1.57

设级数  条件收敛. 给定两个数 , 证明: 存在  的重排级数 , 使得重排后的级数的部分和  满足 , .

由  条件收敛, 有正项之和为 , 负项之和为 .

设所有的正项指标为 , 负项指标为 .

先取没有取过的负项, 直到部分和第一次小于 . 再取没有取过的正项, 直到部分和第一次大于 .

这样不断重复, 得到一个重排, 并且存在两列指标 , , 使

设使  时最后加入的负项为 . 由"第一次小于 ",

由于 , 所以 .

因此 .

同理, 设使  时最后加入的正项为 , 则

所以 , 因而 .

又因为 , 每次越过  或  时的超出量都趋于 . 因而其余部分和最终也不会超过  或低于 .

所以 , . 

1.58

设级数  收敛, 问以下级数的敛散性:

(1)

若  收敛, 则 . 所以存在充分大的 , 使对任意 , 有 .

于是 .

所以  收敛, 即  绝对收敛. 

(2)

不一定收敛.

取 , .

则

收敛, 但

发散. 

(3)

显然不一定收敛, 取 .

此时  收敛, 但  发散. 

(4)

绝对收敛. 因为由 Cauchy-Schwarz 不等式,

右端有界, 所以  收敛.

因此原级数绝对收敛. 

1.59

设级数  条件收敛. 记

证明 .

因为 , 所以 .

又因为  条件收敛, 所以  收敛, 而 , .

于是

所以 . 

1.60

设级数  发散, 问级数  与  是否收敛?

不一定.

取 , 则  发散,  发散, 而  收敛.

取 , 则  发散,  收敛, 而  发散.

也可能两者都发散. 例如取 , .

此时  与  都发散, 并且每一对满足 , 所以  也发散.

但  与  不可能同时收敛, 否则  收敛, 从而  绝对收敛, 与题设矛盾. 

1.61

判断下面级数的绝对收敛性和条件收敛性:

绝对值级数为

所以绝对收敛当且仅当 , .

再考虑条件收敛.

将相邻两项合并,

若 , 则

所以  收敛.

若 , 原级数收敛但不绝对收敛, 因此条件收敛.

若 , 假设 . 则 . 当  时发散, 当  时必有 , 此时已经绝对收敛.

 时同理.

所以绝对收敛当且仅当 , . 条件收敛当且仅当 , 且 . 其余情形发散. 

1.62

试举例说明, 当两个级数均是条件收敛时, 其 Cauchy 乘积可能发散.

取

由 Leibniz 判别法,  和  均条件收敛.

其 Cauchy 乘积的第  项为

又

所以 .

因此 Cauchy 乘积级数发散. 

1.63

设 , 证明:

因为 , 几何级数绝对收敛, 所以可以作 Cauchy 乘积.

 的系数为

因此

1.64

设 , 证明:

由广义二项式级数在  时绝对收敛, 可以作 Cauchy 乘积.

 的系数为

这里用了 Vandermonde 恒等式.

因此

1.65

证明: 对任意的实数  和 , 有

两个指数级数都绝对收敛, 所以可以作 Cauchy 乘积.

第  项的系数为

所以结论成立. 

1.66

证明以下等式.

(1)

记

因为

所以

所以

(2)

因为

所以

(3)

记

利用双阶乘,

又有 , .

因此

由 Stirling 公式,

所以

(4)

记

有

与上一问的  比较,

而 , 所以 . 

1.67

讨论以下无穷乘积的敛散性.

(1)

因为  收敛, 所以  绝对收敛.

又因为 , 所以无穷乘积  绝对收敛. 

(2)

因为当  时,

所以无穷乘积绝对收敛. 

(3)

取对数,

所以相应对数级数绝对收敛.

因此对任意实数 , 原无穷乘积收敛. 

(4)

取对数,

因为 , 所以

因此

而  发散, 并且部分和趋于 , 所以对数级数趋于 .

因此原无穷乘积趋于 , 按无穷乘积的通常定义发散. 

(5)

有

所以

只有当  时, 对数级数收敛.

因此原无穷乘积当且仅当  时收敛. 

(6)

若 , 则存在一项等于 , 所以无穷乘积从这一项开始恒为 , 按通常定义发散到 .

若 , 则从充分大项起

因为  收敛, 所以对数级数收敛, 原无穷乘积收敛.

因此  时收敛,  时发散到 . 

1.68

设级数  收敛, 证明: 无穷级数  与无穷乘积  同敛散.

先看

取对数,

所以是显然的, 问题在于怎么写过程.

想用比较判别法, 看二阶 , 然后注意

故  与

同敛散.

而

因为  已经收敛, 所以  与  同敛散.

又因为 , 所以充分大时 , 从而  与  同敛散.

所以  与  同敛散. 

1.69

设 , 讨论无穷乘积

的敛散性.

这与级数

同敛散.

而在 1.43(3) 中已经考虑过这个级数.

结论是:  时绝对收敛,  时条件收敛,  时发散.

当  时, 对数级数趋于 , 所以无穷乘积趋于 . 

1.70

如果  收敛, 但  发散, 则无穷乘积  发散到 . 由此证明: 当  时,

由

且  收敛,  发散, 可得

所以

下面证明极限.

当  为非负整数时, 对充分大的 , 有 , 结论显然成立.

下面设  且  不是非负整数.

由

其中  充分大,  为常数.

于是

这得到

1.71

设

其中 . 证明 .

写成

又因为

所以

因此 .