲线 的右焦点为 ，点，若直线 与 的左、右两支分别相交，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线 与双曲线的左、右两支分别相交，得到直线 的斜率与双曲线渐近
线斜率的关系，进而求出离心率的取值范围.
【详解】设点 的坐标为 .由题可知 ，
整理可得 ，即 ，所以 ，
则 ，即 ，则离心率 .
故选：C
7．（2026云南曲靖第一次教学质量监测）相控阵雷达堪称作战飞机的“智能复眼”，是
其核心感知器官.它通过调节相邻辐射单元的相位差，使电磁波波束定向传播，其波束传播
方向与水平方向的夹角 满足关系： （其中 为电磁波波长， 为相邻单元间距，
为相位调节系数，且 ， ， ），则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．若 ，则
D．当 从0增大到1时， 随 的增大而减小
【答案】B
【详解】对于A：当 时， ，由 ，得 ，所以A不正确；
对于B：当 时， .由 ，得 ，所以 ，所以B正确；
对于C：若 ，则 ，所以 ，所以 ，所
以C不正确；
易知 ，对于确定的 ，当 从0增大到1时， 随 的增大而增大.
对于D：令 是关于 的一次函数， ， ，
所以 随 的增大而增大，
当 时， 随 的增大而增大，
所以 随 的增大而增大.所以D不正确.
8．（25-26广东中山市华侨中学周测）已知函数 ，若 恒成
立，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数单调性的关系求出导函数的零点，最后令
求导判断即可；
【详解】函数 的定义域为 ，
，显然单调递增且有唯一零点，令 有 ，
∵当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
的极小值也是最小值为 ，而由题知 恒成立，
，即有 ，令 时， ， 单调递减；
时， 单调递增，
的极小值也是最小值为 ， ，又 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（25-26河南新未来上学期期末）设 ， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 且 ，则 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对A，根据复数运算性质即可判断；对BD，利用待定系数法即可判断；对C，举
反例即可判断.
【详解】对A，因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以选项A正确；
对B，设 ，
则
，
，
即 ，即复数乘法对结合律成立，所以选项B正确；对C，若 ，则 ，所以 ，所以选项C错误；
对D，设 ，
则 ，
，所以 .所以选项D正确．
故选：ABD．
10．（2026安徽淮北第一次质量检测）已知正四棱锥 ， 为棱
上的动点．则（ ）
A．平面 平面
B．存在 使得 为直角三角形
C．当 为 中点时， 平面
D．若 ，球 与四棱锥的所有棱都相切，则球 的表面积为
【答案】ACD
【分析】对于A，连接 ，设 交于点 ，连接 ，先证明 ，
，可得 平面 ，进而结合面面垂直的判定定理判断即可；对于B，先假
设 为直角三角形，可得 ，进而得到 ，再结合 即可判断；对
于C，当 为 中点时，连接 ，可证明 ，进而判断即可；对于D，当
时，分析可得 到 的距离与 到 的距离均为1，可得球 的球心位于点 ，半径为
1，进而求解判断即可.
【详解】对于A，连接 ，设 交于点 ，连接 ，如下图：在正四棱锥 中， ， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，故A正确；
对于B，在正四棱锥 中，
若 为直角三角形，则 ， ，
由 ，得 ，即 ，
而在正方形 中， ，由于 ，则 ，矛盾，
所以不存在 使得 为直角三角形，故B错误；
对于C，当 为 中点时，连接 ，
由于在正方形 中， 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故C正确；
对于D，当 时， ，而 ，则 ，
在等腰直角 中， 到 的距离为 ，
而 到 的距离也为1，则球 的球心位于点 ，半径为1，
则球 的表面积为 ，故D正确.
故选：ACD
11．（2026吉林四平模拟）已知椭圆 ： 的焦点分别为 ， ，
是 上的动点，设直线 与椭圆 交于 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．椭圆上存在点 使得C．点 为线段 的中点，则 的周长为
D． 是直线 上的动点，则 的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据离心率公式计算可判断A的正误，根据 无解可判断B的正误，
利用点差法求出直线 的方程，可判断直线 经过椭圆的一个焦点，进而判断C的正误，
根据椭圆的定义，将差的问题转化为和的问题，可判断D的正误.
【详解】椭圆 ： 的焦点分别为 ， ，则 ，
可得 ， ，解得 .
对于选项A，椭圆的离心率为 ，故A选项正确；
对于选项B，假设在椭圆上存在点 ，使得 ，
且 ， ，
所以 ，在实数范围内无解，
椭圆上不存在点 使得 ，故B选项错误；
对于选项C，设点 ，
由题意可得 ，
若直线的斜率不存在，则线段的中点在 轴上，不符合题意，
所以直线的斜率存在，则由 ，可得 ，即 ，所以直线的斜率为
，
因此直线 的方程为 ，即 ，显然直线经过焦点 ，
所以 的周长为： ，故C选项
正确；
对于D选项，因为 到直线 的距离为 .，
所以 ，故D选项
正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026届高三上学期期末质量检测数学）已知数列 的前 项和 满足
，则 ___________．
【答案】
【分析】由 求解.【详解】由题， ，
故答案为： .
13．（2026吉林四平上学期模拟）已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球
和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同.某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，
再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色不相同的概率为______.
【答案】
【分析】划分从乙盒取球的三种情况，分别计算每种情况的概率及对应从甲盒取两不同色
球的概率，再通过全概率公式求和得最终概率.
【详解】乙盒取2球有三种情形：
取2红：概率为 ，此时甲盒有5红2白，从甲盒取2不同色球的概率为 ；
取2白：概率为 ，此时甲盒有3红4白，从甲盒取2不同色球的概率为
；
取1红1白：概率为 ，此时甲盒有4红3白，从甲盒取2不同色球的概率为
.
所求概率为 .
.故答案为： .
14．（25-26阜阳高三教学质量监测）已知函数
，若 恰有两个不同的零点，则 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据条件，将问题转化成 与 的图象有两个交点，结合条件，数
形结合得 ， ，构造函数 ，利用导数
求出 的值域，即可求解.
【详解】因为 ，易知 在区间 上单调递增，在区间
上单调递增，图象如图所示，
令 ，即 ，得到 ，
因为 恰有两个不同的零点 ，则 与 的图象有两个交点，
由图可知， ，且 ，所以 ，则 ，
令 ，令 ，则 ，
易知 在区间 上单调递增，又易知 时， ，
则 ，令 ，得到 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
又当 时， ，当 时， ，当 时， ，显然 ，
所以 的值域为 ，则 的值为 ，
所以 的取值范围是 ，故答案为： .
