【真题】2017年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

40年真题latex留白版获取方式：公众号后台发送关键词”考研真题“即可领取！

今天分享的是2017年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

unsetunset第1题unsetunset

若函数

在  处连续，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

根据连续性的定义计算即可，选 A。

unsetunset第2题unsetunset

设函数  可导，且 ，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 C，辅助函数的构造是显然的。

unsetunset第3题unsetunset

函数  在点  处沿向量  的方向导数为 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

套公式即可，选 D。

unsetunset第4题unsetunset

甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 （单位：）处，图中，实线表示甲的速度曲线 （单位：），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次是 。计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：），则 ?

(A) .

(B) $15

(C) .

(D) .

高中物理题，选 C。

unsetunset第5题unsetunset

设  为  维单位列向量， 为  阶单位矩阵，则 ?

(A)  不可逆.

(B)  不可逆.

(C)  不可逆.

(D)  不可逆.

选 A，考察秩一矩阵的性质。

unsetunset第6题unsetunset

已知矩阵

则 ?

(A)  与  相似， 与  相似.

(B)  与  相似， 与  不相似.

(C)  与  不相似， 与  相似.

(D)  与  不相似， 与  不相似.

A 和 B 的特征值是一样的，只需要判断重根 2 的几何重数和代数重数是否相等即可，选 B。

unsetunset第7题unsetunset

设  为随机事件. 若 ，则  的充分必要条件是 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

根据定义计算即可，选 A。

unsetunset第8题unsetunset

设  为来自总体  的简单随机样本，记 ，则下列结论中不正确的是 ?

(A)  服从  分布.

(B)  服从  分布.

(C)  服从  分布.

(D)  服从  分布.

结论题，选 B。

unsetunset第9题unsetunset

已知函数 ，则  ?

两种方法处理这种高阶导数，第一种直接泰勒展开：

第二种利用奇偶性。

unsetunset第10题unsetunset

微分方程  的通解为  ?

基础题。

unsetunset第11题unsetunset

若曲线积分  在区域  内与路径无关，则  ?

根据恰当条件计算即可。

unsetunset第12题unsetunset

幂级数  在区间  内的和函数  ?

基础题。

当然根据如下熟知幂级数直接换元也是可以的：

unsetunset第13题unsetunset

设矩阵 ， 为线性无关的  维列向量组，则向量组  的秩为 ?

实际上就是求  的秩。

unsetunset第14题unsetunset

设随机变量  的分布函数为 ，其中  为标准正态分布函数，则  ?

对分布函数求导得到概率密度函数，根据期望的定义计算即可，注意运用对称性简化计算。

unsetunset第15题unsetunset

设函数  具有  阶连续偏导数，，求 .

简单计算题，由于 ，所以部分导数不用具体算出来。

unsetunset第16题unsetunset

求 .

定积分定义。

unsetunset第17题unsetunset

已知函数  由方程  确定，求  的极值.

基础题。

unsetunset第18题unsetunset

设函数  在区间  上具有  阶导数，且 。证明：

(1) 方程  在区间  内至少存在一个实根；

(2) 方程  在区间  内至少存在两个不同实根。

第一问，根据极限的保号性得到小于  的函数值，从而运用零点定理解决。

第二问，辅助函数是显然的。

unsetunset第19题unsetunset

设薄片型物体  是圆锥面  被柱面  割下的有限部分，其上任一点的密度为 。记圆锥面与柱面的交线为 。

(1) 求  在  平面上的投影曲线的方程；

(2) 求  的质量 。

第一问送分，消去  即可。

第二问，根据一型曲面积分的定义投影计算即可。

unsetunset第20题unsetunset

设  阶矩阵  有  个不同的特征值，且 。

(1) 证明 ；

(2) 设 ，求方程组  的通解。

第一问，因为有三个不同的特征值，所以最多只能有一个  特征值，所以秩的下界是 ；又因为根据题目条件可以知道  不满秩，因此秩只能等于 。

第二问，根据解空间维度公式得到齐次方程只需要一个线性无关的解向量，根据题目等式即可得到；同时根据  的表达式容易得到非齐次的特解，从而得到通解。

unsetunset第21题unsetunset

设二次型  在正交变换  下的标准形为 ，求  的值及一个正交矩阵 。

基础题。

unsetunset第22题unsetunset

设随机变量  相互独立，且  的概率分布为 ， 的概率密度为

(1) 求 ；

(2) 求  的概率密度。

第一问很基础。

第二问，一个连续，一个离散，真题反复考察；使用全概率公式拆开即可，同时本题已知  和  独立，因此分类讨论难度不大。

unsetunset第23题unsetunset

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做  次测量，该物体的质量  是已知的。设  次测量结果  相互独立且均服从正态分布 ，该工程师记录的是  次测量的绝对误差 。利用  估计 。

(1) 求  的概率密度；

(2) 利用一阶矩求  的矩估计量；

(3) 求  的最大似然估计量。

第一问，根据  和  的关系式求解即可。

第二问，基础题， 独立同分布，因此可以利用第一问得到的相关结果。

第三问，基础题。

好了，以上就是今天小课糖的全部内容啦~如果内容对你有帮助，欢迎关注、点赞、收藏、转发呀，让更多人学到这个小妙招！

每日精选好题，拆解精巧解法，陪你稳步刷题、助力备考上岸！！！