文档文本内容
C H A O G E J I A O Y U
主讲老师：高照
2026数量夸夸刷
第4节课（第四章几何问题）
恭喜，恭喜你被骗的，学到了现在。
第4节、第四章 几何问题（补充考点7）
补充考点7：切长最短
做猜结合
公式不怕记不住，越用越能记得住。
【例1】（2019江苏）长方形花坛的周长为20米，若长与宽各增加3米，则增加的
面积是：
A. 42平方米
B. 24平方米
C. 28平方米
D. 39平方米
【例2】（2024陕西事业单位）某公园为满足市民需求，准备对公园进行扩建，一
个长方形的草坪周长是120米，如果长和宽都增加8米，那么扩建后这个草坪的面积
将增加多少平方米？（
）
A.480
B.544
C.640
D.700
【例3】（2025天津事业单位）某公司在团建时，设计了一个推正方体泡沫块儿的游戏，游戏的参与
者需要让2米高的泡沫块儿翻滚向前移动。翻滚过程中，当泡沫块儿底边与地面夹角45°时，侧面示意
图如右图所示。已知边MN与边AC相交于点F，求图中阴影部分四边形COMF的面积为（
）平方米。
A.2
B.4-2 2
C.4 2-4
D.2 2-2
【例4】（2024广东深圳事业单位）有一块平行四边形的菜地（如图所示）如果只
把底增加6米，或只把高增加5米，菜地的面积都增加30平方米。这块菜地原来的面
积为（
）平方米。
A.30
B.40
C.50
D.60
【例5】（2023广东事业单位）长方体的表面积是88，长、宽、高之比为3:2:1，则
长方体的体积是（
）。
A.3072
B.45
C.384
D.48
【例6】（2024联考）一个白色圆柱体零件的底面半径是高的1.5倍，现将其表面涂上黑漆之后，沿
下图所示虚线方向切割为4个完全相同的部分。问单个部分的黑色面积是白色面积的多少倍？
（π≈3.14）
A.不到1.1倍
B.1.1-1.2倍之间
C.1.2-1.3倍之间
D.1.3倍以上
【例7】（2024联考）莱洛三角形是以等边三角形三个顶点为圆心，边长为半径，在顶点的对边画弧
所得的封闭图形，这种形状的钻头可钻出四角为圆弧的正方形的孔洞（如左下图所示）。现将某莱洛
三角形钻头所钻孔洞近似为正方形，测得该正方形孔洞截面积为25cm2（如右下图所示），则该钻
头的截面积为：（高照提示：此题别做，就是猜，根据选项形式猜猜猜。）
A.（
25𝜋
6 −
25 3
6 ）cm2
B.（
25𝜋
4 −
25 3
4 ）cm2
C.（
25𝜋
3 −
25 3
3 ）cm2
D.（
25𝜋
2 −
25 3
2 ）cm2
【例8】（2020国考）一个无盖长方体饮料盒如下图所示，其底面为正方形，高为23厘米，若插入
一根足够细的不可弯折的吸管与底部接触，已知插入饮料盒内的吸管长度最大为27厘米，问饮料盒
底面边长为多少厘米？
A.5 2
B.8
C.10
D.10 2
长方体：体对角线= 𝒂𝟐+ 𝒃𝟐+ 𝒄𝟐
【例9】（2023国考）一个圆柱体零件A和一个圆锥体零件B分别用甲、乙两种合金
铸造而成。A的底面半径和高相同，B的底面半径是高的2倍，两个零件的高相同，
质量也相同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？
A.
4
3
B.
3
4
C.
2
3
D.
3
2
注：质量=密度×体积
【例10】（2021联考）边长为整数且成等差数列的三个正方形，面积之和不大于
5000，其中有两个正方形的面积之和等于第3个正方形的面积，这样的正方形存在
多少组？
A. 6
B. 7
C. 9
D. 10
【例11】（2023国考）在一块正方形土地中，画一条经过某个顶点的规划线，将其分割为三角形和
梯形两块土地，且梯形土地的面积正好是三角形土地的2倍。问三角形和梯形土地的周长之比是多少？
A.1：2
B.5：7
C.（1+ 5）：（2+ 5）
D.（5+ 13）：（7+ 13）
【例12】（2022北京）一个圆形水库的半径为1千米。一艘船从水库边的A点出发，
直线行驶1千米后到达水库边的B点，又从B点出发直线行驶2千米后到达水库边的C
点。则C点与A点的直线距离最短可能为多少千米？
A.不到1千米
B.1—1.3千米之间
C.1.3—1.6千米之间
D.超过1.6千米
【例13】（2017联考）如图所示，甲和乙在面积为54π平方米的半圆形游泳池内游泳，他们分别从
位置A和B同时出发，沿直线同时游到位置C。若甲的速度为乙的2倍，则原来甲、乙两人相距：
A.9 2米
B.15米
C.9 3米
D.18米
【例14】（2023浙江）某地打算在绿地上建两个圆形花坛，如下图所示，大圆的直径为6米，小圆
的直径为2米，修建期间暂时在外围设置围栏。已知围栏呈矩形，大圆与围栏的三条边相切，小圆与
围栏的两条边相切，且两圆相切，那么矩形围栏的面积是多少平方米？
A.12（2+ 3）
B.12（1+2 3）
C.12 13
D.6（3+ 13）
【例15】（2020上海）某游乐园在一个平地中央挖了一个球形下沉广场，广场直径为200米，最深
处50米，那么这个球形的直径为（）米。
A.125
B.200
C.225
D.250
【例16】（2023联考）厦门鼓浪屿海滨覆鼎岩上屹立着一尊郑成功雕像。为了测量石像的高度，某
测量小组选取的测量点A与覆鼎岩底部D在同一水平线上，如下图所示。已知覆鼎岩高CD为24米，
在A处测得石像头顶部B的仰角为45°，石像底部C的仰角为31°（参考数据：sin31°≈0.52，
cos31°≈0.86，tan31°≈0.60），则石像BC的高度约为：
A.20米
B.18米
C.16米
D.14米
【例17】（2024河北事业单位）小明步行从起点向正东走130米，然后向正南走50
米后再向正西走10米，这时小明距离起点直线距离多少米？（
）
A.50
B.120
C.130
D.190
【例18】（2024山东）某巡逻艇所在A海域正南方30千米B处有一个可疑船只，正
向正西方向行驶，已知巡逻船的速度比可疑船只快
1
3，两船在C相遇，请问BC的距离
大约是多少?
A.26
B.28
C.30
D.34
【例19】（2025浙江事业单位）一艘科考船从钻井平台A的正西方向240千米处出
发，以50千米/小时的速度向东偏南30°方向匀速航行。已知科考船上配备的雷达可
以探测200千米范围内的海上建筑，那么科考船在航行过程中，可以探测到A的时长
在以下哪个范围内?（
）
A.小于4小时
B.4-5小时
C.5-6小时
D.大于6小时
三角形同底或者同高（长方形）
三角形同底或者同高
考法：多个面积
方法：底相同，面积之比等于高之比
【例20】（2017广东）如图所示，公园有一块四边形的草坪，由四块三角形的小草坪组成。已知四
边形草坪的面积为480平方米，其中两个小三角形草坪的面积分别为70平方米和90平方米，则四块
三角形小草坪中最大的一块面积为多少平方米？
A. 120
B. 150
C. 180
D. 210
【例21】（2019江苏）某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个厂区分为四个功能区，
如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别为26亩、18亩和13亩，若保留休闲区的12
亩天然小湖泊，则休闲区可利用的陆地面积是：
A. 36亩
B. 26亩
C. 24亩
D. 23亩
【例22】（2024江苏事业单位）有一个圆柱形的木桩，圆的直径为
6
𝜋米，木桩的高为4米（如图）。
现有一只蚂蚁从B点沿着木桩表面爬到A点，蚂蚁爬行的最短距离是（
）。
A.10米
B. 16 +
36
𝜋2米
C.2 13米
D.5米
【例23】（2019浙江）A点、B点与墙的位置如右图所示，现从A点出发以5米/秒的速度跑向墙，接
触到墙后再跑到B点，问最少要多少秒到达B点？
A.30
B.34
C.38
D.42
【例24】（2017联考）如右图所示，某条河流一侧有A、B两家工厂，与河岸的距离分别为4km和
5km，且A与B的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水，需要在距离河岸1km处建造一个
污水处理厂，分别铺设管道连接A、B两家工厂。假定河岸是一条直线，则排污管道总长最短是：
A. 12km
B. 13km
C. 14km
D. 15km
【例25】（2017江苏）某市规划建设的4个小区，分别位于直角梯形ABCD的4个顶点处（如图），
AD=4千米，CD=BC=12千米。欲在CD上选一点S建幼儿园，使其与4个小区的直线距离之和为最小，
则S与C的距离是：
A. 3千米
B. 4千米
C. 6千米
D. 9千米
同比例放缩
若将一个图形尺度变为原来的N倍，则
1、对应角度不变
2、周长变为原来的N倍，增长了N-1倍
3、面积变为原来的N2倍，增长了N2-1倍
4、体积变为原来的N3倍，增长了N3-1倍
【例26】（2020联考）某演播大厅的地面形状是边长为100米的正三角形，现要用
边长为2米的正三角形砖铺满（如图所示）。问，需要用多少块砖？
A. 2763
B. 2500
C. 2340
D. 2300
【例27】（2020浙江）用边长为0.2m的正三角形地砖铺满一块边长为1m的正六边
形地面，需要多少块地砖？
A. 30
B. 60
C. 150
D. 180
立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。（ 原理）
立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。（ 原理）
几何最值理论(一)
几何最值理论（二）
（1）平面图形中，周长一定，越接近于圆，面积越大；（ 原理）
（2）平面图形中，面积一定，越接近于圆，周长越小。（ 原理）
特殊矩形：
（1）四边形周长一定时，正方形面积最大。
（2）四边形面积一定时，正方形周长最小。
【例28】（2018联考）某地市区有一个长方形广场，其面积为1600平方米。由此
可知，这个广场的周长至少有：
A. 160米
B. 200米
C. 240米
D. 320米
【例29】（2023联考）某村拟建造一个容积为144立方米，深度为4米的长方体无
盖蓄水池。为节约成本，侧面积最小为多少平方米？
A.24
B.36
C.96
D.132
【例30】（2019联考）将一个表面积为72平方米的正方体平分为两个长方体，再
将这两个长方体拼成一个大长方体，则大长方体的表面积是多少平方米？
A. 56
B. 64
C. 72
D. 84
【例31】（2018江西）设a、b、c、d分别代表四棱台、圆柱、正方体和球体，已
知这四个几何体的表面积相同，则体积最小与体积最大的几何体分别是：
A. d和a
B. c和d
C. a和d
D. d和b
补充考点7：切长最短（秒杀技巧）
特征：对角顶点，表面行走
公式：最短距离= 𝒂𝟐+ (𝒃+ 𝒄)𝟐
注：长不变，两短边加和组成另一条边
最短距离
立体题型：
①核心思路：展开成平面再连线
②长方体最远两点最短距离L：
第三种展开：
AO+OB=A’B’
= 42 + （3 + 5）2= 80
5
4
3
5
4
3
A
B
B’
A’
O
第二种展开：
AO+OB=AB’
= 52 + （3 + 4）2= 74
5
4
3
A
B
B’
4
O
第一种展开：
AO+OB=AB’
= 32 + （5 + 4）2= 90
3
A
B
B’
5
4
4
O
【例32】（2006江西）右图为长、宽、高分别是4cm、3cm、5cm的长方体，如果一只小虫从顶点
A爬到顶点B。其爬行的最短距离为：
A.4 5
B. 74
C.3 10
D. 70
【例33】（2019河北）长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1上，有一
个蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到𝐶1获取食物，其路程最小值是多少cm？
A.13
B. 193
C. 241
D.17
作业：今天所讲的题进行“3+2作业”（数量要精做、精刷）
3：三遍（先问题、再题干）（问题圈谁?）抓住问题，根据题干条件，判定考的是什么几何性质。
2：计算2遍：做、量、猜。
预习：第5章 经济问题
几何是超级超级高频题型，有的时候记忆就是最好的方法。敢做敢猜！
学习就是，再等一等，再忍一忍，
要练习，反复练习，无数次的练习，
练习到举手投足间，尽是从容，
练习到人人觉得你，天生如此，
练习到别人觉得你，没费什么力气
坚定的学，拼命的学
真正理解什么是：温故而知新
未来皆是惊喜。
