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2025 年高考押题预测卷
数学（上海卷 01）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合 ，则 ．
【答案】
【分析】直接进行并集运算即可求解.
【解析】由 ，所以 .
故答案为： .
2．直线 的倾斜角是 （结果用反三角表示）．
【答案】
【分析】求得直线斜率，进而可求得倾斜角.
【解析】设直线的倾斜角为 ，
由 ，可得 ，所以 .
故答案为： .
3．已知 ，若 ，则 .
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性计算可得.
【解析】若 ，且 ，则 ，
则 .
故答案为：
4．已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则当 时， ．
【答案】
【分析】由题意设 ，则 ，利用题中所给解析式求出 ，再由奇函数的定义即可得出答案.
【解析】当 时，则 ，则 ，
又函数 是定义在R上的奇函数，
所以当 时， .
故答案为： .
5．已知 为虚数单位，设 ，若 是实系数一元二次方程 的一个虚根，则 .
【答案】
【分析】将 代入方程计算即可求解出 的值.
【解析】因为 是 的一个虚根，所以 ，
化简可得 ，所以 ，解得 ，
故答案为： .
6．当 时，函数 的最大值为 ．
【答案】3
【分析】根据题意，化简得到 ，结合基本不等式，即可求解.
【解析】由 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ．
故答案为： .
7．已知 是夹角为 的两个单位向量，若向量 ，则 .
【答案】4
【分析】直接由数量积的定义计算即可.
【解析】依题意得， ，于是 .
故答案为：
8．已知 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中 的系数为 .
【答案】
【分析】令 ，求得a，再利用二项展开通项公式即可求得含 项的系数.
【解析】因为 的展开式中各项系数的和为 ，
所以令 ，得 ，解得 ，
所以 ，
因为 的二项展开通项公式为 ， ，
则展开式中含 的项为 ，
故该展开式中 的系数为 ，
故答案为： .
9．在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，其面积 ，则
【答案】【分析】根据面积公式得到 ,根据余弦定理得到 ,对等式进行整理,即可
得到 的值
【解析】由三角形面积公式可得 ,
由余弦定理可得
,
又 , , , ,即
故答案为
【点睛】本题考查解三角形的问题,考查三角形面积公式,余弦定理的应用,考查正切公式
10．若 ､ 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与双曲线的左右两支分别交于 ，
两点.若 为等边三角形，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义算出△AFF 中，|AF |=2a，|AF |=4a，由△ABF 是等边三角形得
1 2 1 2 2
∠FAF =120°，利用余弦定理算出c= a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.
1 2
【解析】因为△ABF 为等边三角形，可知 ，
2
A为双曲线上一点， ，
B为双曲线上一点，则 ，即 ，
∴
由 ，则 ，已知 ，在△FAF 中应用余弦定理得： ，
1 2
得c2=7a2，则e2＝7 e＝
⇒
故答案为：
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将 或 视为一个
整体，把关系式转化为关于 或 的方程，从而得到离心率的值.
11．某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面
上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足 ．当纪念碑体积取得最大值时，
正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米）．
【答案】
【分析】由题设可得球的半径为 ，结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系
得 ，进而得到纪念碑体积关于 的表达式，应用导数求其最大值，并确定对应的侧棱长.
【解析】若球的半径为 ，则 ，可得 ，又 ，
对于正四棱锥，设底面边长为 ，高为 ，
则 ，所以 ，即 ，
又 ，则 ，故 ，即 ，
纪念碑体积 ，令 ，
对于 ，则 在 上单调递减，
当 时 ，即 在 上单调递增，
当 时 ，即 在 上单调递减，所以 ，故 ，此时 米.
故答案为：
12．已知数列 满足： ，定义： 表示整数 除以4的余数与整数
除以4的余数相同，例： .设 ，其中 ，数列
的前 项和为 ，则满足 的 最小值为 .
【答案】40
【分析】由 ，可利用迭代法分析前面有限项，可得当 为 的倍数时， 也是
的倍数，当 不为 的倍数时， 也不是 的倍数，则得当 是4的倍数时， ，当 不是4的倍数
时， ，即可得 ，则取 ，计算出 后，再计算 及 即可得解.
【解析】由 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
则 都不是 的倍数， 是 的倍数，
所以 不是 的倍数， ，不是 的倍数，
不是 的倍数，
是 的倍数，
依次可得当 为 的倍数时， 也是 的倍数，
当 不为 的倍数时， 也不是 的倍数，由 ，
则有当 是4的倍数时， ，当 不是4的倍数时， ，则 ；
当 ，
，
当 ，即 时，有 ，
，
故满足 的 最小值为 .
故答案为： .
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．在区间 上， 是函数 在该区间严格增的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】 在该区间严格增 ,选出答案.
【解析】 在该区间严格增 ，即 可能会在该区间内存在导数为0的情况，
比如 在R上单调递增，且 ，
故 是函数 在该区间严格增的充分不必要条件.故选：A
14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条
形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为 ， ，方差分别为 ， ，则（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】利用频率分布条形图可读出 ， ，且A部门数据更为集中，即可得出结论.
【解析】根据频率分布条形图可知 ， ，即 ；
显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即 ；
故选：C
15．已知抛物线 的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，
下列说法正确的是（ ）
A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 B．若PF＝4，则OP＝2
C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2
【答案】D
【分析】对于A：利用焦半径公式求出 ,直接判断；
对于B：由 求出 ,直接求出 ，即可判断;对于C：设 ,由O、P、Q三点共线求出 ，计算出 ,即可判断;
对于D：直接求出 ,利用基本不等式求出△PFQ面积的最小值.
【解析】抛物线 的准线为 ,焦点F(1,0).
对于A：若O为PQ中点,所以xp=1,所以 ,故A错误；
对于B：若 ,则 ,所以 .故B错误;
对于C：设 ,由O、P、Q三点共线，可得 ，所以 , ,所以
,所以FP与FQ不垂直,故C错误;
对于D： ,当且仅当 ,即 时取等号，所以
△PFQ面积的最小值为2.故D正确.
故选：D.
16．若点 为点 在平面 上的正投影，则记 .如图，在棱长为 的正方体 中，
记平面 为 ，平面 为 ，点 是棱 上一动点（与 、 不重合） ，
.给出下列三个结论：①线段 长度的取值范围是 ；
②存在点 使得 平面 ；
③存在点 使得 .
其中，所有正确结论的序号是
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】D
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系
，设点 的坐标为 ，求出点 、 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③
的正误.
【解析】取 的中点 ，过点 在平面 内作 ，再过点 在平面 内作 ，
垂足为点 .
在正方体 中， 平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ，即 ， ，
同理可证 ， ，则 ， .
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，设，则 ， ， ， ， .
对于命题①， ， ，则 ，则 ，所以，
，命题①正确；
对于命题②， ，则平面 的一个法向量为 ，
，令 ，解得 ，
所以，存在点 使得 平面 ，命题②正确；
对于命题③， ，令 ，
整理得 ，该方程无解，所以，不存在点 使得 ，命题③错误.
故选：D.
【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间
向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面 平面ABCD， 为等边三角形，且 ， ，
， ，M为PA的中点.
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，先证明 平面 ，再证 平面 ，最后证明
平面 ，得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，利用向量法求解.
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 ，
又 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ，且 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 .（2）因为 ，由（1）知四边形 为矩形，则 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
取平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，
，
设平面 与平面 所成二面角为 ，
则 ，所以 ，
所以平面 与平面 所成二面角的大小为 .
18．已知函数 .(1)求 的严格减区间；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标
不变），得到函数 的图象.若对任意 ， ， 求实数 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可得 ，最后利用复合函数单调性求出单
调递减区间即可.
（2）根据函数平移及伸缩求出 的解析式，求解 即可.
【解析】（1） .
由 ，解得 ，
所以函数 的严格减区间为 ；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得到函数
，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，即
，当 时， ，则 ，则 ，
对任意的 、 ， ，
则 ，
故实数 的最小值为 .
19．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表．
喜欢 不喜欢 合计
男 12 8 20
女 10 10 20
合计 22 18 40
(1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？
附： ，其中 ，
(2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为 ，张先生
跑步上班迟到的概率为 ．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周
二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车
去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为
X，求X的分布列及数学期望 ．
【答案】(1)没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据列联表计算出 ，再与临界值 进行比较，即可得出结论；
（2）根据题意分析 可能的取值，并依次求得概率，得到X的分布列，进而求得X的数学期望.【解析】（1）由题意，零假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关，
则 ，
故不能认为零假设不成立，
所以没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关.
（2）由题意， 所有可能的取值分别为 ， ， ， ，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
1 2 3 4
所以 .
20．设椭圆 ： 的一个顶点为 ，离心率为 ， 为椭圆 的右焦点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过 且斜率为 的直线与椭圆 交于 ， 两点，若满足 ，求 的值；
(3)过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，过点 ， 分别作直线 ： 的垂线（点 ， 在直线
的两侧）．垂足分别为 ， ，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，试问：是否存
在常数 ，使得 ， ， 总成等比数列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用离心率，根据 ， ， 的关系即可求出方程.
（2）根据条件 ，向量化，垂直的两个向量数量积为 ，即可解出 值.
（3）因为过点 ， 分别作直线 ： 的垂线（点 ， 在直线 的两侧），表示出面积，根据 ，
， 总成等比数列列出方程，即可求出 .
【解析】（1）因为椭圆 ： 的一个顶点为 ，离心率为 ，
所以有 ， ，则 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为 为椭圆 的右焦点，所以 ，
过 且斜率为 的直线与椭圆 交于 ， 两点，
所以设直线方程为 ， ， ，
则 ，则 ，
， ， ，
， ，
因为满足 ，所以 ，
即 ，
即 ，则有 ，
整理得 ，
解得 （舍）， .
（3）
由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧，
设直线BC的方程为 ， ， ，不妨设 ，
则 ， ，
由 得 ，
所以 ， ， ，
因为 ， ， ，
所以
，，
要使 ， ， 总成等比数列，则应有 解得 ，
所以存在 ，使得 ， ， 总成等比数列.
【点睛】第三问关键是 ， ， 要结合题和图的特点恰当选择三角形的底和高，计算繁琐一些，注意准
确性.
21．若函数 和 同时满足下列条件：①对任意 ，都有 成立；②存在
，使得 ，则称函数 为 的“ 函数”，其中 称为“ 点”.
(1)已知图像为一条直线的函数 是 的“ 函数”，请求出所有的“ 点”；
(2)设函数 为 的“ 函数”，其“ 点”组成集合 ；函数 为 的“
函数”，其“ 点”组成集合 .试证明：“函数 为 的‘ 函数’”的一个充分必要条
件是“ ”；
(3)记 （ 为自然对数的底数）， ，若 为 的“ 函数”，
且“ 点” ，求实数 的最大值.
【答案】(1) ；
(2)证明过程见解析(3)
【分析】（1）取 ， ，满足要求；
（2）先得到任意 ， 成立，①成立，再证明出充分性和必要性，得到结论；
（3）求导得到 的单调性和最值，分 ， 和 三种情况，得到实数 的最大
值.
【解析】（1）取 ， ，
此时 ， ，
故函数 是 的“ 函数”，“ 点”为 ；
（2） 为 的“ 函数”，其“ 点”组成集合 ，
故 ，设 ，
函数 为 的“ 函数”，其“ 点”组成集合 ，
故 ，设 ，
显然对任意 ， 成立，①成立，
充分性，若 ，
不妨设 ，此时 ，②成立，
故②成立，所以函数 为 的‘ 函数’，充分性成立；
必要性，若函数 为 的‘ 函数’，
则存在 ，使得 ，
由于对任意 ， 成立，故 ，故 ，所以 ，充分性成立；
故“函数 为 的‘ 函数’”的一个充分必要条件是“ ”；
（3） 定义域为R，
，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
且当 时， 恒成立，
又 ，取 ， ，
满足 且 ，
为 的“ 函数”，此时 ，
当 时，取 ，
故当 为 在 处的切线方程时，才满足要求，
，故切线方程为 ，
令 得 ，
由于 ，设 ， ，
所以 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
所以 ，
当 时，结合图象，可知 单调递减且下凸，对任意的 ，无法做到 恒成立，
综上，实数的最大值为.
