文档文本内容
2025 年高考押题预测卷
数学（上海卷01）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1．已知集合
，则
．
【答案】
【分析】直接进行并集运算即可求解.
【解析】由
，所以
.
故答案为：
.
2．直线
的倾斜角是 （结果用反三角表示）．
【答案】
【分析】求得直线斜率，进而可求得倾斜角.
【解析】设直线的倾斜角为
，
由
，可得
，所以
.
故答案为：
.
3．已知
，若
，则
.
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性计算可得.
【解析】若
，且
，
则
，
则
.
故答案为：
4．已知
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则当
时，
．
【答案】
【分析】由题意设
，则
，利用题中所给解析式求出
，再由奇函数的定义即可得出答案.
【解析】当
时，则
，则
，
又函数
是定义在R 上的奇函数，
所以当
时，
.
故答案为：
.
5．已知为虚数单位，设
，若
是实系数一元二次方程
的一个虚根，则
.
【答案】
【分析】将
代入方程计算即可求解出
的值.
【解析】因为
是
的一个虚根，所以
，
化简可得
，所以
，解得
，
故答案为：
.
6．当
时，函数
的最大值为 ．
【答案】3
【分析】根据题意，化简得到
，结合基本不等式，即可求解.
【解析】由
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
．
故答案为：.
7．已知
是夹角为
的两个单位向量，若向量
，则
.
【答案】4
【分析】直接由数量积的定义计算即可.
【解析】依题意得，
，于是
.
故答案为：
8．已知
的展开式中各项系数的和为
，则该展开式中
的系数为 .
【答案】
【分析】令
，求得a，再利用二项展开通项公式即可求得含
项的系数.
【解析】因为
的展开式中各项系数的和为
，
所以令
，得
，解得
，
所以
，
因为
的二项展开通项公式为
，
，
则展开式中含
的项为
，
故该展开式中
的系数为
，
故答案为：
.
9．在△
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，其面积
，则
【答案】
【分析】根据面积公式得到
,根据余弦定理得到
,对等式进行整理,即可
得到
的值
【解析】由三角形面积公式可得
,
由余弦定理可得
,
又
,
,
,
,即
故答案为
【点睛】本题考查解三角形的问题,考查三角形面积公式,余弦定理的应用,考查正切公式
10．若
､
是双曲线
的左右焦点，过
的直线与双曲线的左右两支分别交于
，
两点.若
为等边三角形，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得
∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=
a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率.
【解析】因为△ABF2为等边三角形，可知
，
A 为双曲线上一点，
，
B 为双曲线上一点，则
，即
，
∴
由
，则
，已知
，
在△F1AF2中应用余弦定理得：
，
得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝
故答案为：
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c 的值，这时可将
或
视为一个
整体，把关系式转化为关于
或
的方程，从而得到离心率的值.
11．某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π 立方米的球形景观灯所在球面
上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l 需满足
．当纪念碑体积取得最大值时，
正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01 米）．
【答案】
【分析】由题设可得球的半径为
，结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系
得
，进而得到纪念碑体积关于的表达式，应用导数求其最大值，并确定对应的侧棱长.
【解析】若球的半径为，则
，可得
，又
，
对于正四棱锥，设底面边长为
，高为，
则
，所以
，即
，
又
，则
，故
，即
，
纪念碑体积
，令
，
对于
，则
在
上单调递减，
当
时
，即
在
上单调递增，
当
时
，即
在
上单调递减，
所以
，故
，此时
米.
故答案为：
12．已知数列
满足：
，定义：
表示整数
除以4 的余数与整数
除以4 的余数相同，例：
.设
，其中
，数列
的前
项和为
，则满足
的
最小值为 .
【答案】40
【分析】由
，可利用迭代法分析前面有限项，可得当
为
的倍数时，
也是
的倍数，当
不为
的倍数时，
也不是
的倍数，则得当
是4 的倍数时，
，当
不是4 的倍数
时，
，即可得
，则取
，计算出
后，再计算
及
即可得解.
【解析】由
，即
，
因为
，所以
，
，
则
都不是
的倍数，
是
的倍数，
所以
不是
的倍数，
，不是
的倍数，
不是
的倍数，
是
的倍数，
依次可得当
为
的倍数时，
也是
的倍数，
当
不为
的倍数时，
也不是
的倍数，
由
，
则有当
是4 的倍数时，
，当
不是4 的倍数时，
，则
；
当
，
，
当
，即
时，有
，
，
故满足
的
最小值为
.
故答案为：
.
二、选择题(本题共有4 题，满分18 分，第13-14 题每题4 分，第15-16 题每题5 分；每题有且只有一个正
确选项)
13．在区间
上，
是函数
在该区间严格增的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】
在该区间严格增
,选出答案.
【解析】
在该区间严格增
，即
可能会在该区间内存在导数为0 的情况，
比如
在R 上单调递增，且
，
故
是函数
在该区间严格增的充分不必要条件.
故选：A
14．某单位共有A、B 两部门，1 月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条
形图如下.设A、B 两部门的服务满意度得分的第75 百分位数分别为
，
，方差分别为
，
，则（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】利用频率分布条形图可读出
，
，且A 部门数据更为集中，即可得出结论.
【解析】根据频率分布条形图可知
，
，即
；
显然A 部门得分数据较B 部门更为集中，其方差更小，即
；
故选：C
15．已知抛物线
的焦点为F，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，
下列说法正确的是（ ）
A．若O 为线段PQ 中点，则PF＝1
B．若PF＝4，则OP＝2
C．存在直线l，使得PF⊥QF
D．△PFQ 面积的最小值为2
【答案】D
【分析】对于A：利用焦半径公式求出
,直接判断；
对于B：由
求出
,直接求出
，即可判断;
对于C：设
,由O、P、Q 三点共线求出
，计算出
,即可判断;
对于D：直接求出
,利用基本不等式求出△PFQ 面积的最小值.
【解析】抛物线
的准线为
,焦点F(1,0).
对于A：若O 为PQ 中点,所以xp=1,所以
,故A 错误；
对于B：若
,则
,所以
.故B 错误;
对于C：设
,由O、P、Q 三点共线，可得
，所以
,
,所以
,所以FP 与FQ 不垂直,故C 错误;
对于D：
,当且仅当
,即
时取等号，所以
△PFQ 面积的最小值为2.故D 正确.
故选：D.
16．若点
为点
在平面
上的正投影，则记
.如图，在棱长为的正方体
中，
记平面
为
，平面
为
，点
是棱
上一动点（与
、
不重合）
，
.给出下列三个结论：
①线段
长度的取值范围是
；
②存在点
使得
平面
；
③存在点
使得
.
其中，所有正确结论的序号是
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
【答案】D
【分析】以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，设点
的坐标为
，求出点
、
的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③
的正误.
【解析】取
的中点
，过点
在平面
内作
，再过点
在平面
内作
，
垂足为点
.
在正方体
中，
平面
，
平面
，
，
又
，
，
平面
，即
，
，
同理可证
，
，则
，
.
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，设
，则
，
，
，
，
.
对于命题①，
，
，则
，则
，所以，
，命题①正确；
对于命题②，
，则平面
的一个法向量为
，
，令
，解得
，
所以，存在点
使得
平面
，命题②正确；
对于命题③，
，令
，
整理得
，该方程无解，所以，不存在点
使得
，命题③错误.
故选：D.
【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间
向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
三、解答题(本大题共有5 题，满分78 分，第17-19 题每题14 分，第20、21 题每题18 分.)
17．如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面
平面ABCD，
为等边三角形，且
，
，
，
，M 为PA 的中点.
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PAB 所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）取
的中点
，连接
，先证明
平面
，再证
平面
，最后证明
平面
，得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
的法向量，利用向量法求解.
【解析】（1）取
的中点
，连接
，
因为
为等边三角形，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
，
又
是
的中点，所以
，
因为
平面
，且
，
所以
平面
，又因为
平面
，
所以
.
（2）因为
，由（1）知四边形
为矩形，则
，
又
平面
，所以
平面
，
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
则
，
取平面
的法向量为
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，则
，
所以
，
，
设平面
与平面
所成二面角为
，
则
，所以
，
所以平面
与平面
所成二面角的大小为
.
18．已知函数
.
(1)求
的严格减区间；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标
不变），得到函数
的图象.若对任意
，
，
求实数
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可得
，最后利用复合函数单调性求出单
调递减区间即可.
（2）根据函数平移及伸缩求出
的解析式，求解
即可.
【解析】（1）
.
由
，解得
，
所以函数
的严格减区间为
；
（2）将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得到函数
，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，即
，
当
时，
，则
，则
，
对任意的
、
，
，
则
，
故实数
的最小值为
.
19．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40 人进行调查，统计结果如下表．
喜欢
不喜欢
合计
男
12
8
20
女
10
10
20
合计
22
18
40
(1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？
附：
，其中
，
(2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为
，张先生
跑步上班迟到的概率为
．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周
二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车
去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为
X，求X 的分布列及数学期望
．
【答案】(1)没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据列联表计算出
，再与临界值
进行比较，即可得出结论；
（2）根据题意分析
可能的取值，并依次求得概率，得到X 的分布列，进而求得X 的数学期望.
【解析】（1）由题意，零假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关，
则
，
故不能认为零假设不成立，
所以没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关.
（2）由题意，
所有可能的取值分别为，
，，
，
，
，
，
，
所以X 的分布列为：
1
2
3
4
所以
.
20．设椭圆
：
的一个顶点为
，离心率为
，
为椭圆
的右焦点．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设过
且斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，若满足
，求
的值；
(3)过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，过点
，
分别作直线：
的垂线（点
，
在直线
的两侧）．垂足分别为
，
，记
，
，
的面积分别为
，
，
，试问：是否存
在常数，使得
，
，
总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用离心率，根据
，
，的关系即可求出方程.
（2）根据条件
，向量化，垂直的两个向量数量积为
，即可解出
值.
（3）因为过点
，
分别作直线：
的垂线（点
，
在直线的两侧），表示出面积，根据
，
，
总成等比数列列出方程，即可求出.
【解析】（1）因为椭圆
：
的一个顶点为
，离心率为
，
所以有
，
，则
，所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）因为
为椭圆
的右焦点，所以
，
过
且斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，
所以设直线方程为
，
，
，
则
，则
，
，
，
，
，
，
因为满足
，所以
，
即
，
即
，
则有
，
整理得
，
解得
（舍），
.
（3）
由已知得，BC 的斜率存在，且B，C 在x 轴的同侧，
设直线BC 的方程为
，
，
，不妨设
，
则
，
，
由
得
，
所以
，
，
，
因为
，
，
，
所以
，
，
要使
，
，
总成等比数列，则应有
解得
，
所以存在
，使得
，
，
总成等比数列.
【点睛】第三问关键是
，
，
要结合题和图的特点恰当选择三角形的底和高，计算繁琐一些，注意准
确性.
21．若函数
和
同时满足下列条件：①对任意
，都有
成立；②存在
，使得
，则称函数
为
的“
函数”，其中
称为“
点”.
(1)已知图像为一条直线的函数
是
的“
函数”，请求出所有的“
点”；
(2)设函数
为
的“
函数”，其“
点”组成集合
；函数
为
的“
函数”，其“
点”组成集合
.试证明：“函数
为
的‘
函数’”的一个充分必要条
件是“
”；
(3)记
（为自然对数的底数），
，若
为
的“
函数”，
且“
点”
，求实数
的最大值.
【答案】(1)
；
(2)证明过程见解析
(3)
【分析】（1）取
，
，满足要求；
（2）先得到任意
，
成立，①成立，再证明出充分性和必要性，得到结论；
（3）求导得到
的单调性和最值，分
，
和
三种情况，得到实数
的最大
值.
【解析】（1）取
，
，
此时
，
，
故函数
是
的“
函数”，“
点”为
；
（2）
为
的“
函数”，其“
点”组成集合
，
故
，设
，
函数
为
的“
函数”，其“
点”组成集合
，
故
，设
，
显然对任意
，
成立，①成立，
充分性，若
，
不妨设
，此时
，②成立，
故②成立，所以函数
为
的‘
函数’，充分性成立；
必要性，若函数
为
的‘
函数’，
则存在
，使得
，
由于对任意
，
成立，故
，
故
，所以
，充分性成立；
故“函数
为
的‘
函数’”的一个充分必要条件是“
”；
（3）
定义域为R，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
且当
时，
恒成立，
又
，取
，
，
满足
且
，
为
的“
函数”，此时
，
当
时，取
，
故当
为
在
处的切线方程时，才满足要求，
，故切线方程为
，
令
得
，
由于
，设
，
，
所以
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
所以
，
当
时，结合图象，可知
单调递减且下凸，
对任意的
，无法做到
恒成立，
综上，实数
的最大值为
.
