【苏教版最新】六年级数学上册《小数乘法和除法(二)》知识点总结及易错点全梳理

知识点1：一个数乘小数（例1、例2、例3）

例1：彩带计价（理解意义）

捆扎一个礼品盒需用0.9米彩带，每米售价4元，一共需要多少元？

• 数量关系：总价＝单价×数量，列式4×0.9；

• 意义：4×0.9表示求4的9/10是多少；

• 推导：4×0.9＝4×9/10＝(4×9)/10＝36/10＝3.6；

• 教材启发性问题：  

◦ "4×0.9的积为什么是一位小数？"

◦ "0.9×4和4×0.9的得数相同吗？你能想到什么？"（渗透乘法交换律）

例2：育苗区面积（小数乘小数）

育才小学快乐农场有一个边长1米的正方形育苗区，中间长0.6米、宽0.4米的长方形地里培育黄瓜苗，面积是多少平方米？

• 方法一（单位换算）：0.6米＝6分米，0.4米＝4分米，6×4＝24（平方分米），24平方分米＝0.24平方米；

• 方法二（分数推导）：0.6×0.4＝6/10×4/10＝(6×4)/(10×10)＝24/100＝0.24（平方米）；

• 百格图填空：6个(0.1)×4个(0.1)＝24个(0.01)——这就是计数单位的直观呈现；

• 教材启发性问题："为什么0.6×0.4的积是两位小数？"

例3：胡萝卜地（竖式算法）

一块长2.4米、宽1.6米的长方形胡萝卜地，面积是多少平方米？

• 推导：2.4×1.6＝24/10×16/10＝384/100＝3.84（平方米）；

• 教材启发性问题："2.4×1.6的计算过程和24×16有什么关系？你会用竖式计算吗？"

算法总结（教材双卡通）

• 可以把小数看成分母是10、100、1000……的分数去乘；

• 也可以先按照整数乘法计算，再看乘数的小数部分一共有几位，积就是几位小数。

积的小数位数规律：两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数（末尾0化简前）。

特殊情况：

• 积的小数位数不够，在前面补0占位（如0.8×0.03、0.07×0.05）；

• 积的末尾有0，先点小数点，再去掉末尾的0化简。

积与因数的大小关系（0除外）：乘大于1的数积大于原数，乘小于1的数积小于原数，乘1积等于原数。

竖式书写规范：末尾对齐，不按小数点对齐。

知识点2：积的近似数（例4）

例4：购买苹果——单价6.25元/千克，购买1.5千克要付多少元？

• 竖式计算：6.25×1.5＝9.375（元）；

• 教材提问："得数应保留几位小数？"——人民币结算保留两位小数（精确到分），答：付9.38元；

• 方法：四舍五入法。先算完整积，保留到哪一位就看它的下一位。

典型练习（练习一）：

• 按要求取近似值：7.2×0.09、0.86×3.2保留一位小数；0.74×0.4、5.89×3.6保留两位小数；

• 填表取近似：0.8054、1.9736分别精确到个位、十分位、百分位、千分位；

• 先估计再计算：平行四边形塑料板底3.2分米、高1.84分米，面积大约多少平方分米（保留一位小数）；

• 根据已知积推导：15×48＝720，直接写出1.5×4.8、0.15×4.8、0.15×48、15×0.48、0.015×4.8的积（用积的位数规律）。

知识点3：一个数除以小数（例5）

例5：剪彩带（理解转化）

红彩带长0.6米，剪成长0.3米的小段，可以剪成多少小段？绿彩带长1.2米，剪成长0.24米的小段呢？

• 方法一（单位换算）：0.6米＝6分米，0.3米＝3分米，6÷3＝2；1.2米＝120厘米，0.24米＝24厘米，120÷24＝5；

• 方法二（分数推导）：0.6÷0.3＝6/10÷3/10＝2；1.2÷0.24＝12/10÷24/100＝5；

• 深层推导：0.6÷0.3＝6/10÷3/10＝(1/10×6)÷(1/10×3)＝6÷3＝2；

• 教材启发性问题：  

◦ "0.6÷0.3可以转化成6÷3进行计算。"

◦ "一个数除以小数都可以转化成整数除以整数吗？"

竖式方法（教材竖式：0.24)1.20）：

1. 移动除数小数点使它变成整数；

2. 被除数小数点同步向右移动相同位数，位数不够补0；

3. 按除数是整数的小数除法计算。

教材提问："被除数和除数的小数点是怎样移动的？为什么要这样移动？"——答案是商不变的规律。

算法总结（教材三卡通）：可以把小数除法转化成分数除法计算；先把小数除法转化成整数除法再计算；把被除数和除数的小数点向右移动相同的位数。

商的大小规律（被除数不为0）：除数大于1商小于被除数，除数小于1商大于被除数，除数等于1商等于被除数。

知识点4：商的近似数（例6、例7）

例6：海狮游速（四舍五入）

海狮游速40千米/时，大约是多少米/分？（得数保留两位小数）

• 换算：40千米＝40000米，1时＝60分，40000÷60≈666.67（米/分）；

• 教材提问："得数保留两位小数，应该除到商的哪一位？为什么？"——保留两位看千分位，所以要除到千分位（多除一位）；

• 方法总结：求商的近似值，一般先算出比需要保留的位数多一位的商，再按四舍五入写出结果；

• 配套练习：海豚（50千米/时）、飞鱼（35千米/时）游速各是多少米/分（保留两位小数）。

例7：自动铅笔（去尾法）

每支自动铅笔3.5元，300元最多可以买多少支？

• 300÷3.5≈85（支）；

• 教材卡通提示："300元不够买86支，最多只能买85支。"

• 结论：取近似值时，要根据实际问题合理灵活地进行思考——余下的钱买不起一整支，只能舍去。

进一法配套练习（练一练）：每个油壶可以装3千克油，装40千克油至少需要多少个油壶？——40÷3≈14（个），余下的油还得再装一个壶，必须进一。

判断方法：先问自己"剩下的这一点怎么办"——装不下、坐不下、运不完就进一；做不成、买不起、不够分就去尾。

知识点5：循环小数（"你知道吗"）

• 有限小数：小数部分位数有限（如0.25）；

• 无限小数：小数部分位数无限（如1.66…）；

• 循环小数：从小数部分某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现；重复出现的数字叫循环节；

• 简便写法：循环节首尾数字上各点一个点，如1.66…记作1.6（6上加点）；

• 教材配套规律探究（练习二）：1÷11＝0.0909…，2÷11＝0.1818…，先算3÷11、4÷11找规律，直接写出5÷11~8÷11的近似值——为循环小数作铺垫。

知识点6：贯穿全单元的核心思想——转化与计数单位

• 小数乘法 → 整数乘法（先按整数算，再处理小数点）；

• 一个数除以小数 → 一个数除以整数（移动小数点，商不变）；

• 更深一层：所有运算的本质都是计数单位的运算——例2的"6个0.1×4个0.1＝24个0.01"就是最直观的证明，小数运算和整数运算"同宗同源"，只是单位变了。这个思想是名师解读和课堂教学的"魂"。

1. 吴正宪：抓住"运算一致性"，用计数单位讲算理

吴正宪老师强调，整数、小数、分数四则运算本质一致，核心都抓计数单位：乘法是计数单位的累加，除法是计数单位的细分。

用在本单元：

• 例2的百格图（6个0.1乘4个0.1得24个0.01）就是计数单位思想的天然载体——顺着教材的图讲，不要跳过；

• 讲小数乘法不要只教"小数点往哪儿点"，要让学生看见：0.36×2.5＝（36×0.01）×（25×0.1）＝（36×25）×（0.01×0.1）＝900×0.001＝0.9——小数点的位置是"算"出来的，不是背出来的；

• 讲小数除法用她著名的"继续分"：51÷2，余下1个1不够分，就把1个1看成10个0.1继续分；再有余数，还是1个变10个继续分。学生最后自己会喊出"小数除法，如此简单！"——除法每一步都是在细分计数单位；

• 教师要做的是建好"承重墙"（核心概念如计数单位）、打通"隔断墙"（知识间阻隔）。

2. 张齐华：让学生站在前台，自主选题、合作建构

张齐华老师上《小数乘小数》，复习环节不直接问"法则是什么"，而是给出六道题让学生讨论："时间有限，只能选做两题，选哪两题？说说理由。"学生在选择中自主提取经验、互相提醒注意点。他明确指出："笔算小数乘整数，学生掌握算法不难，难就难在如何结合计数单位理解算理。" 他采用社会化学习：独立完成学习单→组内共同学习→以学生提出的问题为课堂突破口。用在本单元：学习单设计成"你能用几种方法算0.8×3？"，竖式教学变成"谁来说说竖式里每一步表示什么意思"；例2、例5的多种推导方法（单位换算、分数、计数单位）正好适合小组汇报、互相补充。

3. 徐斌：算理算法两步走，先懂"为什么"再练"怎么算"

徐斌老师（无痕教育）：算理是计算的理论依据，算法是计算的基本程序，教学要先直观算理、后抽象算法；他还强调（引弗赖登塔尔）：运算的本质是计数。用在本单元：小数乘除法不要急着上法则、上竖式，先让学生借助线段图（例1）、百格图（例2）、单位换算（例2、例5）看明白算理，再归纳算法、规范书写。新教材已弱化机械练习，课堂上多问"积为什么会变大/变小""商的位数由谁决定"，比多算十道题管用。

4. 华应龙：把差错当成金矿，"错得好"

华应龙老师的"化错教育"（容错—融错—荣错）在本单元特别有用，因为小数运算是错误高发区。他的经典案例：学生算"1000÷20+1000÷5"，想当然写成"1000÷（20+5）"。华老师不说错，而是说"现在我们来欣赏……"，学生接话"错得好！"——这个错恰好提出一个好问题：除法到底有没有分配律？为什么乘法总有？

他还提醒：同一道计算题，错误相同，原因可能不同（如24×3算出92，可能是进位错、可能看成23×4、可能是口算基本功），要"对症下药"，不能一律归为"粗心"。用在本单元：学生出现"0.36×2.5只算36×5""除数变整数忘了动被除数""积的末尾0先删再点小数点"等错误时，先问一句"你的想法是什么？"，把差错转化为全班讨论资源。

5. 曹培英：运算能力五条建议

曹培英老师（《跨越断层，走出误区：小学数学运算教学研究》）给出五条可操作建议：

1. 重视数与运算的概念教学，把算法归结为基本概念、基本原理——本单元的"理"就是计数单位和转化；

2. 循理入法，以理驭法——算理和算法是运算能力的两翼，让学生遵循算理发现算法、驾驭算法；

3. 重视口算基本功，持之以恒——口算是所有笔算的地基（本单元练一练里的口算题不能略过）；

4. 重视运算错误的心理分析，对症下药——先分析错误类型（口算、法则、顺序、简便运算、粗心）再针对性训练；

5. 重视激发学习运算的兴趣——让计算"好玩"。他还特别关注"合情推理"：学生"无视小数点、先按整数除法算"其实是合理的类比猜测，教师要引导验证、修正，而不是简单否定。