AI聊数学:总习题一第6-9题 同济大学《高等数学》第8版上册)

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继续总习题一，今天做第6到第9题。第6题是图形变换，第7题是应用建模，第8题是极限定义证明，第9题是8个极限计算——内容量很大！

第6题：利用歪等于正弦埃克斯的图形作出三个函数的图形。

第一小题，歪等于正弦埃克斯的绝对值。就是把正弦曲线在埃克斯轴下方的部分翻上去，关于埃克斯轴做对称。原来负的部分变成正的，图形就像一串拱形，全部在埃克斯轴上方，周期还是派。

第二小题，歪等于正弦埃克斯的绝对值。注意这里的绝对值是加在埃克斯上的。因为正弦埃克斯的绝对值是偶函数，图形关于歪轴对称。所以先画埃克斯大于0的部分，就是正常的正弦曲线，然后把歪轴右边的图形关于歪轴翻折到左边。和第一小题的区别：第一小题是负值翻正，第二小题是左边翻右边。第二小题在埃克斯等于0处是光滑的，因为正弦在0处连续且导数存在。

第三小题，歪等于2乘正弦2分之埃克斯。振幅从1变成2，周期呢？正弦埃克斯的周期是2派，正弦2分之埃克斯的周期是4派，所以周期翻倍了。振幅变大、周期变长，图形比正弦埃克斯更"高"更"宽"。

总结三种变换：歪等于正弦埃克斯的绝对值是上下翻转（关于埃克斯轴对称），歪等于正弦埃克斯的绝对值是左右翻转（关于歪轴对称，偶函数），歪等于2乘正弦2分之埃克斯是振幅和周期的缩放。

第7题：把半径为大阿尔的圆形铁皮，自圆心处剪去圆心角为阿尔法的一扇形后围成一无底圆锥，建立圆锥体积维与角阿尔法间的函数关系。

应用题关键是建模。剪去阿尔法角后，剩余扇形的圆心角是2派减阿尔法，弧长就是2派减阿尔法乘大阿尔。这段弧长就是圆锥底面的周长。

设圆锥底半径为小阿尔，高为诶奇。底面周长等于2派小阿尔等于2派减阿尔法乘大阿尔，所以小阿尔等于2派分之2派减阿尔法乘大阿尔。高诶奇等于大阿尔的平方减小阿尔的平方再开根号，代入小阿尔化简得诶奇等于2派分之根号4派阿尔法减阿尔法平方乘大阿尔。

体积维等于3分之1乘底面积乘高，等于3分之1乘派乘小阿尔的平方乘诶奇。把小阿尔和诶奇的表达式代入，化简得维等于24派平方分之大阿尔的立方乘2派减阿尔法的平方乘根号4派阿尔法减阿尔法平方，其中0小于阿尔法小于2派。

注意定义域：阿尔法不能等于0（否则没有剪去扇形，围不成圆锥），也不能等于2派（否则全部剪掉，也围不成）。阿尔法越接近0，圆锥越"扁"接近平面；阿尔法越接近2派，圆锥越"尖"。

第8题：根据函数极限的定义证明埃克斯趋于3时，埃克斯平方减埃克斯减6除以埃克斯减3的极限等于5。

用伊普西隆德尔塔定义。关键是估计目标函数与5的差的上界。

先化简：埃克斯平方减埃克斯减6等于埃克斯减3乘埃克斯加2，所以埃克斯平方减埃克斯减6除以埃克斯减3等于埃克斯加2，前提是埃克斯不等于3。那么它与5的差的绝对值等于埃克斯加2减5的绝对值等于埃克斯减3的绝对值。要使这个差小于伊普西隆，只要埃克斯减3的绝对值小于伊普西隆。

所以对任意伊普西隆大于0，取德尔塔等于伊普西隆，当0小于埃克斯减3的绝对值小于德尔塔时，就有差小于伊普西隆。证毕！

这道题是最典型的伊普西隆德尔塔证明——分子恰好有埃克斯减3的因式，约分后差恰好等于埃克斯减3的绝对值，德尔塔直接取伊普西隆就行。

第9题，8个极限计算，逐个来做。

第一小题：埃克斯趋于1时，埃克斯平方减埃克斯加1除以埃克斯减1的平方。

分子趋于1减1加1等于1，不为零；分母趋于0。所以极限为无穷大。严格来说，倒过来：埃克斯减1的平方除以埃克斯平方减埃克斯加1趋于0，所以原式趋于无穷大。

第二小题：埃克斯趋于正无穷大时，埃克斯乘根号埃克斯平方加1减埃克斯。

这是无穷大减无穷大的不定式，分子有理化。乘以根号埃克斯平方加1加埃克斯再除以它，分子变成埃克斯乘1，因为埃克斯平方加1减埃克斯平方等于1。分母是根号埃克斯平方加1加埃克斯，约掉一个埃克斯等于根号1加埃克斯平方分之一加1，极限是2分之1。

第三小题：埃克斯趋于无穷大时，2埃克斯加3除以2埃克斯加1的埃克斯加1次方。

这是1的无穷次方型。2埃克斯加3除以2埃克斯加1等于1加2埃克斯加1分之2，然后凑重要极限：写成1加2埃克斯加1分之1的2埃克斯加1除以2次方，乘以2埃克斯加3除以2埃克斯加1的2分之1次方。前一部分趋于伊，后一部分趋于1，所以极限等于伊。

第四小题：埃克斯趋于0时，坦埃克斯减正弦埃克斯除以埃克斯的立方。

坦埃克斯减正弦埃克斯等于正弦埃克斯乘西肯特埃克斯减1，西肯特埃克斯减1等价于2分之埃克斯平方。所以原式等于正弦埃克斯除以埃克斯乘2分之埃克斯平方除以埃克斯平方，极限等于1乘2分之1等于2分之1。

第五小题：埃克斯趋于0时，诶的埃克斯次方加必的埃克斯次方加西的埃克斯次方除以3的埃克斯分之1次方。

又是1的无穷次方型。底数趋于3分之3等于1，指数趋于无穷。令底数为1加3分之诶的埃克斯次方加必的埃克斯次方加西的埃克斯次方减3，凑伊的某次方形式。指数部分3分之诶的埃克斯次方减1加必的埃克斯次方减1加西的埃克斯次方减1除以埃克斯，分别趋于3分之恩诶加恩必加恩西。所以极限等于伊的3分之恩诶加恩必加恩西次方，等于3次根号下诶乘必乘西。

第六小题：埃克斯趋于2分之派时，正弦埃克斯的坦埃克斯次方。

正弦埃克斯趋于1，坦埃克斯趋于无穷，又是1的无穷次方型。写成1加正弦埃克斯减1的某次方形式。关键是算指数部分的极限：正弦埃克斯减1乘坦埃克斯的极限。正弦埃克斯减1等于正弦埃克斯减正弦2分之派，用和差化积等于2西恩2分之埃克斯减2分之派乘克西2分之埃克斯加2分之派，除以西恩2分之埃克斯加2分之派乘克西2分之埃克斯加2分之派再乘正弦埃克斯。极限趋于0，所以伊的0次方等于1。

第七小题：埃克斯趋于诶时，恩埃克斯减恩诶除以埃克斯减诶。

令替等于埃克斯减诶，则埃克斯等于诶加替，替趋于0。原式等于恩1加诶分之替除以替，等于诶分之1乘恩1加诶分之替的诶分之替次方，极限等于诶分之1乘伊等于诶分之1。这就是恩埃克斯在诶处的导数的定义形式。

第八小题：埃克斯趋于0时，埃克斯乘坦埃克斯除以根号1减埃克斯平方减1。

埃克斯趋于0时，坦埃克斯等价于埃克斯，所以分子等价于埃克斯平方。分母根号1减埃克斯平方减1，用伊的尤次方减1等价于尤，这里尤等于负2分之埃克斯平方，所以分母等价于负2分之埃克斯平方。原式等于埃克斯平方除以负2分之埃克斯平方等于负2。

总结这4道题：第6题三种图形变换，第7题圆锥体积建模，第8题伊普西隆德尔塔定义证极限，第9题8种类型的极限计算。第9题覆盖了无穷大极限、有理化、1的无穷次方、等价无穷小替换、换元法等方法，是极限计算的集大成。