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2025 年高考押题预测卷
数学（上海卷 03）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（（1-6题，每小题4分，7-12题，每小题5分，共54分））
1．已知全集 ，集合 ，则 .
1.【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 .故答案为： .
2．已知向量 ， ，若 与 垂直，则 的值为 ．
2.【答案】 /
【解析】因向量 ， ，则 ，
则 ，解得： .故答案为： .
3．直线 被圆 截得的弦长为 ．
3.【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离 ，所以所求弦长为 . 故答案为： .
4．若 ，则 的值为 .
4.【答案】
【解析】 .
故答案为：
5．复数 在复平面内对应的点 的坐标为 ．
5.【答案】
【解析】依题意， ，所以点 的坐标为 .
故答案为：
6．记 为正项等比数列 的公比，若 ，则 .
6.【答案】5
【解析】由题意， ，则 ，因为 ，所以 ，
由 可知 ，则有 ，即 ，解得 或 .
因为数列 是正项等比数列，则 ，所以 . 故答案为：5.
7．在 的展开式中， 项的系数为60，则 的值为 .
7.【答案】
【解析】展开式的通项公式 ，
令 ，可得 ，则 项的系数为 ，可得 .故答案为：8．已知双曲线 （ ， ）的上、下焦点分别为 ， ，过 的直线l与双曲线C的
上、下两支分别交于点P，Q.若 ， ，则双曲线C的离心率为 .
8.【答案】
【解析】因为 ， ，
所以设 所以 ，
则 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
则双曲线C的离心率为 .
故答案为： .
9．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组
数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为 .
9.【答案】32
【解析】设丢失的数据为 ，
则平均数为 ，众数是8，
若 ，则中位数为8，此时 ，解得 舍去）；
若 ，则中位数为 ，此时 ，解得 ；
若 ，则中位数为10，此时 ，解得 ；所有可能的值为9，23，其和为32. 故答案为：32.
10．如图，某香包挂件是正四棱锥形状，其高为 ，底面边长为 ，若将此棱锥放在一球内可任意转动，
则该球表面积的最小值为 .
10. 【答案】 /
【解析】如图，设该香包挂件的直观图为正四棱锥 ，其底面的中
心为 ，则 为正四棱锥 的高，所以 ，由题可知在正
方形 中， ，所以 ，所以
.由题可知正四棱锥 的外接球即为所
求，易知正四棱锥 外接球的球心在直线 上，设其外接球的直径为 ，因为点 在正
四棱锥外接球的球面上，所以 ，
又 ，所以由几何性质可得 ，则 ，
所以 ，故外接球的表面积为 ，即所求球的表面积的最小值为 .
故答案为： .
11．棱长为1的正方体 中，点 在棱 上运动，点 在侧面 上运动，满足
平面 ，则线段 的最小值为 .11.【答案】
【解析】以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，设 ， ，
所以 ，
，
因为 平面 ，
所以 ，
故 ，
，故 ，
其中 ，故 ，
故当 时， ，此时 满足要求，
所以线段PQ的最小值为 .
故答案为：
12．项数为 的数列 满足 ，当且仅当 时 （其中
），称 为“好数列”．在项数为6且 的所有 中，随机选取一个数列，该数列
是“好数列”的概率为 ．
12. 【答案】 /
【解析】由题意，因为项数为6且 ，
所以每一项 都有两种选择，根据分布乘法计数原理，
可构成的数列 个数为 个，
由题意，若 为“好数列”，则意味着若 ，其前一项与后一项相等，
①则若 中没有0，则数列为 ，不符合题意，
②若 中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意，
③若 中有2个0，则 ， ，符合“好数列”定义；
④若 中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为 ，
若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意，
综上，符合题意的“好数列”只有4个，所以数列是“好数列”的概率为 .
故答案为：
二、选择题（13-14题，每小题4分，15-16题，每小题5分，共18分）
13．“ ”是“ 且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
13.【答案】B
【解析】同向不等式可以相加，所以“ 且 ” “ ”，必要性满足；
若 时，取 ，此时 且 不成立，即充分性不成立；
则“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：B
14．下列函数在区间 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
14.【答案】C
【解析】对于A选项，函数 在区间 上为减函数；
对于B选项，函数 在区间 上为减函数；
对于C选项，函数 在区间 上为增函数；
对于D选项，函数 在区间 上为减函数.
故选：C.
15．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸
径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回
归方程为 ，则（ ）
胸径x/cm 8 9 10 11 12树高y/m 8.2 10 11 12 13.8
A．当胸径 时，树高y的预测值为14B．
C．表中的树高观测数据y的40%分位数为10 D．当胸径 时，树高y的离差为0.32
15.【答案】B
【解析】由题意可知， ， ，
经验回归方程 过点 ， ，解 ，故B正确；
对于A，由B可知 ，当胸径 时，树高y的预测值为 ，A错误；
对于C， ， 表中的树高观测数据y的40%分位数为 ，C错误；
对于D，由B可知 ，当胸径 时，树高y的预测值为 ，
树高y离差为 ，D错误.
故选：B.
16．在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 的“切比雪夫距
离”，又设点 与直线 上任意一点 ，称 的最小值为点 与直线 间的“切比雪夫距离”，记作
，给定下列两个命题：
①已知点 ，直线 ，则 ；
②定点 、 ，动点 满足 则点 的轨迹与直线
（ 为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ）
A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立
C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立
16.【答案】C
【解析】对于①，设点Q是直线 上一点，且 ，可得 ，由 ，解得 ，即有 ，
当 时，取得最小值 ；
由 ，解得 或 ，即有 ，
的范围是 ，无最值，
综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ，故①正确；
对于②，定点 、 ，动点 ，
满足 ，
则： ，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设 ， .
当 时，有 ，得： ；
当 时，有 ，此时无解；
当 时，有 ， ；
则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.
结合图像可知，点 的轨迹与直线 （ 为常数）有且仅有2个公共点，因此②正确，
故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．已知函数 ，其中 ．
(1)是否存在实数 ，使函数 是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当 时，若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
17.【答案】(1) ，证明见解析；(2)
【解析】（1）函数 定义域为R，若 是奇函数，则 ，解得 ，
此时 ， ，符合题意，
故 .
（2）当 时， ，
由 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，又不等式 恒成立，得 ，
则实数 的取值范围为 .
18．如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ，
且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．18. 【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【解析】（1） ，
，且 ，
又
面PBD 又 是平行四边形 面PBD
（2） 设 与BD交点为O，
则 为 中点， ，
面 面 ，
面
法一：建系：如图建系，
，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
设二面角 的平面角为
二面角 的余弦值为 ．
法二：即求 直接找角：作 面PBD，
面 ，作 ，连 即为所求角二面角 的余弦值为 ．
法三：等积法：角度转化+等体积公式
设二面角 的平面角为
二面角 的余弦值为 ．
19．为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采
用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数
据如下：
数学成绩总评优秀人 数学成绩总评非优秀人
合计
数 数
每天都整理数学错题人数 14
不是每天都整理数学错题人
15 20
数
合计 40
(1)完成上述样本数据的 列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
(2)是否有 的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附： ；
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀
的人数为 ，求 的分布和期望.19.【答案】(1)列联表见解析，0.35；(2)有；(3)分布见解析，期望为 .
【解析】（1）完善 列联表，如下：
数学成绩总评优秀人 数学成绩总评非优秀人
合计
数 数
每天都整理数学错题人数 14 6 20
不是每天都整理数学错题人
5 15 20
数
合计 19 21 40
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为 .
（2）由（1）得 ，
所以有 的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”.
（3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，
的所有可能值为0，1，2，3，
，
，
所以 的分布为：
0 1 2 3
( )
91 35 5 1
228 76 38 114
期望 .
20．设双曲线 的方程为 (常数 .
(1)若双曲线 的焦距为4，求 两条渐近线的夹角；
(2)设 是第一象限内双曲线上一点， 是双曲线右顶点，当 为等腰三角形时，求点 的坐标；
(3)设 是直线 上一点.已知过点 的直线 、 的斜率分别为 ， 分别与 交于
和 ，当 时，求 的值.
20.【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）对于双曲线 ，其标准方程为 ，其中 .
双曲线的焦距 ，则 .
根据双曲线的性质 ，已知 ， ，代入可得 ，即 ，解得 ，则
.
对于双曲线 ，其渐近线方程为 .
已知 ， ，则双曲线 的渐近线方程为 .
设渐近线 的倾斜角为 ，则 ，
因为倾斜角 ，所以 .
设渐近线 的倾斜角为 ，则 ，
因为倾斜角 ，所以 .
两条直线夹角的范围是 .
两条渐近线倾斜角相差 ，所以两条渐近线的夹角为 .
（2）对于双曲线 ，则 .已知 ，则双曲线方程为 .
分情况讨论 为等腰三角形时 点的坐标：
情况一：当 时，
已知 ， ，则 .
设 （ ， ），因为 ，根据两点间距离公式可得 .
又因为点 在双曲线上，所以 ，联立方程组 ，解方程组：
由 可得 ，即 .
将 代入 中得： ，
解得 或 （舍去）.
当 时， ， （ ），所以 .
情况二：当 时
，则 ，即 ， .
联立方程组 ，将 代入 中得：
，解得 或 （舍去）.
当 时， ， （不满足 在第一象限，舍去）.情况三：当 时
，两边同时平方可得 ，即 ，展开得
，移项可得 ，解得 （不满足 在第一象限，舍去）.
综上所得，点 的坐标为 .
（3）设 ，直线 的方程为 （ 为参数），其中 .
直线 的方程为 （ 为参数），其中 .
将直线 的方程代入双曲线方程
把 代入双曲线方程，可得：
展开并整理得：
设 、 对应的参数分别为 、 ，根据韦达定理， .
由直线方程中参数的几何意义可知 .
因为 ，则 ， ，代入上式可得： .
同理将直线 的方程代入双曲线方程，按照上述步骤可得 .因为 ，所以 .
由于 ，则 ，即 .
又因为 ，而 （因为 ）.
由 可得 ，即 .
因为 ，所以 .
21．若存在实数常数k，m，对任意 ，不等式 恒成立，则称直线 是函数
和函数 在 上的分界线．
(1)请写出函数 和函数 在 上的一条斜率为1的分界线；（不必证明）
(2)求证：函数 和函数 在 上过坐标原点的分界线有且只有一条；
(3)试探究函数 （e为自然对数的底数）和函数 在 上是否存在分界线．若存在，
求出分界线方程；若不存在，请说明理由．
21．【答案】(1) ；（答案不唯一，满足 的均可）；(2)证明见解析；
(3)存在，
【解析】（1）由题意直线 是函数 和函数 在 上的一条分界线，则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
综上所述， ，
所以满足题意的直线可以是 ；（答案不唯一，满足 的均可）
（2）由题意，设 是函数 和函数 在 上过坐标原点的分界线，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
综上所述 ，
所以函数 和函数 在 上过坐标原点的分界线有且只有一条；
（3）若存在，则 恒成立，
令 ，则 ，所以 ，
因此， 恒成立，即 恒成立，由 得， ，
现在只要判断 是否恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ，
所以 ，即 恒成立
所以函数 和函数 在 上存在分界线，
其方程为 ．
