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2023 年高考押题预测卷02【上海卷】
数学·全解全析
1．
/
【分析】利用共轭复数的定义先得到
，化简
，然后利用纯虚数的定义即可求解
【详解】由
可得
，
∵
，
∴
，
∵
为纯虚数，
∴
，即
.
故答案为：
2．
【分析】根据均值不等式及二次不等式的解法求解即可.
【详解】因为
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
即
，
解得
或
（舍去），
即
的最小值为4，当且仅当
时等号成立.
故答案为：4
3．
【分析】由题可知渐近线到圆心距离等于圆半径，据此可得答案.
1
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【详解】设双曲线渐近线方程为：
，
，则圆心坐标为
，半径为1.
因圆与渐近线相切，则圆心到切线距离等于半径，即
.
则双曲线的一条渐近线方程为
，另一条渐近线方程为
.
故答案为：
4．
【分析】解绝对值不等式求得集合
，根据
求得
的取值范围.
【详解】由
解得
，所以
，
所以
，
由于
，所以
.
故答案为：
.
5．
/
【分析】由已知可证得
平面
，可得
为
与截面
的垂足时，线段
最小，然后利用等
积法求解．
【详解】如图，
连接
交截面
于
，由
底面
，
底面
,
2
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可得
，
又在正方形
中，
，
，
则
平面
，
平面
,
则
，
同理可得
，
，
则
平面
，此时线段
最小，
由棱长为2，可得等边三角形
的边长为
，
，
∵
，
∴
，解得
，
故答案为：
.
6．
【分析】计算
，
，代入计算得到
，确定
为首项为
，公
比为
的等比数列，求和得到答案.
【详解】函数
有两个零点
，故
，
，
，
3
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，
故
为首项为
，公比为
的等比数列，
数列
的前2023 项的和为
，
故答案为：
7．
【分析】根据奇函数的性质求得
，再结合基本不等式求
时其
的取值范围，再结合奇
函数的性质求
时函数值的范围，由此可得函数值域.
【详解】因为
为
上的奇函数，
所以
，所以
，
又当
时，
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
即当
时，
，
因为
为
上的奇函数，
所以函数
的图象关于原点对称，
所以
时，
，
所以函数
的值域为
.
故答案为：
.
8．
/
4
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【分析】作出球
的一个截面，圆
分别与
、
相切于点
、
，求出
、的值，即可得出椭圆
的离心率的值.
【详解】如图，是球
的一个截面，圆
分别与
、
相切于点
、
，
因为
，球的半径为
，所以
，
，
所以
，
所以
，
因为
是椭圆的长轴长，所以
，所以
，
根据椭圆在锥体中截面与球相切的切点为椭圆的焦点知，
球
与
相切的切点
为椭圆的一个焦点，
所以
，所以
，
所以离心率
．
故答案为：
.
9．112
【详解】由题意可得：
，
结合二项式展开式通项公式可得：
，
5
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令
可得：
，则常数项为：
.
10．
【分析】根据题意可得
的可能为前两局甲乙各胜一局，后两局甲或乙连胜，再结合独立事件的概率
公式运算求解.
【详解】由题意可知：
的可能为前两局甲乙各胜一局，后两局甲或乙连胜，
故
.
故答案为：
.
11．
【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定
的最小
值.
【详解】如下图所示，设
且
点B 在以F 为圆心，DE 为直径的圆上
又
当点B 为圆F 和线段FA 的交点的时候，
最短
6
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故答案为：
12．
【分析】首先利用不等式求得
，通过减少变量得
，再利用导数求出其值域即可.
【详解】由題意得
，
由
得
,得
,所以
,
令
，
，
当
时，
，此时
在
和
上单调递增，
当
时，
此时
在
单调递减，
所以
的极大值为
，
的极小值为
，
又因为
，
则
的取值范围为
.
故答案为：
.
7
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13．C
【分析】化简函数解析式可得
，计算当
时，
的值，由此判断命题（1），
计算
时，
的范围，利用正弦函数性质求函数
的值域，判断命题（2），根据图象
平移结论判断命题（3），利用导数求切线的斜率，判断命题（4）.
【详解】因为
，
所以
，
当
时，
，
所以
不是函数
的对称中心，（1）错误；
由
可得
，所以
，
所以
，
当
时，
，
当
时，
，
所以函数
在区间
上的值域为
，（2）正确；
函数
的图像向左平移
个单位长度得到函数
的图象，（3）错误；
8
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由
可得
，
所以
，
曲线
在
处的切线的斜率为1，（4）正确；
所以正确的命题有（2）（4），
故选：C.
14．C
【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示可得
，然后结合点到直线的距离公式和直线与圆的
位置关系即可求出.
【详解】设
，因为
因为
在以原点
为圆心，
为半径的圆上，且
.
设点
到直线
的距离之和为
，则
，转化为求
的最大
值.
设点
为点
与点
的中点，设
点到直线
的距离为
，则
，
又
.故
点轨迹方程为圆
.
圆
上点到直线
距离的最大值
.
所以
的最大值是
.
故选：C.
9
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【点睛】
15．C
【分析】由题设条件有
，令
则有
、
，应用基本不等式求
范围且
恒成立，进而求的范围，即可得结
果.
【详解】由
，则
，且
，
所以
，
令
，则
，且
，
所以
，即
，仅当
时等号成立，
对于
恒成立，仅当
，即
时等号成立，
综上，若
，则
，
而
，则
，只需
，
所以
，仅当
，即
时等号成立，
10
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综上，
，仅当
，即
时等号成立.
所以目标式最小值为
.
故选：C
16．B
【分析】不等式
，两边平方得到关于实数
的不等式，进而得到
，再利用模长公式
将
转化为
，再利用不等式
即可得解.
【详解】由
，两边平方得
又
，且
对任意实数
恒成立，
即
恒成立，所以
，
即
，所以
，即
.
由
，知
，
所以
,
当且仅当
与
同向时取等号.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用
对
任意实数
恒成立，求得
，再利用
求最值，考查了转化思想与运算能力.
17．(1)
(2)
11
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【分析】（1）利用
与
关系即可求出
的通项公式；
（2）根据对数运算即可求出结果.
【详解】（1）
，
两式相减可得
，
等比数列
的各项均为正数，
；
设公比为
，则
，
解得
，即
，
当
时，
，
解得
，
，
（2）若存在正整数
，使得
，
即
，
，
解得
，
存在
，使得
.
18．(1)证明见解析
(2)
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【分析】（1）确定
，根据中点得到
，
得到
平面
，得到面面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，平面
的一个法向量为
，
是
平面
的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）由
是底面的直径，点
是底面圆周上的点，得
.
又因
，
分别为
，
的中点，所以
，故
.
因
是圆锥的轴，所以
底面
，又
平面
，故
.
于是
与平面
内的两条相交直线
，
都垂直，从而
平面
；
而
平面
，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面
平面
.
（2）在圆锥底面，过圆心
作直径
的垂线，交圆周于点
，则直线
，
，
两两垂直，
以
为坐标原点，直线
，
，
分别为
，
，轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则
，
，
，
，
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
取
，得
.
又
是平面
的一个法向量，
13
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故
.
平面
与平面
所成的二面角是锐角，故二面角
的余弦值为
.
19．(1)分布列见解析， 1
(2)表格见解析，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系
【分析】（1）由题可知
可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；
（2）由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算
，比较其与
大小即可判断长时间使用
手机与是否得脑瘤有无显著关系.
【详解】（1）第一次训练时所取的球是从6 个球（3 新，3 旧）中不放回取出2 个球，所以
可取的值为
0，1，2.
.
则分布列如下
0
1
2
则期望为
；
（2）由题目条件可得列联表如下：
习惯固定在左侧接听电
话
习惯固定在右侧接听电话
总计
脑瘤部位在左侧的病人
14
28
42
脑瘤部位在右侧的病人
19
27
46
总计
33
55
88
14
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则
=
，故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系.
20．(1)
(2)
(3)可能是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）由椭圆的焦点坐标以及
，可得
的值，从而得到半椭圆方程；
（2）设
，分为
三种情况分别表示出
的周长，得到关
于
的函数，从而得到周长的取值范围；
（3）分情况讨论可知
不可能是直角；设
，则
，可得
，从而
，①若
在半椭圆
上，得
，令
，结合零点存在定理求解；②若
在圆弧
上，得
，令
，利用导数求解，综合可得结论.
【详解】（1）由
，令
，可得
以及
，
再由椭圆的方程及题意可得
，
由
，可得
，
由
可得
，则
，所以
，
所以“曲圆”
中的半椭圆的方程为
.
15
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（2）由（1）知，“曲圆”的方程为：
，
，
可得
，
为椭圆的左焦点，圆的半径
，
设
的周长为
，
当
时，
在圆上，
在椭圆上，
，
；
当
时，P、Q 都在椭圆上，
，
，
当
时，
在圆上，
在椭圆上，
，
；
综上，
的周长的取值范围为：
．
（3）若
都在半椭圆上，则
都在
轴右侧，也在
的下方，
，
当直线
是
时，显然
不可能是直角三角形，
当直线
不是
时，设直线
与“曲圆”相交于
，
若
中有一点在圆弧上，另一点在半椭圆上（圆内），
过圆心
，
不可能是直角；
设
，则
，
则
，
，
即
，
，从而
，
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①若
在半椭圆
上，
则
，即
，
令
，
，且函数
在
上的图象连续不断，
函数
在
上至少有一个零点
，此时
.
②若
在圆弧
上，
直线
的斜率
时，
，则
，
于是
，即
，
令
，
在
上严格递增，
在
上无解.
综上，当
都在半椭圆上时，
可能是以
或
为直角的直角三角形.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假
设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，
在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论．解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问
题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程
组有实数解，则元素存在；否则，元素不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
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21．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）求出函数的导数，计算
，
的值，利用直线的点斜式方程求出切线方程；
（2）求出函数的导数，通过讨论
的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于
的不等
式，解出即可求出答案；
（3）根据条件进行恒等转化，构造函数
，问题转化为
在
上恒成立，
利用不等式的性质求出范围即可.
【详解】（1）当
时，
，
∴
，
，
，
∴
在
处的切线方程为
.
（2）函数
的定义域为
，
当
时，
.
令
，解得
或
.
①当
，即
时，
在
上单调递增.
所以
在
上的最小值为
，符合题意；
②当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
上的最小值为
，不符合题意；
当
，即
，
在
上单调递增，
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所以
在
上的最小值为
，不符合题意；
综上，实数a 的取值范围是
.
故
的最小值为1.
（3）设
，则
，
因为
，
所以对任意
，
，
，且
恒成立，
等价于
在
上单调递增.而
，
当
时，
，此时
在
单调递增；
当
时，只需
在
恒成立，
因为
，只要
，则需要
，
对于函数
，过定点
，对称轴
只需
，即
，
综上可得：
.
【点睛】（1）经过函数上的
一点求切线方程的方法：对函数进行求导，得到导函数
，求出
在此点出的切线斜率
，利用直线的点斜式方程
，求出切线方程即可;
（2）若已知含参函数最值，求按参数的取值范围或参数的最值时，通常要对函数进行求导，研究导数的
正负，进而得到原函数的单调性，导数里含有参数，根据导数的具体形式对参数进行分类讨论，结合条件
得出结果；
（3）不等式抓化为函数值的比较，通常需要构造函数，如出现题中的不等式形式，需要构造
，研究
函数单调性，转化为导数
在
的恒成立问题.
19
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20
