数量关系随堂笔记完整版_16花生十三_2025花生十三资料合集_00黑白画风精炼版——2021花生十三_2021花生十三数量关系

数量随堂笔记第一章（2021.07.03）
——可遇不可求的“秒杀”与“取巧”方法
代入法—代入选项利用倍数、奇偶等特征进行验证
【例题1】（2019 山东）：某老旧写字楼重新装修，需要将原有的窗户全部更换为单价90 元每扇的新
窗户。已知每7 扇换下来的旧窗户可以跟厂商兑换一个新窗户。全部更换完毕后共花费16560 元且剩余4
个旧窗户没有兑换，那么该写字楼一共有多少扇窗户？
A.214
B.218
C.184
D.188
【参考答案】A
【题型分类】和差倍比问题
【实战解析】
假设该写字楼一共有x 扇窗户，购买新窗户的数量=16560/90=184 扇，可得184+（x-4）
÷7=x，解得x=214，选择A
考场秒杀：总窗户数-4 后为7 的倍数，结合选项，选择A
【例题2】（2018 浙江事业编）：老王的年龄比小李的2 倍多6 岁，老王20 年前的年龄和小李9 年后
的年龄相等，问老王多少岁:
A.52
B.53
C.54
D.55
【参考答案】A
【题型分类】年龄问题
【实战解析】
老王的年龄是偶数（2n+6），排除BD，设老王年龄为X，即：X-20=（X-2）÷2+29
代入AD 其中一个即可。选择A
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【例题3】（2019 吉林）：某高校本年度毕业学生3060 名，比上年度增长2%。其中本科生毕业数量比
上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校本年度本科生毕业数量是：
A.1900 人
B.1930 人
C.1960 人
D.1990 人
【参考答案】C
【题型分类】和差倍比问题
【实战解析】
解法一：
去年毕业人数=
૜૙૟૙
૚＋૛%=3000 名；
十字交叉可得
本科生
-2%
10%－2%＝8%
2
2%
：
研究生
10%
2%－（﹣2%）＝4%
1
去年毕业的本科生与研究生人数之比==2：1=2000 名：1000 名；
今年毕业的本科生人数=2000×（1-2%）=1960 名，选C
解法二：今年本科生=去年本科生×（1-2%）=去年本科生×0.98，可得今年本科生毕业
人数是49 的倍数，结合选项，选C
【例题4】（2017 浙江）：某地举办铁人三项比赛，全程为51.5 千米，游泳、自行车、长跑的路程之
比为3:80:20。小陈在这三个项目花费的时间之比为3:8:4，比赛中他长跑的平均速度是15 千米/小时，且
两次换项共耗时4 分钟，那么他完成比赛共耗时多少？
A.2 小时14 分
B.2 小时24 分
C.2 小时34 分
D.2 小时44 分
【参考答案】C
【题型分类】和差倍比问题
【实战解析】
解法一：
因为长跑路程和速度都有，所以从长跑入手：
T（长跑）=S（长跑）÷V（长跑），解得：T（长跑）=40min，三个项目花费的时间之比
为3:8:4，一份时间为40/4=10min，总时间=10×15+4=154min。，选C
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解法二：三个项目花费的时间分数份15 份，两次换项共耗时4 分钟，则（总耗时-4）大
概率为15 倍数，代入选C
【例题5】（2019 联考）：如图所示，在长为64 米，宽为40 米的长方形耕地上修建宽度相同的两条
道路（一条横向、一条纵向），把耕地分为大小不等的四块。已知修路后耕地总面积为1377 平方米，则该
道路路面宽度为多少米？
A.10
B.11
C.12
D.13
【参考答案】D
【题型分类】几何问题
【实战解析】
设道路宽度为x，可得道路耕地面积=（64－x）×（40－x）=1377，
代入选项，尾数法排除A、C，
代入B 选项，（64－11）×（40－11）＝53×29＝1537≠1377，不符合题意。
代入D 选项，（64－13）×（40－13）＝51×27＝1377，满足题意。选择D
赋值法—常用于只有比例关系时
【例题6】（2018浙江）：超市采购小米、糯米和红豆的价格分别为5元/千克、6元/千克和7元/千克。
若将小米、糯米和红豆按7:6:5的比例混在一起做成杂粮粥原料出售，问定价为多少时，销售的毛利润额在
采购金额的20％到30％之间？
A.6.6元/千克
B.7元/千克
C.7.4元/千克
D.8元/千克
【参考答案】C
【题型分类】经济利润问题
【实战解析】可采用赋值法解题（①题目中只有比例关系，无具体数字；
②符合A=B/C 的关系，给出A 的数字，B、C 可赋值；
③解不定方程时的赋零法：若求的是A+B+C 的和，可设某个未知数为0，再求出另外两个未知
数，和不变；
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④对于恒等关系或恒成立其他关系，可赋值用特殊情况判断正误；
⑤对于几何问题，若所求为长度、面积、体积等的比值，可采用赋值法。
本题属于第②种情况。）
设小米、糯米和红豆分别有7kg、6kg 和5kg，杂粮粥每千克成本＝7×5＋6×6＋5×7
7＋6＋5
≈6 元/
千克；
毛利润在采购金额的20%至30%之间，即定价在成本的1.2 倍至1.3 倍之间，定价应是每
千克7.2 至7.8 元，只有C 选项符合要求。
【例题7】（2021 山东）：X 千克甲盐水和Y 千克乙盐水中的含盐量相同。将X 千克乙盐水与X 千克甲
盐水混合，并蒸发掉X 千克水之后，得到的溶液浓度是乙盐水的Z 倍。问乙盐水的浓度是甲盐水的多少:
A.
1ܼ
+1
B.
1ܼ
−1
C.
1ܼ
+ܻܺ
D.
1ܼ
+ܻܺ
【参考答案】B
【题型分类】浓度问题
【实战解析】假设甲的浓度为a、乙的浓度为b，可得（
X
-
X
X
Xb
Xa
＋
＋
）=Zb，整理可得a=（Z-1）
b，
1
-
1
b
Z
a 
。选B
【例题8】（2021 江苏）：为促进旅游业复苏，今年8 月1 日起至年底，某景区门票价格在原定价的
基础上，工作日执行两折票价，双休日及法定节假日执行五折票价。预计门票打折后，每天的游客人数均
比原来翻一番，已知打折前该景区双休日平均每天的游客人数是工作日的5 倍，则打折后，该景区一周（该
周无法定节假日）的门票收入是打折前的：
A.0.5 倍
B.0.6 倍
C.0.7 倍
D.0.8 倍
【参考答案】D
【题型分类】和差倍比
【实战解析】赋值（人数）
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
打折前
1
1
1
1
1
5
5
打折后
2
2
2
2
2
10
10
假设单价门票为100
打折前收入=15×100=1500；打折后收入=10×20+20×50=1200.打折后，该景区一周（该
周无法定节假日）的门票收入是打折前=1200/1500=0.8 选D
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【例题9】（2019 浙江事业编）：从A 地到B 地，要先行120 千米的下坡路，然后再行80 千米的上坡
路，最后行150 千米的平路后到达。甲车从A 地到B 地，乙车从B 地到A 地。甲车在任何路上速度相同，
乙车在平路上速度与甲车相同，上坡路和下坡路的速度分别是平路的0.8 和1.2 倍。则乙车用时比甲车：
A.少不到2%
B.少2%以上
C.多不到2%
D.多2%以上
【参考答案】D
【题型分类】路程问题
【实战解析】赋值（乙车在平路上速度=10）
甲
下坡路
上坡路
平路
路程
120
80
150
速度
10
10
10
时间
12
8
15
甲总用时为35
乙（反向，上下坡互换）下坡路
上坡路
平路
路程
80
120
150
速度
12
8
10
时间
20/3
15
15
乙总用时为36.66
即：1.66/35>2%。选D
其他思路“秒杀”—瞬间反应
【例题10】（2019 江苏）：某班举行数学测验，试题全部是选择题，共10 题，每题1 分，得分的部
分统计结果如下：
已知，得分至少为3 分的，人均2X 分；得分最多为7 分的，人均X 分。这个班级总人数是:
A.
57
X +24
B.57X+24
C.X
2+24
D.X+4
【参考答案】A
【题型分类】和差倍比问题
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【实战解析】假设总人数为y，可得总分数=2x×（y-5-3-8）+2×5+1×3=x×（y-2-2-4）
+10×2+9×2+8×4，整理得y=（57/x）+24，选A
秒杀法：班级人数=总分/平均分，X 是平均分，则X 在分母上，选A
【例题11】（2015 江苏）：甲、乙工程队需要在规定的工期内完成某项工程，若甲队单独做，则要超
工期9 天完成，若乙队单独做，则要超工期16 天才能完成，若两队合做，则恰好按期完成。那么，该项工
程规定的工期是：
A.8 天
B.6 天
C.12 天
D.5 天
【参考答案】C
【题型分类】工程问题
【实战解析】（乙工期内的工作量＝甲9 天做的；甲工期内的工作量＝乙16 天做的.）
假设工期为t，甲乙合作按时完工，甲单独需要超时9 天，即①9 甲＝t 乙；乙单独需要
超时16 天，即②16 乙＝t 甲，联立①②可得：甲:乙＝t:9＝16:t，解得t＝12.
秒杀：甲一个人干：t+9 天；乙：t+16 天。甲乙/2=t+t，则16>t>9,选择C
【例题12】（2018 国考）：某公司按1∶3∶4 的比例订购了一批红色、蓝色、黑色的签字笔，实际使
用时发现三种颜色的笔消耗比例为1∶4∶5。当某种颜色的签字笔用完时，发现另两种颜色的签字笔共剩下
100 盒。此时又购进三种颜色签字笔总共900 盒，从而使三种颜色的签字笔可以同时用完。问新购进黑色签
字笔多少盒？
A.450
B.425
C.500
D.475
【参考答案】A
【题型分类】和差倍比问题
【难度评价】★★★★★
【实战解析】红、蓝、黑色签字笔的总量之比＝1:3:4，消耗速率之比＝1:4:5，则消耗时
间之比（三者之间关系为：消耗时间＝总量/消耗速率）＝1
1
: 3
4
: 4
5
＝1:0.75:0.8，即蓝色签字笔最
先用完；
当蓝色签字笔使用完时（总量之比＝1:3:4＝4:12:16，消耗之比＝1:4:5＝3:12:15），红
色、黑色签字笔各剩余1 份（红色签字笔＝4－3=1 份，黑色签字笔＝16－15＝1 份。），因共
剩下100 盒，则1 份对应50 盒；
若想三种签字笔同时用完，则最后1000 盒中红、蓝、黑色签字笔应分别有100、400、500
盒（消耗时间相等，总量之比＝消耗速率之比），即黑色签字笔应再购买500－50＝450 盒。
【考场秒杀】（相当于，原溶液浓度是50%，倒出一部分后仍然是50%；若想最终浓度依
然是50%，加入的溶液浓度也需要是50%）用盐水思想解题，将黑色签字笔看作溶质；最初购
进时，黑色签字笔占比50%（订购8 份，黑色签字笔占4 份），消耗的部分中黑色签字笔占比
也是50%（消耗10 份，黑色签字笔占5 份），则剩余黑色签字笔占比也是50%；要想三种签字
笔同时用完，黑色签字笔占比还需要是50%，即第二次购进时，黑色签字笔占比仍需要是50%，
即黑色签字笔购进900×50%＝450 盒。
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【例题13】（2021 上海）：甲到飞机场坐飞机，飞机场的十二个登机口排成一条直线，相邻两个登机
口之间相距50 米。甲在登机口等待时被告知登机口更改了，那么甲走到新登机口的距离不超过200 米的概
率是：
A.
1
2
B.
4
11
C.
8
11
D.
19
33
【参考答案】D
【题型分类】概率问题
【实战解析】
首先，先假设极端情况
第一种：第一个登机口在两端，可供选择的其余登机口为4，几率为：4/11
第二种：第一个登机口在中间，可供选择的其余登机口为8，几率为：8/11
根据倍数关系和盐水思想：答案大概率为D
登机口
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
可选择
4
5
6
7
8
8
8
8
7
6
5
4
概率
4/11
5/11
6/11
7/11
8/11
8/11
8/11
8/11
7/11
6/11
5/11
4/11
盐水思想：在中间不再正中间。8 个选择的多，所以概率>6/11，排除A，选择D
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数量随堂笔记第二章（2021.07.03）
—— 数量基础之数论及数的特性
2.1
整除问题及应用解析
常考查的整除性质：
若a、b 能被c 整除，则a＋b、a-b 也能被c 整除。
若一个数能被3、9 整除，则该数的各位数字和也能被3、9 整除。
若一个数能被2 或5、4 或25、8 或125 整除，则该数的末位、末二位、末三位也能被2 或5、4 或25、
8 或125 整除。
对于y＝a
b
x”（x、y 均为整数），我们可得出整除关系：x 是b 的倍数，y 是a 的倍数。
纯整除问题（即题目中有“整除”或“乘积”的明确字样），3、9 的整除性质为最常见考察方式，是思
考的首选方向。
【例题1】（2021 北京）：为响应国家“做好重点群体就业工作”的号召，某企业扩大招聘规模，计
划在年内招聘高校毕业生240 名，但实际招聘的高校毕业生数量多于计划招聘的数量。已知企业将招聘到
的高校毕业生平均分配到7 个部门培训，并在培训结束后将他们平均分配到9 个分公司工作。问该企业实
际招聘的高校毕业生至少比计划招聘数多多少人：
A.6
B.12
C.14
D.28
【参考答案】B
【题型分类】约数倍数问题
【实战解析】
实际招聘的高校毕业生数量既是7 的倍数，也是9 的倍数，即是63 的倍数，设企业实际
招聘的高校毕业生至少比计划招聘数多X 人。
列式：63n=240+X，从小到大代入，选B
【例题2】（2018 山东）：某企业有不到100 名员工，本月只有1/12 的员工未得到每人1000 元的全
勤奖，只有13 名员工未得到每人1000 元的绩效奖，两个奖都未得到的员工占员工总数的1/14。问企业本
月共发放全勤奖和绩效奖多少万元？
A.7.1
B.12.6
C.14.8
D.16.8
【参考答案】C
【题型分类】约数倍数问题
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【实战解析】该企业人数为12、14 的公倍数且小于100，则企业人数为84 人；其中得到
全勤奖的人数＝84×11
12
＝77 人，得到绩效奖的人数＝84－13＝71 人，则一共发放奖金数＝77
×1000＋71×1000＝148000 元。
【例题3】（2019 北京）：某企业有甲和乙两个研发部门。其中甲部门有35%的员工有海外留学经历，
乙部门有32%的员工有海外留学经历。已知甲部门员工比乙部门多20 人，则两个研发部门最少可能有多少
人没有海外留学经历？
A.132
B.146
C.160
D.174
【参考答案】B
【题型分类】最值问题
【实战解析】
假设乙部门有x 人、其中没有海外留学经历的有x×（1-32%）=0.68x 人；
甲部门有x+20 人、其中没有海外留学经历的有（x+20）×（1-35%）=0.65x+13 人；
两个部门里没有海外留学经历的总人数=0.68x+0.65x+13=1.33x+13；（人数必然为整数，
1.33x 必然是整数，则x 必然为100 的倍数。）
结合选项，当x=100 时，1.33×100+13=146 人，选择B
【例题4】（2019 联考）：某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计2200 只，所有兔子的
毛色分为黑、白两种。肉兔中有87.5%的毛色为黑色，宠物兔中有23%毛色为白。据此可知，毛色为白色的
肉兔至少有多少只？
A.25
B.50
C.100
D.200
【参考答案】A
【题型分类】和差倍比问题
【实战解析】87.5%=7/8、23%=23/100，可得肉兔数量为8 的倍数，宠物兔数量为100 的
倍数、至多有2000 只，此时白色肉兔至少有（2200-2000）×（1-87.5%）=25 只，选择A
【例题5】（2021 国考）：某地调派96 人分赴车站、机场、超市和学校四个人流密集的区域进行卫生
安全检查，其中公共卫生专业人员有62 人。已知派往机场的人员是四个区域中最多的，派往车站和超市的
人员中，专业人员分别占64%和65%，派往学校的人员中，非专业人员比专业人员少30%，问派往机场的人
员中，专业人员的占比在四个区域中排名
A.第一
B.第二
C.第三
D.第四
【参考答案】A
【题型分类】和差倍比问题
【实战解析】派往车站的专业人员64%= 25
16 、因此派往车站的人数应为25 的倍数，
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派往超市的专业人员65%= 20
13 、因此派往超市的人数应为20 的倍数.
派往学校的人员中，非专业人员比专业人员少30%，专业人员：非专业人员＝1∶（1-30%）
=10∶7，专业人员占比17
10 ，因此，派往学校的人数应为17 的倍数。
总共96 人，专业人才62 人，可得派往车站25 人、派往超市20 人、派往学校17 人，派
往机场96-25-20-17=34 人。
派往机场的专业人员62-16-13-10=23 人，专业人员占比=23/34≈68%，选择A。
【例题6】（2015 黑龙江）：小李某月请了连续5 天的年假，这5 天的日期数字相乘为7893600，问他
最后一天年假的日期是：
A.25 日
B.26 日
C.27 日
D.28 日
【参考答案】B
【题型分类】和差倍比问题
【实战解析】乘积整除问题，考虑3、9 整除性质，7893600 可被3 整除，但不能被9 整
除（7893600 的数字和为33，能被3 整除，但不能被9 整除。），即5 个连续数字中只能有
一个3 因子；
依次判断四个选项，A 选项包含21、24，有2 个3；B 选项包含24，只有1 个3；C、D 选
项都有27，至少包含3 个3，则答案为B.
【例题7】（2020 浙江）：从分别写着1-9 数字的9 张卡中选出4 张并排列为一个四位数，其结果能
被75 整除的数字：
A.不到15 个
B.15-20 个
C.21-25 个
D.超过25 个
【参考答案】D
【题型分类】和差倍比问题
【实战解析】
整数关系，四位数是75 的倍数。75 的倍数不好看，将75 拆分，75=3×25，即：这个四
位数既是3 的倍数也是25 的倍数。
25 的倍数看后两位：后两位应为（0，25,50,75）的倍数，因为卡片没有0，则后两位为
25，75；
这个四位数各个位数之和为3 的倍数，则第一位+第二位+7/12=3n，
枚举：
前两位和
第一位
第二位
后两位
备注
2
1
1
25
卡片重复
5
1
4
25
1
5
2
3
25
卡片重复
8
1
7
25
2
11
3
8
25
3
11
4
7
25
4
14
6
8
25
5
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17
8
9
25
6
3
1
2
75
7
6
2
4
75
8
9
1
8
75
9
9
3
6
75
10
12
3
9
75
11
12
4
8
75
12
15
6
9
75
13
综上，第一位、第二位可以调换，则共计26 个，选择D
【例题8】（2021 上海）：公司购买某设备24 套，现要登记单价，但是数据上没有标注单价，且总价
第一位和最后一位模糊不清，只看到是☆579△元。则☆可能是几：
A.3
B.5
C.7
D.9
【参考答案】C
【题型分类】和差倍比问题
【实战解析】
整数关系，☆579△是24 的倍数。24 的倍数不好看，将24 拆分，24=3×8，即：☆579
△既是3 的倍数也是8 的倍数。
8 的倍数看后三位：79△应为8 的倍数，则△=2；
☆579△各个位数之和为3 的倍数，则（☆+5+7+9+2）=3n，代入，选择C
2.2
余数问题及应用解析
【例题9】（2019 山东）：一个盒子里有乒乓球100 多个，如果每次取5 个出来最后剩下4 个，如果
每次取4 个最后剩3 个，如果每次取3 个最后剩2 个，那么如果每次取12 个最后剩多少个？
A.11
B.10
C.9
D.8
【参考答案】A
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【题型分类】余数问题
【实战解析】
余数问题常用解题方法：
找到满足口诀“余同取余、和同加和、差同减差”的特征，求出除数的最小公倍数。即
可写出被除数的表达式。
除以5 余4、除以4 余3、除以3 余2，差同减差，乒乓球的总数可以表示为60n-1、
（60n-1）
÷12＝[60（n－1）+ 48 + 12-1]÷12；除以12 余11，选A
【例题10】（2020 浙江事业编）：有一堆玻璃珠，若按2 个一组分开，最后剩下1 个；若按3 个一组
分开，最后剩下2 个；若按5 个一组分开，最后剩下4 个；若按6 个一组分开，最后剩下5 个；若按7 个
一组分开，最后一个也不剩。问这堆玻璃珠至少有多少个：
A.105
B.119
C.126
D.133
【参考答案】B
【题型分类】余数问题
【实战解析】
若按2 个一组分开，最后剩下1 个（基数：排除C）
若按3 个一组分开，最后剩下2 个（-2，各个位数之和为3 的倍数，排除A、D）
答案为B。
【例题11】（2018 浙江）：某次比赛报名参赛者有213 人，但实际参赛人数不足200。主办方安排车
辆时，每5 人坐一辆车，最后多2 人；安排就餐时，每8 人坐一桌，最后多7 人；分组比赛时，每7 人一
组，最后多6 人。问未参赛人数占报名人数的比重在以下哪个范围内？
A.低于20%
B.20%-25%之间
C.25%-30%之间
D.高于30%
【参考答案】B
【题型分类】余数问题
【实战解析】
找到满足口诀“余同取余、和同加和、差同减差”的特征，求出除数的最小公倍数，即
可写出被除数的表达式；
例如本题：满足“差同”，除数7、8 的最小公倍数为56，则被除数可表示为56n－1.
由“每8 人坐一桌，最后多7 人；每7 人一组，最后多6 人”可知，这是“差同”的余
数问题，参赛人数可表示为56n-1；
又因“实际参赛人数不足200”可知，参赛人数可能为55、111、167，其中只有167 符
合“每5 人坐一辆车，最后多2 人”；
即参赛人数为167 人，未参赛人数为213-167＝46，其所占比重＝46÷213≈22%.
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【例题12】（2018 山东）：某市场调查公司3 个调查组共40 余人，每组都有10 余人且人数各不相同。
2017 年重新调整分组时发现，若想分为4 个人数相同的小组，至少需要新招1 人；若想分为5 个人数相同
的小组，至少还需要新招2 人。问原来3 个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几人？
A.2
B.3
C.4
D.5
【参考答案】B
【题型分类】余数问题＋最值问题之和定最值
【实战解析】
和定最值问题的常用解法：
若各人不能相等：问某人最多，则其他人尽量少，问某人最少，则其他人尽量多，但注
意符合其排名要求；最后用总量列方程解题。
若各人可能相等：问第一名最少或问最后一名最多，可根据抽屉原理求出平均值求解。
由“若想分为4 个人数相同的小组，至少需要新招1 人；若想分为5 个人数相同的小组，
至少还需要新招2 人”可知，总人数除4 余3、除5 余3，属于余数问题中的“余同”，总人
数可表示为20n＋3（余数问题常用解题方法：
找到满足口诀“余同取余、和同加和、差同减差”的特征，求出除数的最小公倍数，即
可写出被除数的表达式；
例如本题：满足“余同”，除数4、5 的最小公倍数为20，则被除数可表示为20n+3.），
“3 个调查组共40 余人”，即总人数只能是43 人；
想要最多、最少量组人数差值尽量小，需要三组人数尽量均等，每组人数分别为13、14、
16，最小人数差＝3（三组一共有43 人，43÷3=14 余1，即三组人数最相近为14、14、15，
由于三组人数各不相同，调整为13、14、16.）。
2.3
等差数列问题及应用
基本公式和性质：
一、若是奇数项等差数列，则平均数=等差中项，Sn＝n*等差中项；等差数列的平均数=(a1+an)/2；
二、若m+n=k+i，则am+an＝ak+ai.
【例题13】（2020 新疆）：某阶梯会议室有16 排座位，后一排比前一排多2 个，最后一排有40 个座
位。这个阶梯会议室共有多少个座位：
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A.300
B.350
C.400
D.440
【参考答案】C
【题型分类】数列之等差数列问题
【实战解析】
等差数列通项公式
d
1
a1


）
－
（
＝
n
an
等差数列前n 项和
项数
末项
首项
＝


2
ns
后一排比前一排多2 个，则公差d＝2，最后一排为末项a16＝40，
40＝a1+（16-1）×2，求得a1＝10，求和
400
16
2
40
10




ns
【例题14】（2020 山东）：公司2017 年每个月的销售额都比上个月高x 万元。其9 月的销售额是1
月的2 倍，11 月的销售额为900 万元。问该公司2017 年全年的销售额是多少万元（
）
A.7200
B.7650
C.8100
D.8550
【参考答案】C
【题型分类】数列之等差数列问题
【实战解析】设1 月份销售额为Y。根据题意可列方程式：2Y=Y+8X,Y+10X=900。解得
X=50,Y=400。第一个月增长额=0 元，最后一个月增长额=11X=550 元。
综上，2017 年全年的销售额=12*400+（0+550）*12/2=4800+3300=8100 元。
【例题15】(2016 联考)：某商店10 月1 日开业后，每天的营业额均以100 元的速度上涨，已知该月
15 号这一天的营业额为5000 元，问该商店10 月份的总营业额为多少元？
A.163100
B.158100
C.155000
D.150000
【参考答案】B
【题型分类】数列问题
【实战解析】营业额每天增加100 元，10 月份的营业额为等差数列（an＝a1＋(n－1)d，
am＝an＋(m－n)d；例如，a6＝a1＋5d，a10＝a3＋7d；Sn＝n×中位数＝n×平均数；
例如，1、3、5、7、9，数列之和＝5×5＝25；
Sn＝n×(a1＋an)
2
＝na1＋n×(n-1)
2
d；例如，2、4、6、8，数量之和＝4×(2＋8)
2
＝20），10
月份一共31 天，等差数列中位数为10 月16 日营业额＝5000＋100＝5100 元，等差数列和＝
31×5100＝158100.
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【例题16】（2020 联考）：红星中学高二年级在本次期末考试中竞争激烈，年级前七名的三科(语文、
数学、英语)平均成绩构成公差为1 的等差数列，第七、八、九名的平均成绩既构成等差数列，又构成等比
数列，张龙位列第十，与第九名相差1 分，张龙的英语成绩为121 分，但老师误登记为112 分。那么，张
龙的名次本该是：
A.第四
B.第五
C.第七
D.第八
【参考答案】B
【题型分类】其他杂题
【实战解析】设第七、八、九名的平均成绩为A、B、C，等差数列：2B=A+C,等比数列：B
²=AC，解得A=B=C，第十名成绩=A-1，张龙的平均成绩=A-1+(121-112)/3=A+2。
名次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩
A+6
A+5
A+4
A+3
A+2
A+1
A
A
A
A-1
综上，张龙的名次本该是第五。
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数量随堂笔记第二节（2021.07.04）
3
和差倍比、不定方程与“朴实无华”的方程法
3.1
方程法概述
列方程，是我们解决数学应用题最常用的方法，也是我们学生生涯最熟练掌握的方法之一。但在行测
数学运算领域，因方程法不是“秒杀”、解方程费时，方程法被众多考生嫌弃，成了“死算”“笨方法”
的代名词。但实际情况是这样吗？
花生老师认为：方程法就是解决具有明显等式关系（即通过加减乘除运算，能够配平等式两端）的最
佳“秒杀法”。
3.2
具有明显等式关系题型（和差倍比问题）解析
【例题1】（2020 北京）：甲、乙两个学校的在校生人数之比为5：3，甲学校如果转入30 名学生，再
将85 名学生转到乙学校，则两个学校在校生人数相同。则此时乙学校学生人数在以下哪个范围内？
A.不到200 人
B.在200～240 人之间
C.在241～280 人之间
D.超过280 人
【参考答案】D
【实战解析】
根据“甲、乙两个学校的在校生人数之比为5：3”，设甲、乙两个学校在校生人数分别
为5X、3X，列式：
5X+30-85=3X+85，解得X=70,
综上，则此时乙学校学生人数=3X+85=210+85=295。选择D
【例题2】（2020 新疆）：某高校组织召开教职工代表大会，配备了A、B 两个会务组成员，因工作需
要，先将A 组三分之一的工作人员调到B 组去帮忙。后来因为工作程序的改变又把B 组工作人员中的12 人
调到A 组，这时A 组有26 人，B 组有14 人。问最初A 组的工作人员比B 组的工作人员：
A.多2 人B.少2 人C.多12 人D.少12 人
【参考答案】A
【实战解析】
解法一：
设A 组原来x 人
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26=
૛
૜x＋12，解得x=21，即A 组原有21 人。
因总人数没有发生变化，A，B 两组总人数为26＋14=40，则B 组人数为40-21=19.
A 组比B 组多2 人，选择A
解法二：
移动12 人之后，A、B 分别为26 人、14 人，A、B 共有40 人。
则移动前：A 为26－12=14 人，B 为14+12＝26 人。
第一次移动，A 减少三分之一，剩余三分之二，14 人，则A 组原有人数14÷
2
3＝21 人，B
组原有40－21＝19 人，A 组比B 组多2 人。选择A
【例题3】（2019 浙江）：甲、乙两个单位人数相同，甲单位的党员占总人数的20%，乙单位的党员占
总人数的25%。如果乙单位20 名党员与甲单位20 名群众互换单位，则两个单位党员占比相同。问两个单位
共有党员多少人？
A.256
B.288
C.324
D.360
【参考答案】D
【实战解析】
解法一：设甲单位人数为x，因甲乙单位人数相同，则乙单位人数为x。
૛૙%ܠ＋20
ܠ
=
૛૞%ܠ−૛૙，解得x=800，
ܠ
两个单位党员总数为800×20%＋800×25%=360 人，选择D
【例题4】（2020 下半年四川）：一次长跑活动中，某人跑了比全程的2/9 多2000 米的路程后，发现
其已跑过的路程长度恰好是未跑路程的5/7，问他还剩多少米的路程未跑：
A.5000
B.5300
C.6000
D.6400
【参考答案】C
【实战解析】
设总路程为x，列方程
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૞
૞＋ૠ×x=x×
૛ૢ＋2000 ，解得
ૠ
૜૟x=2000
未跑的路程
ૠ
૞＋ૠx=
ૠ
૚૛x=6000。
【例题5】（2021 国考）：社区工作人员小张连续4 天为独居老人采买生活必需品，已知前三天共采
买65 次，其中第二天采买次数比第一天多50%，第三天采买次数比前两天采买次数的和少15 次，第四天采
买次数比第一天的2 倍少5 次。问这4 天中，小张为独居老人采买次数最多和最少的日子，单日采买次数
相差多少次？
A.9
B.10
C.11
D.12
【参考答案】C
【实战解析】
假设第一天采买了2x 次，第二天采买3x，第三天采买（5x－15）。
可得2x+3x+（5x-15）=65，解得x=8，
可得前四天采买的次数分别为2x＝16、3x=24、16+24-15=25、16×2-5=27，
采买次数最多和最少的日子，单日采买次数相差27－11＝16 次，选择C
【例题6】（2020 江苏）：某企业按三个等级给员工发放奖金，一、二、三等奖的获奖人数之比为1：
3：10，奖金总额之比为2：3：1。已知获奖员工总数126 人，发放奖金总额16.2 万元，则三等奖的奖金是：
A.250 元
B.300 元
C.350 元
D.400 元
【参考答案】B
【实战解析】
人数比例为1：3：10，共14份，一份为126÷14 = 9，三等奖占10份，为90人；
奖金共6份，三等奖占1份，一份16.2÷6 = 2.7万元；
三等奖奖金为
奖金
人数=
૛ૠ૙૙૙ૢ
૙=300元，选择B。
【例题7】（2020 江苏）：台风过后，某单位发起救灾捐款活动，甲、乙两部门的员工人数之比是4：
3，捐款总额之比是5：4。若甲部门的人均捐款是300 元，则乙部门的人均捐款是：
A.270 元
B.290 元
C.320 元
D.350 元
【参考答案】C
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【实战解析】人均捐款= 总人数
捐款金额，甲乙两部门人均捐款之比=
3
4
:
4
5
=16
15 ，甲部门人均捐
款15份，对应300元，一份为20元，乙为16份，对应320元。答案选C
【例题8】（2021 江苏）：某农场有A、B、C 三个粮仓，原先粮食储量之比为5：9：10，今年丰收后
每个粮仓新增加的粮食储量相同，A、B 两个粮仓的储量之比变为3：5，则今年丰收后三个粮仓的储存总量
比原先增加：
A.12.5%
B.15%
C.17.5%
D.20%
【参考答案】A
【实战解析】
因新增加的粮食储量相同，则A、B 的储量差值应不变。
原储量A：B=5:9，差4 份，
现储量A：B=3:5=6:10，差4 份。
即A、B 各增加1 份，则C 也增加1 份。
今年丰收后三个粮仓的储存总量比原先增加：（1＋1＋1）÷（5＋9＋10）=1/8=12.5%。
选择A.
解法二：
设增加量为x，原来粮食储量分别为5、9、10，列方程
૞+ܠૢ
+ܠ=
૜
૞，解得x=1
即A、B 各增加1 份，则C 也增加1 份。
今年丰收后三个粮仓的储存总量比原先增加：（1＋1＋1）÷（5＋9＋10）=1/8=12.5%。
选择A.
【例题9】（2020 联考）：春节期间，省图书馆邀请多位书法老师免费为读者书写春联。现场书写的
春联中有188 副不是刘老师书写的，有219 副不是陈老师书写的，刘、陈两位老师今年一共书写了311 副
春联。问陈老师今年一共书写了多少副春联：
A.208
B.171
C.140
D.126
【参考答案】C
【实战解析】刘+其余=219，陈+其余=188，刘+陈=311，解得其余=（219+188-311）/2=48，
陈=188-48=140。
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【例题10】（2021 国考）：甲、乙两个单位周末分别安排60%和75%的职工下沉社区帮助困难群众，
其中甲单位派出的职工比乙单位少3 人，后两单位又在剩下的职工中，分别抽调40%和75%的职工，共计24
人参加周末的业务培训，问甲单位职工人数比乙单位：
A.少三人
B.少十一人
C.多三人
D.多十一人
【参考答案】D
【实战解析】
假设甲安排了5x 人、乙安排了4y 人，
第一次甲单位派出3x 人，乙单位派出3y 人。
3x + 3 ＝3y......①
第二次甲单位派出（5x-3x）×40%＝0.8x，乙单位派出（4y-3y）×75%
0.8x + y×75%=24......②
解得x=15、y=16，
甲单位职工人数比乙单位5×15-4×16=11 人，选择D
3.3
不定方程问题解析
不定方程，即未知数的个数多于方程个数，可利用奇偶性、整除性、个位分析法、枚举法确定符合题
目要求的解。
【例题11】（2019 年河北）：集贸市场销售苹果5 元/个和火龙果3 元/个，花光61 元最多可购买这
两种水果共多少个？
A.13
B.16
C.18
D.19
【参考答案】D
【实战解析】5x+3y=2x＋（3x＋3y）=61，要想让（x＋y）最大，则x 要尽量小，满足条
件的x 最小为2。
【例题12】（2020 广东）：某部门正在准备会议材料，共有153 份相同的文件，需要装到大小两种文
件袋里送至会场，大的每个能装24 份文件，小的每个能装15 份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，
则需要大文件袋（）个。
A.2
B.3
C.5
D.7
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【参考答案】A
【实战解析】假设大文件袋x 个、小文件袋y 个，可得24x+15y=153，整理得8x+5y=51，
5y 尾数只能为0 或5，则8x 尾数为偶数，只能为6，当x=2 时、y=7，选A
【例题13】（2017 山东）：小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的两个乘积加
起来刚好等于900。问孩子出生在哪一个季度？
A.第一季度
B.第二季度
C.第三季度
D.第四季度
【参考答案】D
【实战解析】设月份、日期分别为x、y，可列方程：29x＋24y＝900，根据整除性质可知
x 是12 倍数，则x 只能为12 月，即第四季度。
Ps：29x=900-24y=12×（75-2y）
【例题14】（2020 下半年四川）：某人花400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃
单价分别为28 元/盒、32 元/盒和33 元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃：
A.3
B.4
C.5
D.6
【参考答案】B
【实战解析】假设购买了x 盒甲、y 盒乙、z 盒丙，可得28x+32y+33z=400，z 必为4 的
倍数，结合选项，选B
PS:33z=4×（100-7x-8y）
【例题15】（2018 江苏）：小李为办公室购买了红、黄、蓝三种颜色的笔若干支，共花费40.6 元。
已知红色笔单价为1.7 元、黄色笔为3 元、蓝色笔为4 元，则小李买的笔总数最多是:
A.19 支
B.20 支
C.21 支
D.22 支
【参考答案】C
【实战解析】假设购买红、黄、蓝笔各x、y、z 支，可列方程：1.7x＋3y＋4z＝40.6；40.6
有小数所以只能是1.7x 的尾数是0.6.根据尾数可确定x＝8 或18；因想购买尽可能多的笔，
则单价低的应多买，则x＝18，方程变为3y＋4z＝10，根据奇偶性质，可确定y＝2、z＝1，
即最多可购买18＋2＋1＝21 支笔。
【例题16】（2020 浙江）：某会务组租了20 多辆车将2220 名参会者从酒店接到活动现场。大车每次
能送50 人，小车每次能送36 人，所有车辆送2 趟，且所有车辆均满员，正好送完，则大车比小车：
A.多5 辆
B.多2 辆
C.少2 辆
D.少5 辆
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【参考答案】A
【实战解析】设大车x 辆，小车y 辆，2 次运送2220 人，则1 次运送1110 人，列方程
50x＋36y=1110，化简得25x＋18y=555，根据奇偶性18y 是偶数，则25x 一定是奇数。
则25x 尾数为5,18y 尾数为0，另y=5，则x 不为整数，另y=10，则x=15，符合要求，选择A。
【例题17】（2019 联考）：某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一
等奖得9 分，二等奖得5 分，三等奖得2 分。甲队共有10 位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61
分，问该队最多有几位选手获得一等奖？
A.3
B.4
C.5
D.6
【参考答案】C
【实战解析】
假设10 人都是三等奖，共得20 分、少了61-20=41 分，
每当有一个三等奖转化为一等奖就增加7 分、
每当有一个三等奖转化为二等奖就增加3 分，
7x+3y=41，当x=5 时、y=2，选择C
【例题18】（2020 国考）：某种产品每箱48 个。小李制作这种产品，第1 天制作了1 个，以后每天
都比前一天多制作1 个。X 天后总共制作了整数箱产品。问X 的最小值在以下哪个范围内？
A.在41～60 之间
B.超过60
C.不到20
D.在20～40 之间
【参考答案】D
【实战解析】根据“1 天制作了1 个，以后每天都比前一天多制作1 个”可知，这是一个
以1 为首项，1 为公差的等差数列。
X 天后总共制作了
首项＋末项
૛
× 项数。1+2+…+X=X（X+1）/2，
X（X+1）/2 是48 的倍数、
X（X+1）是96 的倍数；
96=2×2×2×2×2×3，X 和X+1 奇偶性不同、其中一个一定没有2 的因子（有2 的因子
就是偶数），可得X 最小取32，选D
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4
“溶质不变”的浓度问题与便捷的十字相乘法
4.1
浓度问题概述
问题介绍：我们知道，一杯盐水由盐和水组成，若将一杯盐水称为一杯盐溶液，那么盐为溶质，
水为溶剂。溶质占溶液的分量我们可称之为浓度（可是质量比、体积比等）。
核心公式：浓度=溶质÷溶液、溶液＝溶质+溶剂
推荐解题方法：
溶质不变法：无论溶液如何改变(稀释、蒸发、混合)，溶质质量不会凭空发生改变，可抓住溶质不变
解题，溶质常常可以设定为一个特殊值。
4.2
浓度问题题目解析
【例题1】（2019 吉林）:将浓度分别为4%和8%的酒精溶液各100 毫升混合在一个容器里，要想使混
合后酒精溶液的浓度达到5%，需要加水：
A.40 毫升
B.50 毫升
C.60 毫升
D.70 毫升
【参考答案】A
【实战解析】溶质总量=100×4%+100×8%=12 毫升，设加水量为x 毫升,根据浓度公式：
%
5
x
200
12
＝

，x=40 毫升，选择A。
【例题2】（2020 浙江大学生）:实验室内有浓度分别为10%和25%的盐酸各500 毫升，从两种溶液中
分别倒出一部分配成浓度为15%的盐酸600 毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶液的浓度为：
A.16.5%
B.18.6%
C. 20%
D.21.25%
【参考答案】D
【实战解析】
剩余溶液的浓度=
剩余溶质
剩余溶液=
૞૙૙×૚૙%+૞૙૙×૛૞%−૟૙૙×૚૞%
૞૙૙+૞૙૙−૟૙૙
=85/400=21.25%，选D
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【例题3】（2019 联考）：酒师调配鸡尾酒，先在调酒杯中倒入120 毫升柠檬汁，再用伏特加补满，
摇匀后倒出80 毫升混合液备用，再往杯中加满番茄汁并摇匀，一杯鸡尾酒就调好了。若此时鸡尾酒中伏特
加的比例是24%，问调酒杯的容量是多少毫升？
A.160
B.180
C.200
D.220
【参考答案】C
【实战解析】
解法一：最终伏特加的含量=酒杯容量×24%=酒杯容量×
6
25，所以酒杯容量是25 的倍数，
结合选项，选择C
解法二：
假设调酒杯的容量是x 毫升，最初加入伏特加（x-120）毫升，伏特加的浓度=（x-120）
/x；
倒出80 毫升，剩余伏特加的含量=[（x-120）/x]×（x-80）=24%×x，
代入选项检验，选择C
【例题4】（2019 重庆公检法）:有两个容器A 和B，容器中原有不等量的水。分别放入葡萄糖后，容
器A 葡萄糖液体质量270 克，浓度为10%；容器B 葡萄糖液体质量150 克，浓度为12%。若往两个容器分别
倒入等量的水，使两个容器的葡萄糖浓度相同，那么需要分别倒入多少克水？
A.30
B.50
C.70
D.90
【参考答案】D
【实战解析】
解法一：假设需要x 克水，
x
270
%
10
270


=
x
150
%
12
150


，解得x=90 克，选择D
解法二：
A 和B 的溶质质量之比=（270×10%）：（150×12%）=3：2。
浓度相同，溶液质量之比=3：2=360 克：240 克（相差270-150=120 克），
需要水的质量=360-270=90 克，选择D
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【例题5】（2018 江苏）:某化学实验室有A、B、C 三个试管分别盛有10 克、20 克、30 克水，将某种
盐溶液10 克倒入试管A 中，充分混合均匀后，取出10 克溶液倒入B 试管，充分混合均匀后，取出10 克溶
液倒入C 试管，充分混合均匀后，这时C 试管中溶液浓度为1%，则倒入A 试管中的盐溶液浓度是：
A.40%
B.36%
C.30%
D.24%
【参考答案】D
【实战解析】可采用倒推法解题：最后C 试管中有浓度1%的溶液40g，溶质有40×1%＝
0.4g；之前从B 试管倒出了1/3，则B 试管原有溶质0.4×3＝1.2g；之前从A 试管中倒出1/2，
则A 试管原有溶质1.2×2＝2.4g，溶质全部来自盐溶液，则盐溶液浓度＝2.4÷10＝24%.
4.3
十字相乘法介绍
方法介绍：十字相乘法实质上是一种简化方程的形式，跳过列式直接根据图形去计算结果，十分
高效快捷，考生应熟练掌握。
计算公式：
溶液A 浓度
R-B
溶液A 质量
混合溶液浓度R
----- ＝------------
溶液B 浓度
A-R
溶液B 质量
特别提示：凡是能表示成A=B/C 形式的比例关系，均可看成是类浓度问题，即A 为浓度，B 为溶质，
C 为溶液，推荐利用“十字相乘法”解题，将不同变量巧妙的转化为溶液解题。
方法难点：很多同学会使用十字相乘法，但求出了比例关系，却不知道求得的是什么的比例关系，
无法进行下一步解题。我们通过“浓度=溶质/溶液”可知，求出的为溶液质量之比，那么拓展到所有A=B/C
形式的比例关系，利用十字相乘求出的比例关系一定是C（即分母）之比。
4.4
类浓度问题解析与十字相乘法练习
【例题6】（2019 年河北）:将300 克浓度95%的酒精与若干浓度60%的酒精，混合成浓度75%的酒精，
需要浓度60%的酒精多少克？
A.225
B.240
C.380
D.400
【参考答案】D
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【实战解析】
解法一：十字交叉可得两种酒精的质量之比=（75%-60%）：（95%-75%）=3：4=300 克：
400 克，选择D。
解法二：设60%酒精x 克，根据混合前后溶质不变，列方程
300×95% + 60%x＝（300+x）×75%，解得x＝400 克。选择D。
【例题7】（2019 联考）:某饮料厂生产的A、B 两种饮料均需加入某添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂
4 克，B 饮料每瓶需加3 克，已知370 克该添加剂恰好生产了这两种饮料共计100 瓶，则A、B 两种饮料各
生产了多少瓶？
A.30、70
B.40、60
C.50、50
D.70、30
【参考答案】D
【实战解析】
解法一：平均每瓶添加剂为370÷100=3.7，更靠近4 所以A 的量应该多，选择D
解法二：假设100 瓶都是B 饮料，可得A 饮料有（370-100×3）/（4-3）=70 瓶，选择D
解法三：十字交叉相乘。
A：4
0.7
3.7
B：3
0.3
所以A 数量：B 数量=7:3，选择D
【例题8】（2020 浙江大学生）：王先生花30000 元买入A、B 两只股票若干，两个交易日后，A 股票
上涨8%，B 股票下跌3%。王先生将股票卖出，共盈利1300 元，那么王先生在买入A、B 两只股票时的投资
比例为：
A.5：4
B.4：3
C.3：2
D.2：1
【参考答案】D
【题型分类】
解法一：十字交叉可得买入A、B 两只股票的投资比例=（1300/30000+3%）：
（8%-1300/30000）
=2：1，选D
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解法二：鸡兔同笼，假设30000 元买的都是A 股票，可得B 股票的投资=（30000×8%-1300）
/（8%+3%）=10000 元，A、B 两只股票时的投资比例=（30000-10000）：10000=2：1，选D
【例题9】（2020 山东）：由于改良了种植技术，农场2017 年种植的A 和B 两种作物，产量分别增加
了10%和25%。已知2017 年两种作物总产量增加了18%，问2017 年A 和B 两种作物的产量比为（
）
A.7：8
B.8：7
C.176：175
D.77：100
【参考答案】D
【实战解析】根据增长率=增长量/前期。符合盐水a=b/c，的形式，可求出2016 年的产
量比为7：8，则2017 年的产量之比=7*110%：8*125%=77：100。
PS：注意问题的时间
【例题10】（2018 江苏）：某高校组织省大学生运动会预选赛，报名选手中男女人数之比为4：3，赛
后有91 人入选，其中男女之比为8：5。已知落选选手中男女之比为3：4，则报名选手共有:
A.98 人
B.105 人
C.119 人
D.126 人
【参考答案】C
【实战解析】报名选手由入选选手和落选选手两部分组成，男选手占比＝男选手人数
总人数
，
将男选手占比带入十字式子可求出总人数之比，即：
，
入选选手有13 份，对应91 人，1 份对应91÷13=7 人，则报名选项共有7×(13+4)=119
人。
【例题11】(2016 年联考)：某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数
的30%，且音乐系男女生人数之比为1:3，美术系男女生人数之比为2:3，问音乐系和美术系的总人数之比
为多少？
A.5:2
B.5:1
C.3:1
D.2:1
【参考答案】D
【实战解析】艺术学员由音乐系和美术系组成；男生人数比例=男生/总人数，若将男生比
例带入十字公式，可求出总人数之比：
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音乐系
1/4
10%
30%
美术系
2/5
5%
则音乐系与美术系的总人数之比=10%:5%=2:1.
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5
古老的“牛吃草”与不变的容斥问题
5.1
基础概念与公式
牛吃草问题又称为消长问题（草在长、牛在吃）或牛顿问题，是17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来
的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不
相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随
牛吃的天数不断地变化。
识别：两句并列的已知条件（牛的数量、时间），草每天生长量固定
将牛分成两类，吃掉每日生长草的称之白吃牛，一直在吃原有草的称之干活牛；
第一步：白吃牛＝每日草生长量＝时间×牛数－时间×牛数
时间差
（注意时间大的在前）；
第二步：草场原有草量＝干活牛×时间＝(牛数－白吃牛)×时间；
第三步：问时间，时间＝原有草÷干活牛；问牛数，牛数＝原有草÷时间＋白吃牛
※※※牛吃草问题的花生原创方法：白吃牛、原有草，问中数字少不了。
5.2
牛吃草典型问题解析
【例题1】（2018 浙江事业编）:某工地有一定数量的砖，且每天供应量相等，若每天消耗27 万块砖，
则6 天全部用完，若每天消耗24 万块，则9 天全部用完，若每天消耗20 万块，问工地上的砖可以用多少
天：
A.12
B.15
C.24
D.27
【参考答案】D
【实战解析】
“每天消耗27 万块砖，则6 天全部用完”包括：6 天新增的草＋草场原有的草；
“每天消耗24 万块，则9 天全部用完”包括：9 天新增的＋草场原有的草。
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①白吃牛（每天供应量）=（24×9-27×6）/（9-6）=18 万块，
②原有草（初始砖量）=（27-18）×6=54 万块；
③若每天消耗20 万块，需耗时：54/（20-18）=27 天，千万不要忘记白吃牛，选D
【例题2】（2020 浙江）:火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的
乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3 个窗口，需耗时90 分钟，若开放5 个窗口，
则需耗时45 分钟。问如果开放6 个窗口，需耗时多少分钟:
A.36
B.38
C.40
D.42
【参考答案】A
【实战解析】
①白吃牛（人数增长速度）＝
1
45
90
45
5
90
3
＝
－
－

，
②原有草（开始之前已排队人数）＝干活牛×时间＝（3-1）×90＝180，
③开放6 个窗口，需要耗时180÷（6－1）＝36 。选择A
【例题3】（2019 联考）:某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤
工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用1 台挖沙机300 天可完成清淤工作，使用2 台挖沙机100
天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25 天内完成河道的全部清淤工作，那
么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？
A.4
B.5
C.6
D.7
【参考答案】D
【实战解析】
①白吃牛（每天产生淤沙）＝
5.0
100
300
100
2
300
1
＝
－
－

、
②原有草量（最初有淤沙）（1-0.5）×300＝150 份，
③25 天内完成全部工作需要（150/25）+0.5=6.5、至少需要7 台，选择D
【例题4】（2020 广东）:某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等候领取证书，且每
分钟新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部领到证书，若同时开5 个发证窗口就需要1
个小时，若同时开6 个发证窗口就需要40 分钟。按照每个窗口给每个人发证书需要1 分钟计算，如果想要
在20 分钟内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时开（）个发证窗口。
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A.7
B.8
C.9
D.10
【参考答案】C
【实战解析】
①白吃牛（人数增长速度）＝
3
40
60
40
6
60
5
＝
－
－

，
②原有草（开始之前已排队人数）＝干活牛×时间＝（5-3）×60＝（6-3）×40＝120，
③20 分钟内完成需要的干活牛＝120÷20＝6，加上白吃牛（千万不要忘了白吃牛），一
共需要6+3＝9 个。选择C
5.3
容斥问题基础概念
容斥原理概念及公式
容斥原理：一种计数方式。先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，
然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
※※※容斥问题的花生原创方法：总人数－圈外人数＝圈内总人数＝总人次－重复部分。
列式思路为先全部计数，再将重复部分减去，保证每人被计数一次。
注意：①减多的要加回去；②“参加A 和B”与“只参加A 和B”的区别
5.4
容斥问题题型解析
【例题5】（2019 年河北）:某班参加学科竞赛人数40 人，其中参加数学竞赛的有22 人，参加物理竞
赛的有27 人，参加化学竞赛的有25 人，只参加两科竞赛的有24 人，参加三科竞赛的有多少人？
A.2
B.3
C.5
D.7
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【参考答案】C
【实战解析】
假设参加三科竞赛的有x 人，三者容斥，根据公式：
40=22+27+25-24-2x，解得x=5，选C
【例题6】（2019 新疆）:某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共有
139 人，有42 人报名参加第一场讲座，51 人报名参加第二场讲座，88 人报名参加第三场讲座，三场讲座都
报名的有12 人，只报名参加两场讲座的有30 人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？
A.12
B.14
C.24
D.28
【参考答案】A
【实战解析】
假设三场都没报名的有x 人，三者容斥，
全部人数－圈外人数＝人次之和－重复部分
139－x=42+51+88-30-2×12，x=12，选择A
注：只参加一场＋只参加两场＋参加三场=总人数-不参见的人数
【例题7】（2020 联考）:学校有300 个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣小组或者两个小组同时
参加，如果80%学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学
生人数是多少：
A.240
B.150
C.90
D.60
【参考答案】C
【实战解析】设同时参假地理和生物兴趣小组的学生人数是x，则：
300=80%×300＋50%×300-x，解得x=90，选择C
【例题8】（2020 新疆）:某单位共有240 名员工，其中订阅A 期刊的有125 人，订阅B 期刊的有126
人，订阅C 期刊的有135 人，订阅A、B 期刊的有57 人，订阅A、C 期刊的有73 人，订阅3 种期刊的有31
人，此外，还有17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C 期刊的有多少人：
A.57
B.64
C.69
D.78
【参考答案】B
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【实战解析】可直接带入容斥问题公式，设订阅B、C 期刊的有x 人，125+126+135－57
－73－x+31＝240－17，解得x＝64.订阅B、C 期刊的有64 人，选择B
注意：①减多的要加回去；②“参加A 和B”与“只参加A 和B”的区别。
【例题9】（2019 下半年四川）:某单位乒乓球、羽毛球、篮球三个兴趣小组共有72 人参加。已知同
时参加3 个小组的人数为0，只参加羽毛球小组的人数是只参加乒乓球小组人数的4 倍，只参加篮球小组的
有11 人，同时参加两个小组的人数与只参加1 个小组的人数相同，参加乒乓球小组但未参加篮球小组的人
中有一半参加羽毛球小组。问参加包括篮球在内的两个小组的有：
A.32 人
B.31 人
C.25 人
D.24 人
【参考答案】B
【实战解析】如下图所示，总人数=只参加一个小组×2＝（x+4x+11）×2=72，解得x=5，
参加包括篮球在内的两个小组的＝参加两个小组的人数－既参加乒乓球又参加羽毛球的人数
＝（72/2）-5=31 人，选B
【例题10】（2020 浙江事业编）:从100 人中调查对A、B 两种治理污水方案的意见，结果对A 方案满
意的人数占60%；对B 方案满意的人数比A 方案多6 人；对两个方案都不满意的人数比对两个方案都满意的
人数1/5 多2 人。问对两个方案都不满意的人数有多少：
A.8 人
B.9 人
C.30 人
D.35 人
【参考答案】B
【实战解析】对A 方案满意的人数100×60%=60；对B 方案满意的人数为60＋6=66；
设对两个方案都满意的人数为x，则对两个方案都不满意的人数为（x/5＋2）
根据公式：
60＋66-x=100-（x/5＋2），
解得：x=35
对两个方案都不满的人数为（x/5＋2）=9，选择B。
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【例题11】（2019 山东）:某单位所有员工都参加艺术、科学、人文三类书籍的阅读活动，每名员工
至多阅读2 种书籍，阅读1 种书籍员工人数比阅读2 种书籍的人数多一半，阅读艺术类书籍的人数是阅读
科学类书籍人数的2/3，阅读科学类书籍人数是阅读人文类书籍人数的4/5，问该单位至少有多少人？
A.20
B.25
C.30
D.50
【参考答案】B
【实战解析】阅读艺术、科学、人文的人数之比=8：12：15，总共至少8+12+15=35 人次；
假设阅读2 种的有2x 人、阅读1 种的有3x 人，可得3x+（2x×2）=35，解得x=5，总人数=3x+2x=5
×5=25 人，选B
6
有规律的周期循环与要算准的日期星期
6.1
周期循环与日期星期问题概述
周期循环是指事物的某一特征按照一定规律反复出现，从第一次特征出现开始到结束称之为一个
周期。
行测考试中的周期循环问题，解题实质是“去掉周期循环数余数”。
最小公倍数：两个循环的周期为两者的最小公倍数，例如甲4 天值日一次和乙6 天值日一次，则
两人每12 天共同值日一次。
常见错误：每5 天和每隔5 天（实际为每6 天）的区别。
※※※计算两个日期相差几天的花生原创方法：先粗算，再修正，加上日期差。
6.2
周期循环与日期推断问题解析
【例题1】（2018 浙江事业编）:某单位有男员工15 人，女员工10 人，周一到周日每天晚上安排一名
男员工值班，15 人轮流；周六、周日白天每天安排一名女员工值班，10 人轮流。A 男和B 女恰好分别安排
在7 月5 日值班，若不考虑调休，则下一次两人被安排在同一天值班是：
A.9 月15 日
B.10 月18 日
C.11 月21 日
D.12 月2 日
【参考答案】B
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【实战解析】A 男每15 天值班一次，B 女每（10/2）×7=35 天值班一次，15 和35 的最
小公倍数105，105=30×3＋1＋1＋13，经过105 天后是10 月18 日，选择B
【例题2】（2020 下半年四川）:某支部的每名党员均以5 天为周期，在每个周期的最后1 天内提交1
篇学习心得。某年的1 月1 日是周日，在1 月1 日—5 日的5 天内，支部分别收到2 篇、3 篇、3 篇、1 篇
和1 篇学习心得。问当年前12 周（每周从周日开始计算）内，支部共收到多少篇学习心得：
A.170
B.169
C.120
D.119
【参考答案】B
【实战解析】每5 天收到2+3+3+1+1=10 篇，12 周=84 天。84 天=16 个周期＋4 天，共收
到16×10＋2＋3＋3＋1=169 篇，选择B
【例题3】（2018 浙江）:某工厂员工周一到周五每天工作8 小时，周六工作5 小时，周日休息。小王
某年6 月下旬到该工厂上班，某天下班后算得已到该工厂上班500 小时。如当年7 月1 日是星期六，问小
王到该工厂上班的日期是：
A.6 月21 日
B.6 月22 日
C.6 月23 日
D.6 月24 日
【参考答案】D
【实战解析】该员工每周工作时间＝8×5＋5＝45 小时，500÷45＝11 余5，即该员工一
共工作11 周和一个周六；（余数5 小时，说明在整周之外，还工作了一个5 小时的整天，这
一天只能是周六。）
将该员工工作的这一段时间分为11 周和额外一个周六，如图所示，开始工作时间必然为
星期六；又因7 月1 日为星期六，可推算出6 月24 日为星期六，即当天开始上班。
【例题4】（2019 年河北）:甲、乙、丙三人均每隔一定时间去一次健身房锻炼。甲每隔2 天去一次，
乙每隔4 天去一次，丙每7 天去一次。4 月10 日三人相遇，下一次相遇是哪天？
A.5 月28 日
B.6 月5 日
C.7 月24 日
D.7 月25 日
【参考答案】C
【实战解析】甲每3 天去一次、乙每5 天去一次、丙每7 天去一次，3、5、7 的最小公倍
数是105 天，4 月10 日+105 天=4 月10 日+30×3＋1+14=7 月24 日，选择C
注意：每隔2 天去一次实际上是每三天去一次。
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【例题5】（2019 吉林）:假设本月28 号是星期四，则本月1 号是：
A.星期三
B.星期四
C.星期五
D.星期六
【参考答案】C
【实战解析】每月1 日和29 日星期一致，正好过了4 个周期，所以1 日应该为星期五.
【例题6】(2013 国考)：根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8 月份有22 个工作日，那么
当年的8 月1 日可能是：
A.周一或周三
B.周三或周日
C.周一或周四
D.周四或周日
【参考答案】D
【实战解析】8 月份由4 周和额外3 天组成，其中4 周包含5×4=20 个工作日，即额外3
天中有且只有2 个工作日，这三天只能是456、712 两种情况，8 月1 日可能是周四或周日。
【例题7】(2015 年北京市考):小王在每周的周一和周三值夜班，某月他共值夜班10 次，则下月他第
一次值夜班可能是几号？
A.2
B.3
C.4
D.5
【参考答案】D
【实战解析】某月最多有31 天，即4 周和额外3 天，小王每周值班2 次，当月值班10
次，即额外的3 天里一定要值班2 次，这额外的3 天只能是周一、周二、周三；当月的最后一
天是周三，下个月的第一次周一为5 号。
【例题8】(2014 年江苏省考):某年的3 月份共有5 个星期三,并且第一天不是星期一,最后一天不是星
期五,则该年的3 月15 日是:
A.星期二
B.星期三
C.星期四
D.星期五
【参考答案】A
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【实战解析】3 月份共31 天，31=4×7＋3,4 个整周，余3 天（可以是月初1 号、2 号、3
号三天，也可以是29 号、30 号、31 号三天），四个整周有4 个星期三，余下三天中有一天
是星期三，可能的情况为：
①星期一、星期二、星期三；
②星期二、星期三、星期四；
③星期三、星期四、星期五；
第一天不是星期一，第一种情况不符合；
最后一天是不是星期五，第三种情况不符合；
只能是第二种情况，余下来的三天是星期二、星期三、星期四，
3 月15 日与3 月1 日星期一致（正好过了两周），所以3 月15 日为星期二。选择A
7
熟练掌握可“轻松拿下”的工程问题
7.1
工程问题基础概念
问题介绍：研究工作总量、工作效率、工作时间三者间关系的题型称之为工程问题
核心公式：工作量＝效率×时间
拓展公式：工作总量＝效率和×时间（常用于合作完工问题）
※※※解题思路：已知条件若为工作时间，则可先设最小公倍数为工作总量再求效率；已知条件若
为效率比，则直接当作效率来用；已知条件若为不同安排不同完成情况，可列方程；
若为合作完工问题，可用“工作总量÷效率和”。
※※※注意“剩余工作量”与“新效率”。
7.2
工程问题解析
已知条件为工作时间：
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【例题1】（2018 江苏）:手工制作一批元宵节花灯，甲、乙、丙三位师傅单独做，分别需要40 小时、
48 小时、60 小时完成。如果三位师傅共同制作4 小时后，剩余任务由乙、丙一起完成，则乙在整个花灯制
作过程中所投入的时间是：
A.24 小时
B.25 小时
C.26 小时
D.28 小时
【参考答案】A
【实战解析】
假设总任务量为240（时间最小公倍数），可得效率甲6、乙5、丙4；三人合作4 小时
共完成（6+5+4）×4=60，剩下的任务量乙丙需要（240-60）/（5+4）=20 小时，乙共做了4+20=24
小时，选A
【例题2】（2018 浙江事业编）:有一水池，如果打开甲水龙头注水，需要5 个小时装满水，如果打开
乙水龙头注水，需要8 个小时装满水，如果打开丙水龙头放水，需要6 小时放空水池。现打开甲水龙头一
小时，然后打开乙水龙头，过一小时后再打开丙水龙头，问再过多少小时可以注满水池:
A.3
B.4
C.5
D.6
【参考答案】A
【实战解析】
假设容量为120，（时间最小公倍数），可得效率甲24、乙15、丙-20（放水）；
甲1 小时
甲乙1 小时
甲乙丙T 小时
量
24
39
120-24-39=57
甲乙丙效率=24+15-20=19，时间=57/19=3，答案A。
【例题3】（2020 山东）:甲、乙两个工程队共同完成某项工程需要12 天，其中甲单独完成需要20 天。
现8 月15 日开始施工，由甲工程队先单独做5 天，然后甲、乙两个工程队合作3 天，剩下的由乙工程队单
独完成，问工程完成的日期是:
A.9 月5 日
B.9 月6 日
C.9 月7 日
D.9 月8 日
【参考答案】B
【题型分类】几何问题之几何计算
【实战解析】设甲工程队效率为X，乙工程队效率为Y。则总工程量=12（X+Y）=20X，
解得2X=3Y，假设X=3, Y=2。总工程量=12*5=60。
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或者假设总工程量60（时间最小公倍数），甲效率为3，乙效率为2
前5 天
6-8 天
剩余天数
工效
3
5
2
工程量
15
15
60-30=30
剩余天数=30/2=15 天，工程总天数=15+8=23 天，8 月总共31 天，从8 月15 日开始施工，
则8 月份施工17 天。九月份施工23-17=6 天。
综上，9 月6 日工程完成。
已知条件为效率比：
【例题4】（2020 联考）：某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期投产了A 和B 两条生
产线，A 和B 的工作效率之比为2：3，计划8 天可完成订单生产任务，两天后公司又对这批订单投产了生
产线C，A 和C 的工作效率之比为2：1，问该批口罩订单任务将提前几天完成：
A.1
B.2
C.3
D.4
【参考答案】A
【实战解析】
设A 生产线工作效率为2，即B 生产线工作效率为3，C 生产线工作效率为1。总工程
量=(2+3)*5=40。加入C 生产线后，总共需时间=2+（40-2*10）/(2+3+1)=2+5=7 天，该批口罩
订单任务将提前8-7=1 天。
【例题5】（2021 北京）：农场使用甲、乙两款收割机各1 台收割一片麦田。已知甲的效率比乙高25%，
如安排甲先工作3 小时后乙加入，则再工作18 小时就可以完成收割任务。问如果增加1 台效率比甲高40%
的丙，3 台收割机同时开始工作，完成收割任务的用时在以下哪个范围内：
A.8 小时以内
B.8-10 小时之间
C.10-12 小时之间
D.12 小时以上
【参考答案】C
【实战解析】
设甲工作效率为5，即乙工作效率为4（有效率比直接拿来用，赋值）。则总工程量
=15+162=177。
丙工作效率为7，177/16=11 余1/16，答案为C。
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【例题6】（2021 北京）：甲、乙、丙三条生产线生产某种零件，效率比为3：4：5，甲和乙生产线共
同生产A 订单，完成时甲比乙少生产250 个。乙和丙共同生产B 订单，完成时乙生产了720 个。问A 订单
的零件个数比B 订单：
A.少不到100 个
B.少100 个以上
C.多不到100 个
D.多100 个以上
【参考答案】D
【实战解析】
甲、乙、丙效率比为3：4：5；
甲、乙效率比为3：4，则甲、乙工作量比为3：4，甲比乙少生产一份=250 个，则A=7 份
=1750
乙、丙效率比为4：5，则乙、丙工作量比为4：5，4 份=720，一份=180，则B=9 份=1620
A 订单的零件个数比B 订单多=1750-1620=130 大于100，答案D
【例题7】（2019 国考）：有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2 天的工作量与甲、丙共同工作1 天
的工作量相同。A 工程如由甲、乙组共同工作3 天，再由乙、丙组共同工作7 天，正好完成。如果三组共同
完成，需要整7 天。B 工程如丙组单独完成正好需要10 天，问如由甲、乙组共同完成，需要多少天？
A.不到6 天
B.6 天多
C.7 天多
D.超过8 天
【参考答案】C
【题型分类】工程问题
【实战解析】根据公式：工作量=效率×工作率，工作量与效率成正比。即
丙
甲
乙
V
V
V


2
，
）
（
）
（
丙
乙
甲
丙
乙
乙
甲
V
V
V
V
V
V
V






7
7
)
(
3
，解得
甲
乙
V
V
4
3

，
乙
丙
V
V
5
4

；则B 工程量
=10
丙
V =12.5
乙
V ，甲、乙的效率=
甲
V +
乙
V =1.075
乙
V 。
综上，甲、乙组共同完成，需要=12.5V乙/1.75V乙≈7.1 天。
【例题8】（2019 山东）：A、B 两台高性能计算机共同运行30 小时可以完成某个计算任务，如两台计
算机共同运行18 小时后，A、B 计算机分别抽调出20%和50%的计算资源去执行其他任务，最后任务完成的
已知条件为不同安排不同完全情况：
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时间会比预计时间晚6 小时，如两台计算机共同运行18 小时后，由B 计算机单独运行，还需要多少小时才
能完成该任务？
A.22
B.24
C.27
D.30
【参考答案】C
【实战解析】
在18 小时之后才发生改变，前18 小时不影响结果。
则12A＋12B=18（0.8A+0.5B）（工作量相等）；解得：4A=5B，赋值：A=5,B=4；
则12×9/4=27，答案C
【例题9】（2021 江苏）：某机关甲、乙、丙三个部门参加植树造林活动，各部门植树的数量相同。
甲部门花10 天完成任务后，支援乙、丙两个部门各2 天，最终乙部门植树12 天完成，丙部门15 天完成。
若丙部门每天植树的数量比乙部门少4 棵，则甲部门每天植树的数量是：
A.30 棵
B.40 棵
C.50 棵
D.60 棵
【参考答案】A
【实战解析】
设乙部门每天植树x 棵，12x=15×（x-4），解得x=20；
乙植树总数为12×20=240 棵，
设甲部门每天植树y 棵，10y=2y＋240，解得y=30，甲部门每天植树30 棵。选择A.
【例题10】（2021 江苏）：某企业有甲、乙两个口罩生产车间，每天工作8 小时，共生产口罩3 万只，
若每天甲、乙两个车间分别加班两小时和三小时，则可多生产口罩一万只，若每天甲、乙两个车间分别加
班三小时和两小时，则两个车间生产62 万只口罩，所需的时间为：
A.14 天
B.15 天
C.16 天
D.17 天
【参考答案】C
【实战解析】
假设甲车间每小时生产x 万只，乙车间每小时生产y 万只，则
8（x＋y）=3
。。。。。。①
若每天甲、乙两个车间分别加班两小时和三小时，则可多生产口罩一万只，则
2x＋3y=1
。。。。。。②
解得：x=1/8，y=1/4
62÷（1/8 ×11 ＋1/4×10）=16 天。选择C.
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合作完工（注意休息时工作情况）：
【例题11】（2018 浙江）：某蛋糕店接到300 个蛋糕的订单。已知老板一天能做30 个蛋糕，店员小
红一天只能做10 个。蛋糕制作过程中，老板有一个周末外出，小红请了8 天假，两人在外时间不重叠。问
制作这批蛋糕一共花了多少天？
A.11
B.12
C.13
D.14
【参考答案】A
【实战解析】“两人在外时间不重叠”意味着一人休息另一人必然工作，则在两人各自
休息时间共完成工作=2*10+8*30=260 个；
则剩余工作时间=剩余工作量/效率和=(300-260)/(30+10)=1 天，则一共需要11 天。
【例题12】(2017 年国考)：某商铺甲乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组
单独制作需要10 小时，乙组单独制作需要15 小时，现两组一起做，期间乙组休息了1 小时40 分，完成时
甲组比乙组多做300 朵。问这批花有多少朵？
A.600
B.900
C.1350
D.1500
【参考答案】B
【实战解析】
已知条件给的是时间，设最小公倍数30 为工作总量，则甲、乙的效率分别为30÷10＝3、
30÷15＝2；
“乙休息”意味着“甲单独工作”，甲单独可以完成5/3×3＝5，剩余的工作量为25，甲
乙合作所需时间为25÷(3+2)＝5 小时；
剩余工作中，甲完成了3×5＝15 份工作，乙完成了10 份工作，则所有工作甲、乙分别完
成20 份、10 份；甲乙工作量之差＝20 份－10 份＝10 份，对应300 朵，则全部工作为30 份＝
3*300＝900 朵。
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PS:工程问题常考难点之休息时间：题中给出的是某一人休息的时间，但一人休息意味着另一
人工作，先算出一人单独工作量，剩余工作即两人合作。
【例题13】(2011 年国考)：甲、乙、丙三个工程队的效率比为6：5：4，现将A、B 两项工作量相同的
工程交给这三个工程队，甲队负责A 工程，乙队负责B 工程，丙队参与A 工程若干天后转而参与B 工程。
两项工程同时开工，耗时16 天同时结束，问丙队在A 工程中参与施工多少天：
A.6
B.7
C.8
D.9
【参考答案】A
【实战解析】设甲的效率是6、乙是5、丙是4，甲乙丙三人同时开工同时结束，讲A、B
工程看做一个整体，相当于三个人共同完成A、B 这个整体。工作总量=16×（6＋5＋4）=240.
A 工程工作量为240÷2=120。
甲16 天完成的工作量为16×6=96，剩余120-96=24。
丙在A 工程工作的天数为24÷4=6 天，选择A。
【例题14】(2012 年北京市考)：某市有甲、乙、丙三个工程队，工作效率比为3:4:5。甲队单独完成
A 工程需要25 天，丙队单独完成B 工程需要9 天。现由甲队负责B 工程，乙队负责A 工程，而丙队先帮甲
队工作若干天后转去帮助乙队工作。如希望两个工程同时开工同时竣工，则丙队要帮乙队工作多少天：
A.6
B.7
C.8
D.9
【参考答案】B
【实战解析】设甲的效率为3、乙为4、丙为5,则
A 工程工作量=3×25=75
B 工程工作量=5×9=45
三只队伍同时开工，同时结束，相当于三个队伍合作完成了A、B 项目这个整体，工作时
间=（75＋45）÷（5＋4＋3）=10 天。
乙队负责A 工程，乙对在A 工程中工作量=4×10=40.
丙帮乙的工作量=75-40=35，丙帮乙对工作的时间=35÷5=7 天。选择B
特殊考法之周期＋工程问题：
【例题15】（2019 辽宁）：在一块草场上老李养了若干头牛和若干只羊。如果只有羊吃草，够吃16
天；如果第一天牛吃，第二天羊吃，这样交替，正好整数天吃完；如果第一天羊吃，第二天牛吃，这样交
替，那么比上次轮流的做法多吃半天；牛单独吃能够吃________天。
A.8
B.7
C.6
D.5
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【参考答案】A
【实战解析】两种循环方式如下所示，
第一种：牛、羊、牛、羊......、牛；
第二种：羊、牛、羊、牛、......、羊、牛半天；
第一种总天数必为奇数，对比可得牛=羊+0.5 牛、牛=2 羊，牛单独吃能够吃16/2=8 天，
选A
【例题16】（2019 新疆）：一批药品需要检测，若第一天由甲检测，第二天由乙检测，按此方式交替
完成的天数为整数。若第一天由乙检测，第二天由甲检测，按此轮替，那么在按前者轮流方式完工的天数
后，还有56 个药品未检测。已知甲、乙工作效率之比为9:5。问甲每天检测多少个药品？
A.72
B.99
C.112
D.126
【参考答案】D
【实战解析】
若是完整周期，甲乙做的工作总量应不变。
若第一天由甲检测，
甲、乙、甲、乙……，若干个周期后甲再做一天完成；
若第一天由乙检测，
乙、甲、乙、甲……，若干个周期后乙再做一天、还剩下56 个；
对比可得甲比乙每天多做56 个，甲、乙工作效率之比为9：5，相差4 份对应56 个、甲
效率9 份对应126 个，选D
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8
容易找到等式关系的利润问题
8.1
利润问题基础概述
利润问题是人们在经济生活中经常会遇到的问题，它主要考查进价（成本）、售价、利润之间的关
系以及折扣、利润率等相关概念。
核心公式：售价=成本(即进价)+利润
拓展公式：总成本/总利润/总销售金额=单个成本/单个利润/单个售价×数量
特有名词：
①折扣，指实际售价为原定价的几成，三折即原定价的30%。可以看出，折扣和成本无关，和原定价
有关（友情提醒，遇到打折商品要冷静）。需要注意，折扣率指的是折扣为原定价的几成，与折扣正相反，
若打三折，则折扣率为70%。
②利润率，指的是利润占成本的比例，若成本为100，利润为30，则利润率为30%。
推荐解题方法：
首选方程法，利润问题公式繁多，考法多样，但其中的等式关系也非常容易找到，不建议其他方法，
直接列方程最直观易懂。
时机合适也可用赋值法，若已知条件和所求问题均以比例形式出现，未给出具体数值，我们就可以把
成本或售价假设成容易计算的特殊值。
8.2
增长率相关利润问题
【例题1】（2019 联考）:小张用10 万元购买某只股票1000 股，在亏损20%时，又增持该只股票1000
股。一段时间后，小张将该只股票全部卖出，不考虑交易成本，获利2 万元。那么，这只股票在小张第二
次买入到卖出期间涨了多少?
A.0%
B.20%
C.25%
D.30%
【参考答案】C
【实战解析】
最初每股100000/1000=100 元，亏损20%时每股80 元，
卖出时每股（100000 + 80×1000 + 20000）/2000 = 100 元，
第二次买入到卖出期间涨了（100-80）/80=25%，选择C
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【例题2】（2019 重庆公检法）:某医院内科，今年门诊人数比上一年增加了30%，平均每位患者的门
诊花费比上一年下降了20%，若上一年该医院内科门诊收入为3000 万元，那么今年的门诊收入大约是多少
万元？
A.2600
B.2880
C.3120
D.3640
【参考答案】C
【实战解析】根据公式收入＝人均花费×人数，利用乘积增长率公式：Ra＝Rb+Rc+Rb×Rc，
今年门诊收入比去年提高＝30%＋（-20%）+30%×（-20%）＝4%，今年收入＝3000×（1+4%）
＝3120。选择C
【例题3】（2019 联考）:某楼盘的地下停车位，第一次开盘时平均价格为15 万元/个；第二次开盘时，
车位的销售量增加了一倍、销售额增加了60%。那么，第二次开盘的车位平均价格为：
A.10 万元/个
B.11 万元/个
C.12 万元/个
D.13 万元/个
【参考答案】C
【实战解析】
解法一：两次的销售量之比=1：2、销售额之比=1：（1＋60%）=5：8，可得单价之比=（1
5 ）：
（2
8 ）=5：4=15 万元/个：12 万元/个，选择C
解法二：设第一次销量为1.
单价
销量
销售额
第一次
15
1
15
第二次
2
15×（1+60%）＝24
第二次单价＝24÷2＝12。选择C
解法三：根据平均数增长率
单价=销售额÷销量
单价增长率=
૟૙%−૚૙૙%
૚+૚૙૙%
= （—20%）
第二次开盘的平均单价=15×（1—20%）=12 万元/个
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【例题4】（2019 联考）：2016 年某电子产品定价为n 元/台，2017 年由于技术升级成本降低，定价
降低10%，每台产品利润提升10%，2017 年全年销售这种产品的总利润较2016 年增加了21%。那么，2017
年的销量比2016 年：
A.提高了不到20%
B.提高了20%或以上
C.降低了不到20%
D.降低了20%或以上
【参考答案】A
【实战解析】
①赋值法：
总利润=销售量×单利润
单利润
销售量
总利润
2016
1
1
1
2017
1.1
1.21
2017 年销量为1.21÷1.1=1.1，比2016 年增长（1.1-1）÷1=10%。选择A
②（新公式秒杀）:根据公式总利润=销售量×单利润，利用公式
c
b
c
b
a
R
R
R
R
R




：
21%=10%＋x＋10%×x。解得x=10%。答案为A。
8.3
基础利润问题解析
【例题5】（2018 浙江事业编）：商店以每双15 元的价格购进一批拖鞋，售价为18 元，卖到还剩8
双时，除去购进这批拖鞋的全部成本外获利120 元，问商场共购进拖鞋多少双:
A.80
B.86
C.88
D.90
【参考答案】C
【实战解析】
解法一：
收入=陈本＋利润
18×（x-8）=15x＋120
解得：x=88。
解法二：
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全部卖完后，总利润=120+（18×8）=264 元，
每件的利润为18-15=3 元，
总数量=264/3=88 双，选择C
【例题6】（2018 江苏）：一款手机按2000 元单价销售，利润为售价的25%。若重新定价，将利润降
至新售价的20%，则新售价是：
A.1900 元
B.1875 元
C.1840 元
D.1835 元
【参考答案】B
【实战解析】设新售价为x，根据：利润＝售价－成本。可列方程：20%x＝x－
2000*(1-25%)，解得x＝1875.选择B
【例题7】（2021 北京）：一种设备打九折出售，销售12 件与原价出售销售10 件时获利相同。已知
这种设备的进价为50 元/件，其他成本为10 元/件。问如打八折出售，1 万元最多可以买多少件：
A.80
B.83
C.86
D.90
【参考答案】B
【实战解析】
设售价为x 元，
（0.9x-60）×12=（x-60）×10
解得：x=150
打八折0.8x=120
10000÷120≈83+，所以1 万元最多可以买83 件。选择B
【例题8】（2020 江苏）：某企业预计今年营业收入增长15%，营业支出增长10%，营业利润增加600
万元。已知该企业去年的营业利润为1000 万元，则其今年的预计营业支出是：
A.9000 万元
B.9900 万元
C.10800 万元
D.11500 万元
【参考答案】B
【实战解析】
解法一：
设去年营业支出为X，则今年为（1+10%）X。去年营业收入为Y，则今年营业收入为（1+15%）
Y。根据利润＝收入－支出，可列方程
①Y－X＝1000；
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②（1+15%）Y－（1+10%）X＝1000+600；
解得X＝9000，Y＝10000，
则其今年的预计营业支出为（1+10%）X＝＝1.1×900＝9900，选择B
解法二：秒杀：去年营业支出：今年营业支出为1：（1＋10%）=10:11。所以今年的营业
支出应该是11的倍数。
【例题9】（2020 北京）：某商品成本为200 元，售价为292 元，公司根据市场情况调整了销售方案，
将售价调整为268 元，预计日销量将上涨15%。现欲通过改进生产线降低成本，以保持降价前的单日利润，
则单件产品的生产成本至少需要降低：
A. 4%
B.5%
C. 6%
D.8%
【参考答案】C
【实战解析】
原来每件利润=292-200=92元；
原来和现在的日销量之比=100：115=20：23、
单件利润之比=23：20=92元：80元，
现在每件成本=268-80=188元、比原来降低了（200-188）/200=6%，选择C。
【例题10】（2020 江苏）：某网店零售月季花，每束成本39 元、售价99 元，月销量800 束。现推出
团购活动，购买10 束及以上，每束售价59 元，预计零售销量减半，团购销量激增。若使原销售利润不减，
则月团购销量至少应是：
A.800 束
B.1000 束
C.1200 束
D.1500 束
【参考答案】C
【实战解析】
零售时，每束利润（99-39）=60 元，销量800 束，总利润60×800。
团购时，零售部分销量减半，利润变为60×400，
设团购为X 束，每束单价59-39=20，
根据利润不减，则60×400+20X≥60×800。
解X≥1200。答案选C。
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【例题11】（2021 山东）：某种商品第一天原价销售，第二天开始每天的销售价格比上一天下降原价
的10%。在最后一天前，每天的销量比上一天提高100%。最后一天的销量与第三天相同。总共6 天全部卖
完。如果这种商品的成本为原价的60%，问销售这种商品的总利润是总成本的：
A.不到10%
B.10%-20%之间
C.20%-30%之间
D.30%以上
【参考答案】B
【实战解析】假设原价10 元、第一天销量为1 件，
天数
1
2
3
4
5
6
单价
10
9
8
7
6
5
数量
1
2
4
8
16
4
可得6 天的总收入=10×1+9×2+8×4+7×8+6×16+5×4=232 元.
总成本=10×60%×（1+2+4+8+16+4）=210 元，
（232-210）÷210=22/210≈10.5%，选择B
8.4
分批销售利润问题解析
分批销售利润问题因两次（或三次）销售的售价、折扣、数量等均不相同，难度稍大，但无论售价、
折扣、数量如何变化，最终都会形成一个总的销售收入，我们只要抓住销售收入做文章，那么此类问题必
然迎刃而解。
分批销售问题常用方程：第一部分销售收入+第二部分销售收入=总销售收入
特别提示：问什么设什么，以免求解正确答案选错。
收入=成本×（1＋利润率）×折扣
【例题12】（2017 联考）:商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫500 件，并以每件120 元的价格
销售了400 件，要达到盈利45%的预期目标，剩下的衬衫最多可以降价：
A.15 元
B.16 元
C.18 元
D.20 元
【参考答案】D
【实战解析】假设剩下的衬衫可降价X 元，可根据“各部分收入和=总收入”列方程：
120*400+(120-X)*100=80*500*1.45，解得X=20.
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【例题13】（2018 国考）:甲商店购入400 件同款夏装。7 月以进价的1.6 倍出售，共售出200 件；8
月以进价的1.3 倍出售，共售出100 件；9 月以进价的0.7 倍将剩余的100 件全部售出，总共获利15000 元。
问这批夏装的单件进价为多少元？
A.125
B.144
C.100
D.120
【参考答案】A
【实战解析】设这批夏装单件进价为x 元，根据“收入”可列方程：1.6x×200＋1.3x
×100＋0.7x×100＝400x＋15000，解得x＝125.
【例题14】(2014 年山东省考)：服装店买进一批童装，按每套获利50%定价卖出这批童装的80%后，
按定价的八折将剩下的童装全部卖出，总利润比预期减少了390，问服装店买进这批童装总共花了的多少元：
A.5500
B.6000
C.6500
D.7000
【参考答案】C
【实战解析】假设服装店购进这批童装花费x 元，根据“收入相等”列方程：80%×x×
1.5＋20%×x×1.5×0.8＝1.5x－390，解得x＝6500.
【例题15】（2018 浙江事业编）:商场以120 元/套的价格购进了N 套某款服装，又以135 元/套的价
格购进了2N 套，商场以定价售完1.5N 套后，以定价的七折又销售了N 套，最后以定价四折售完剩余所有
服装，利润总计为330N 元。问最初定价是多少元：
A.200
B.240
C.280
D.300
【参考答案】D
【实战解析】
设定价为x 元，根据“收入”可列方程：1.5N×x＋N×0.7x＋0.5N×0.4x=330N＋120×N
＋135×2N。解得x=300 元。选择D
【例题16】（2018 山东）:商店购入一批某种水果，如按定价销售，每千克盈利23 元。销售总量的5/9
后，每千克降价8 元卖出剩余部分，销售这批水果共盈利2275 元。问按原定售价卖出了多少千克水果？
A.60
B.65
C.75
D.80
【参考答案】B
【实战解析】总盈利=单个商品利润×销售量，假设按原定价销售了5x 千克，则降价销
售了4x 千克，根据利润可列方程：23×5x＋(23－8)×4x＝2275，解得x＝13，则按原定售价
卖出了5×13＝65 千克水果。
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9
既烧脑又能套公式的最值问题
9.1
最不利极限题概述
问题介绍：最不利极限题离不开“抽屉原理”，但我们只需会运用此原理，而不需深入研究“抽屉原
理”的定义。
常见问法：至少有多少小球才能保证每盒中有5 个？
解题思路：运用“最不利思维”，列举出“最不利情形”，“加1”即可。
常见错误：忘记“小抽屉”。
9.2
最不利极限题真题解析
【例题1】（2017 辽宁）：某高校举办一次读书会共有37 位同学报名参加，其中中文、历史、哲学专
业各有10 位同学报名参加此次读书会，另外还有4 位化学专业学生和3 位物理专业学生也报名参加此次读
书会，那么一次至少选出多少位学生，能保证选出的学生中至少有5 位学生是同一专业的。
A.17
B.20
C.19
D.39
【参考答案】B
【实战解析】可直接代入最不利极限题公式，需要人数＝4＋3＋4×3＋1＝20 人。选择B
【例题2】（2019 重庆公检法）：某地区招聘卫生人才，共接到600 份不同求职者的简历，其中临床、
口腔、公共卫生和护理专业分别有200 人、160 人、140 人和100 人。问至少有多少人被录用，才能保证一
定有140 名被录用的人专业相同？
A.141
B.240
C.379
D.518
【参考答案】D
【实战解析】根据最不利原则，四个专业分别取139、139、139、100 人，此时再取一人
必然满足题意，139×3+100+1、尾数8，选择D。
【例题3】（2018 浙江事业编）：某放映行有80 名观众观看电影，已知有5 名未成年人，观众年龄最
大的69 岁，问至少有多少名观众有同龄人:
A.23
B.24
C.25
D.26
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【参考答案】B
【实战解析】成年人：80-5=75 人；先给18～69 岁各分一人、共分了69-18+1=52 人；假
设剩下的75-52=23 人都是18 岁，此时18 岁的有24 人，这24 人都有同龄人，选择B
【例题4】（2018 浙江事业编）：某职工餐厅有主食3 种，热菜4 种，凉菜3 种，若每个职工均打1
种主食、1 种热菜和1 种凉菜，问至少有多少个职工在餐厅用餐，就会有2 人的用餐组合是一样的：
A.36
B.37
C.72
D.73
【参考答案】B
【实战解析】
职工用餐情况有3×4×3=36 种，
每种组合先分一个人，若再增加一个人必然满足题意，
36×1+1=37 人，选择B
【例题5】（2018 山东）：甲、乙、丙和丁四个依次相邻的农场分别饲养76 头、82 头、45 头和93 头
牛，位置如下图所示（虚线位置为栅栏）。现由于两处栅栏损坏，有3 个农场的牛混在一起。问最多需要
分辨多少头牛，就一定能将所有牛还回原本的农场？
A.219
B.220
C.250
D.251
【参考答案】A
【实战解析】由“两处栅栏损坏，有3 个农场的牛混在一起”可知，未损坏的栅栏可能是
甲乙之间或丙丁之间，又由于想求的是混在一起的牛最多，则未损坏的栅栏为甲乙之间；
乙丙丁一共混在一起82＋45＋93＝220 头牛，最后一头不需分辨，即最多有219 头牛需分
辨。
PS：只有最后一头无需分辨，直接送到还缺少牛的农场，其余的牛都需要分辨。
【例题6】（2020 浙江）：有6 把钥匙和6 把锁一一对应。问最多需要尝试开锁多少次能把所有的钥
匙和锁对应上：
A.6
B.12
C.15
D.21
【参考答案】C
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【实战解析】
编号
1
2
3
4
5
6
对应次数
5
4
3
2
1
0
共计：5+4+3+2+1+0=15。选择C
9.3
和定最值极限题概述与解析
问题介绍：和定最值，顾名思义，在和为定值的情况下求某一元素的极限情况。
解题思路：因为和为一定，某元素要尽量大，则其他元素在符合题意的情况下尽量小；某元素要尽量
小，则其他元素在符合题意的情况下尽量大。
※※※和定最值问题的花生原创方法：X＋(X＋1) ＋(X＋2) ＋......＝已知的和。
方程具体列法如下：设所求为X，除确定大小的元素外，其他元素均用X 表示，列方程即可。方程左侧
为各元素相加，右侧为总和。
常见错误：最后取整时马虎，误以为“各元素数量各不相同”。
【例题7】（2020 联考）：从某物流园区开出6 辆货车，这6 辆货车的平均装货量为62 吨。已知每辆
货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71 吨，最轻的装载了54 吨。问这6 辆货车中装货第三重
的卡车最少要装多少吨：
A.59
B.60
C.61
D.62
【参考答案】B
【实战解析】第三重的卡车最少，则其他要尽量多。设第三重的为x。则
1
2
3
4
5
6
71
70
x
x-1
x-2
54
71＋70＋x＋x-1＋x-2＋54=62×6
解得：x=60。选择B
【例题8】（2017 江苏）：在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分120 分。按得
分排名，前5 名的平均分为115 分，且得分是互不相同的整数，则第三名得分至少是：
A.112 分
B.113 分
C.115 分
D.116 分
【参考答案】B
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【实战解析】假设第三名得分为X ，则其他人得分尽量高，可列方程：
120+119+X+X-1+X-2=115*5，解得X=113.选择B
【例题9】（2021 上海）：有一座13.2 万人口的城市，需要划分为11 个投票区，任何一个区的人口
不得超过其他区人口的10%，那么人口最少的地区可能有多少人：
A.9800
B.10500
C.10700
D.11000
【参考答案】D
【实战解析】最少的地区人口最少，则其他地区要尽量多。设最少的为x 人，则
1.1x×10＋x=13.2
x=1.1 万人
选择D。
注意：没有说各元素各不相同
【例题10】（2018 国考）：某新能源汽车企业计划在A、B、C、D 四个城市建设72 个充电站，其中在
B 市建设的充电站数量占总数的1/3，在C 市建设的充电站数量比A 市多6 个，在D 市建设的充电站数量少
于其他任一城市。问至少要在C 市建设多少个充电站？
A.20
B.18
C.22
D.21
【参考答案】D
【实战解析】根据B 市充电站占总数的1/3 可知，B 市有充电站72×1
3
＝24 个；设C 市充
电站最少有x，则A 市充电站有x－6，则A、B、C 三市中A 市充电站数量最少；
若想要C 市充电站尽量少，其他市充电站数量需要尽量多，D 市充电站最多有X－6－1＝X
－7，根据和定最值公式，可得：X－6＋24＋X＋X－7＝72，解得x≈20.3，20.3 为最小值，所
以取整得21。
【例题11】（2021 年国考）：某地10 户贫困农户共申请扶贫小额信贷25 万元。已知每人申请金额都
是1000 元的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2 倍，且任意2 户农户的申
请金额都不相同。问申请金额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？
A.1.5
B.1.6
C.1.7
D.1.8
【参考答案】B
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【实战解析】假设最低的申请金额为x 万元，要让申请金额最低的农户最少，则其他用
户尽量多，最多为2x，且任意2 户申请金额不相同。则
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2x
2x－0.1
2x－0.2
2x－0.3
2x－0.4
2x－0.5
2x－0.6
2x－0.7
2x－0.8
x
可得19x-3.6=25，解得x≈1.51、至少取1.6，选择B
9.4
函数最值题概述与解析
函数最值问题的常用解题方法：
一是对于y＝ax
2＋bx＋c，当x＝- b
2a
时，y 取最值，a＞0，y 取最小值，a＜0，y 取最大值；
二是利用均值定理解题，a＋b 为定值，当a＝b 时ab 最大；
【例题12】（2017 辽宁）：某商业银行的总利润P 与贷款数量Q 之间的函数关系为：P=10000+400Q-Q
2。
当贷款数量为( )万元时，总利润最大。
A.100
B.150
C.200
D.250
【参考答案】C
【实战解析】当Q＝－b
2a
＝－
400
2×(-1)
＝200 时，函数取得最大值，即总利润最大。
【例题13】（2018 联考）：某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4 元出售，可卖出20 万株，
若苗木单价每提高0.4 元，就会少卖10000 株。问在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元？
A.60
B.80
C.90
D.100
【参考答案】C
【实战解析】假设最大收入为Y，单价提高0.4X，销量即减少X 万元，可列等式：
Y=(4+0.4X)(20-X)=80+4X-0.4X^2，则最值在X=-b/2a=4/0.4*2=5 时取得，此时Y=6*15=90.
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【例题14】（2013 广东）：一厂家生产销售某新型节能产品。产品生产成本是168 元，销售定价为238
元。一位买家向该厂家预订了120 件产品，并提出如果产品售价每降低2 元，就多订购8 件。则该厂家在
这笔交易中能获得的最大利润是（
）元。
A.17920
B.13920
C.10000
D.8400
【参考答案】C
【实战解析】设实际利润为238-168-2n＝70-2n，则购买数量为120＋8n，总利润＝
(70-2n)×(120＋8n)＝16×(35-n)×(15＋n)，当35-n＝15＋n 时，总利润最大，解得n＝10，
最大利润为50×200＝10000 元。
【例题15】（2020 江苏）：某商品的进货单价为80 元，销售单价为100 元，每天可售出120 件。已
知销售单价每降低1 元，每天可多售出20 件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金
额是：
A.5 元
B.6 元
C.7 元
D.8 元
【参考答案】C
【实战解析】最大利润= 单个利润×销量。单个利润= 100 - 80 = 20，
设降了n次，最大利润= （20 - n ×1）×（120 + 20×n），n1 = 20，n2 = -6，
当
7
2
20
6




n
时，取得最大利润，销售单价应降低7元。选择C。
【例题16】（2019 重庆公检法）：某网站销售10 个不同档次的衬衣，其中最高档的每年销售500 件，
每件利润为300 元。往下每降低1 个档次，每年销量增加1000 件，每件利润降低30 元。问年总利润最高
的3 个档次的衬衣，全年销量之和为多少万件？
A.1.05
B.1.50
C.1.65
D.1.80
【参考答案】C
【实战解析】假设降低x 个档次、每年销量增加1000x、每件利润降低30x，
总利润=（500+1000x）（300-30x），
当x1=-0.5、x2=10 时，总利润为0，
当x=（10-0.5）/2=4.75 时取得最大值、距离最近的三个点是4、5、6，
总利润最高的3 个档次全年销量之和=（500+1000×4）+（500+1000×5）+（500+1000×
6）=16500 件，选择C
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10
“逢考必有”的排列组合与概率
10.1
排列组合问题基础概念
组合的定义和基础公式：
从n 个不同元素中，取m 个，所有的情况数可记为ܥ݊݉；
计算公式为：ܥ݊݉=ܥ݊݊−݉=݊
!݊
−݉
!݉
! =݊݊
−1݊
−2 …(݊−݉
+1)݉݉
−1݉
−2 ….2×1 ；
例如，从五人中选三人出席活动，所有情况= ܥ5
3 = ܥ5
2 =5×4/2×1=10；
“ ܥ5
3= ܥ5
2”可以理解为“五人中选三人剩两人”与“五人中选两人剩三人”的情况数相同。
排列的定义和基础公式：
从n 个不同元素中，取m 个进行排序，所有的情况数可记为ܣ݊݉；
计算公式为：ܣ݊݉
=ܲ݊݉
=݊
!݊
−݉
! =݊݊
−1݊
−2 …(n −m + 1)；
例如，从五人中选三人站排，所有情况= ܣ5
3 =ܲ
5
3 =5×4×3=60；
加法原理（分类计算）：
如果完成一件任务，有3 种方法选择，第一种方法有3 种人员选择，第二种方法有2 种人员选择，第
三种方法有2 种人员选择，那完成该任务即有3+2+2=7 种选择。
关键问题：确定工作的分类方法，完成该工作不需要使用所有方法，选一即可。
乘法原理（分步计算）：
如果完成一件任务，有3 个步骤，第一个步骤有3 种人员选择，第二个步骤有2 种人员选择，第三个
步骤有2 种人员选择，那完成该任务即有3×2×2=12 种选择。
关键问题：确定工作的完成步骤，完成该工作需要做完所有步骤，缺一不可。
解题原则：有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手，全部减不符（※至少、
否定都是提示语）。
上述六句可以理解为先看是否有顺序，来确定是A 或C，再看是分类还是分步，分类即各情况相加，分
步即各步骤相乘，最后从有特殊要求的人或事入手考虑，需要注意的是，有时候正面思考情况非常复杂，
我们可以采用逆向思维，用全部情况减去不符合题意的情况，往往比较简单。
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10.2
基础排列组合问题解析
【例题1】（2020 北京）：某家电维修公司的职工每人每天最多完成5 次修理任务。维修工小张上个
月工作了20 天，总计完成修理任务98 次。则他上个月每天完成的修理任务次数有多少种不同的可能？
A.190
B.210
C.380
D.400
【参考答案】B
【实战解析】
每天最多完成5 次，20 天最多可能完成100 次，现在是98 次。
98=20×5-2，缺少的2 次，可以是20 天当中的1 天。有C（20，1）=20 种；
98=20×5-1-1，缺少的2 次，可以分两天，每天少1 次。有C（20，2）=190 种；
共20+190=210 种，选B
【例题2】（2019 辽宁）：某农科院准备挑选2 男2 女4 名科技人员分别去市郊的甲乙丙丁4 个乡参
加科技支农工作，在报名的人员中有3 男4 女符合要求，在4 名女性中有1 位是农科院的副院长，考虑到
工作的具体需要，这名副院长不去甲乡，且去丁乡的是女性。符合条件的选法有________种。
A.198
B.216
C.378
D.432
【参考答案】A
【实战解析】
方法一：
分情况讨论：
①副院长不去，还剩3 男3 女
从3 男中选择2 个，C（3,2）=3；从3 女种选择2 人，C（3,2）=3；
丁乡为女性，从选出的2 女中选择1 人去丁，C（2,1）=2，剩余3 人全排列A（3,3）=6，
共3×3×2×6=108 种情况
②副院长去，从3 男中选择2 个，C（3,2）=3；从剩余3 女中选择1 人，C（3,1）=3；
副院长去丁，剩余3 人没要求，全排列A（3,3）=6
另一位女性去丁，副院长只能去乙丙中的一个，C（2,1）=2，剩余2 男没要求，A（2,2）
=2，
共有3×3×（6＋2×2）=90 种
两种情况共有108＋90=198 种。选择A
方法二：
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先不考虑副院长，丁有4 种、甲乙丙有C（3，2）×C（3，1）×A（3，3）=54 种，共4
×54=216 种；其中副院长去甲乡的情况有3×A（3，2）=18 种，符合该条件的选法有216-18=198
种，选A
【例题3】（2019 新疆）：某单位有两个对口扶贫地，每月需安排10 人到两地参与扶贫工作，要求每
个对口扶贫地区至少要有4 人参与工作。问共有多少种不相同的分配方案？
A.210
B.252
C.420
D.672
【参考答案】D
【实战解析】第一个地区可以分4 人、5 人、6 人，共有C（10，4）+C（10，5）+C（10，
6）=210+252+210=672 种，选择D
【例题4】（2020 北京）：某单位随机安排张、王、刘、李、陈5 名职工去甲、乙、丙三个地方开展
调研。要求甲、乙两地各去2 人，且张、王两人不能同组，刘、陈二人必须同组，则共有多少种不同的安
排方式？
A.4
B.6
C.12
D.24
【参考答案】A
【实战解析】
张王其中一人和李同组，有2 种；
两个二人组对应到甲乙、有2 种，
共2×2=4 种，选择A
【例题5】（2020 广东）：某单位的两个部门计划订阅报纸。每个部门需要在指定的5 种报纸中选择
其中的3 种，且这两个部门在选择时应做好沟通，做到5 种报纸都有部门订阅，则订阅报纸的方案共有（）
种。
A.20
B.30
C.60
D.100
【参考答案】B
【实战解析】让俩个部门分别为甲、乙，甲部门先选，5 种报纸中选3 种，有
3
5
C =10 种；
乙部门肯定有1 种和甲重复，有
1
3
C ×
2
2
C =3 种；共10×3=30 种，选择B
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【例题6】（2021 国考）：某商场开展“助农销售”活动，凡购买某种农产品满300 元者可获得一个
礼盒，其中装有6 种干货中的随机3 种各1 小袋，以及1 袋小米或红豆。问内容不完全相同的礼盒共有多
少种可能？
A.50
B.45
C.40
D.30
【参考答案】C
【实战解析】6 种干货中里选3 种，有
3
6
C 种情况、小米和红豆里选1 种，有
1
2
C 种情况，
共
1
2
3
6
C
C 
=20×2=40 种，选C
【例题7】（2020 浙江事业编）：某社团举办网球循环赛，每两人都要进行一场比赛，比赛场次为91
场。若将男女成员分开进行，男生所需比赛场次为28 场，则该社团男生比女生：
A.多2 人
B.少2 人
C.多3 人
D.少3 人
【参考答案】A
【实战解析】假设总共有n 人、男生有m 人，可得C（n，2）=91、C（m，2）=28，解得
n=14、m=8，女生人数=14-8=6 人，男生比女生多8-6=2 人，选A
【例题8】（2019 联考）：某企业从10 名高级管理人员中选出3 人参加国际会议。在10 名高级管理
人员中，有一线生产经验的有6 人，有研发经验的有5 人，另有2 人既无一线生产经验也无研发经验。如
果要求选出的人中，具备一线生产经验的人和具备研发经验的人都必须有，问有多少种不同的选择方式？
A.96
B.100
C.106
D.112
【参考答案】C
【实战解析】
从反面入手。没有一线生产经验的有10-6=4 人、没有研发经验的有10-5=5 人；
满足题意的情况数=总情况数-没有一线生产经验-没有研发经验+两种经验都没有
=
3
10
C -
3
4
C -
3
5
C +0=120-4-10+0=106 种，选择C
【例题9】（2019 国考）：某单位要求职工参加20 课时线上教育课程，其中政治理论10 课时，专业
技能10 课时。可供选择的政治理论课共8 门，每门2 课时；可供选择的专业技能课共10 门，其中2 课时
的有5 门，1 课时的有5 门。问可选择的课程组合共有多少种？
A.5656
B.5600
C.1848
D.616
【参考答案】A
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【实战解析】
政治理论需要选五门，有C（8，5）=56 种。
专业技能课时数：
2+2+2+2+2 的情况有1 种；
2+2+2+2+1+1 的情况有C（5，4）×C（5，2）=50 种；
2+2+2+1+1+1+1 的情况有C（5，3）×C（5，4）=50 种；
总情况数有56×（1+50+50）=5656 种，选择A
【例题10】（2019 年河北）：小赵从家出发去单位上班要经过多条街道（如图），假如他只能向西或
向南行走，则他上班有多少种不同的走法？
A.6
B.24
C.32
D.35
【参考答案】D
【实战解析】从家到单位，需要往南走三步、往西走四步、共七步，从七步里选出3 步
往南走即可，C（7，3）=35 种，选D
10.3
概率问题概述
概率是对随机事件发生的可能性的度量，它是概率论的基本概念。概率越接近1，越可能发生，越接近
0，越不可能发生。如某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这些都是概
率的实例。
概率公式：P=符合要求的情况数/所有可能的情况数
解题思路：行测考试中的概率通常和排列组合一起考察，考察的本质还是排列组合，概率只是最后的
附加步骤。概率的分子分母均需要通过排列组合计算情况数，一般我们可以先找到所有情况的排列组合情
况数做分母，再根据题意求得分子，两者相除即为概率。
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排列组合的花生六句箴言在概率问题中依然有效，分步计算时将各步骤概率相乘，分类完成时将各情
况概率相加，“全部减不符”在概率问题中依然常用和有效。
几何概型（了解即可）：在某些时候，情况数均为无穷多个，我们无法通过计数的办法来计算情况数，
可以使用区域面积或长度来计算概率。
公式为：P(A)=构成事件A 的区域长度(面积或体积)/试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)。
举例说明：—十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30 秒、绿灯亮25 秒，黄灯亮5 秒。当你抬头看信
号灯时，是绿灯的概率为多少？
解题思路：抬头看信号灯时，可能是第1 秒、第5.1 秒、第8.15 秒……，无法计数，我们可以将每分
钟的时长看成长度为60，绿灯亮的长度为25，则P=25/60。
一般行测考试中，几何概型的概率题非常容易，了解此类思维即可。
10.4
概率常考题型解析
【例题11】（2019 黑龙江）：小陈上班要经过3 个交通路口，在每个交通路口遇到红灯的概率分别为
30%、40%、50%，则他上班最多遇到1 个红灯的概率为：
A.35%
B.56%
C.65%
D.79%
【参考答案】C
【实战解析】
第一个是红灯、后两个都不是红灯，概率＝30%×（1-40%）×（1-50%）=9%；
第一个不是红灯、第二个红灯，第三个不是红灯，概率＝（1－30%）×40%×（1-50%）
＝14%；
第一个不是红灯，第二个不是红灯。第三个红灯，概率＝（1－30%）×（1-40%）×50%
＝21%；
三个路口都不遇见红灯，概率＝（1－30%）×（1-40%）×（1-50%）＝21%；
最多遇到1 个红灯的概率=9% + 14% + 21% + 21% ＝65%，选择C
【例题12】（2019 吉林）：抽奖箱子里剩下8 张奖券，其中5 张有奖，3 张无奖，小王有两次抽奖机
会，他不放回地依次抽取两张奖券，则这两张奖券中一张有奖一张无奖的概率是：
A.15/56
B.25/64
C.15/32
D.15/28
【参考答案】D
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【实战解析】总情况数有8×7=56 种，满足题意的情况数有5×3×2=30 种，概率
=30/56=15/28，选D
【例题13】（2019 联考）：某公交站附近区域停放A 型共享单车4 辆，B 型单车5 辆，C 型单车6 辆，
一公交车到站后下车的乘客随机选择其中13 辆单车骑走，问B 型和C 型全部被骑走的概率在以下哪个范围
内？
A.在10%以下
B.在10%—15%之间
C.在15%—20%之间
D.在20%以上
【参考答案】A
【实战解析】总计15 辆车，从中选择13 辆，C（15,13）=C（15,2）=105。
B 型和C 型全部被骑走的情况C（4,2）×C（5，5）×C（5,5）=6.
B 型和C 型全部被骑走的概率为6/105=＜6%。选择A
【例题14】（2020 北京）：某单位的一个科室从10 名职工中随机挑选2 人去听报告，要求女职工人
数不得少于1 人。已知该科室女职工比男职工多2 人，小张和小刘都是该科室的女性职工，则她们同时被
选上的概率在以下哪个范围内？
A. 3%到5%之间
B.小于2%
C.2%到3%之间
D.大于5%
【参考答案】C
【实战解析】
解法一：该科室女职工6 人、男职工4 人
总体情况：分情况讨论：
可以1 男1 女，则C（4,1）×C（6,1）=24
2 女，C（6,2）=15
整体共有39 种情况，符合题目要求的只有1 种，同时入选的概率为1/39≈2.6%，选择C。
解法二：
该科室女职工6 人、男职工4 人，总情况数有C（10 2）-C（4 2）=39 人，小张和小刘
同时被选上的概率=1/39≈2.6%，选C
【例题15】（2020 江苏）：小张下班回家乘地铁18:45 之前到家的概率为0.8，乘公交为0.7。已知
小张下班回家要么乘地铁，要么乘公交，且选择乘地铁的概率为0.6，则他下班回家18:45 之前到家的概率
是：
A.0.73
B.0.74
C.0.75
D.0.76
【参考答案】D
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【实战解析】
分情况讨论：
①小张选择乘地铁的概率为0.6，乘地铁18:45之前到家的概率为0.8，则选择乘地铁且
18:45之前到家的概率为0.6×0.8＝0.48；
②选择乘公交的概率为0.4，乘公交18:45之前到家的概率为0.7，则选择乘地铁且18:45
之前到家的概率为0.4×0.7＝0.28。
则他下班回家18:45之前到家的概率为0.48 + 0.28 ＝0.76.选择D
【例题16】（2021 山东）：将15 名实习生名额随机分配给12 个部门，每个部门至少分配1 人。问有
部门获取的数额是3 的概率是有部门获取的名额是4 的概率的多少倍:
A.5.5
B.6
C.11
D.1
【参考答案】C
【实战解析】先给每个部门分一个，还剩下3个元素。
有部门数是3的倍数的，可以按照2,1分配。A（12,2）/整体情况。
有部门数是4的倍数的，可以按照3,0分配。A（12,1）/整体情况。
有部门获取的数额是3的概率是有部门获取的名额是4的概率的（A（12,2）/整体情况）
÷（A（12,1）/整体情况）=11倍，选择C
【例题17】（2020 山东）：在ATM 机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡，老李忘了
银行卡密码的末两位数，只记得是两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两个不同奇数，能在吞卡
前猜中正确密码的概率是:
A.
3
20
B.
1
5
C.
1
9
D.
2
9
【参考答案】A
【实战解析】奇数为1、3、5、7、9。共5 个，整体情况A（5,2）=20。共有3 次机会，
所以在吞卡前猜中正确密码的概率为3/20。选择A。
PS：类似于抽签、抽奖
【例题18】(2015 年联考)：某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有80%的概率
赢乙选手，那么这场单打比赛甲有多大的概率战胜乙选手：
A.0.768
B.0.800
C.0.896
D.0.924
【参考答案】C
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【实战解析】甲战胜乙的比分情况有两种，分别是2:0、2:1，每种概率分别如下：
2:0
甲两局均获胜
0.8*0.8=0.64
2:1
甲获胜两局，乙获胜一局且获胜
的一局在前两局（否则比分为2:0）
C21*0.2*0.8^2=0.256
PS：C21 表示在前两局中选出乙的
胜场
则甲战胜乙的概率=两种情况概率和=0.896。选择C。
【例题19】（2020 国考）：销售员小刘为客户准备了A、B、C 三个方案。已知客户接受方案A 的概率
为40%。如果接受方案A，则接受方案B 的概率为60%，反之为30%。客户如果A 或B 方案都不接受，则接
受C 方案的概率为90%，反之为10%。问将3 个方案按照客户接受概率从高到低排列，以下正确的是：
A.A＞B＞C
B.A＞C＞B
C.B＞C＞A
D.C＞B＞A
【参考答案】D
【实战解析】
①接受方案A 的概率为40%；
②接受方案B 的概率,分2 种情况:
1.接受A 且接受B：40%×60%=24%，
2.不接受A 且接受B：60%×30%=18%，
接受方案B 的概率=24%+18%=42%；
③接受方案C 的概率分2 种情况：
1.不接受A 方案也不接受B 方案且接受C 方案：（1-40%）×（1-30%）×90%=42%×
90%=37.8%，
2.接受A 方案或B 方案且接受C 方案：（1-42%）×10%=5.8%，
接受方案C 的概率=37.8%+5.8%=43.6%；
综上，接受概率从高到低为C＞B＞A
PS：此题很难
【例题20】（2020 江苏）：某单位要抽调若干人员下乡扶贫，小王、小李、小张都报了名，但因工作
需要，若选小李或小张，就不能选小王。已知三人入选的概率都是0.2，但小李、小张同时入选的概率是
0.1，则三人中有人入选的概率是：
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A.0.3
B.0.4
C.0.5
D.0.6
【参考答案】C
【实战解析】“若选小李或小张，就不能选小王”，王与李、张不能同时入选。即选择
王，则不能选择李或张，选择李或张，则一定不能选王。本题可转化为容斥问题。
根据容斥原理，
小李单独入选的概率为0.2－0.1 ＝0.1；
小张单独入选的概率为0.2－0.1 ＝0.1；
小李和小张同时入选概率为0.1
小王入选的概率为0.2
三人中有人入选的概率为0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.2 ＝0.5.选择C
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10.5
排列组合（概率）的八种特殊情形
花生老师特别提示：方法只需记忆，识别问题才是根本！
一、相邻问题：
相邻问题可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，
同时要注意合并元素内部也必须排列。
相邻问题需要注意两点：总元素数量改变、内部排序
【例题21】（2019 下半年四川）：某场科技论坛有5G、人工智能、区块链、大数据和云计算5 个主题，
每个主题有2 位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，问共有多少种不同的发言次序？
A.120
B.240
C.1200
D.3840
【参考答案】D
【实战解析】相邻问题用捆绑法，先五个主题排序
5
5
A ＝120 种，每个主题内部捆绑、有
2
5=32 种，共32×120=3840 种，选D
【例题22】（2020 新疆）：某美术馆计划展出12 幅不同的画，其中有3 幅油画、4 幅国画、5 幅水彩
画，排成一行陈列，要求同一种类的画必须连在一起，并且油画不放在两端，问有多少种不同的陈列方式：
A.不到1 万种
B.1 万—2 万种之间
C.2 万—3 万种之间
D.超过3 万种
【参考答案】D
【实战解析】“同一种类的画必须连在一起”，可知，本题属于特殊情境的相邻问题，
可采用捆绑法，将每种画捆绑成一个元素，整体变为3 个元素。“油画不放在两端”，油画
放在中间，其他两种画有
2
2
A 种排列方式，再分别考虑每种画内部排序，即
5
5
4
4
3
3
2
2
A
A
A
A



＝2
×6×24×120＝34560。选择D。
【例题23】(2016 年国考)为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3 个部门分别派
出3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下
哪个范围之内？
A.小于1000
B.1000-5000
C.5001-20000
D.大于20000
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【参考答案】B
【实战解析】由“每个部门参赛选手必须相连”可知，本题属于特殊情境的相邻问题，可
采用捆绑法，将每个部门捆绑成一个元素，先将3 个部门排序，再分别对3 个部门内部排序，
即A33×A33×A22×A44＝1728。
二、不相邻问题：
不相邻使用插空法，先将没有位置要求的元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙
或两端位置。
【例题24】（2020 联考）：某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、考
试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习
顺序的选择有：
A.24 种
B.72 种
C.96 种
D.120 种
【参考答案】B
【实战解析】收藏分享、论坛交流、考试答题三个部分先排列有A（3，3）=6 种，然后
观看视频、阅读文章插空有A（4，2）=12 种，共6×12=72 种，选B
【例题25】（2018 浙江事业编）：某地组织9 名政协委员负责调研农民工子弟小学教学情况。调研结
束合影前有3 名委员因紧急工作已经离开，学校决定安排3 名小学生代表与委员一起坐在前排。现要求每
位小学生的两边都坐着政协委员，一共有多少种不同的方式：
A.7200
B.29600
C.43200
D.362880
【参考答案】C
【实战解析】6 名委员排列有A（6，6）=720 种、中间有五个空，三名学生插空有A（5，
3）=60 种，共720×60=43200 种，选C
【例题26】（2018 广东）：某条道路一侧共有20 盏路灯。为了节约用电，计划只打开其中的10 盏。
但为了不影响行路安全，要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有（
）种开灯方案。
A.2
B.6
C.11
D.13
【参考答案】C
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【实战解析】关闭的路灯不能相邻，属特殊情境中的不相邻问题，可用插空法解题；10
盏打开的路灯有11 个空，选出10 个空位安置关闭的路灯，即共有C(11,10)=C(11,1)=11 种开
灯方案。
【例题27】（2017 联考）：某兴趣组有男女生各5 名，他们都准备了表演节目。现在需要选出4 名学
生各自表演1 个节目，这4 人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生连续表演节目。那么，不同的节
目安排有多少种？
A.3600
B.3000
C.2400
D.1200
【参考答案】C
【实战解析】根据“不能由男生连续表演节目”可知，本题属于排列组合特殊情境中的不
相邻问题，可采用插空法。满足“既要有男生、又要有女生”的情况如下：
3 女1 男
因为只有一个男生，不存在男生
连续表演节目的情况存在，选出
表演同学后直接全排列即可
ܥ5
3 × ܥ5
1 × ܣ4
4=1200
PS：ܥ5
3、ܥ5
1分别代表选出女同学、男同
学
2 女2 男
可先将没有位置要求的女生排
好，再用插空法为男生找位置
ܥ5
2 × ܣ2
2 × ܥ5
2 × ܣ3
2=1200
PS：两个ܥ5
2分别代表选出女同学、男同
学
1 女3 男
必然存在男生连续表演节目的
情况，排除
则一共有2400 种节目安排方式。
【例题28】(2015 黑龙江)：小区内空着一排相邻的8 个车位，现有4 辆车随机停进车位，恰好没有连
续空位的停车方式共有多少种？
A.48
B.120
C.360
D.1440
【参考答案】B
【实战解析】根据“恰好没有连续空位”可知，本题属于特殊情境的不相邻问题，可采用插
空法；
可先将没有位置要求的4 个停了车的车位排序，即A44，再将剩余的4 个空位插入5 个空中，
即C54，则没有连续空位的停车方式共有A44×C54＝120 种。
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三、定序问题（没有顺序=顺序一定）：
先全排列，再除掉定序元素的全排列(由于这几个元素的顺序已经确定，全排列时对这些元素的排列就
不需要了；或者这几个元素一样，无需排列)。
花生提示：定序问题与不相邻问题在某些情况下容易混淆，一定要区分是顺序一定还是不能相邻。
【例题29】(2008 年国考)：一张节目表上原有3 个节目，如果保持这3 个节目的相对顺序不变，再添
进去2 个新节目，有多少种安排方法：
A.20
B.12
C.6
D.4
【参考答案】A
【实战解析】先将所有节目排列A（5,5）。去除掉顺序：A（5,5）÷A（3,3）=20。
【例题30】（2020 国家）：扶贫干部某日需要走访村内6 个贫困户甲、乙、丙、丁、戊和己。已知甲
和乙的走访次序要相邻，丙要在丁之前走访，戊要在丙之前走访，己只能在第一个或最后一个走访。问走
访顺序有多少种不同的安排方式？
A.24
B.16
C.48
D.32
【参考答案】B
【实战解析】己有C（2,1）=2 种，甲乙先捆绑有A（2,2）=2 种，剩余4 种元素有A（4,4）
÷A（3,3）=4 种，共2×2×4=16 种，选择B
四、相同元素分配问题（元素不同不可使用）：
利用插板法，解决相同元素分配问题。
插板法思路如下：假设将10 个相同小球分给3 个人（每人至少一个），10 个小球排好后会有9 个间隔，
因每人至少分得1 个小球，所以2 个隔板不能插进同1 个间隔，即将2 个隔板无顺序的插入9 个间隔里的
任意2 个，2 个隔板能将小球分成3 份，即共有ܥ9
2=36 种分配方法。
插板法使用的完美条件：一是元素相同，二是每份至少分得一个元素；
【例题31】（2014 河南）：将7 个大小相同的桔子分给4 个小朋友，要求每个小朋友至少得到1 个桔
子，一共有几种分配方法？
A.14
B.18
C.20
D.22
【参考答案】C
【实战解析】由“桔子大小相同”可知，本题属于特殊情境中的相同元素分配；可采用插
板法，7 个桔子有6 个空，分给4 个小朋友需插3 个板，即共有C63＝20 种分配方法。
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【例题32】(2015 年黑龙江省考)：某单位共有10 个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名
额，若有36 种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？
A.7
B.8
C.9
D.10
【参考答案】B
【实战解析】本题属于特殊情境的相同元素分配，可采用插板法且符合插板法的使用条
件；
假设该单位最多有n 个科室，则ܥ9
n−1＝36，依次带入选项可知n＝8，即该单位最多有8
个科室。
PS：需要注意的是，有n 个科室，需插n-1 个板；算出C97=36 后，需要7+1=8。
【例题33】（2020 联考）：某城市一条道路上有4 个十字路口，每个十字路口至少有1 名交通协管员，
现将8 个协管员名额分配到这4 个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：
A.35 种
B.70 种
C.96 种
D.114 种
【参考答案】A
【实战解析】本题属于特殊情境的相同元素分配，可采用插板法且符合插板法的使用条
件；8 个名额分给4 个路口、每个路口至少分到一个名额，插板法有C（7，3）=35 种，选择
A。
【例题34】(2013 年陕西省考)：某领导要把20 项任务分给三个下属，每个下属至少分得三项任务，
则共有多少种不同的分配方式：
A.28
B.36
C.54
D.78
【参考答案】D
【实战解析】本题属于特殊情境中的相同元素分配，可采用插板法，但目前题目要求不符
合插板法的使用条件，需要构造；“每个下属至少分得三项任务”，可先分给每人两项任务，
总元素变成20－3×2＝14，此时每个下属还需至少分得一任务，符合插板法使用要求，13 个
空隙中插2 个板，则一共有C(13,2)＝78 种不同的分配方式。
【例题35】（2014 广州）：某办公室接到15 份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处
理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3 份，也不得多于10 份，则共有（
）种分配方式。
A.15
B.18
C.21
D.28
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【参考答案】D
【实战解析】每人不得少于3 份任务，即使将剩余的15-3*3=6 份任务分给同一人，其任
务数为3+6=9 份，不会超过10 份；
先给每名工作人员分配2 份任务，还剩余15-2*3=9 份任务，此时每人至少再分得一个，
属于特殊情境中的相同元素分配问题且满足“插板法”的使用条件，一共有C（8,2）=28 种分
配方式。
五、平均分堆问题：
平均分成的组，容易人为的加入一个顺序，但实际是不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组
后需注意要除以ܣ݊݊(n 为均分的组数)避免重复计数。
若为后续有顺序的平均分堆，可以直接两步合并为一步。
【例题36】（2015 四川）：将10 名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？
A.120
B.126
C.240
D.252
【参考答案】B
【实战解析】“平均分成两组”，属于特殊情境中的平均分堆问题，即一共有C(10,5)
A22
＝
126 种分法。
【例题37】（2017 江苏）：甲、乙、丙三个单位各派2 名志愿者参加公益活动，现将这6 人随机分成
3 组，每组2 人，则每组成员均来自不同单位的概率是：
A.
1
3
B.
5
12
C.
1
4
D.
8
15
【参考答案】D
【实战解析】全部的情况：6 人随机分成3 组，属于特殊情境中的平均分堆问题，共有
C62×C42
A33
＝15 种；符合要求的情况：假设三个单位派出的志愿者分别为甲1、甲2、乙1、乙
2、丙1、丙2，先为甲1 挑选搭档，共有4 种选择，再为甲2 挑选搭档，共有2 种选择，剩余
的两人凑成第3 组，即共有4×2＝8 种情况；
PS：先为甲1 挑选搭档，有乙1、乙2、丙1、丙2 四种选择；
甲1 挑选之后，为甲2 挑选搭档，此时甲2 挑选的搭档不能与甲1 的搭档来自同一单位，
甲2 只能从另外单位的2 人中挑选1 人（例如甲1 挑选了乙1，甲2 只能在丙1、丙2 中挑选
1 人），否则剩余2 人来自于同一单位（例如，甲1 挑选了乙1，甲2 挑选了乙2，剩余的丙1、
丙2 来自同一单位）。
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综上，每组成员均来自不同单位的概率＝8
15
.
【例题38】（2017 联考）：某公司销售部拟派3 名销售主管和6 名销售人员前往3 座城市进行市场调
研，每座城市派销售主管1 名，销售人员2 名。那么，不同的人员派遣方案有：
A.540 种
B.1080 种
C.1620 种
D.3240 种
【参考答案】A
【实战解析】甲城市先选1 名主管和2 名销售、有C（3 1）×C（6 2）=45 种；乙城市
再选1 名主管和2 名销售、有C（2 1）×C（4 2）=12 种；最后剩下的3 人去丙城市即可；
共45×12=540 种，选A
【例题39】（2018 浙江）：某班共有8 名战士，现在从中挑出4 人平均分成两个战斗小组分别参加射
击和格斗考核，问共有多少种不同的方案？
A.210
B.420
C.630
D.840
【参考答案】B
【实战解析】后续有顺序要求的平均分堆问题，可两步合并；先挑选参加射击考核的2
名战士（C82），再挑选参加格斗考核的2 名战士（C62），即一共有C82×C62＝420 种不同方
案。
六、错位排序(了解、记忆即可)：
递归类型的排列组合相对复杂，行测题目不会考察太深，我们只需记住“一、二、三、四、五、六个
元素错位排序，各有0、1、2、9、44、265 种情形”即可。
【例题40】（2014 北京）：相邻的4 个车位中停放了4 辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这
4 个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？
A.9
B.12
C.14
D.16
【参考答案】A
【实战解析】由“要求所有车不得停在原来的车位”可知，本题属于特殊情境中的错位排
序问题，4 个元素的错位排序共有9 种情况，即一共有9 种不同的停放方式。
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【例题41】（2015 山东）：某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每
个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？
A.120
B.78
C.44
D.24
【参考答案】C
【实战解析】“5 个科室各抽调一名工作人员交流到其他科室”，即5 人均不回到原科室，
属于特殊情境的错位排序；5 个元素的错位排序有44 种可能。
【例题42】（2017 上海）元宵节时某单位工会组织猜灯谜活动，需要在标号1、2、3、4 四个灯笼上
贴上四道不同难度的谜语，1 号灯笼对应难度最低的灯谜，2、3、4 号灯笼对应灯谜的难度依次递增。工作
人员安排了一位志愿者帮忙贴灯谜，但由于匆忙忘记告诉志愿者灯谜的难度，那么灯谜位置全部贴错的概
率是：
A.
3
8
B.
5
12
C.
1
3
D.
1
24
【参考答案】A
【实战解析】本题属于特殊情境中的错位排序，一共有A44＝24 种排法，4 个元素的错位
排序对应9,则全排错的概率＝9
24
＝3
8
.
【例题43】(2017 年国考)：某集团企业5 个分公司分别派出1 人去集团总部参加培训。培训后再将5
人随机分配到这5 个分公司，每个分公司只分配1 人。问5 个参加培训的人中，有且仅有1 人在培训后返
回原分公司的概率？
A.低于20%
B.在20%-30%之间
C.在30%-35%之间
D.大于35%
【参考答案】D
【实战解析】全部的情况：5 个人回到5 个不同的公司，即A55；符合要求的情况：先选
出返回原分公司的1 人(C51)，“剩余4 人均未回到原分公司”属于特殊情境的错位排序，4
个元素的错位排序，共有9 种情况；则有且仅有1 人返回原公司的概率＝C51×9
A55
＝37.5%，答
案为D。
七、环形排列问题(了解、记忆即可)：
环形排列与线性排列不同，n 个不同元素做环形排列，共有(n-1)!种排法。
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【例题44】(2012 年国考)：有5 对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10 个座位的圆桌就餐，但
是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5 对夫妇恰好都被安排在一起相邻而
坐的概率是多少：
A.在1‰到5‰之间
B.在5‰到1%之间
C.超过1%
D.不超过1‰
【参考答案】A
【实战解析】全部的情况：10 人的环形排列，即A99；符合要求的情况：“5 对夫妇在圆
桌上各自相邻而坐”，符合特殊情境中的相邻问题和环形排列，可先使用捆绑法，将5 对夫妇
看做为5 个元素，5 个元素的环形排列为A44，之后再将每对夫妇进行排序，即A22×A22×A22
×A22×A22；
综上，5 对夫妇恰好都被安排一起的概率＝A44×A22×A22×A22×A22×A22
A99
≈2.1‰。
八、重复排列问题：
n 个不同元素，可重复的取m 次，共有n^m 种情形。
【例题45】（2019 联考）：某小学组织6 个年级的学生外出参观包括A 科技馆在内的6 个科技馆，每
个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择A 科技馆的方案有：
A.1800 种
B.18750 种
C.3800 种
D.9375 种
【参考答案】D
【实战解析】先选择两个年级去A 科技馆、有C（6 2）=15 种，剩下四个年级都有5 种
选择，共15×5×5×5×5、尾数5，选择D
【例题46】（2017 天津）：有4 个不同的信箱，有5 封不同的信件欲投其中，则不同的投法有：
A.5 种
B.1024 种
C.40 种
D.625 种
【参考答案】B
【实战解析】本题属于特殊情境中的重复排列问题，5 封信中的每封信都有4 种选择且互
不干扰，即4
5＝1024 种不同的投法。
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10.6
两人同组概率解析
两人同组概率问题，无需关注第一人，第一人无论在哪，只需第二人与第一人在一组即可。
【例题47】（2018 联考）：某单位工会组织桥牌比赛，共有8 人报名，随机组成4 队，每队2 人。那
么，小王和小李恰好被分在同一队的概率是：
A.
1
7
B.
1
14
C.
1
21
D.
1
28
【参考答案】A
【实战解析】随机组成4 队，每队2 人，属于平均分堆；小王、小李在一队的情况：剩下
6 人随机组成3 队，即C62C42/A33；全部的情况：随机组成四队，即C82C62C42/A44；
则P=C62C42/A33/C82C62C42/A44=1/7.
【考场秒杀】2 人一队，小王的队友有7 种可能，小李是其中1 种，P=1/7，可秒选。
【例题48】（2021 江苏）：某次圆桌会议共设8 个座位，有4 个部门参加，每个部门2 人，排座位时，
要求同一部门的两人相邻，若小李和小王代表不同部门参加会议，则他们座位相邻的概率是：
A.
1
48
B.
1
24
C.
1
12
D.
1
6
【参考答案】D
【实战解析】
解法一：
总得情况数有2
4 ×ܣ3
3=96 种。
满足题目的情况数小李在小王的左边或右边，有2 种情况，其他两个部门有22×ܣ2
2=8 种
概率=（2×8）÷96=1/6。选择D.
解法二：秒杀计
小李必须和同部门的人相邻，另一个与小李相邻的人有6 种可能，是小王的概率为1/6，
选择D.
【例题49】(2015 年国考)：某单位有3 项业务招标，共有5 家公司前来投标，且每家公司都对3 项业
务发出了投标申请，最终发现每项业务都有且只有1 家公司中标。如5 家公司在各项业务中中标的概率均
相等，问这3 项业务由同一家公司中标的概率为多少：
A.
1
25
B.
1
81
C.
1
125
D.
1
243
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【参考答案】A
【实战解析】全部的情况：每项业务有5 种选择，一共有C51*C51*C51=125 种情况；符合
要求的情况：第一项业务从5 家公司中选择1 家，即C51，后两项业务均由第一项中标公司继
续中标，只有1 种选择，即一共有C51=5 种情况；
综上，3 项业务由同一家公司中标的概率为5
125
＝1
25
.
【例题50】（2019 联考）：某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝火四周。其中，小张
与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为：
A.
2
97
B.
2
98
C.
2
99
D.
2
100
【参考答案】C
【实战解析】小张的左侧和右侧共有99×98 种情况，其中没有小李的有98×97 种情况；
满足题意的概率=1-[（98×97）/（99×98）]=2/99，选择C
【例题51】（2018 国考）：某单位的会议室有5 排共40 个座位，每排座位数相同。小张和小李随机
入座，则他们坐在同一排的概率：
A.不高于15%
B.高于15%但低于20%
C.正好为20%
D.高于20%
【参考答案】B
【实战解析】全部的情况：小张小李无要求的、有顺序的挑选座位(A40,2)；符合要求的
情况：小张小李若想坐在同一排，需先选择一排(C51)、再各自有顺序的挑选座位(A82)；
综上，两人坐在同一排的概率＝C51×A82
A(40,2)
＝7
39
≈18%，答案为B.
【例题52】（2019 国考）：小张和小王在同一个学校读研究生，每天早上从宿舍到学校有6:40、7:00、
7:20 和7:40 发车的4 班校车。某星期周一到周三，小张和小王都坐班车去学校，且每个人在3 天中乘坐的
班车发车时间都不同。问这3 天小张和小王每天都乘坐同一趟班车的概率在：
A.3%以下
B.3%-4%之间
C.4%-5%之间
D.5%以上
【参考答案】C
【实战解析】
解法一：
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每个人三天选择的班次为ۯ૝
૜
整体情况为：ۯ૝
૜×ۯ૝
૜
两人每天都乘坐同一班车的情况，即第一个人选择好之后，另一个人选择与第一个人一
样的方式，共有ۯ૝
૜×1
这3 天小张和小王每天都乘坐同一趟班车的概率为
ۯ૝
૜×૚
ۯ૝
૜×ۯ૝
૜=
૚
૛૝
解法二：
第一天小王有4 种选择，小张和小王做一班车只能有1 种，概率为1/4
第二天小王有3 种选择，小张和小王做一班车只能有1 种，概率为1/3
第三天小王有2 种选择，小张和小王做一班车只能有1 种，概率为1/2
这3 天小张和小王每天都乘坐同一趟班车的概率为
૚
૝×
૚
૜×
૚
૛=
૚
૛૝＞4%
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数量随堂笔记第七章（2021.07.24&07.25）
—— 小学奥数之特殊情景应用题
11
小学奥数之特殊情景应用题
11.1
鸡兔同笼问题概述及应用
题型特点：已知条件中包括“单只腿数”和“总腿数”
常见考查题型：工资报酬、考试对错题得分
解题思路：假设都做对或都赚到，理想情况与现实情况的差值/单个差值=做错数量
【例题1】（2019 浙江事业编）：某赛事实行积分赛制，获胜积5 分，打平积2 分，失败扣1 分。已知
小辉在20 场积分赛后积61 分且有3 场比赛打平，那么小辉的胜率为：
A.48%
B.55%
C.60%
D.75%
【参考答案】C
【题型分类】鸡兔同笼问题
【实战解析】
抛出打平：3 场打平=6 分，剩下17 场，积55 分。
带入鸡兔问题公式即可：负场＝
17×5−55
5+1
＝5 枚。胜场=20-3-5=12。胜率=12/20=60%。
【例题2】（2017 浙江）:小明负责将某农场的鸡蛋运送到小卖部。按照规定，每送达1 枚完整无损的
鸡蛋，可得运费0.1 元；若有鸡蛋破损，不仅得不到该枚鸡蛋的运费，每破损一枚鸡蛋还要赔偿0.4 元。小
明10 月份共运送鸡蛋25000 枚，获得运费2480 元。那么，在运送过程中，鸡蛋破损了：
A.20 枚
B.30 枚
C.40 枚
D.50 枚
【参考答案】C
【题型分类】鸡兔同笼问题
【实战解析】
带入鸡兔问题公式即可：鸡蛋破损数＝25000×0.1－2480
0.1＋0.4
＝40 枚。
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【例题3】（2020 新疆）:某地居民生活使用天然气每月标准立方数的基本价格为4 元/立方，若每月使
用天然气超过标准立方数，超出部分按其基本价格的80%收费。某用户2 月份使用天然气100 立方，共交天
然气费380 元，则该市每月使用天然气标准立方数为多少立方：
A.60
B.65
C.70
D.75
【参考答案】D
【题型分类】鸡兔同笼问题
【实战解析】
鸡兔同笼：带入鸡兔同笼公式即可：假设100 立方全部按照基本价格，超出部分＝
25
%
80
4
4
380
400
＝
－
－

，则标准立方数为100－25＝75.
11.2
盈亏问题概述及应用
问题介绍：盈亏问题早在我国古代数学名著《九章算术》中的第六章——盈不足章节中就曾记载：盈就
是有余，亏就是不足的意思。
把一定数量的物体分给若干个对象，按某种标准分，结果刚好分完，或多余(盈)，或不足(亏)，再按另
一种标准分，又出现分完、多余或不足的结果，根据每次的结果来求物体以及分配对象的数量的问题，就称
为盈亏问题。
解题公式：一盈一余型：对象数=盈亏数和/分配标准差。
常见考查题型：人做车、人住店。
【例题4】（2019 联考）:林先生要将从故乡带回的一包泥土分成小包装送给占其朋友总数30%的老年
朋友。在分包过程中发现，如果每包200 克，则少500 克；如果每包150 克，则多250 克。那么，林先生的
朋友共有多少人?
A.15
B.30
C.50
D.100
【参考答案】C
【题型分类】盈亏问题
【实战解析】
老年朋友人数＝
15
150
200
500
250
＝
－
）
－（﹣
人，老年朋友占朋友总数的30%，朋友总数=15/30%=50
人，选择C
【例题5】（2020 联考）:某企业员工组织周末自驾游。集合后发现，如果每辆小车坐5 人，则空出4
个座位；如果每辆小车少坐1 人，则有8 人没坐上车。那么，参加自驾游的小车有：
A.9 辆
B.10 辆
C.11 辆
D.12 辆
【参考答案】D
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【题型分类】盈亏关系
【实战解析】
方法一：盈8 人，亏4 人，载客人数差为1。则参加自驾游的小车=（8+4）/1=12 辆
方法二：设参加自驾游的小车有X 辆，因企业员工数量一定，即5X-4=4X+8,解得X=12。
【例题6】（2019 浙江事业编）:某公司组织员工春游，每辆车坐25 人，剩下6 人没有上车，每辆车坐
28 人，最后一辆车只坐了13 人。问每辆车坐26 人，最后一辆车少坐了几个人：
A.1
B.2
C.3
D.4
【参考答案】A
【题型分类】盈亏问题
【实战解析】
盈6 人，亏28-13=15 人，载客人数差为3。则参加自驾游的小车=（6+15）/3=7 辆
第一种情况，7 个车做25 人＋6，若每个车做7 人，与原来相比每车多一人，则应差1 人
坐满。所以最后一辆车少坐1 人，选A
【例题7】（2019 江苏）:某机关事务处集中采购了一批打印纸，分发给各职能部门。如果按每个部门
9 包分发，则多6 包；如果按每个部门11 包分发，则有1 个部门只能分到1 包。这批打印纸的数量是：
A.87 包
B.78 包
C.69 包
D.67 包
【参考答案】B
【题型分类】盈亏问题
【实战解析】
每个部门发9 包、多出6 包，每个部门发11 包、缺少10 包，盈亏问题，可得部门数=（6+10）
/（11-9）=8 个，打印纸总数=8×9+6=78 包，选B
11.3
年龄问题概述及应用
年龄问题解题关键：无论时间如何改变，年龄差不变；时间改变，年龄增量相同；爷爷奶奶年龄多在
60+，父母在30-40，儿女在0-10；常见年龄平方数：64、36、9；
解题方法：年龄问题宜用方程法。
【例题8】（2019 北京）：2018 年父亲年龄是女儿年龄的6 倍，是母亲年龄的1.2 倍。已知女儿出生
当年（按0 岁计算）母亲24 岁，则哪一年父母年龄之和是女儿的4 倍？
A.2036
B.2039
C.2042
D.2045
【参考答案】B
【题型分类】年龄问题
【实战解析】
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2018 年父亲：母亲：女儿=6:5:1，母亲比女儿多5-1＝4 份对应24 岁，可得一份为6 岁，
则2018 年父母年龄和11 份=66 岁、女儿6 岁；
假设经过x 年父母年龄之和是女儿的4 倍，可得
（66+2x）=（6+x）×4，
解得x=21，2018 年+21 年=2039 年，选择B
【例题9】（2018 浙江）：已知今年小明父母的年龄之和为76 岁，小明和他弟弟的年龄之和为18 岁。
三年后，母亲的年龄是小明的三倍，父亲的年龄是小明弟弟的四倍。问小明今年几岁？
A.11
B.12
C.13
D.14
【参考答案】A
【题型分类】年龄问题
【实战解析】
设今年小明、小明弟弟的年龄分别为x、y 岁，则三年后小明、小明弟弟年龄为分别为x
＋3、y＋3，小明母亲年龄为3(x＋3)，小明父亲年龄为4(y＋3)；
根据年龄和可列方程：①x＋y＝18，②3(x＋3)-3＋4(y＋3)-3＝76；解得X＝11.
【例题10】(2014 年上半年联考)：一家四口人的年龄之和为149 岁，其中外公年龄、母亲年龄及两人
的年龄之和都是平方数，而父亲7 年前的年龄正好是孩子年龄的6 倍，问外公年龄上一次是孩子年龄的整数
倍是在几年前：
A.2
B.4
C.6
D.8
【参考答案】D
【题型分类】年龄问题
【实战解析】
根据客观实际可推测出外公年龄为64、母亲年龄为36（年龄问题应符合客观实际：爷爷
奶奶年龄在60 左右，合适的平方数为64；父母年龄在30 左右，合适的平方数为25、36；满
足“二者年龄和是平方数”要求的年龄分别为64、36.）
设7 年前孩子年龄为n，父亲当时年龄为6n，可列方程：n＋7＋6n＋7＝149－64－36，解
得n＝5，则今年孩子5＋7＝12 岁；
依次验证各选项，可确定8 年前，外公、孩子年龄分别为64－8＝56 岁、12－8＝4 岁，
为整数倍，答案为D.
其他选项：
A 选项：2 年前外公、孩子62、10 岁，非整数倍；
B 选项：4 年前外公、孩子60、8 岁，非整数倍；
C 选项：6 年前外公、孩子58、6 岁，非整数倍。
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11.4
方阵问题概述及应用
方阵基础性质：方阵总人数＝最外层边长平方；层数＝最外层边长÷2；每层人数＝该层每边人数×
4-4(有四个重叠点)；内层比外层少8 个元素，边长少2。
【例题11】（2015 新疆）:某校计算机学院学生组成的正方形实心方阵参加学校体育节开幕式，能组成
的最大方阵最外层人数为48 人。问该学院的学生人数在以下哪个范围内？
A.144 到155 之间
B.156 到168 之间
C.169 到195 之间
D.大于195
【参考答案】C
【题型分类】方阵问题
【实战解析】最外层人数＝4×每边人数－4＝48，即最外层每边13 人，最大方阵共有13
×13＝169 人；若最外层每边多1 人，则方阵需要14×14＝196 人，学员不足196 人，则该学
院学员人数应在169-195 之间。
【例题12】（2015 天津）:一个由边长25 人和15 人组成的矩形方阵，最外面两圈人数总和为：
A.232
B.144
C.165
D.196
【题型分类】方阵问题
【实战解析】
最外层人数＝2×(25＋15)－4＝76 人，根据方阵基础性质可知，相邻两圈差8 人。里面
一圈人数为76－8＝68 人，最外面两圈人数和＝76＋68＝144 人。
【例题13】（2017 上海）:现有一批正方形的地砖，如拼成一个大正方形则可余62 块；若每边都再增
加一块，则缺少37 块，这批地砖共有多少块？
A.2433
B.2459
C.2463
D.2475
【参考答案】C
【题型分类】方阵问题
【实战解析】
若每边都再增加一块，相当于增加了一行一列（99 块为一行一列，即行（列）各有(99+1)
÷2=50 块地砖。），增加后形成50×50 方阵，则这批地砖共有50×50-37＝2463 块。
11.5
植树问题概述及应用
基础公式：
两端不植树：总长＝间隔×(棵数+1)
一端植树(环形植树)：总长＝间隔×棵数
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两端均植树：总长＝间隔×(棵数-1)
【例题14】（2016 联考）：一环形跑道上画了100 个标记点，已知相邻任意两个标记点之间的跑道距
离相等。某人在环形跑道上跑了半圈，问他最多能经过几个标记点？
A.49
B.51
C.50
D.100
【参考答案】B
【题型分类】植树问题
【实战解析】本题可看作植树问题，一圈植树100 棵，当两端植树时植树最多，半圈最多
可植树51 棵。
【例题15】（2019 新疆）：某文艺汇演的舞台为一个边长为10m 的正六边形，节目“千手观音”中，
演员需排成一列正对观众，为保证演出效果，两个演员之间要保持50cm 的距离，问该舞台最多能站多少名
“千手观音”的演员？
A.31
B.35
C.39
D.41
【参考答案】B
【题型分类】植树问题之两端植树
【实战解析】如图所示，勾股定理可得正六边形的高度为10√3 米，相邻两人的距离
=50cm=0.5 米，两端植树问题，（
5.0
3
10
）+1≈35.64、最多取35 人，选择B
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【例题16】（2020 广东）：为加强治安防控，现计划在一段L 形的围墙（如下图）上安装治安摄像头，
其中A 点到B 点长度为750 米，B 点到C 点长度为1350 米。按要求ABC 三个位置必须安装一个摄像头，且
相邻两个摄像头之间的距离要保持一致，则整段围墙至少需要安装（
）个摄像头。
A.14
B.15
C.16
D.17
【参考答案】B
【题型分类】植树问题
【实战解析】
750 和1350 的最大公约数是150，两端植树问题，总棵数=（750+1350）÷150 +1=15 棵，
选B
11.6
钟表问题题目解析
【例题17】（2014 江苏）：小张的手表每天快30 分钟，小李的手表每天慢20 分钟，某天中午12 点两
人同时把表调到标准时间，则两人的手表再次同时显示标准时间最少需要的天数为:
A.24
B.36
C.72
D.114
【参考答案】C
【题型分类】钟表问题＋周期循环问题
【实战解析】手表以12 小时为一周期，小张手表每天快30 分钟，12÷0.5＝24 天后可再
次显示标准时间，小李手表每天慢20 分钟，12÷1
3
＝36 天后可再次显示标准时间；
24、36 的最小公倍数为72，即72 天后两人手表再次同时显示标准时间。
【例题18】（2019 辽宁）：两只机械手表，一只每天快18 分钟，一只每天慢15 分钟。现在将两只手
表同时调整到标准时间，则它们再次同时显示标准时间要经过________天。
A.40
B.88
C.178
D.240
【参考答案】D
【题型分类】时钟问题
【实战解析】
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快钟一天比标准时钟多走0.3 小时、40 天比标准时钟多走12 小时（一圈）；慢钟一天比
标准时钟少走0.25 小时、48 天比标准时钟少走12 小时（一圈）；40 和48 的最小公倍数是
240，选D
【例题19】（2020 浙江事业编）：小刚的手表出现了故障，每小时快3 分钟。为了第二天早上六点上
课不迟到，他在当晚十一点调好了表，第二天小刚按照自己手表上六点的时间准时到达教室，则实际上他提
前了多少分钟：
A.19
B.20
C.21
D.22
【参考答案】B
【题型分类】时钟问题
【实战解析】
晚上十一点到早上六点坏钟走了7 小时；坏钟走63 分钟比标准时钟多走3 分钟，坏钟走
7 小时比标准时钟多走1/3 小时=20 分钟，选B
11.7
比赛问题题目解析
【例题20】（2017 河南）：140 支社区足球队参加全市社区足球淘汰赛，每一轮都要在未失败过的球
队中抽签决定比赛对手，如上一轮未失败过的球队是奇数，则有一队不用比赛直接进入下一轮。问夺冠的球
队至少要参加几场比赛？
A.3
B.4
C.5
D.6
【参考答案】B
【题型分类】比赛问题
【实战解析】
140＜2
8，即一共有8 轮比赛；每一轮剩余队伍数为：140－>70－>35－>18－>9－>5－>3
－>2，共有35、9、5、3 四个奇数，即可以有4 轮轮空，夺冠的球队最少需要打8－4＝4 轮比
赛。
【例题21】（2014 国考）：某羽毛球赛共有23 支队伍报名参赛，赛事安排23 支队伍抽签两两争夺下
一轮的出线权,没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空
的情况?
A.1
B.2
C.3
D.4
【参考答案】B
【题型分类】比赛问题
【实战解析】
比赛问题赛事场次、轮次、轮空问题常考知识点：
①循环赛场次问题：单循环赛，n 个队伍共有C(N,2)场比赛；双循环赛，场次是单循环比赛数
量的2 倍；
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②淘汰赛场次问题，2n 个队伍当轮有n 场比赛，若队伍数为奇数，则有1 队轮空；决出冠军
共有2n-1（场）比赛，每场比赛会淘汰一队，最后只剩冠军一队；
③淘汰赛轮次问题，若队伍数接近2n，则一共有n 轮；将队伍数除2，直至剩余2 队，有n 轮
剩余队伍为奇数，即有n 轮存在轮空，也意味着某队最多轮空n 次。
例如本题，23 最接近25，即一共有5 轮比赛。
每轮剩余球队数为：23->12->6->3->2，一共出现23、3 两次奇数，意味着这两轮存在队
伍轮空。
【例题22】（2015 山东）：乒乓球世界杯锦标赛上，中国队、丹麦队、日本队和德国队分在一个小组，
每两个队之间都要比赛1 场，已知日本队已比赛了1 场，德国队已比赛了2 场，中国队已比赛了3 场，则丹
麦队还有几场比赛未比？
A.0
B.1
C.2
D.3
【参考答案】B
【题型分类】比赛问题
【实战解析】
连线法解题过程如下：
中国应发出3 条射线，需要和所有点连接；
此时日本不能再有连线，则德国和剩余2 点连接；
丹麦有2 条连线，已与中国德国进行了比赛，只剩和日本的1 场比赛未赛。
一个小组有4 个队，每个队需要比赛3 场，可采用连线法解题，如图所示，丹麦只剩和日
本的1 场比赛。
【例题23】（2019 联考）：小张、小李和小王三人以擂台形式打乒乓球，每局2 人对打，输的人下一
局轮空。半天下来，小张共打了6 局，小王共打了9 局，而小李轮空了4 局。那么，小李一共打了多少局？
A.5 局
B.7 局
C.9 局
D.11 局
【参考答案】B
【题型分类】比赛问题
【实战解析】
两者容斥，小李轮空状态下，小张和小王一起打。
总的场次＝6+9-4=11 局，小李打了11-4=7 局，选择B
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数量随堂笔记第八章（2021.07.31）
—— 几何问题
12
要抓住常考图形的几何问题
12.1
几何问题基础公式
面积常用公式：
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体积常用公式
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12.2
一般几何问题解析
最常考图形：正三角形、直角三角形（30°、60°）、矩形、圆形、六边形
【例题1】（2020 联考）：某景区圆形摩天轮的最高点距离地面120 米，摩天轮旋转半径为50 米。摩
天轮开启后按逆时针向匀速旋转，旋转一周大约需30 分钟。甲在最低点的位置坐上摩天轮，则第45 分钟时
甲距离地面大约多少米：
A.45
B.70
C.100
D.120
【参考答案】D
【题型分类】最值问题
【实战解析】
根据“旋转一周大约需30 分钟”，则第45 分钟时旋转一周半，甲处于摩天轮最高点，即
距离地面120 米。
【例题2】（2021 国考）：在一块下图所示的梯形土地中种植某种产量为1.2 千克/平方米的作物。已
知该梯形的高为100 米，ABC、BCD、和CDE 为正三角形，且BAF 和DEG 的角度都是90 度，问该土地的总产
量为多少吨？
A.
72
3
B.
84
3
C.
108
6
D.
126
6
【参考答案】B
【题型分类】几何问题
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【难度评价】★★★
【实战解析】
过B 做
AC
BH 
，根据30°直角三角形三边关系1：√3：2，可得AB＝2AH，△AFB 中BF
＝2AB＝4AH,则梯形上底边长FG＝FB+BD+DG＝4AH+2AH+4AH＝10AH，下底边长AE＝4AH，
BH＝100，则AH＝
3
100

，
梯形面积＝
h
2
1



）
（
FG
AE
＝2
1 ×14AH×100＝700×
3
100

，
总产量＝
1000
1.2
×
3
100
×
700

＝
3
84

吨，选择B。
【例题3】(2016 联考)：老王围着边长为50 米的正六边形的草地跑步，他从某个角点出发，跑了500
米之后距离出发点相距有多远？
A.50 2
B.50 3
C.25( 2+1)
D.50( 3-1)
【参考答案】B
【题型分类】几何问题之几何计算
【实战解析】
如图所示，老王跑了500 米，相当于500÷50＝10 个边长，即从A 点跑一圈之后又到E 点；
△ADE 为30 度60 度直角三角形（30 度60 度直接三角形是七大常考图形（正六边形、正三角
形、圆、矩形、3060 度直角三角形、345 直角三角形、等腰直接三角形）之一，三边关系为
1:2:√3，其中2 为斜边。），则AE＝√3×AD＝50√3m.
【例题4】（2019 江苏）：平行四边形ABCD 如右图所示，E 为AB 上的一点，F、G 分别为AC 与DE、DB
的交点。若AB=3AE，则四边形BEFG 与ABCD 的面积之比是:
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A.2∶7
B.3∶13
C.4∶19
D.5∶24
【参考答案】D
【题型分类】几何问题
【实战解析】
假设S△AFE=1，由△AFE 和△CFD 相似，EF:DF=AE：CD=1:3。可得S△AFD 与S△AFE 高相
同，则S△AFD=3，S△CDF=3
2=9，S△ABC=S△ACD=S△AFD＋S△CDF=12。S 平行四边形ABCD=12
×2=24、S 四边形BEFG=S△ABC - S△BCG - S△AFE=12-6-1=5，选D
【例题5】（2015 年江苏）：一实心圆锥体的底面半径为r，母线长为2r。若截圆锥体得到两个同样的
锥体（如图），则所得两个锥体的表面积之和与原圆锥体表面积的比值是：
A.
૚
૛
B.ૈ
+૝૜
૟
C.
૜ૈ+૛૜
૜ૈ
D.
૜ૈ+૝
૟ૈ
【参考答案】C
【题型分类】几何问题之几何计算
【实战解析】
椎体表面积由扇形和底面圆组成，扇形面积＝2πr×2r
2
＝2πr
2 ，底面圆面积＝πr
2，则
椎体表面积＝3πr
2；
切割后，增加了两个正三角形的面积，三角形面积＝√3
4
×(2r)
2＝√3r
2，则两个椎体表面
积之和＝3πr
2＋2√3r
2；
综上，二者面积之比＝3πr
2＋2√3r
2:3πr
2＝3π＋2√3:3π.
【考场秒杀】分子中包含正三角形面积，必然包含√3，分母中有圆的面积，必然包含π，观察选项，
只有C 选项可能正确。
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【例题6】（2020 四川）：一个容器由一个长方体和一个半圆柱体如下图组合而成，长方体的长为1
米，宽为0.5 米，高为2 米。在这个容器表面涂漆花费200 元，问平均每平方米的涂漆成本在哪个范围内：
A.不超过20 元
B.超过20 元但不超过25 元
C.超过25 元但不超过30 元
D.超过30 元
【参考答案】B
【题型分类】几何问题
【实战解析】
容器是由一个长方体和一个半圆柱体组合而成的，
长方体的表面积公式S＝2×（ab+bc+ca）；
圆柱表面积公式S＝2πr
2+2πrh；
容器表面积＝长方体表面积+ 2
1 圆柱表面积－长方体和半圆柱重合面面积平方米，
容器表面积＝2×（1×0.5+0.5×2+1×2）+ 2
1 ×[2π（2
1 ）
2+2× 2
π×2]－1×2＝7+ π
4
5
－
2＝5－π
4
5
≈8.93。
则平均每平方米的涂漆成本
93
.8
200 ≈22.4 元/平方米。选择B。
【例题7】（2021 山东）：某围场的形状为边长100 米的等边三角形，在场地正中修建一座信号塔，塔
顶安装有效覆盖半径为
110
3
3米的信号发射器。如要信号覆盖整个围场的地面，则信号塔的高度最高为多少
米:
A.15 5
B.10 7
C.5 21
D.11 21
【参考答案】B
【题型分类】和差倍比问题
【实战解析】
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如下图所示，BO=50√3×（2/3）=100√3/3，斜边长度110√3/3，可得信号塔的高度=√
[（110√3/3）
2-（100√3/3）
2]= 10√7，选择B
【例题8】（2021 江苏）：如图所示，当某航天器飞过地球北极正上方S 处时，恰好能够观测到北纬
45 度，北极圈内的区域。假定地球是半径为R 的球体，则点S 到地球北极点的距离是：
A.
( 2−1)
2ܴ
B.
(2−2)
2ܴ
C. ( 2 −1)ܴ
D. 2 −
2ܴ
【参考答案】C
【题型分类】和差倍比问题
【实战解析】
如图所示，OC=OA=R，∠OSC=45°，则OS=√2R，SN=OS-ON=（√2-1）R。选择C
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12.3
几何等比放缩性质介绍
几何等比放缩性质：若边长（或半径）为n 倍，则周长也为n 倍，面积为n2 倍，体积为n3 倍。
【例题9】（2020 新疆）：某演播大厅的地面形状是边长为100 米的正三角形，现要用边长为2 米的正
三角形砖铺满（如图所示）。问需要用多少块砖：
A.2763
B.2500
C.2340
D.2300
【参考答案】B
【题型分类】几何问题
【实战解析】
小正三角形铺满大正三角形，根据相似特性，面积比等于边长比的平方，面积比＝100
2：
2
2＝2500：1，需要2500 块砖可铺满演播大厅。选择B。
【例题10】（2020 浙江）：用边长为0.2m 的正三角形地砖铺满一块边长为1m 的正六边形地面，需要
多少块地砖：
A.30
B.60
C.150
D.180
【参考答案】C
【题型分类】几何问题
【实战解析】
正六边形相当于三个正三角形，根据相似特性，面积比等于边长比的平方，每个小三角形
边长为1，面积比＝1
2：0.2
2＝25：1，一共6 个三角形，共需要地砖6×25＝150。选择C。
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【例题11】（2019 下半年四川）：如图，沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相平行
的圆锥组成，下面的圆锥内装有细沙。计时开始时，将沙漏倒置，已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要1
小时，则细沙高度下降一半所需的时间是：
A.30 分钟
B.45 分钟
C.47.5 分钟
D.52.5 分钟
【参考答案】D
【题型分类】几何问题
【实战解析】
高度下降一半，根据相似性，底面半径变为原来的一半，底面积变为原来的四分之一，体
积比＝8:1,上半部分和下半部分的体积之比=（8-1）：1=7：1，共8 份对应60 分钟，上半部
分7 份对应52.5 分钟，选择D
【例题12】（2020 联考）：在屋内墙角处堆放稻谷（如图，谷堆为一个圆锥的四分之一），谷堆底部
的弧长为6 米，高为2 米，经过一夜发现谷堆在重力作用下底部的弧长变为8 米，若谷堆的谷量不变，那么
此时谷堆的高为：
A.9/8 米
B.8/9 米
C.9/16 米
D.4/9 米
【参考答案】A
【题型分类】几何问题之几何计算
【实战解析】
本题可用比例关系解题，圆锥体积=
1
3（底面积*高），体积一定，底面积和高成反比；底
面积=π
2r ，圆周长=2πr，圆周长与半径成正比，底面积与半径的平方成正比，即圆周长的平
方与则底面积成正比，与高成反比。
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综上，
ℎ
2=
6
8
2
，h=
9
16 × 2=
9
8。
【例题13】（2021 国考）：一个人工湖的湖面上有一个露出水面3 米的圆锥体人工景观（底面朝下）。
如人工湖水深减少20%，则该景观露出水面部分的体积将增加61/64。问原来的人工湖水深为多少米？
A.3.5
B.3.75
C.4.25
D.4.5
【参考答案】B
【题型分类】几何问题
【实战解析】
水深减少前后露出水面的体积之比=1∶（1+ 61/64）=64∶125；
水深减少20%，则水下部分高度比1：（1－20%）＝5：4；
露出水面高度之比=4∶5=3 米∶3.75 米，
假设原来人工湖水深5x，可得5x+3=4x+3.75，
解得x=0.75，
5×0.75=3.75 米，选择B
12.4
几何最值性质介绍
周长一定，越接近圆，面积越大；反之，面积一定，越接近圆，周长越小；
表面积一定，越接近球，体积越大；反之，体积一定，越接近球，表面积越小。
【例题14】（2019 新疆）：某健身馆准备将一块周长为100 米的长方形区域划为瑜伽场地，将一块周
长为160 米的长方形区域划为游泳场馆。若瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积。问两块场
地面积之差为多少平方米？
A.625
B.845
C.975
D.1150
【参考答案】C
【题型分类】几何问题
【实战解析】
长方形的周长一定，当长=宽时面积最大；瑜伽场地最大面积=（100/4）
2=625 平方米、游
泳场馆最大面积=（160/4）
2=1600 平方米，相差1600-625=975 平方米，选C
【例题15】（2017 联考）：农户老张的田里有一堵16 米长的围墙。老张想利用现有的围墙作为其中的
一边，修建一个长和宽均为整数米的长方形养鸡场。如老张手头的材料最多只能新修41 米长的围墙，则他
能围出的长方形养鸡场面积最大为多少平方米？
A.195
B.204
C.210
D.256
【参考答案】A
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【题型分类】几何问题之几何最值
【实战解析】
加上已有围墙，最多可有41＋16＝57m 围墙，57÷4＝14 余1，最大面积为14×14＝196m
2；
（矩形中正方形最接近圆，周长一定，面积最大；因边长取整数，周长最大为56，在此情况
下，正方形面积最大。）
尽量多利用已有围墙,养鸡场的长为16 时，宽＝(41－16)÷2＝12.5，取整为12，此时养
鸡场面积＝192；当养鸡场的长为15 时，宽＝(41－15)÷2＝13，此时养鸡场面积＝15×13＝
195；若继续减少养鸡场的长，面积也随之减少，则答案为A。
【考场秒杀】根据几何最值可确定养鸡场的最大面积为196m
2，观察选项，答案只能为A.
【例题16】（2020 联考）：村民陶某承包一块长方形种植地，他将地分割成如图所示的4 个小长方形，
在A、B、C、D 四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形A、B、C 的周长分别是20
米、24 米、28 米，那么长方形D 的最大面积是：
A.42 平方米
B.49 平方米
C.64 平方米
D.81 平方米
【参考答案】C
【题型分类】几何问题之几何计算
【实战解析】
由图可知，内部的两条直线长度=大图形周长的一半，CB 的周长=AD 的周长=大图形周长，
设D 的边长分别为a、b，即（24+28）=2（10+a+b），解得a+b=16，当a+b 等于一定值时，a
与b 越接近，a*b 越大。
综上，当a=b=8 时，D 面积最大=a*b=64
12.5
最短距离方法解析
【例题17】（2019 年河北）：长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm 的长方体ABCD-ܣ1ܤ1ܥ1ܦ1上，有一
个蚂蚁从A 出发沿长方体表面爬行到ܥ1获取食物，其路程最小值是多少cm？
A. 13
B. 193
C.
241
D.17
【参考答案】B
【题型分类】几何问题
【实战解析】
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最短路径问题；如下图所示，假设长方体的长宽高分别为a、b、c，将右面展开，可得AB=
√[（a+b）2+c2]=√[a2+2ab+b2+c2]，要使AB 长度最短，则把较短的两条边长合并，路程最
小值=√[（3+4）2+122]=√193，选B
【例题18】（2019 浙江）：A、B 点和墙的位置如右图所示。现从A 点出发以5 米/秒的速度跑向墙，
接触到墙后再跑到B 点。问最少要多少秒到达B 点？
A.30
B.34
C.38
D.42
【参考答案】A
【题型分类】几何问题
【实战解析】
最短路径问题；如下图所示，将A 点做镜像A’，路程最小就是BA’，
BA’=√[1202 + 902]=150，时间=150/5=30，选A
【例题19】（2017 上海）：某市规划建设的4 个小区，分别位于直角梯形ABCD 的4 个顶点处（如图），
AD＝4 千米，CD＝BC＝12 千米。欲在CD 上选一点S 建幼儿园，使其与4 个小区的直线距离之和为最小，则
S 与C 的距离是：
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A.3 千米
B.4 千米
C.6 千米
D.9 千米
【参考答案】D
【题型分类】几何问题之最短距离
【实战解析】
无论S 在何处，距离D、C 距离和为定值，则只需要考虑S 到A、B 距离和最近，根据“两
点之间线段距离最短”可以解题；
如图所示，在DC 下方做A 的镜像点A’，连接BA’,则△DSA’与△CSB 为相似三角形，
DA’(4)
CB(12)
＝SD
SC
＝1
3
，解得SC＝12×3
4
＝9.
【例题20】（2016 山东）：一块由两个正三角形拼成的菱形土地ABCD 的周长为800 米，土地周围和中
间的道路如下图所示，其中DE、BF 分别与AB 和CD 垂直。如要从该土地上任何一点出发走完每一段道路，
问需要行进的距离最少是多少米：
A.
3
400
1000
B.
3
400
1100
C.
3
500
1100
D.
3
600
1000
【参考答案】B
【题型分类】几何问题之最短遍历路径
【实战解析】
（可以从任意点出发任意点结束，则可保留最多两个奇点。）
图中共有A、C、E、F 四个奇点，若从任意点出发走完全程，则需要消掉两个奇点，奇点
间的最短距离为AE 或CF；（消去A、E 两个奇点，保留C、F 两个奇点，则最短路径需要从C
开始到F 结束（或从F 开始到C 结束），可能的走法为（走法不唯一）：
CA->AB->BC->CD->DA->AE->ED->DB->BF，其中只有AE 段重复一次。）
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则总路程＝外周长＋AC＋BD＋BF＋DE＋AE＝800＋200√3＋200＋100√3＋100√3＋100＝
1100＋400√3.
【例题21】（2017 山东）：某社区道路如下图所示，社区民警早上9 点整从A 处的办公室出发，以每
分钟50 米的速度对社区内每一条道路进行巡查（要求完整走过整个社区内的每一段道路），问他最早什么
时候能完成任务返回办公室？
A.9：54
B.9：50
C.9：47
D.10：00
【参考答案】C
【题型分类】几何问题之最短遍历路径
【实战解析】
如图所示，图中共有B、C、D、E 四个奇点，从A 点出发走完全程回到A 点，需要消掉全
部奇点，奇点间的最短距离为BC 和DE；（消去全部奇点，从A 开始再回到A 点，可能的走法
为（走法不唯一）：AH->HN->NM->MD->DN->NG->GE->ED->DE->EF->FB->BC->CB->BA，其中只有
DE、BC 段重复一次。）
则总路程＝外周长＋ME＋BC＋DN＋MN＋BC＋DE＝350×4＋350＋350＋250＋200＋150＝
2700m，需要时间＝2700÷50＝54 分钟，即9 点54 分返回办公室。
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数量随堂笔记第九章（2021.08.01）
—— 行程问题
13.1
行程问题基础概念
行程问题是每次考试的重点考察题型之一，几乎每年必考，但因为行程问题的考察方式千变万化，无法
用一种方法解决所有变形，难度稍大。
核心公式：路程＝速度×时间
单位换算：1 米/秒＝3.6 千米/小时（记忆窍门：由大到小除3.6，由小到大乘3.6）
行程三量的基本比例关系：
时间相同，速度和路程成正比
路程相同，速度和时间成反比
速度相同，路程和时间成正比
推荐解题方法：比例法，方程法，特殊题型套入公式即可。另外，推荐画图模拟整个过程。
13.2
一般行程问题解析
【例题1】（2021 北京）：小张开车经高速公路从甲地前往乙地。该高速公路限速为120 千米/小时。
返程时发现有1/3 的路段正在维修，且维修路段限速降为60 千米/小时。已知小张全程均按最高限速行驶，
且返程用时比去程用时多30 分钟，则甲、乙两地距离为多少千米：
A.150
B.160
C.180
D.200
【参考答案】C
【题型分类】行程问题
【实战解析】
行程公式：路程=速递×时间，由题意可知，往返只有1/3 的路段速度有差别，且返程用
时比去程用时多30 分钟，即0.5 小时，设1/3 路程为S 列方程：S/60-S/120=0.5，解得S=60
则甲、乙两地距离=3×60=180km，选C
解法二：往返只有1/3 路程速度不同，速度之比为120:60=2:1.则时间之比为1:2，差1
份对应30 分钟，即去时用了30 分钟即0.5 小时，速度为120 千米/小时，1/3 路程为0.5×120=60，
全程为3×60=180 千米。
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【例题2】（2021 江苏）：甲、乙两人从湖边某处同时出发，沿两条环湖路各自匀速行走。甲恰好用2
小时回到出发点，比乙晚到20 分钟，多走了2800 米。若甲每分钟比乙多走10 米，则甲行走的速度是：
A.4.2 千米/小时
B.4.5 千米/小时
C.4.8 千米/小时
D.5.4 千米/小时
【参考答案】D
【题型分类】行程问题
【实战解析】
设甲的速度为V 甲，根据题目得：
S 甲-S 乙=2800
前一百分钟：S 甲-S 乙=100×10
后20 分钟：S 甲-S 乙=20V 甲
则S 甲-S 乙=100×10＋20V 甲=2800
解得V 甲=90 米/分钟=90×60÷1000=5.4 千米/小时
甲行走的速度为5.4 千米/小时，选择D。
解法二：
设甲每分钟走x 米，根据题目得：
2×60×x=（2×60-20）×（x-10）＋2800，
解得x=90 米/分钟=90×60÷1000=5.4 千米/小时
甲行走的速度为5.4 千米/小时。选择D.
【例题3】（2019 浙江）：小王从单位开车去省城，如果他把车速提高20%，可以比原定时间提前15
分钟到达；如果按原速行驶30 千米后再将车速提高25%，也比原定时间提前15 分钟到达。问小王单位距离
省城多少千米？
A.60
B.120
C.180
D.240
【参考答案】C
【题型分类】行程问题
【实战解析】
本题解法比较单一：
从：小王从单位开车去省城，如果他把车速提高20%，可以比原定时间提前15 分钟到达，
我们得知
V原来：V现在= 5: 6
T原来：T现在= 6: 5
则一份时间（差）=15 分钟，T原来=90 分钟
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从：如果按原速行驶30 千米后再将车速提高25%，也比原定时间提前15 分钟到达，我们
得知
V原来：V现在= 4: 5
T原来：T现在= 5: 4
则一份时间（差）=15 分钟，T原来=75 分钟
则前30km 用时15 分钟，之后用时75 分钟，第二段=150km，总计180km
【例题4】（2018 国考）：一辆汽车第一天行驶了5 个小时，第二天行驶了600 公里，第三天比第一天
少行驶200 公里，三天共行驶了18 个小时。已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共
行驶了多少公里？
A.800
B.900
C.1000
D.1100
【参考答案】B
【题型分类】行程问题
【实战解析】
设平均速度为V，则第一天速度也为V，可根据“路程和”列方程：5V＋600＋(5V－200)
＝18V，解得V＝50，则S＝18×50＝900 公里。
【考场秒杀】三天共行驶了18 小时，总路程S＝18×V，S 大概率为18 的倍数，观察选项，
只有B 选项符合要求。
【例题5】（2020 联考）：小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达学校上
课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，从离家到赶回家中共用了1
个小时，假设小明当天平路骑行速度为9 千米/小时，上坡速度为6 千米/小时，下坡速度为18 千米/小时，
那么小明的家距离学校多远:
A.3.5 千米
B.4.5 千米
C.5.5 千米
D.6.5 千米
【参考答案】B
【题型分类】行程问题
【实战解析】
本题设小明的家距离学校为X，根据题意可知小明一小时行走2X。平路速度为9 千米/小
时，利用平均速度公式，可求出上坡下坡平均速度=2（18*6）/（18+16）=9，则整个行程，小
明的平均速度为9 千米每小时。
综上，X=9*1/2=4.5 千米。
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13.3
相遇、追及问题概述
一、相遇、追及问题的基础知识
核心公式：相遇路程＝速度和×相遇时间，追及路程＝速度差×追及时间
解题关键：熟记公式，抓紧“速度和”“速度差”，理解好“相对速度”概念。
花生老师提示：相遇要找相遇点，追及要知距离差。
二、多次相遇问题：若全程为S，则第一次相遇二人走的距离和为1S，第二次相遇二人走的距离和为
3S，第三次相遇二人走的距离和为5S……，总结可得公式，第N 次相遇，二人的距离和为(2N－1)S。
三、环形运动：同一位置出发的环形相遇问题，N 次相遇会走完N 个圆周长。同一位置出发的环形追及
问题，追上N 次代表超过N 圈，追及距离为N 个圆周长（长跑中所谓的“套圈”）。
13.4
相遇追及问题解析
【例题6】（2019 新疆）：甲、乙两车分别以30 公里/小时和40 公里/小时的速度同时匀速从A 地开往
B 地，丙车以50 公里/小时的速度匀速从B 地开往A 地。A、B 两地距离120 公里。问丙车遇到乙车后多久会
遇到甲车？
A.8 分钟
B.10 分钟
C.12 分钟
D.15 分钟
【参考答案】B
【题型分类】行程问题之相遇问题
【实战解析】
丙乙相遇的时间=[120/（50+40）]×60=80 分钟、丙甲相遇的时间=[120/（50+30）]×60=90
分钟，90-80=10 分钟，选择B
【例题7】（2019 国考）：甲车上午8 点从A 地出发匀速开往B 地，出发30 分钟后乙车从A 地出发以
甲车2 倍的速度前往B 地，并在距离B 地10 千米时追上甲车。如乙车9 点10 分到达B 地，问甲车的速度为
多少千米/小时？
A.30
B.36
C.45
D.60
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【参考答案】A
【题型分类】行程问题之追及问题
【实战解析】
根据路程=速度*时间，乙车的速度为甲车的两倍，则乙车所用时间为甲车的一半。甲车从
A 到B 所需时间=40*2=80 分钟，根据“甲车在距离B 地10 千米时追上甲车”，乙车在到达B
点时，甲车距B 点还有5 千米。则甲车继续行驶10 分钟可行使5 千米。
综上，甲车的速度为5*6=30 千米/小时
【例题8】（2018 浙江）：甲、乙各自驾驶汽车匀速相向行驶，且同时进入双向公路隧道的两端，30
秒后两车相遇。甲车继续行驶20 秒到达隧道出口时，乙车距离出口还有200 米。问隧道的长度为多少米？
A.450
B.500
C.600
D.800
【参考答案】C
【题型分类】行程问题
【实战解析】
一：相遇时，甲：30s，乙：30s
二：甲到出口：甲20s，说明甲20s 的行程等于乙30s 的行程，即S 甲：S 乙=3:2；
说明，甲走完三份，乙走完两份，即一份=200，共计三份=600 米。选C
【例题9】（2019 重庆公检法）：甲从邮局出发去图书馆，乙从图书馆出发去邮局。两人12 点同时出
发，相向而行。12 点40 分两人相遇并继续以原速度前行。13 点12 分甲到达图书馆后立刻返回邮局。假定
两人速度不变，甲返回邮局时，乙已到邮局多长时间了？
A.40 分钟
B.50 分钟
C.54 分钟
D.64 分钟
【参考答案】C
【题型分类】行程问题
【实战解析】
对于相遇点到图书馆这段路程，甲走了13:12-12:40=32 分钟、乙走了12:40-12:00=40 分
钟；相同的路程甲乙时间之比为32：40＝4：5，
甲走全程用了13:12-12:00=72 分钟，则乙走全程需要4：5＝72：90 分钟，
甲返回邮局时，乙已到邮局多长时间了72×2-90=54 分钟，选择C
【例题10】（2019 吉林）:寒假第一天，骑行社团从学校出发去滑雪，他们以20 公里/小时的速度骑行
2 个小时到达滑雪场，游玩4 个小时后按原路以原速返回。骑行社团离开学校5.5 小时后，辅导员派大客车
以40 公里/小时的速度沿相同路线迎接骑行社团，则大客车出发后与骑行社团相遇需要的时长是：
A.30 分钟
B.40 分钟
C.50 分钟
D.60 分钟
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【参考答案】C
【题型分类】行程问题之相遇问题
【实战解析】
学校到滑雪场的路程=20×2=40 公里；当社团返回时，大客车已经行驶了2+4-5.5=0.5 小
时，还需要（40-40×0.5）/（20+40）=1/3 小时相遇，（0.5+ 1/3）×60=50 分钟，选择C
【例题11】(2016 年北京市考):小赵骑车去医院看病，父亲在发现小赵忘带医保卡时以60 千米/小时的
速度开车追上小赵，把医保卡交给他并立即返回。小赵拿到医保卡后又骑了10 分钟到达医院，小赵父亲也
同时到家。假如小赵从家到医院共用时50 分钟，则小赵的速度为多少千米/小时？（假定小赵及其父亲全程
都匀速行驶，忽略父子二人交接卡的时间）
A.10
B.12
C.15
D.20
【参考答案】C
【题型分类】行程问题
【实战解析】
如图所示，小赵从A 到B 需要时间50 分钟，从C 到B 需要10 分钟，则从A 到C 需要40
分钟；小赵父亲返回家用了10 分钟，相同路程，速度和时间成反比，小赵和其父亲速度比＝
10:40＝1:4，即小赵速度＝60×1
4
＝15km/h.
【例题12】(2012 年广州市考):甲公司的马经理从本公司坐车去乙公司洽谈，以30 千米/时的速度出发
20 分钟后，马经理发现文件忘带了，便让司机以原来1.5 倍的速度回甲公司拿，而他自己则以5 千米/时的
速度步行去乙公司。结果司机和马经理同时到达乙公司。甲乙两公司的距离是多少千米：
A.12.5
B.13
C.13.5
D.14
【参考答案】A
【题型分类】行程问题
【实战解析】
解法一：前二十分钟：马经理行程=10km
二十分钟--到达公司：马经理行程为S，则司机行程=20+S
列式：T=ܵ5 =
20+ܵ
45 ，解得：S=2.5，甲乙两公司的距离=10+2.5=12.5km
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解法二：（追击思想），从整体看，反向追击也是追击，从分离的那一刻起，司机就是在
追马经理，两人行程比为20km+s：s，速度比：45:5，行程和速度成正比，即20km+s：s=9:1，
解得s=2.5km，甲乙两公司的距离=10+2.5=12.5km
【例题13】(2015 年黑龙江省考):环形跑道的周长为400 米，甲乙两人骑车同时从同一地点出发，匀速
相向而行，16 秒后甲乙相遇。相遇后，乙立即调头，6 分40 秒后甲第一次追上乙，问甲追上乙的地点距原
来的起点多少米？
A.8
B.20
C.180
D.192
【参考答案】D
【题型分类】行程问题之环形运动
【实战解析】
环形运动常考知识点：
同一起点同向出发，追上一次多跑一圈，路程差=1 圈；
同一起点背向而行，相遇一次，路程和=1 圈。
第一次相遇，两人共走了一圈，可列等式：16×(V 甲＋V 乙)＝400，化简得①V 甲＋V 乙
＝25；第二次追及，两人路程差为一圈，可列等式：400×(V 甲－V 乙)＝400，化简得②V 甲
－V 乙＝1，根据和差公式可解得V 甲＝13、V 乙＝12；
整个过程中甲前进方向没有改变，S 甲＝V 甲×16＋V 甲×400＝208m＋13 圈（跑道长400m，V
甲×400=13×400，也就是13 圈。），即甲追上乙时距离起点有208m，因是环形跑道，也可
说是距离起点400－208＝192m.
【例题14】（2020 国考）:一条圆形跑道长500 米，甲、乙两人从不同起点同时出发，均沿顺时针方向
匀速跑步。已知甲跑了600 米后第一次追上乙，此后甲加速20%继续前进，又跑了1200 米后第二次追上乙。
问甲出发后多少米第一次到达乙的出发点？
A.180
B.150
C.120
D.100
【参考答案】A
【题型分类】行程问题之追及问题
【实战解析】
第1 次甲追上乙后俩人起点相同，第2 次甲追上乙两人跑步的距离相差500 米，即甲跑了
1200 米，乙跑了700 米。根据公式“路程=速度×时间”，路程与速度成正比。即第2 圈甲乙
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速度之比为12：7，第1 圈的速度之比为10:7，甲第1 次追上乙跑了600 米，乙跑了600/10
×6=420 米。
综上，甲出发后600-420=180 米第一次到达乙的出发点。
【例题15】（2019 浙江）:王大妈与李大妈两人分别从小区外围环形道路上A、B 两点出发相向而行。
走了5 分钟两人第一次相遇，接着走了4 分钟后，李大妈经过A 点继续前行，又过了26 分钟两人第二次相
遇。问李大妈沿小区外围道路走一圈需要几分钟？
A.54
B.59
C.60
D.63
【参考答案】A
【题型分类】行程问题之相遇问题
【实战解析】
第1 次俩人相遇，王大妈与李大妈都走了5 分中，接着走了4 分钟后，李大妈经过A 点，
说明李大妈行走4 分钟的距离=王大妈行走5 分钟的距离，根据公式：路程=速度×时间，李大
妈与王大妈的速度之比为5:4
从第一次相遇都第二次相遇，两人共计行走一圈，用时30 分钟。路程之比等于速度之比，
即S 甲：S 乙=5:4，即30 分钟李大妈行走全程的5/9，则走完全程用时=30×9/5=54 分钟。
13.5
流水问题概述与解析
流水问题是典型的相对速度题型，船速和水速相互作用，或相加成为顺水速度，或相减成为逆水速度，
均是“速度和”“速度差”的特殊形式。流水问题一定在相对速度这一概念上做文章，我们需要注意。
核心公式：顺水速度＝船速＋水速，逆水速度＝船速－水速
解题关键：流水问题考点永远离不开速度，抓住船速和水速关系即可
【例题16】（2020 新疆）:一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要6 天；逆流而行，从乙地到甲地需要
8 天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天：
A.24
B.36
C.48
D.56
【参考答案】C
【题型分类】行程问题之流水问题
【实战解析】
本题可采用赋值法，设甲乙两地距离24，则V+V 水=24/6=4；V-V 水=24/6=3
V 水=0.5，漂流瓶从甲地到乙地=24/0.5=48
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【例题17】（2018 山东）:一艘船模出发后先逆流航行1 分钟；掉头后顺流航行2 分钟；再掉头后逆流
航行3 分钟……以此类推。已知船模顺流速度为30 米/分钟，逆流速度为10 米/分钟。问10 分钟后船模的
位置和20 分钟后船模的位置相距多少米？
A.0
B.30
C.50
D.100
【参考答案】D
【题型分类】行程问题之流水问题
【实战解析】
10 分钟到20 分钟之间，顺流航行、逆流航行各5 分钟；（20 分钟内的航行过程为：1 分
钟逆+2 分钟顺+3 分钟逆+4 分钟顺+5 分钟逆+5 分钟顺；但前10 分钟航行的距离无需计算，把
10 分钟后位置作为起始点即可。）
5 分钟顺流可走30×5＝150 米，5 分钟逆流可走10×5＝50 米，即20 分钟与10 分钟位置
相差150－50＝100 米。
流水问题常用公式为：
V 顺＝V 船+V 水，V 逆＝V 船-V 水；
V 船＝V 顺＋V 逆
2
，V 水＝V 顺－V 逆
2
.
【例题18】（2017 山东）：有A、B 两家工厂分别建在河流的上游和下游，甲、乙两船分别从A、B 港
口出发前往两地中间的C 港口。C 港与A 厂的距离比其与B 厂的距离远10 公里。乙船出发后经过4 小时到
达C 港，甲船在乙船出发后1 小时出发，正好与乙船同时到达。已知两船在静水中的速度都是32 公里/小时，
问河水流速是多少公里/小时？
A.4
B.5
C.6
D.7
【参考答案】C
【题型分类】行程问题之流水问题
【实战解析】
根据流水问题公式，Sbc＝4×(V 船－V 水)，Sac＝3×(V 船＋V 水)，根据“两者距离相差
10km”可列方程：3(V 船＋V 水)－4×(V 船－V 水)＝10，解得V 水＝6km/h.
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【例题19】（2020 广东）：A、B 两座港口相距300 公里且仅有1 条固定航道，在某一时刻甲船从A 港
顺流而下前往B 港，同时乙船从B 港逆流而上前往A 港，甲船在5 小时之后抵达了B 港，停留1 小时后开始
返回A 港，又过了6 小时追上了乙船。则乙船在静水中的时速为（）公里。
A.20
B.25
C.30
D.40
【参考答案】C
【题型分类】行程问题之流水行船问题
【实战解析】
甲船顺水5 小时走了300 公里，可得甲船+水速=300/5=60 公里/小时；甲船逆水6 小时走
的路程=乙船逆水12 小时走的路程（乙船12 小时＝甲顺流5 小时+停留1 小时+返航6 小时），
可得（甲船-水速）×6=（乙船-水速）×12，整理得乙船=（甲船+水速）÷2=30 公里/小时，
选C
13.6
等距离平均速度概述与解析
等距离平均速度公式：v =
૛ࢂ૚ࢂ૛
ࢂ૚+ࢂ૛
【例题20】（2014 北京）：某人开车从A 镇前往B 镇，在前一半路程中，以每小时60 公里的速度前进；
而在后一半的路程中，以每小时120 公里的速度前进。则此人从A 镇到达B 镇的平均速度是每小时多少公里？
A.60
B.80
C.90
D.100
【参考答案】B
【题型分类】平均数问题
【实战解析】
前后路程相等，代入等距离平均速度公式：2×60×120
60＋120 ＝80km/h.
【例题21】甲去北京出差，去时坐飞机，返回时坐高铁。若飞机的速度比高铁快3 倍，且往返平均速
度为480 千米/小时，问甲乘坐飞机的速度为多少千米/小时？
A.720
B.768
C.960
D.1200
【参考答案】D
【题型分类】平均数问题
【实战解析】
前后路程相等，代入等距离平均速度公式：
2×ܸ1×ܸ2ܸ
1+ܸ2 ＝480km/h.ܸ
2=4ܸ
1
解得V2=1200
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【例题22】（2019 甘肃）:某矿业产品公司支付了一批货款，一半用于购进每吨400 元的A 型石英矿，
另一半用于购进每吨600 元的B 型石英矿，则A、B 两种石英矿的平均价格是每吨多少元？
A.480
B.490
C.500
D.510
【参考答案】A
【题型分类】平均速度变形问题
【实战解析】
解法一：假设两种石英矿的总费用都是1200 元，两种石英矿的数量分别为1200/400=3 吨、
1200/600=2 吨，平均价格=（1200×2）/（3+2）=480 元，选择A
解法二：根据调和平均数
调和平均数
2
1
2
1
2
V
V
V
V
V


＝
平均价格＝
480
600
400
600
400
2
＝



。选择A
【例题23】（2019 重庆公检法）:A 和B 两块农田种植不同品种的粮食，总产量相同。已知A 农田亩产
为0.2x 吨，B 农田亩产为0.375x 吨。问两块农田总体平均亩产多少吨？
A.
6
25x
B.
2
21x
C.
15
23x
D.
6
23x
【参考答案】D
【题型分类】平均速度变形问题
【实战解析】
0.375=3/8；假设两块农田的总产量都是3x，可得两块农田的面积分别为3x/（0.2x）=15
亩、3x/（0.375x）=8 亩，总体平均亩产=（3x×2）/（15+3）=6x/23，选择D
调和平均数
2
1
2
1
2
V
V
V
V
V


＝
平均价格＝
2×0.2ݔ×0.375ݔ
0.2ݔ+0.375ݔ= 6x/23。选择D
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