文档文本内容
义
务
教
育
教
科
书
六年级
上册
义务教育教科书
（五·四学制）
（
五
·
四
学
制
）
数数学学
六
年
级
SHUXUE
数学
六年级 上册 数
学
上
册
定 价： 10.30 元义务教育教科书
(五·四学制)
数学
六年级
上册
主编 李大潜主 编：李大潜
本册主编：徐斌艳
本册编写人员：陈月兰 钟菊红 苗俊杰 陆海兵 吴颖康 朱丽霞 王海生
责任编辑：章佳维 张莹莹
装帧设计：王 捷 周 吉
本册教科书中的图片由视觉中国、图虫·创意等图片网站提供
义务教育教科书（五·四学制） 数学 六年级上册
出 版 上海教育出版社（上海市闵行区号景路159弄C座）
发 行 上海新华书店
印 刷 上海中华印刷有限公司
版 次 2024年7月第1版
印 次 2024年7月第1次印刷
开 本 787 毫米×1092 毫米 1/16
印 张 10
字 数 148 千字
书 号 ISBN 978-7-5720-2825-0/G·2502
定 价 10.30 元
版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究
如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241
如发现印、装问题，请拨打 021-64373213，我社负责调换
价格依据文件：沪价费〔2017〕15 号
声明 按照《中华人民共和国著作权法》第二十五条有关规定，我们已尽量寻找著作权人支付稿酬。著作
权人若有关于支付稿酬事宜可及时与出版社联系。主编的话
世间的万事万物都有数和形这两个侧面，数学这门学科是忽略了事物的其他属性
仅仅从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的.
初中的数学，介于小学数学与高中数学之间，以往偏向于直观的数学教学将开始逐步
走向理性的阶段，对学生逻辑思维的训练会提出较高的要求，其认识也将不断得到深化.
数学是一门重理解和思考的学科. 数学学得好，主要看三条：一是理解要深入，
二是运作要熟练，三是表达要清晰. 这儿所提的“运作”，泛指推理及计算. 这三者中
最重要的是理解，只有理解深入，才能实现运作熟练和表达清晰这样一些外在层面上
的表现，才能真正掌握数学的精髓.
这些年参加了上海市的一些基础数学教科书的编写工作，常常听到一种说法：数
学是绝大多数学生一生中学得最多的一门功课，不少学生对数学是喜欢和热爱的，但
不太注意对数学真正的理解和感悟，花费了不少时间去刷题，学习负担虽重，却远未
达到应有的收获；还有相当一部分学生觉得数学抽象、难懂、神秘，从而望而生畏，甚
至避之唯恐不及. 所有这些，都不是我们希望看到的.
我们希望通过教师及学生的共同努力，使数学成为一门容易为学生接受，真正喜
闻乐见、可近可亲的课程；不仅负担不重而且愈学愈想学，愈学愈有趣味，愈学愈觉得
数学内容丰富、奥妙无穷，深深地为其吸引和陶醉. 这是我们的一个理想，并相信它
是一定可以实现的.
为了实现我们的理想，我们希望这套教科书能真正抓住初中数学的真谛，用朴实
无华且单刀直入的方式展现初中阶段应该学习的基本数学内容，努力给学生带来明确
而清晰的印象，真正帮助他们理解与掌握有关的数学内容，使学生的数学知识随着年
龄的增长逐步增进，充分体现数学学科的育人价值.
在从小学升入初中的第一册数学教科书中，将通过引入负数，把数的范围从正整
数、正分数扩充到有理数，并学习有理数的运算. 我们将开启代数学习之旅，用字母
表示数，引入代数式概念，学习式（一次式）的运算，并用代数式表示实际问题中的数
量关系，学习建立方程这一全新的方法. 此外，在“线段与角”一章中，将进一步学习
线段与角的符号表示及简单计算. 在“综合与实践”中，将从数学角度讨论膳食健康
问题、制订上海一日游计划.目 录
第 1 章 有理数
1.1 有理数的引入 2
1.2 有理数的加法与减法 16
1.3 有理数的乘法与除法 27
1.4 有理数的乘方 38
1.5 有理数的混合运算 42
阅读材料 50
我国古代对负数的认识
内容提要 52
复习题 53
第 2 章 简单的代数式
2.1 用字母表示数 57
2.2 代数式与代数式的值 61
2.3 一次式 67
阅读材料 76
能被3、5、9整除的数的特征
内容提要 77
复习题 78第 3 章 一元一次方程
3.1 方程与列方程 81
3.2 一元一次方程及其解法 85
3.3 一元一次方程的应用 97
内容提要 108
复习题 109
第 4 章 线段与角
4.1 线段 112
4.2 角 123
内容提要 140
复习题 141
综合与实践
你的膳食健康吗? 144
上海一日游计划制订 148
附录 部分中英文词汇索引 151１
第 章
有理数
在小学阶段，我们认识的整数和分数都可以进行加法运算，但
在进行减法运算时，就可能出现问题，如“１ ２”．因此，我们要引
入新的数———负数，使减法运算得以顺利地进行．同时，负数的引
入也为我们的生活带来了便利，如我们可以用正数和负数表示并记
录像零上温度与零下温度、收入与支出等具有相反意义的量．
本章主要学习有理数的概念和运算，把自然数的大小比较和运
算法则扩大到有理数范围．通过本章的学习，我们将进一步看到人
类对于数的认识是一个逐步深入的过程．１．１
有理数的引入
１．正数与负数
我们在小学阶段已经学习了自然数０、１、２、３……它们可用于计数．不
过，对于物体的长度、面积等量，仅靠自然数来描述是不够的，于是又需要
学习小数和分数．
只有这些数能不能满足需要呢？
30 30 30 30
20 20 20 20
10 10 10 10
5 °C
01/01
0 0 0 0
10 10 2 °C 10 10
20 20 20 20
图１１１
如图１１１，这一天的最高气温是零上５℃，最低气温是零下２℃．零上
５℃表示比０℃高５℃，零下２℃表示比０℃低２℃．零上温度和零下温度是
具有相反意义的量．
在地形图上表示某地高度时，需要以海平面为基准．珠穆朗玛峰最高处高
于海平面约８８４８．８６ｍ，吐鲁番盆地最低处低于海平面约１５４．３１ｍ．海平面以
上高度和海平面以下高度也是具有相反意义的量．
生活中有很多这样具有相反意义的量，你还能举出其他例子吗？
在表示温度时，为了区别零上温度和零下温度，通常规定在零上温度的
前面添上符号“＋”（读作“正”），而在零下温度的前面添上符号“－”（读作
“负”）．零上５℃，就记作＋５℃，读作“正五摄氏度”；零下２℃，就记作
－２℃，读作“负二摄氏度”．
在表示某地的海拔高度时，通常在高于海平面的高度前面添上符号“＋”，
而在低于海平面的高度前面添上符号“－”．如图１１２，珠穆朗玛峰的海拔高
１
２
第 有理数
章度是＋８８４８．８６ｍ，吐鲁番盆地的艾丁湖海拔高度是－１５４．３１ｍ．
)/ (
" 88 884488..8866 mm 7#
"115544..3311 mm
图１１２
３
像＋５、＋８８４８．８６、＋ 这样，前面有“＋”（正）号的数叫作正数；像－２、
４
９
－１５４．３１、－ 这样，前面有“－”（负）号的数叫作负数．一个数前面的“＋”“－”
７
号是它的符号．正数前面的符号“＋”通常可以省略不写，如＋５、＋８８４８．８６、
３ ３
＋ 可以分别写作５、８８４８．８６、 ．
４ ４
０既不是正数，也不是负数．０和正数统称为非负数．
小海妈妈３月份某银行账户收支情况如图１１３所示，你能说出
图中－１０００、＋２４２．５１、＋６５０８．４５各表示什么吗？
f
f
图１１３
一般地，我们可以用正数和负数来表示一个问题中出现的具有相反意义
的量．
３
１．１ 有理数的引入１ ３ １２ ９
例１ 把－１２、７１、－２．８、０、－０．３、５ 、０．２３、－ 、 、－ 中的
２ ４ ７ ５
正数和负数分别填入图１１４的相应圈里．
B
图１１４
１ １２
分析 在这些数中，７１、５ 、０．２３、 是正数，所以填入正数的圈中；
２ ７
３ ９
－１２、－２．８、－０．３、－ 、－ 是负数，所以填入负数的圈中．０既不是正
４ ５
数，也不是负数，不能填入以上任何一个圈中．
解
1 12 3 9
715 0.23 122.80.3
2 7 4 5
B
图１１５
在例１中，７１、－１２分别是正整数、负整数，它们和零都是整数．
１ １２ ３ ９
５ 和 是正分数，－ 和－ 是负分数，正分数和负分数都是分数．
２ ７ ４ ５
我们把正整数、负整数和零统称为整数．
３ －５
实际上，所有整数都可以写成分母为１的分数，如３＝ ，－５＝ ，
１ １
０
０＝ ．
１
犫
能够写成分数 （犪、犫是整数，犪≠０）的数叫作有理数．
犪
１
４
第 有理数
章自然数是整数的一部分，整数是有理数的一部分，它们之间的关系如图
１１６所示．
1 2
12 12
012 012 012 2 3
7&
)
图１１６
从小学开始，我们首先学习了自然数，然后学习了正分数，现在又认识
了负整数和负分数，我们认识的数扩大到了有理数范围．
课堂练习１．１（１）
１．（１）如果规定向东为正，那么－５０ｍ表示什么？如果规定向南为
正，那么－５０ｍ又表示什么？
（２）如果－１０００元表示支出１０００元，那么１２００元表示什么？
１ ５ ７
２．在８、－３、３ 、－ 、６８、０、０．３２、－ 、－３．１中，
４ ６ ５
（１）哪些是有理数？
（２）哪些是整数？
（３）哪些是正数？哪些是负数？
３．如果一个数不是正数，那么这个数一定是负数吗？为什么？
５
１．１ 有理数的引入２．数轴
我们已经知道，零上温度用正数表示，零下温度用负数表示．如图１１７，
把温度计水平横置，那么在“０”右边的数都是正数，在“０”左边的数都是负数．
8642 0 2 4 6 8 10 12 14
我们可以仿照温度
计，用水平直线上的一
些点来表示正数、负数
8642 0 2 4 6 8 10 12 14
和０．
图１１７
小海家在学校的正东方向，距离学校３ｋｍ；小华家在学校正西方
向，距离学校４ｋｍ．试画图表示这个情境．
上面的问题中，如果以学校为基准，规定“正东方向”为正，那么学校可
以用０ｋｍ表示，小海家可以用＋３ｋｍ表示，小华家可以用－４ｋｍ表示．如
图１１８，画一条直线，从左往右表示从西向东的方向，在直线上任取一个点
犗表示学校的位置，规定一个单位长度（线段犗犃的长）代表１ｋｍ．于是，在
点犗右边，与点犗距离３个单位长度的点犅表示小海家的位置；在点犗左
边，与点犗距离４个单位长度的点犆表示小华家的位置．这样，０可以用直线
上的点犗表示，＋３和－４分别可以用直线上的点犅和点犆表示．
1 km
" O A
>
C O A B
图１１８
如图１１９，画一条直线（一般画成水平的直线），在直线上任取一点表示
０，把这个点叫作原点；规定直线的一个方向（一般取从左往右的方向）为正方
向，并用箭头表示；再选取适当长度作为一个单位长度．在直线上，从原点向
右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示为１、２、３等；从原点向左，用
类似方法依次取点，并表示为－１、－２、－３等．
１
６
第 有理数
章5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
图１１９
像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴．
例如，２可以用数轴上位于原点右边、距离原点２个单位长度的点表示，
３．４可以用数轴上位于原点右边、距离原点３．４个单位长度的点表示，－３可
３
以用数轴上位于原点左边、距离原点３个单位长度的点表示，－ 可以用数轴
２
３
上位于原点左边、距离原点 个单位长度的点表示．
２
例２ 写出图１１１０中数轴上犃、犅、犆、犇、犈各点分别表示的数．
C B D A E
3 2 1 0 1 2 3 4 5
图１１１０
５
解 点犃表示的数为２，点犅表示的数为－１，点犆表示的数为－ ，点
２
犇表示的数为０，点犈表示的数为４．５．
例３ 画一条数轴，并用数轴上的点表示下列各数：３、－３、０．５、
３ ３
－０．５、１ 、－１ ．
４ ４
解 如图１１１１所示．
3 3
1 1
4 0.5 0.5 4
4 3 2 1 0 1 2 3 4
图１１１１
每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示．
用数轴上的点表示数，所有表示正数的点都在原点的右边，所有表示负
数的点都在原点的左边．原点（表示０的点）是表示正数的点和表示负数的点的
分界点．
７
１．１ 有理数的引入课堂练习１．１（２）
１．判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“”，错误的在括号
里打“×”：
（１）数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条射线； （ ）
（２）所有有理数都可以用数轴上的点表示； （ ）
（３）在数轴上，如果表示数犪的点在原点左边，那么这个数一定是
负数． （ ）
２．如图，写出数轴上的点犃、犅、犆所表示的数．
B C A
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
（第２题）
１
３．画一条数轴，并用数轴上的点表示下列各数：－２、１、－ 、
２
２．５、０．
３．相反数
在数轴上，与原点的距离是３个单位长度的点有几个？这些点表
示的数分别是多少？
可以发现，数轴上与原点距离３个单位长度的点有两个，它们表示的数
分别是３和－３（图１１１２）．
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
图１１１２
１
８
第 有理数
章３和－３只有符号不同，一正一负；从数轴上看，表示３和－３的两个点
位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．
像３和－３这样，只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的
７ ７ ７ ７ ７ ７
相反数．例如， 的相反数是－ ，－ 的相反数是 ， 与－ 互为相反数．
３ ３ ３ ３ ３ ３
０的相反数是０．
互为相反数的两个数（０除外）可以用数轴上的两个点表示，这两个点分别
位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．
９
例４ 分别写出下列各数的相反数：６、－８、－３．９、 、０．
１１
９
解 ６的相反数是－６，－８的相反数是８，－３．９的相反数是３．９， 的相
１１
９
反数是－ ，０的相反数是０．
１１
一般地，数犪和数－犪互为相反数，也就是数犪的相反数是－犪，数－犪
的相反数是犪．这里的犪表示一个有理数．
课堂练习１．１（３）
１．下列说法正确的是 （ ）
Ａ．正数和负数互为相反数；
Ｂ．表示相反意义的两个量互为相反数；
Ｃ．任何有理数都有相反数；
Ｄ．一个数的相反数一定是负数．
２．简化下列各数的符号：
（ ）
２
－（＋８）、＋（－９）、－（－６）、＋ ＋ ．
３
３．犪表示一个有理数．如果犪＝－犪，那么表示犪的点在数轴上的什
么位置？
９
１．１ 有理数的引入４．绝对值
如图１１１３，小海家、乐乐家分别离学校多远？（图中的单位长度
为１ｋｍ）
"
B 0 A
图１１１３
在数轴上，表示小海家的点犃和表示乐乐家的点犅分别位于表示学校的
点（原点）的两侧，它们对应的数分别是＋３和－３，它们与原点的距离
都是３ｋｍ．
当我们只需要研究小海家、乐乐家与学校的距离，不需要考虑方向，也
就是只研究点犃、点犅与原点的距离时，我们就说点犃、点犅与原点的距离
都是３ｋｍ，我们把这里的３叫作＋３的绝对值，它也是－３的绝对值．
一般地，数犪在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数犪的绝对值，记
作｜犪｜，读作“绝对值犪”或“犪的绝对值”．
如图１１１４，表示３与－３的点到原点的距离都是３个单位长度，它们的
绝对值都是３，即｜３｜＝３，｜－３｜＝３．
3 =3 3 =3
4 3 2 1 0 1 2 3 4
图１１１４
０的绝对值是０，即｜０｜＝０．
１
例５ 求４、３．７、－１２、０、－ 的绝对值．
２
１ １
解 ｜４｜＝４；｜３．７｜＝３．７；｜－１２｜＝１２；｜０｜＝０； － ＝ ．
２ ２
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，０的绝对
１
１０
第 有理数
章值是０，即：
（１）如果犪＞０，那么｜犪｜＝犪；
（２）如果犪＝０，那么｜犪｜＝０；
（３）如果犪＜０，那么｜犪｜＝－犪．
反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或０；如果
一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或０．
绝对值相等、符号不同的两个数互为相反数．
３
例６ 用数轴上的点表示绝对值为 的数．
２
３
分析 在数轴上，到原点的距离为 的点有两个，它们分别位于原点的两
２
３ ３
侧，这两个点所对应的数分别是 和 － ．因此，只需在数轴上分别画出表
２ ２
３ ３
示 和 － 的点即可．
２ ２
３
解 如图１１１５，绝对值为 的数有两个，可
２ 绝对值等于正数犪
的数有两个，分别是犪
用点犃和点犅表示．
和－犪．
B A
3 2 3 1 0 1 3 2 3
2 2
图１１１５
课堂练习１．１（４）
１．在数轴上，到原点的距离等于３．５个单位长度的点所表示的有理
数是 ．
２．写出下列各数的绝对值：
５ ７
６、－８、－３．９、 、－ 、１００．
２ ９
３．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等吗？请举例说明．
１ １
１．１ 有理数的引入５．有理数的大小比较
把图１１１６中温度计上的数值表示在数轴上，如图１１１７所示．
观察表示这些数的点在数轴上的位置，温度的高低与相应的点在数轴
上的位置有什么关系？
642 0 2 4 # B B P
4 3 2 1 0 1 2 3 4
642 0 2 4
# B B
图１１１６ 图１１１７
每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示．用数轴上的点表示有理
数时，这些点从左到右的顺序，就是有理数从小到大的顺序，即右边的点表
示的数大于左边的点表示的数．
由此可知：４＞０，０＞－２，２＞－４，……
正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
例７ 用数轴上的点表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序排列
起来：
１
５、０、－ 、３．５、－１．
２
解 把上述各数所表示的点分别标在数轴上，如图１１１８所示．
1
2 3.5
3 2 1 0 1 2 3 4 5
图１１１８
１
从数轴上可以看出，它们从左到右的顺序是：－１、－ 、０、３．５、５．
２
１
１２
第 有理数
章所以，把这些数按从小到大的顺序排列起来是：
１
－１＜－ ＜０＜３．５＜５．
２
１ １
从数轴上看，表示－ 的点在表示－１的点的右边，所以－ ＞－１．
２ ２
比较两个负数的大小，绝对值大的那个数反而小．
例８ 比较下列各组中两数的大小：
８
（１）－３和－１； （２）－２．５和－ ．
５
解 （１）｜－３｜＝３，｜－１｜＝１．
因为３＞１，即｜－３｜＞｜－１｜，所以－３＜－１．
８ ８
（２）｜－２．５｜＝２．５， － ＝ ．
５ ５
８ ８ ８
因为２．５＞ ，即｜－２．５｜＞ － ，所以－２．５＜－ ．
５ ５ ５
课堂练习１．１（５）
１．判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“”，错误的在括号
里打“×”：
（１）数轴上离原点越远的点所表示的数越大； （ ）
（２）任何一个正数都大于所有的负数； （ ）
（３）两个有理数，绝对值大的那个数反而小； （ ）
（４）比一个正数小的数一定是负数． （ ）
２．比较下列各组中两数的大小：
３ ２６
（１）３ 和３； （２）－ 和０；
４ １３７
１７
（３）０．３和 －１７； （４）－ 和 －０．３２．
５０
１ ３
１．１ 有理数的引入３．写出３个小于－５０并且大于－５２的数．
习题１．１
１．判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“”，错误的在括号里打
“×”：
（１）正有理数和负有理数统称为有理数； （ ）
（２）４可以看作分母为１、分子为４的分数； （ ）
（３）自然数就是正整数； （ ）
（４）一个负数的绝对值是它的相反数； （ ）
（５）任何数的绝对值都是正数． （ ）
２．填空题：
（１）某城市一月份日平均气温大约是零下３．５℃，用负数表示这个气温为
℃；
（２）如果把河道中的水位比标准水位低０．２ｍ记作－０．２ｍ，那么比标准
水位高０．１ｍ记作 ｍ；
（３）如果把写字台的长度比某一标准长度长２ｃｍ记作２ｃｍ，那么比该标
准长度短３ｃｍ记作 ｃｍ．
３．写出符合下列条件的有理数：
（１）既不是正数，又不是负数的数是 ；
（２）绝对值最小的数是 ；
（３）最小的正整数是 ；
（４）比－２．１小的整数中最大的整数是 ；
（５）不小于－４的负整数是 ．
１
１４
第 有理数
章４．写出下列各数的相反数，并将这些数和它们的相反数用数轴上的点表
７ ３ １
示出来：１．５、－ 、０、 、－３、２ ．
２ ４ ３
２ ５
５．写出下列各数的绝对值：１７．３、－４．５、０、 、－ 、－１２５．
３ ２
６．比较下列各组中两数的大小：
３ ４
（１）－１和０； （２） 和 ；
４ ５
３
（３）－２．１和－１．９； （４）－０．２７和－ ．
１１
７．数轴上到原点的距离等于４．８的点共有几个？它们所表示的数分别是多
少？这些数的和是多少？
８．如果一个数与３的和的相反数是－５，那么这个数的相反数是多少？
９．数学课上李老师提出一个问题：“绝对值小于１０的整数共有多少个？”
小海答道：“不就是１、２、３、４、５、６、７、８、９这九个数吗？！”欢欢认为小
海的回答有错，补充道：“李老师，小海还漏了－１、－２、－３、－４、－５、
－６、－７、－８、－９，所以一共有１８个．”你觉得欢欢的补充完整了吗？为
什么？
１ ５
１．１ 有理数的引入１．２
有理数的加法与减法
１．有理数的加法
在小学阶段，我们学习了自然数和正分数的加法运算法则．引入负数后，
数就扩充到了有理数，那么在有理数范围内如何进行加法运算呢？
已知一家商店五个月的盈亏情况如下：
第一个月上半月盈利３万元，下半月盈利２万元；
第二个月上半月亏损２万元，下半月亏损１万元；
第三个月上半月亏损１万元，下半月盈利３万元；
第四个月上半月盈利２万元，下半月亏损２万元；
第五个月上半月亏损２万元，下半月盈利１万元．
问：这家商店以上各月是盈利还是亏损？每个月盈利或亏损各是
多少万元？
我们规定盈利为“正”，亏损为“负”，如盈利１万元记作“１万元”，亏损
１万元记作“－１万元”．由此，我们可以把这家商店五个月盈亏情况填入表
１１（表中单位：万元）．
表１１
时间 上半月 下半月 算式 当月盈亏
第一个月 ３ ２ ３＋２ ５
第二个月 －２ －１ （－２）＋（－１） －３
第三个月 －１ ３
第四个月 ２ －２
第五个月 －２ １
由表１１得到：①３＋２＝５，② （－２）＋（－１）＝－３，③ （－１）＋３＝２，
１
１６
第 有理数
章④２＋（－２）＝０，⑤ （－２）＋１＝－１．从这些算式中，你有什么发现？
有理数的加法法则
（１）同号两数相加，取原来加数的符号，并把绝对值相加．
（２）异号两数相加，绝对值相等时和为０；绝对值不相等时，取绝对
值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
（３）任何一个数与０相加，仍得这个数．
例１ 计算：
（ ）
３ ５
（１）４．６＋ ； （２） － ＋０；
５ ４
（ ）
１
（３）（－１２）＋（－３６）； （４）（－２）＋ －１ ．
３
分析 同号两数相加，取原来加数的符号，并把绝对值相加；一个数与０
相加，仍得这个数．
３
解 （１）４．６＋ ＝４．６＋０．６＝５．２．
５
（ ）
５ ５
（２） － ＋０＝－ ．
４ ４
（３）（－１２）＋（－３６）＝－（１２＋３６）＝－４８．
（ ） （ ） （ ）
１ ４ ４ １０
（４）（－２）＋ －１ ＝（－２）＋ － ＝－ ２＋ ＝－ ．
３ ３ ３ ３
例２ 计算：
（１）３＋（－３）； （２）（－１６）＋５；
（ ） （ ）
１１ ２
（３） － ＋１； （４）０．５＋ － ．
２５ ３
分析 异号两数相加，绝对值相等时和为０；绝对值不相等时，取绝对值
较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
解 （１）３＋（－３）＝０．
互为相反数的两个
数的和为０．
１ ７
１．２ 有理数的加法与减法（２）（－１６）＋５＝－（１６－５）＝－１１．
（ ） （ ） （ ） ｜－１６｜＞｜５｜．
１１ １１ ２５ １１ １４
（３） － ＋１＝＋ １－ ＝＋ － ＝ ．
２５ ２５ ２５ ２５ ２５
（ ） （ ） （ ）
２ ２ １ ４ ３ １
（４）０．５＋ － ＝－ － ＝－ － ＝－ ．
３ ３ ２ ６ ６ ６
例３ 一辆运送货物的卡车从犃站出发，先向东行驶１５ｋｍ卸货，再向
西行驶２５ｋｍ装上另一批货物，又向东行驶２０ｋｍ后停下．问：卡车最后停在
何处？
分析 画出示意图（图１２１），可以看到卡车三次的行驶路程分别为从犃
到犅，从犅到犆，从犆到犇，所以点犇为卡车最后停止的位置．
20 km
15 km
C A D B
25 km
图１２１
解 设向东行驶为正，则向西为负；向东行驶１５ｋｍ和２０ｋｍ分别记作
１５ｋｍ和２０ｋｍ，向西行驶２５ｋｍ记作 －２５ｋｍ．
根据题意，得１５＋（－２５）＋２０＝（－１０）＋２０＝１０（ｋｍ）．
答：卡车最后停在犃站东面１０ｋｍ处．
课堂练习１．２（１）
１．在下列各题的横线处填上“＋”或“－”，使下列式子成立：
（１）（ ６）＋（ ６）＝０；
（２）（ ７）＋（ ６）＝－１３；
（３）（ ７）＋（ ６）＝１；
（４）（ ７）＋（ ６）＝－１．
１
１８
第 有理数
章２．计算：
１ ４
（１） ＋ ； （２）（－１３）＋（－９）；
４ ５
（ ） （ ）
５ ３ ３
（３） － ＋０； （４） － ＋ ；
６ ４ ４
（ ） （ ）
２ ２
（５）０．１＋ － ； （６）（－３）＋（－９）＋ － ．
３ ７
３．冬天，乐乐家开着空调取暖．在某一时刻，室外的温度是－４℃，
室内的温度比室外的温度高２３℃，那么这时室内的温度是多少摄氏度？
在小学阶段，我们知道了自然数和正分数的加法满足交换律和结合律．例如，
１ １
４＋ ＝ ＋４；
２ ２
（４＋２．３）＋３．７＝４＋（２．３＋３．７）．
引入负数后，在有理数范围内这些加法的运算律是否仍然成立呢？
（１）分别计算下面的算式，比较每组算式中两个加数的位置和运
算结果，你能得出什么结论？
（－４０）＋（－３０），（－３０）＋（－４０）；
（－３）＋８．１，８．１＋（－３）．
（２）再任取两个数相加，并交换加数的位置，还能得出同样的结
论吗？
由此可以观察到：两个有理数相加时，交换加数的位置，和不变，即
加法交换律
犪＋犫＝犫＋犪．
其中犪、犫表示有理数．
１ ９
１．２ 有理数的加法与减法（１）分别计算下面的算式，比较每组中两个算式的运算顺序和运
算结果，你能得出什么结论？
［（－８）＋（－５）］＋（－４），（－８）＋［（－５）＋（－４）］；
［５．３＋（－３．４）］＋２，５．３＋［（－３．４）＋２］．
（２）再换三个数试一试，还能得出同样的结论吗？
由此可以观察到：三个有理数相加时，先把前两个数相加再与第三个数
相加，或者先把后两个数相加再与第一个数相加，和不变，即
加法结合律
（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮）．
其中犪、犫、犮表示有理数．
三个或三个以上的有理数相加，既可以按从左到右的顺序计算，也可以根
据加法交换律和结合律，任意交换加数的位置，或者先把其中的某几个数相加．
例４ 计算：
（ ） （ ）
１ ５
（１）１６＋（－９）＋２４； （２）２．１２５＋ －１ ＋ － ＋０．２５．
４ ８
解 （１）１６＋（－９）＋２４
＝１６＋２４＋（－９） （加法交换律）
＝４０＋（－９）＝３１．
（ ） （ ）
１ ５
（２）２．１２５＋ －１ ＋ － ＋０．２５
４ ８
（ ） （ ）
１７ ５ １ １
＝ ＋ － ＋ －１ ＋
８ ８ ４ ４
（ ） （ ）
熿１７ ５ 燄 熿 １ １燄
＝ ＋ － ＋ －１ ＋ （加法结合律）
燀８ ８ 燅 燀 ４ ４燅
３ １
＝ ＋（－１）＝ ．
２ ２
１
２０
第 有理数
章分数与小数混合运算，可以先把小数转化成分数，也可以先把分数转化
成小数．例４中的（２）还可以这样算：
（ ） （ ）
１ ５
２．１２５＋ －１ ＋ － ＋０．２５
４ ８
＝２．１２５＋（－１．２５）＋（－０．６２５）＋０．２５
＝２．１２５＋（－０．６２５）＋（－１．２５）＋０．２５
＝［２．１２５＋（－０．６２５）］＋［（－１．２５）＋０．２５］
＝１．５＋（－１）
＝０．５．
课堂练习１．２（２）
１．判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“”，错误的在括号
里打“×”：
（１）两个有理数的和一定大于每一个加数； （ ）
（２）两个负数的和一定小于每一个加数； （ ）
（３）如果两个数的和为０，那么这两个数都等于０； （ ）
（４）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的和为０． （ ）
２．计算：
（１）２３＋（－１７）＋１６＋（－２２）；
（２）（－７）＋（－６．５）＋（－３）＋６．５；
（ ） （ ）
１ １ １
（３）１＋ － ＋ ＋ － ；
２ ３ ６
（ ）
１ １
（４）（－０．５）＋ ＋２．７５＋ －５ ．
４ ２
３．一架飞机原飞行高度是８０００ｍ，先上升３００ｍ，后下降
２００ｍ．求这时这架飞机的飞行高度．
２ １
１．２ 有理数的加法与减法２．有理数的减法
与小学学过的减法意义相同，有理数的减法是有理数加法的逆运算．有
理数的减法就是已知两个有理数的和与其中的一个加数，求另一个加数的
运算．
问题 如图１２２，这两天的气温，哪一天的温差比较大？
30 30 30 30
20 20 20 20
01/01 10 10 10 10
5 °C
0 0 U 0 0
01/03 10 10 2 °C10 10
20 20 20 20
图１２２
这是有关有理数减法的问题，列出算式分别是：５－（－２），９－４．
９－４＝５，那么如何求５－（－２）呢？
减法是加法的逆运算，计算５－（－２），就是要求出一个数，使这个数
与－２相加得５．
因为７＋（－２）＝５，所以５－（－２）＝７．
又因为５＋２＝７，所以
,
""
计算９－４与９＋（－４），从中又有什么发现？
有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数．
１
２２
第 有理数
章有理数的减法法则可以表示成
犪－犫＝犪＋（－犫）．
例５ 计算：
（１）６－（－６）；
（２）０－９；
（ ） （ ）
１ １
（３） － － － ；
２ ４
１
（４）（－１．５）－ ．
３
分析 根据有理数的减法法则，可以先把有理数的减法转化成加法，然
后按照有理数的加法法则进行计算．
解 （１）６－（－６）＝６＋６＝１２．
（２）０－９＝０＋（－９）＝－９．
（ ） （ ） （ ） （ ）
１ １ １ １ １ １ １
（３） － － － ＝ － ＋ ＝－ － ＝－ ．
２ ４ ２ ４ ２ ４ ４
（ ）
１ １
（４）（－１．５）－ ＝（－１．５）＋ －
３ ３
（ ）
１
＝－ １．５＋
３
（ ）
１ １ ５
＝－ １ ＋ ＝－１ ．
２ ３ ６
例６ 计算：－１６＋７－（－１３）－１４．
分析 这个算式中既有加法，也有减法，根据有理数的减法法则，可以
把它改写成（－１６）＋７＋１３＋（－１４），使问题转化为几个有理数的加法．
解 －１６＋７－（－１３）－１４
＝（－１６）＋７＋１３＋（－１４）
＝［（－１６）＋（－１４）］＋（７＋１３）
＝（－３０）＋２０
＝－１０．
２ ３
１．２ 有理数的加法与减法例７ 某大桥桥面在江面上方约４８ｍ，江底在江面下方约１０ｍ．求桥面
到江底的距离．
解 设江面上方为正，那么
４８－（－１０）＝４８＋１０＝５８（ｍ）．
答：桥面到江底的距离为５８ｍ．
课堂练习１．２（３）
１．根据有理数减法法则，在下列各题的横线处填上“＋”或“－”：
（１）（－４）－（＋２）＝（－４）＋（ ２）；
（２）（－７）－（－６）＝（－７）＋（ ６）；
（３）３－５＝３＋（ ５）；
（４）（＋８）＋（－５）＝（＋８）－（ ５）．
２．计算：
（１）（－３３）－２２；
（２）０．５－（－０．５）；
５
（３）０－ ；
３
（ ）
２
（４）（－２）－ ＋ ；
３
３
（５）３ －（－４．２５）．
４
３．计算：
（１）（－７）－（＋５）＋（－４）－（－１０）；
（ ） （ ） （ ）
４ ３ １
（２）７＋ － － － － － ．
７ ７ ７
１
２４
第 有理数
章习题１．２
１．选择题：
（１）如果两个数的和为负数，那么这两个数一定 （ ）
Ａ．至少有一个负数； Ｂ．至少有一个正数；
Ｃ．至少有一个为０； Ｄ．均不为０．
（２）给定两个不相等的有理数，较小的数减去较大的数所得的差一定是
（ ）
Ａ．正数； Ｂ．负数； Ｃ．０； Ｄ．非负数．
２．计算：
（ ）
２ ３
（１）（－９）＋１４； （２） ＋ － ；
５ ５
（ ）
１
（３）（－０．９）＋ － ； （４）（－０．８）＋１．２＋（－０．７）＋０．９．
２
３．计算：
（１）２８－（－７４）； （２）（－３．８）－７；
（ ） （ ） （ ） （ ）
２ ３ ３ １ １
（３） － － － ； （４） － － － － ．
５ ５ ４ ４ ２
４．计算：
（１）－４．２＋５．７－８．４＋１０；
１ ５ ２ １
（２）－ ＋ ＋ － ；
４ ６ ３ ２
（ ） （ ） （ ）
７ １ １
（３） － －（－５．５）＋ － － ＋ ；
８ ４ ８
（ ） （ ） （ ）
５ ４ ２
（４） － ＋ － － － ．
６ ５ ３
５．列式计算：
３
（１）什么数加上－５ 所得的和是６？
５
２ ５
１．２ 有理数的加法与减法（２）什么数减去－７．８所得的差是－０．８？
（３）－３．５减去什么数所得的差是－４？
３
（４）－４５加上什么数所得的和是－ ？
２
６．一家商店一周七天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：
－２５０元、１０００元、１３００元、－２００元、１８００元、－７５０元、７００元．
问：这家商店这一周盈亏多少？
７．“日较差”是指气象要素（如气温、气压、湿度等）在一昼夜间的最高值
与最低值之差，多用来记录历史天气状况或推断未来几天（或当日）的天气状
况．下表记录了某市１２月１日到１２月１０日每天的最高气温和最低气温．
（１）计算这１０天的气温“日较差”，填入表格（表中单位：℃）；
日期 １日 ２日 ３日 ４日 ５日 ６日 ７日 ８日 ９日 １０日
最高气温 １０ １２ １１ ９ ７ ５ ６ ８ ７ ７
最低气温 ３ １ ０ －１ －４ －５ －５ －３ －１ －６
气温“日较差”
（２）这１０天中，气温“日较差”最大的是哪一天？气温“日较差”最小的是
哪一天？
８．数轴上的点犃、点犅所对应的数分别是－３．１和５．２，那么点犃与点犅
的距离是多少？如果数轴上另有一点犆，且点犆与点犃的距离等于点犆与点
犅的距离，那么点犆所对应的数是多少？
９．已知有理数犪、犫、犮，它们的关系可以用式子表示为犪＋犫＝犮．又犪、
犫、犮三个数在数轴上所对应的点分别是犃、犅、犆，如果点犆恰好位于点犃
与点犅之间，请列举一组满足条件的犪、犫的值．想一想：当犪、犫两数的符
号满足怎样的关系时，点犃、犅、犆才会有这样的位置特征？
１
２６
第 有理数
章１．３
有理数的乘法与除法
１．有理数的乘法
在小学阶段，我们学过自然数和正分数的乘法运算法则．那么，乘数中出
现负有理数的乘法运算如何进行呢？
根据乘法的意义填空，并比较下列各组算式中，一个数乘１或
－１，所得的积有什么特点？
２×１＝１＋１＝２，２×（－１）＝（－１）＋（－１）＝ ；
３×１＝１＋１＋１＝３，３×（－１）＝（－１）＋（－１）＋（－１）＝ ；
４×１＝１＋１＋１＋１＝４，４×（－１）＝ ＝ ．
可以看出，一个数乘１所得的积是原数，一个数乘－１所得的积是原数的
相反数．例如：
２×１＝２，２×（－１）＝－２．
同样地，我们有
（－２）×１＝－２，（－２）×（－１）＝－（－２）＝２；
１×（－２）＝－２，（－１）×（－２）＝－（－２）＝２．
根据乘法的意义填空，并比较下列各组算式中，当乘数分别为４
或－４时，所得的积有什么特点？
１×４＝４，１×（－４）＝－４；
２×４＝４＋４＝ ，２×（－４）＝（－４）＋（－４）＝ ；
３×４＝４＋４＋４＝ ，３×（－４）＝（－４）＋（－４）＋（－４）＝ ．
从上述各组算式可以看出，两数相乘时，如果其中一个乘数换成它的相
反数，那么所得的积是原来的积的相反数．例如：
２ ７
１．３ 有理数的乘法与除法２×４＝８，２×（－４）＝－８．
同样地，我们有
（－２）×４＝－８，（－２）×（－４）＝－（－８）＝８．
BB
4,
从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，可以归纳如下：
正数乘正数，积是正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是
负数；负数乘负数，积是正数．积的绝对值等于各乘数绝对值的积．
任何数与０相乘都得０．例如：
０×４＝０，（－４）×０＝０，０×０＝０．
有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数与０相乘，积为０．
例１ 计算：
１
（１）５×（－３）； （２）（－４）× ；
２
（ ） （ ）
８ ３ ３
（３） － × － ； （４） ×（－２．４）．
５ ４ ８
解 （１）５×（－３）＝－（５×３）＝－１５．
（ ）
１ １
（２）（－４）× ＝－ ４× ＝－２．
２ ２
（ ） （ ）
８ ３ ８ ３ ６
（３） － × － ＝ × ＝ ．
５ ４ ５ ４ ５
（ ） （ ）
３ ３ ３ １２ ９
（４） ×（－２．４）＝－ ×２．４ ＝－ × ＝－ ．
８ ８ ８ ５ １０
１
２８
第 有理数
章（ ）
０．３
３ ３
还可以这样算： ×（－２．４）＝－ ×２＼．４ ＝－（３×０．３）＝－０．９．
８ ８＼
１
课堂练习１．３（１）
１．（－１）×（－５）与－（－５）是否相等？由此你发现了什么？
２．计算：
（１）１５×（－８）；
（２）（－８）×０．２５；
（３）（－０．５）×（－８）；
（ ）
２ ９
（４） × － ；
３ ４
（ ）
２
（５） － ×０．
５
３．商店降价销售某种商品，每件降８元，售出５０件后，与按原价
销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？
在小学阶段，我们学习了乘法的有关运算律，你还记得这些运算律吗？
填空：
（１）（－３）×４＝ ，４×（－３）＝ ；
（２）［（－３）×（－４）］×（－５）＝ ×（－５）＝ ，
（－３）×［（－４）×（－５）］＝（－３）× ＝ ．
从上面的填空中，你发现了什么？
我们发现，两个有理数相乘时，交换乘数的位置，积不变．三个有理数相
乘时，可以先把前两个数相乘，再把积与第三个数相乘；或者先把后两个数
相乘，再把积与第一个数相乘．按两种顺序得到的运算结果相等，即
２ ９
１．３ 有理数的乘法与除法乘法交换律
犪×犫＝犫×犪．
乘法结合律
（犪×犫）×犮＝犪×（犫×犮）．
其中犪、犫、犮表示有理数．
三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把
其中的几个乘数相乘．
下列各式的积是正数还是负数？几个不是０的数相乘，积的符号
与负乘数的个数之间有什么关系？
（１）（－２）×３×４×５；
（２）（－２）×（－３）×４×５；
（３）（－２）×（－３）×（－４）×５；
（４）（－２）×（－３）×（－４）×（－５）．
当乘式的乘数中有五个、六个、七个……负数时，积的符号分别
是什么？
从上述四个式子中可以发现：在乘式的各个乘数中，只有一个负数，积
的符号为负；有两个负数，积的符号为正；有三个负数，积的符号为负；有
四个负数，积的符号为正．
几个不等于零的数相乘，积的符号由负乘数的个数决定．当负乘数的个数
是奇数时，积的符号为负；当负乘数的个数是偶数时，积的符号为正．
你能看出下式的结果吗？
（－２）×（－３）×（－４）×（－５）×０．
１
３０
第 有理数
章例２ 计算：
（１）（－１２．５）×０．１９×（－８）；
（ ） （ ） （ ）
１ １ １
（２） － × － × － ×２４．
２ ３ ４
解 （１）（－１２．５）×０．１９×（－８）
＝（－１２．５）×（－８）×０．１９ （乘法交换律）
＝［（－１２．５）×（－８）］×０．１９ （乘法结合律）
＝１００×０．１９＝１９．
（ ） （ ） （ ）
１ １ １
（２） － × － × － ×２４
２ ３ ４ 几个不等于０的有
（ ） 理数相乘，先确定积的
１ １ １
＝－ × × ×２４ 符号，再把它们的绝对
２ ３ ４
值相乘．
＝－１．
填空：
（－３）×［（－４）＋５］＝（－３）× ＝ ；
（－３）×（－４）＋（－３）×５＝ ＋ ＝ ．
由此，你发现了什么？
我们发现，一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这
两个加数相乘，再把积相加，即
乘法对加法的分配律
犪×（犫＋犮）＝犪×犫＋犪×犮．
其中犪、犫、犮表示有理数．
例３ 计算：
（ ） （ ）
３ １ １ ４ ９
（１）０．１２× － ； （２） ＋ － ×３０．
４ ６ ３ １５ １０
３ １
１．３ 有理数的乘法与除法（ ） （ ）
３ １ ９ ２ ７
解 （１）方法一：０．１２× － ＝０．１２× － ＝０．１２× ＝０．０７．
４ ６ １２ １２ １２
（ ）
３ １ ３ １
方法二：０．１２× － ＝０．１２× －０．１２× ＝０．０９－０．０２＝０．０７．
４ ６ ４ ６
（ ）
１ ４ ９ １ ４ ９
（２） ＋ － ×３０＝ ×３０＋ ×３０－ ×３０＝１０＋８－２７＝－９．
３ １５ １０ ３ １５ １０
课堂练习１．３（２）
１．填空：狀个负数相乘，当狀为 时，积为正数；当狀为
时，积为负数．（填“奇数”或“偶数”）
２．计算：
（１）（－６）×５×（－７）；
（ ） （ ）
１ ４
（２） － × － ×（－６）；
２ ３
（ ）
７ ５
（３）０．２４× × － ；
６ １４
（ ） （ ）
１ １ ３
（４） － × － × ；
３ ２ ４
（ ） （ ）
５ ８ ２
（５）（－１）× － × ×０× － ．
４ １５ ３
３．计算：
（ ）
１ １
（１）（－２１）× １＋ － ；
３ ２１
（ ） （ ）
７ １１ １
（２） － ×７２× － ；
９ １２ １０
（３）（－５．３５）×（－３）＋５．３５×（－７）；
（ ）
３ １
（４）５．６× × － ．
８ ７
１
３２
第 有理数
章２．有理数的除法
（ ） （ ） （ ）
１ ３ ８
计算：（－２）× － ， － × － ．
２ ８ ３
根据计算结果，你能发现什么结论？
和小学学过的倒数意义相同，如果两个有理数的乘积为１，那么这两个有
３ ８ ３ ８ ８
理数互为倒数．例如，－ 和－ 互为倒数，－ 的倒数是－ ，－ 的倒数
８ ３ ８ ３ ３
３
是－ ．
８
１
当犪≠０时，犪和 互为倒数．
犪
３
例４ 求－ 的倒数．
４
（ ） （ ）
３ ４ ３ ４
解 因为 － × － ＝１，所以－ 的倒数是－ ．
４ ３ ４ ３
（ ）
１
怎样计算６÷ － 呢？
３
１
根据除法是乘法的逆运算，就是要求一个数，使它与 － 相乘的积
３
为６．
（ ） （ ）
１ １
因为 － ×（－１８）＝６，所以６÷ － ＝－１８．
３ ３
又因为６×（－３）＝－１８，于是有
３ ３
１．３ 有理数的乘法与除法
K""
有理数的除法法则 两数相除，除以一个不等于０的数，等于乘这
个数的倒数，即
１
犪÷犫＝犪× （犫≠０）．
犫
其中犪、犫表示有理数，且犫不等于０．
例５ 计算：
（ ）
３
（１）３５÷（－７）； （２）（－３）÷ － ；
２
（ ） （ ）
８ １ １
（３） － ÷ ； （４）０÷ － ．
９ ３ ２
（ ）
１
解 （１）３５÷（－７）＝３５× － ＝－５．
７
（ ） （ ）
３ ２ ２
（２）（－３）÷ － ＝（－３）× － ＝３× ＝２．
２ ３ ３
（ ） （ ） （ ）
８ １ ８ ８ ８
（３） － ÷ ＝ － ×３＝－ ×３ ＝－ ．
９ ３ ９ ９ ３
（ ）
１
（４）０÷ － ＝０×（－２）＝０．
２
由有理数的乘法法则和除法法则，可以得到：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
０除以任何不为０的数，都得０．
因此，例５中（１）（２）还可以这样算：
３５÷（－７）＝－（３５÷７）＝－５．
１
３４
第 有理数
章（ ）
３ ３ ２
（－３）÷ － ＝３÷ ＝３× ＝２．
２ ２ ３
（ ）
５ ３
例６ 计算：－２．５÷ × － ．
８ ４
（ ） （ ） （ ）
５ ３ ５ ８ ３ ５ ８ ３
解 －２．５÷ × － ＝ － × × － ＝ × × ＝３．
８ ４ ２ ５ ４ ２ ５ ４
例６还可以这样算：
（ ）
５ ３
－２．５÷ × －
８ ４
（ ）
８ ３
＝（－２．５）× × －
５ ４
２
０．５
８＼ ３
＝２＼．５× ×
５＼ ４＼
１ １
＝３．
课堂练习１．３（３）
１．写出下列各数的倒数：
７
－１４、－ 、－０．２５、－１、１．
４
２．计算：
（１）（－３６）÷４； （２）０÷（－３２１）；
（ ） （ ）
１ ２ ８
（３） － ÷（－２）； （４） － × ÷（－０．２５）．
２ ３ ５
３．（１）计算：（－６）÷２，６÷（－２），（－６）÷（－２）．
（２）联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立？
－犫 犫 犫 －犫 犫
＝ ＝－ ； ＝ ．（其中犪、犫是整数，犪≠０）
犪 －犪 犪 －犪 犪
３ ５
１．３ 有理数的乘法与除法习题１．３
１．选择题：
（１）如果两个数的商为正数，那么下列结论正确的是 （ ）
Ａ．这两个数的和为正数； Ｂ．这两个数的差为正数；
Ｃ．这两个数的积为正数； Ｄ．这两个数都为正数．
（２）已知两个有理数犪和犫，它们的积不为零．如果犪÷犫所得的商与犫÷
犪所得的商相等，那么犪和犫一定 （ ）
Ａ．相等； Ｂ．互为相反数；
Ｃ．互为倒数； Ｄ．绝对值相等．
２．计算：
２
（１）１２×（－８）； （２）（－２．５）× ；
５
（ ） （ ） （ ）
１ ８ ３４
（３） － × － ； （４） － ×２５．
４ ９ １５
３．计算：
（１）（－９１）÷１３； （２）（－５６）÷（－１４）；
（ ）
３ ４
（３）（－０．２５）÷ － ； （４） ÷（－１）．
８ ５
４．计算：
（１）（－２）×３×（－４）；
（ ）
８
（２） － ×１．２５×（－８）；
２５
（ ） （ ） （ ）
３ １ １
（３） － × － ÷ － ；
４ ２ ４
（ ）
３ ７
（４） － ×３０．
１０ １５
１
３６
第 有理数
章５．如图，甲、乙两圈中各有５个有理数．如果甲圈中的某数与乙圈中的某
数互为相反数，请用实线将它们相连；如果甲圈中的某数与乙圈中的某数互
为倒数，请用虚线将它们相连．
3 3
1 2
1
2 3
0.5 0
2 1
3 3
0 2
*
（第５题）
６．（１）请列举两个数，使它们的积为正数，和为负数，并想一想，这两
个数的符号满足怎样的关系？
（２）请列举两个数，使它们的积为负数，和为负数，并想一想，这两个
数的符号满足怎样的关系？
３ ７
１．３ 有理数的乘法与除法１．４
有理数的乘方
将一张纸对折１次可以裁成２张，对折２次可以裁成４张，对折３
次可以裁成几张？
可以知道，对折２次裁成２×２＝４（张），对折３次裁成２×２×２＝８（张）．
想象一下，如果对折５次、１０次、２０次，那么可裁成几张呢？对
折的结果又如何表示呢？
可表示为：
２×２×２×２×２，
２×２×２×…×２×２，
烏 烐 烑
１０个２
２×２×２×…×２×２．
烏 烐 烑
２０个２
２０个２相乘，能用较简洁的式子表示吗？
上面２×２，也就是２个２相乘可以写成２２．类似地，２×２×２，也就是３
个２相乘可以写成２３ ，２×２×２×２×２可以写成２５ ，２×２×２×２×２×２×２×
２×２×２可以写成２１０．一般地，我们将狀（狀为正整数）个相同乘数犪相乘，即
犪×犪×犪×…×犪×犪，记作犪狀 ，读作“犪的狀次方”．在犪狀 中，狀称为指数（当
烏 烐 烑
狀个犪
指数狀为１时可以省略不写）．
求狀个相同有理数的积的运算叫作有理数的乘方．
１
３８
第 有理数
章（ ） （ ）
３ ３
例如， ２×２×２×…×２×２＝２２０ ，读作“２的２０次方”； － × － ×
烏 烐 烑 ４ ４
（ ） （ ） （２０个２） （ ）
３ ３ ３ ３ ３
－ × － × － ＝ － ５ ，读作“－ 的５次方”．
４ ４ ４ ４ ４
例１ 计算：
（１）１０５ ； （２）２４ ；
（３）（－２）
３
； （４）（－３）
４
；
（ ）
１
３
（５） － ．
２
解 （１）１０５＝１０×１０×１０×１０×１０＝１０００００．
（２）２４＝２×２×２×２＝１６．
（３）（－２） ３＝（－２）×（－２）×（－２）＝－８．
（４）（－３） ４＝（－３）×（－３）×（－３）×（－３）＝８１．
（ ） （ ） （ ） （ ）
１ １ １ １ １
３
（５） － ＝ － × － × － ＝－ ．
２ ２ ２ ２ ８
从例１中我们可以发现：
正数的任何次方都是正数；负数的奇数次方是负数，负数的偶数次方是
正数．
例２ 计算：
（ ） （ ）
１ ２
５ ４
（１） － ； （２） － ；
３ ３
（３）（－１．５） ３ ； （４）（－１） ２０２２．
（ ） （ ）
１ １ １
解 （１） － ５ ＝－ ５ ＝－ ． （ ） （ ）
３ ３ ２４３
２ ４ ２ ４
－ 与 －
（ ） （ ） ３ ３
２ ２ ２ ２ ２ ２ １６
４ ４
（２） － ＝ ＝ × × × ＝ ． 的意义是否相同？
３ ３ ３ ３ ３ ３ ８１
（３）（－１．５） ３＝－１．５３＝－３．３７５．
３ ９
１．４ 有理数的乘方还可以这样算：
（ ） （ ）
３ ３ ２７
３ ３
（－１．５） ３＝ － ＝－ ＝－ ．
２ ２ ８
（４）（－１） ２０２２＝１２０２２＝１．
课堂练习１．４
１．判断下列算式是否正确，正确的在括号里打“”，错误的在括号
里打“×”：
（１）２３＝２×３＝６； （ ）
（２）２＋２＋２＝２３ ； （ ）
（３）２３＝２×２×２； （ ）
（４）－２４＝（－２）×（－２）×（－２）×（－２）． （ ）
２．计算：
（１）（－１）
１０
； （２）（－１）
９
；
（ ）
１
４
（３）（－０．１） ３ ； （４） － ；
２
（ ）
１
４
（５）－（－０．２） ５ ； （６）－ －１ ．
２
习题１．４
１．填空题：
（１）（－２）
５
表示的是 个 相乘；
（２）（－２）
１５
是 数，（－２）
２０
是 数，－２１５ 是 数，
－２２０ 是 数．（填“正”或“负”）
２．计算：
（ ）
４
４
（１）（－３） ３ ； （２） － ；
３
１
４０
第 有理数
章（３）－（－２） ３ ； （４）（－２） ２×（－３） ２．
１
３．一个正方体的棱长为 ｍ，求它的体积．
２
４．在右面的圈中填数．
D D
3
2
3
2.1
（第４题）
４ １
１．４ 有理数的乘方１．５
有理数的混合运算
下面的算式中有哪几种运算？
（ ）
１
４＋３０÷３３× － －２．
２
上面这个算式中含有有理数的加、减、乘、除、乘方运算，这是有理数
的混合运算．
有理数的混合运算，可以按照以下顺序进行：
先算乘方，再算乘除，最后算加减．同级运算，从左到右进行．如果有括
号，先进行括号内的运算．
例１ 计算：
１ １ １
（１）１－ ＋ － ； （２）１５÷（－２－４） ２ ；
２ ４ ８
（ ）
１
（３）－［－（－２）］ ３ ； （４）４＋３０÷３３× － －２．
２
１ １ １
解 （１）１－ ＋ －
２ ４ ８
１ １ １
＝ ＋ － （同级运算，从左到右进行）
２ ４ ８
３ １
＝ －
４ ８
５
＝ ．
８
（２）１５÷（－２－４）
２
＝１５÷（－６）
２
（先进行括号内的运算）
＝１５÷３６
５
＝ ．
１２
１
４２
第 有理数
章（３）－［－（－２）］
３
＝－［２］
３
（去括号按照小括号、中括号、大括号依次进行）
＝－（２）
３
＝－８．
（ ）
１
（４）４＋３０÷３３× － －２
２
（ ）
１
＝４＋３０÷２７× － －２ （先算乘方，再算乘除）
２
１ １
＝４－３０× × －２
２７ ２
５ ４
＝４－ －２＝１ ．
９ ９
（ ）
３ ３ １
例２ 计算： － － ．
５ ５ ４
（ ） （ ）
３ ３ １ ３ １２ ５ ３ ７ １
解 － － ＝ － － ＝ － ＝ ．
５ ５ ４ ５ ２０ ２０ ５ ２０ ４
例２还可以这样算：
（ ）
３ ３ １
－ －
５ ５ ４
（ ）
３ ３ １
＝ ＋（－１）× － （有理数的乘法法则）
５ ５ ４
（ ）
３ ３ １
＝ ＋（－１）× ＋（－１）× － （乘法对加法的分配律）
５ ５ ４
（ ）
３ ３ １
＝ ＋ － ＋
５ ５ ４
１
＝ ．
４
括号前带负号，去掉负号和括号后，原括号内各数要变号，即
－（犪＋犫）＝－犪－犫，－（犪－犫）＝－犪＋犫．
４ ３
１．５ 有理数的混合运算课堂练习１．５（１）
１．下列计算是否正确？如果不正确，应该如何改正？
（１）７９－３２÷７０＝７０÷７０＝１；
（２）６÷（２×３）＝６÷２×３＝３×３＝９；
（３）２×４２＝（２×４） ２＝８２＝６４；
（ ）
２２ １ １ ２２ １ １ ２１ １ ３７
（４） － － ＝ － － ＝ － ＝ ．
５ ５ ２ ５ ５ ２ ５ ２ １０
２．计算：
（ ）
２ １ １
（１）（－３）＋２×（－４） ２ ； （２） － － ；
３ ２ ５
（ ） （ ） （ ）
１ ３ ３ ２
４ ２
（３）（－４） ３－３× － ； （４） ÷ － ＋ － ×２１．
２ ２ ４ ７
例３ 计算：
１ ２
（１）－１４－ ×［２－（－３）
２
］； （２）０．５２＋［－（－７）＋（－１）
３
］× ；
３ ３
（ ） （ ）
熿１ １ 燄２ １ ７
（３） － ×２４ ； （４）（－２３＋８５）× －３ ＋１＋ ．
燀８ １２ 燅 ３ ３
１
解 （１）－１４－ ×［２－（－３）
２
］
３
注意－１４ 与（－１）４
１ 的区别．
＝－１－ ×（－７）
３
７
＝－１＋
３
１
＝１ ．
３
２
（２）０．５２＋［－（－７）＋（－１） ３］×
３
（ ）
１ ２
２
＝ ＋（７－１）×
２ ３
１
４４
第 有理数
章１ ２
＝ ＋６×
４ ３
１
＝４ ．
４
（ ）
熿１ １ 燄２
（３） － ×２４
燀８ １２ 燅 本题也可以用乘法对加法的
（ ） 分配律来 ［（ 算： ） ］
＝
熿 ３
－
２
×２４
燄２
１ １ ２
燀２４ ２４ 燅 ８ － １２ ×２４
（ ）
（ ）
１ １ １ ２
２ ＝ ×２４－ ×２４
＝ ×２４
８ １２
２４
＝（３－２）２＝１２＝１．
＝１２＝１．
（ ）
１ ７
（４）（－２３＋８５）× －３ ＋１＋
３ ３
（ ）
１０ １０
＝（－８＋８５）× － ＋
３ ３
＝７７×０＝０．
课堂练习１．５（２）
１．算式（－５）＋３×（－２） ３ 中，最先进行运算的是 ．
（ ）
１
２．算式１－［３＋（－２）×４］÷ － 中共有“－、＋、×、÷”四个运
２
算符号，在具体运算时，它们的先后顺序是 ．
３．计算：
（１）３×［（－２）－５］ ２－（－４） ３÷（－８）；
（ ）
１２ ２ ３
（２） × － ；
５ ３ ４
（ ） （ ） （ ）
１ ７ ７ ８
（３） － － ÷ － ＋ － ；
８ １２ ８ ３
（ ）
１ １ 熿 ５ 燄 ２
（４） × ＋ －１３＋ － × ．
３ ２ 燀 ２ 燅 ３
４ ５
１．５ 有理数的混合运算例４ 小海和爸爸、妈妈一起去参观博物馆，小海带了８５元．在入馆
前小海买了３张门票，共花费了７２元．中午时，爸爸给小海２００元，让他
去买午饭．小海买了３份午饭，每份午饭的价格为３８元．下午乘地铁回家
时，小海又购买了３张４元的地铁票．
请按顺序在表１２中记录小海的收入和支出情况．问：小海回到家后还剩
多少元？
表１２ 表１３
序号 收入、支出／元 序号 收入、支出／元
１ ８５ １ ８５
２ ２ －７２
３ ３ ２００
４ ４ （－３８）×３
５ ５ （－４）×３
分析 一般为了方便，我们把收入记为正数，把支出记为负数．比如买了
３份午饭我们可以记为（－３８）×３．
解 按收入为正数，支出为负数，填写表格（表１３）．
根据表１３，我们可以列出
８５＋（－７２）＋２００＋（－３８）×３＋（－４）×３＝８７（元）．
答：小海回到家后还剩８７元．
例５ 某日，哈尔滨市的最低气温是－２７℃，最高气温是－１９℃，上海
市的最低气温是－２℃，并且哈尔滨市的温差比上海市的温差大１℃．求该日
上海市的最高气温．
分析 由哈尔滨市的最低气温和最高气温，可知哈尔滨市的温差是：
（－１９）－（－２７）＝８（℃）．由哈尔滨市的温差比上海市的温差大１℃，可知上
海市的温差是：８－１＝７（℃）．
再由上海市的最低气温是－２℃，就可以求得该日上海市的最高气温．
１
４６
第 有理数
章解 （－１９）－（－２７）－１＋（－２）＝５（℃）．
答：该日上海市的最高气温是５℃．
例６ 一条公路需要８人用３０天才能修完．照此进度，如果增加４人，
那么修完这条公路需要多少天？
分析 （１）假设这条公路的总长度为“１”，根据条件“８人用３０天修完”，
１
可知每人每天修１÷８÷３０＝ ．
２４０
（２）要求人数增加４人后完成的天数，根据工作总量、工作效率和工
作时间之间的关系，可知增加４人后的工作时间＝工作总量（１）÷工作效
熿１ 燄
率 ×（４＋８）．
燀２４０ 燅
１
解 根据题意，每人每天修１÷８÷３０＝ ．
２４０
熿１ 燄 １
增加４人后的工作时间＝１÷ ×（４＋８）＝１÷ ＝２０（天）．
燀２４０ 燅 ２０
答：修完这条公路需要２０天．
例６中如果人数减少３人，那么修完这条公路需要增加几天？
课堂练习１．５（３）
１．某文具店去年第一季度（１月到３月）平均每月亏损１．２万元，第
二季度（４月到６月）平均每月盈利４万元，第三季度（７月到９月）平均每
月盈利３．４万元，第四季度（１０月到１２月）平均每月亏损１．５万元．通过
计算，说明这个文具店去年总的盈亏情况．
２．某冷冻厂一号库房的室温是－２℃，现在有一批食品需要在－２３℃
条件下冷冻．如果该库房每小时能降低４℃，那么经过多久能降到所要
求的温度？
４ ７
１．５ 有理数的混合运算３．一批家具，如果用大卡车单独运，那么８ｈ可以运完；如果用小
卡车单独运，那么１２ｈ可以运完．如果大、小卡车一起运，多久可以
运完？
习题１．５
１．计算：
（１）（－８）÷（－４）＋３×５； （２）４－（－２） ２×５÷（－８）；
（ ）
１２ ５ １
（３）－３３÷ －（－２）×４； （４）（－２）× － ．
５ ６ ４
２．计算：
（ ）
熿２ ４ 燄 １
（１）４．７３－ － ＋２．６３ － ；
燀３ ５ 燅 ３
（ ） （ ） （ ）
１１ ３ １ １
（２） － － ×（－４） ２＋ － ÷ － ；
１２ ４ ３ ２
（３）（－２） ４×（－５）－［（－３） ２－（－４） ２×（－１） ５］；
（ ）
（４） 熿 （－５） ３× － １ ２ －５２ 燄 － ０．２５－ ５ ．
燀 ５ 燅 ８
３．如果一个数的平方等于３６，那么这个数是多少？如果一个数的立方等
于－２７，那么这个数是多少？
１
４．某种羊毛地毯原售价是每平方米４２０元，现在价格上涨了 ．问：现在
１０
这种地毯的售价是每平方米多少元？
５．一个水池安装了甲、乙两个排水管，如果单开甲管，４ｈ可以把满池的
水放完；如果单开乙管，３ｈ可以把满池的水放完．如果两个排水管同时打开，
几小时可以把满池的水放完？
１
４８
第 有理数
章１
６．儿童的负重最好不要超过体重的 ，如果长期背负过重的物体，会导
１０
致腰痛及背痛，严重的甚至会妨碍骨骼生长．如果小华的体重是３０ｋｇ，她的
书包重４ｋｇ，试通过计算说明：小华的书包是否超重？
７．下表是某水库一周内每天水位高低的变化情况（正数表示水位比前一日
上升的数，负数表示下降的数）：
时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
水位变化／ｍ ０．１２ －０．０２ －０．１３ －０．２０ －０．０８ －０．０２ ０．３２
试分析这一周水位总的变化情况．
８．将有理数３、４、－６、１０进行加、减、乘、除等运算（每个数必须用且
只能用一次），使其结果等于２４．（只要求写出一个算式）
４ ９
１．５ 有理数的混合运算我国古代对负数的认识
我国古代很早就开始使用负数．
东汉时期的《汉书·食货志》记载，战国时期李悝（犽狌ī）（公元前４５５—前３９５）
的经济学说称“五人终岁用千五百，不足四百五十”，意思是“５个人一年开支
１５００钱，可是入不敷出，还差了４５０钱”，这里面的“不足”就是负数的雏形．
我国古代著名的数学著作《九章算术》（约成书于公元前１世纪），是世界
上最早提出正负数加减运算法则的著作．书中提到：“正负术曰：同名相除，
异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，
负无入负之．”这里的“同名”“异名”就是“同号”和“异号”，“相除”“相益”是指
两数绝对值“相减”和“相加”，“无”即“零”．这个法则的大意为：同号两数相
减，等于其绝对值相减（若绝对值较大者为被减数，则符号不变，否则要改变
符号）；异号两数相减，等于其绝对值相加（取绝对值较大者符号）；零减正数
得负数，零减负数得正数．异号两数相加，等于其绝对值相减（取绝对值较大
者符号）；同号两数相加，等于其绝对值相加（符号不变）；零加正数等于正
数，零加负数等于负数．
１
５０
第 有理数
章魏晋时期的刘徽（约２２５—约２９５）对建立负数的概念有重大贡献．他在注
释《九章算术》时，给出了负数的解释：“两算得失相反，要令正负以名之．”其
意思为：在计算过程中遇到具有相反意义的量，应该用正负数加以区分．他还
第一次给出了区分正负数的方法：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异．”即，
在算筹运算中，用红筹表示正数，用黑筹表示负数．
＋２３ －５４
１２９９年，元代数学家朱世杰（约１２４９—约１３１４）在《算学启蒙》中除了明确
给出正负数同号、异号的加减法则外，还给出正负数的乘除法则：同名相乘
为正，异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负．
５ １
阅读材料１．基本概念：有理数，绝对值，相反数，整数．
犫
能够写成分数 （犪、犫是整数，犪≠０）的数叫作有理数．
犪
数犪在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数犪的绝对值．
绝对值相等、符号不同的两个数互为相反数．
正整数、零、负整数统称为整数．
２．有理数运算法则：
（１）加法法则：
同号两数相加，绝对值相加，符号与加数相同；
异号两数相加，绝对值相减，符号与绝对值大的加数相同；
任何一个数与０相加，仍得这个数．
（２）减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
（３）乘法法则：
同号两数相乘，绝对值相乘，符号为正；
异号两数相乘，绝对值相乘，符号为负；
任何数与０相乘，积为０．
（４）除法法则：除以一个不是０的数，等于乘这个数的倒数．
３．有理数的运算律与自然数相同．
１
５２
第 有理数
章１．填空题：
（１）平方后等于它本身的数是 ；
（２）最小的正整数是 ，最大的负整数是 ，绝对值最小
的数是 ；
（３）７与－１５的和的绝对值是 ；
（４）数轴上到原点的距离等于５的点所对应的数是 ；
（５）－３的倒数的相反数是 ；
（６）绝对值小于３．２的整数是 ；
（７）如果｜狓｜＝５，那么狓＝ ；
（８）写出绝对值小于５的负奇数： ．
２．把下列各数分别填在相应的大括号里：
１ ２２
－１、２、－ 、－０．７５、０、－１．０１、 ．
３ ７
整数｛ ｝； 负数｛ ｝；
非负数｛ ｝； 正分数｛ ｝．
３．用数轴上的点表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序排列起来：
１ ２ ７
２．５、－２．５、０、 、－１ 、－４、 ．
３ ３ ４
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
（第３题）
４．在标准大气压下，水冻结成冰的温度是０℃，酒精冻结的温度大约是
－１１５℃，水银冻结的温度大约是－３９℃．哪一个冻结温度最高？哪一个冻结
温度最低？
５ ３
复习题５．某汽车制造厂计划今年第一季度生产１５０００辆轿车，但实际生产的轿车
１
数量比计划增加了 ．那么，该汽车制造厂今年第一季度实际生产了多少辆轿车？
４
６．犪、犫表示两个有理数，如果犪与犫互为相反数，那么它们的和是多少？
如果犪与犫互为倒数，那么它们的积是多少？
７．计算：
（１）（－５４）÷６－（－２５）×（－４）；
（２）２８－２×３２－（－２×３）
２
；
（ ）
５ ３ ７
（３） － ＋ － ×１２０；
６ ８ １５
（ ）
熿 １ ２ 燄
（４）２－ １－ × －１ ×（－０．７５） ２．
燀 ２ ３ 燅
８．按以下的流程图进行计算，并把各次计算结果填入表内，如第一次（＋３）×
（＋３）－（－５）得１４，不大于２００；第二次再做，１４×（＋３）－（－５）……
D3
计算次序 计算结果
3
第１次 １４
5
第２次
200 第３次
第４次
D
（第８题）
９．请将－２、－１、０、１、２、３、４、５、６这９个数分别填入图中的９个空
格内，使每行的３个数、每列的３个数、斜对角的３个数的和均为６．
（第９题）
１
５４
第 有理数
章１０．计算器是我们日常生活中常用的一种计算工具，它可以帮助我们做有
理数的运算．计算器的型号很多，它们的计算程序和方法不尽相同，使用前要
注意阅读说明书．
（１）与同学交流一下你熟悉的计算器的使用方法．
（２）请你试试用计算器完成下列任务，并写出操作过程：
① 如何在计算器上输入负数？
② 如何在计算器上做含有负数的加减运算？如：
（－６）＋５，（－３）＋（－２），（－８）－（－１４）．
③ 如何在计算器上做含有负数的乘除运算？请举例说明．
④ 有没有其他发现？
５ ５
复习题２
第 章
简单的代数式
在本章中，我们将用字母表示数，引入代数式与一次式的
概念，探索字母参与的运算及其规律．
用字母表示数是从算术跨越到代数的标志与桥梁，将具体
数的运算抽象为字母的运算，是学习数学的一个重要提升．用字
母表示数是进一步学习方程、函数等内容的必备知识．２．１
用字母表示数
在上一章，我们把有理数的加法交换律表示为犪＋犫＝犫＋犪，把加法结合
律表示为（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮），其中犪、犫、犮表示三个有理数．用字母表
示有理数有助于简明地呈现有理数的运算规律．
我们还学习过其他运算律和一些计算公式．你能用字母表示这些
运算律和计算公式吗？
例１ 如果犪表示一个有理数，那么它的相反数如何表示？有理数犪的
相反数一定是负数吗？
解 有理数犪的相反数可以用－犪表示．
如果犪是正数，那么－犪所表示的数是负数；如果犪是负数，那么－犪所
表示的数是正数；如果犪是零，那么－犪所表示的数也是零．所以，－犪不一
定是负数．
例２ （１）某文具店练习本的单价是犪元，３本练习本的总价是多少元？
（２）练习本的单价是３元，犿本练习本的总价是多少元？
（３）８本练习本的总价是狀元，练习本的单价是多少元？
分析 找到数量关系：练习本的总价＝练习本的单价×练习本的数量．
解 （１）３本练习本的总价是犪×３＝３犪（元）．
（２）犿本练习本的总价是３×犿＝３犿（元）．
狀
（３）练习本的单价是狀÷８＝ （元）．
８
用字母表示数的书写规范：
１．数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以用“·”表示或者省略不写，
如５×犿可以写成５·犿或５犿，犪×犫可以写成犪·犫或犪犫．在省略乘号时，
要把数字写在字母的前面，如狓×４写成４狓，一般不写成狓４；当数字是１
或－１时，“１”常省略不写，如１×犪写成犪，（－１）×犪写成－犪；当数字是带
５ ７
２．１ 用字母表示数１ ３
分数时，常写成假分数，如１ 犪一般写成 犪．
２ ２
２．运算结果不出现除号，一般用分数形式表示．
例３ 如图２１１，用大小相同的木棒搭正方形．搭１个正方形需要４根
木棒．搭２个、３个、４个正方形分别需要几根木棒？搭１０个正方形需要几根
木棒？搭狀个正方形需要几根木棒呢？
图２１１
分析 按上述方式搭正方形，并在下表中记录所用木棒的根数．
表２１
正方形个数 １ ２ ３ ４ ５ … 狀
木棒根数 ４ ７ １０ …
从记录的数据看，所需木棒的根数随着正方形个数的变化而有规律地变
化．搭第一个正方形需要４根木棒，从第二个正方形开始，每增加一个正方
形，所需木棒的根数增加３．
由此可知，搭狀个正方形，所需木棒的根数为４＋３×（狀－１）．
解 搭２个正方形所需木棒的根数是４＋１×３＝７；
搭３个正方形所需木棒的根数是４＋２×３＝１０；
搭４个正方形所需木棒的根数是４＋３×３＝１３；
搭１０个正方形所需木棒的根数是４＋９×３＝３１．
如果用字母狀表示正方形的个数，那么搭狀个正方形所需木棒的根数可
以表示为４＋３×（狀－１）．
用字母表示数，把具体的数换成抽象的字母，可以把数或数量关系简明
地表示出来，有助于呈现更具有普遍意义的规律，从而为叙述和研究问题带
来方便．
２
５８
第 简单的代数式
章课堂练习２．１
１．用字母表示平行四边形的面积计算公式．
２．母亲的年龄比儿子大２６岁，如果用狓表示母亲的年龄，那么儿
子的年龄为 岁．
３．如图，搭１个三角形需要３根木棒，搭２个三角形需要５根木棒，
以此类推，用木棒搭３个三角形、４个三角形……当搭狀个这样的三角
形时，需要木棒 根．
1> 2> 3> 4>
（第３题）
习题２．１
１．有一首童谣这么说：“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳
下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，扑通、扑通跳下水；三只青蛙三
张嘴……”如果有狀只青蛙，那么总共有几张嘴，几只眼睛，几条腿？
２．如果一个两位数个位上的数字是犿，十位上的数字是２，那么这个数可
以表示为 ．
３．在月历中任意圈出同一个月中同列相邻的三个数，设中间的一个数为
犪，用含字母犪的式子按从小到大的顺序表示这三个数： ．
４．用同样大小的蓝色棋子按如图所示的方式摆图案：第１个图案需要棋子
４枚，第２个图案需要棋子７枚，第３个图案需要棋子１０枚．按照这样的规律
５ ９
２．１ 用字母表示数摆下去，那么第５个图案需要棋子 枚，第６个图案需要棋子
枚，……，第狀个图案需要棋子 枚．
（第４题）
２
６０
第 简单的代数式
章２．２
代数式与代数式的值
１．代数式的概念
在上一节中，犪＋犫、４＋３×（狀－１）、３犿等用字母表示数的式子都是由运
算符号、括号、数、字母连接而成的，它们能简明地表示数量关系．
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式
单独的一个数或字
子叫作代数式．
１
母也是代数式，如 、
３
例１ 用代数式表示：
０、狓、犺等．
（１）比犪的２倍多３的数；
５
（２）犫与 的积的相反数；
３
（３）犿的立方与２的和；
（４）狓（狓≠０）的倒数减去３的差；
１
（５）７减去狔的 的差；
３
（６）犪与犫的和的２倍．
解 （１）２犪＋３．
５
（２）－ 犫．
３
（３）犿３＋２．
１
（４） －３．
狓
１
（５）７－ 狔．
３
（６）２×（犪＋犫）．
例２ 设甲数是犿，乙数是狀．用代数式表示：
（１）甲、乙两数的和的６倍；
（２）甲减去乙的差与甲的相反数的积；
６ １
２．２ 代数式与代数式的值（３）甲减去乙的差除以５所得的商；
（４）甲、乙两数平方的和；
（５）甲数与乙数平方的和；
（６）甲、乙两数和的平方．
解 （１）６×（犿＋狀）．
（２）（犿－狀）×（－犿）．
犿－狀
（３） ．
５
（４）犿２＋狀２．
（５）犿＋狀２．
（６）（犿＋狀） ２．
例３ 如图２２１，大正方形的边长为犪，小正方形
a
的边长为犫，用代数式表示涂色部分的面积． b
分析 涂色部分的面积＝大正方形的面积－小正方
形的面积．
大正方形的面积＝犪２ ，小正方形的面积＝犫２．
解 涂色部分的面积是犪２－犫２． 图２２１
课堂练习２．２（１）
１．用代数式表示：
（１）比犪的３倍少７的数； （２）犪减去犫的平方的差；
１
（３）狓的５倍与狔的 的和； （４）犿的平方减去狀的平方的差．
５
２．地铁上原有犪人，到达某站后下去狓人，上来狔人．这时地铁上
共有多少人？
３．某文具店每支铅笔的售价为狓元，每块橡皮的售价为狔元．小海
买了７支铅笔和２块橡皮，总共花了多少元？
２
６２
第 简单的代数式
章４．某班开展包饺子的实践活动．该班有男生犪人、女生犫人，且男
生平均每人包１０个饺子，女生平均每人包１２个饺子，则全班平均每人
包多少个饺子？
２．代数式的值
问题１ 夏季的雪山顶上仍是白雪皑皑，这是因为对流层内的气温会随
高度的上升而下降．平均高度每升高１ｋｍ，气温下降约６℃．如果地面的气温
是２６℃，那么距离地面１ｋｍ的高空的气温与距离地面５ｋｍ的高空的气温之
差约是多少呢？
解 设上升狀ｋｍ，则气温下降约６狀℃．因为地面气温为２６℃，所以距
离地面狀ｋｍ的高空的气温约为（２６－６狀）℃．
当狀＝１时，２６－６狀＝２６－６×１＝２０（℃）．
当狀＝５时，２６－６狀＝２６－６×５＝－４（℃）．
２０－（－４）＝２４（℃）．
答：距离地面１ｋｍ的高空的气温与距离地面５ｋｍ的高空的气温之差约
是２４℃．
问题２ （１）你会用代数式表示下面的输出结果吗？
Dx 16 2 D4
图２２２
（２）当狓的值分别是－５、０、３、６．５时，求输出的结果．
解 （１）根据图２２２，可以推出输出的代数式是１６狓＋２．
（２）当狓＝－５时，１６狓＋２＝１６×（－５）＋２＝－８０＋２＝－７８．
同样，当狓的值分别是０、３、６．５时，输出的结果分别是２、５０、１０６．
６ ３
２．２ 代数式与代数式的值当狓取不同数值时，由代数式１６狓＋２可计算出相应的值．
用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的
结果叫作代数式的值．在第２．１节的例３中，搭狀个正方形所需木棒的根数为
４＋３×（狀－１），那么要求搭２０个正方形所需木棒的根数，只需用２０代替上
式中的狀，可得４＋３×（狀－１）＝４＋３×（２０－１）＝６１．
１
例４ 当狓＝－２，狔＝－ 时，求代数式
２ 代入负数、分数进
行乘法、乘方运算时，
３狓２－６狓狔＋４狔２ 的值．
要注意添加必要的括号．
１
解 当狓＝－２，狔＝－ 时，
２
３狓２－６狓狔＋４狔２
（ ） （ ）
１ １
２
＝３×（－２） ２－６×（－２）× － ＋４× －
２ ２
＝１２－６＋１＝７．
例５ 如图２２３，一个长、宽分别是犪ｍ、犫ｍ的长方形绿化用地，有
两条宽为犮ｍ的纵横交错的步道，其余部分种植绿草．
（１）求步道的总面积；
（２）当犪＝５０，犫＝２０，犮＝２．５时，求需种植绿草的面积．
２
６４
第 简单的代数式
章
b c
c
a
图２２３
解 （１）步道的总面积＝横向步道面积＋纵向步道面积－步道重叠面积
＝犪犮＋犫犮－犮２ （ｍ２ ）．
答：步道的总面积是 （犪犮＋犫犮－犮２ ）ｍ２．（２）种植绿草的面积＝长方形绿化用地总面积－步道的总面积
＝犪犫－（犪犮＋犫犮－犮２ ）（ｍ２ ）．
当犪＝５０，犫＝２０，犮＝２．５时，
犪犫－（犪犮＋犫犮－犮２ ）
＝５０×２０－（５０×２．５＋２０×２．５－２．５２ ）
＝５０×２０－（１２５＋５０－６．２５）
＝１０００－１６８．７５＝８３１．２５（ｍ２ ）．
答：当犪＝５０，犫＝２０，犮＝２．５时，需种植绿草的面积是８３１．２５ｍ２．
课堂练习２．２（２）
６ ５
２．２ 代数式与代数式的值
b
１．当狓＝－３时，求代数式－２狓＋１的值．
１
２．当狔＝ 时，求代数式狔２＋２狔－１的值．
２
１
３．当犪＝ ，犫＝－３时，求下列各代数式的值：
２
（１）２犪＋犫； （２）４犪２－犫２ ； （３）犪２－２犪犫＋犫２．
４．如图，一张长为犪ｃｍ、宽为犫ｃｍ的长方形纸
c
片，在四个角各剪去一个边长为犮ｃｍ的正方形．
（１）用代数式表示剩余纸张的面积；
（２）当犪＝５，犫＝３，犮＝１时，求剩余纸张的
a
面积． （第４题）
习题２．２
１．用代数式表示：
（１）比狓的平方大４的数；
１
（２）犪的 减去犫的２倍的差；
５（３）犿的相反数的倒数与３的和；
（４）狓的绝对值减去３的差．
A a b D
B C
２
６６
第 简单的代数式
章
c
２．某图书馆新增２万册图书后共有犿万册图书，
该图书馆原来有多少万册图书？
３．如图，已知长方形犃犅犆犇，用代数式表示图中
涂色部分的面积．当犪＝２，犫＝４，犮＝３时，涂色部分
（第３题）
的面积是多少？
４．用代数式表示：如果正方形的周长是犆，那么正方形的边长是 ，
面积是 ．
５．当狓分别取下列值时，求代数式狓３－２狓２＋３狓－２的值：
１
（１）狓＝２； （２）狓＝－ ．
２
６．当犪＝－２，犫＝－５时，求下列各代数式的值：
犫
（１）－ ； （２）犫２－４犪；
２犪
犪－犫
（３） ； （４）｜犪｜＋｜犪犫｜．
犪２＋犫２２．３
一次式
１．一次式的概念
代数式５狓－３狔＋４是５狓、－３狔和４的和，我们把５狓、－３狔、４称作代
数式５狓－３狔＋４的项．５狓、－３狔只含有一个字母，且字母的指数是１，叫作
一次项．不含字母的项叫作常数项．一次项中的数字因数叫作项的数字系数，
简称系数．例如，５狓的系数是５，－３狔的系数是－３；代数式－狓＋２狔的一次
项是－狓和２狔，一次项的系数分别是－１和２．
像这样，由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式．例
１ 犿－狀 １ １
如，－２犫、７－ 狔、６犿＋７狀、 、－ 狊＋ 狋－１等都是一次式，但犿２ 、
３ ５ ３ ５
１
、犪－犫２ 、６＋３犮－犮２ 、－９等都不是一次式．
狔
４
例１ 指出一次式犿－ 狀－８中的一次项、常数项及一次项的系数．
７
４ ４
解 一次式犿－ 狀－８中的一次项是犿和－ 狀，常数项是－８，其中一
７ ７
４
次项的系数分别是１、－ ．
７
课堂练习２．３（１）
１．找出下列代数式中的一次式：
３狀
犪＋３、５－２狔２ 、３狓、－９、－ 、狓＋狔－１．
８
２．指出下列一次式中的一次项、常数项和一次项的系数：
４ ３狓
犿、犪＋犫、－ 狀－２、 、３犪－犫－９．
５ ２
６ ７
２．３ 一次式２．一次式的同类项
问题１ 乐乐平均每分钟用电脑输入狓个文字，现有一篇文稿，乐乐先
用５ｍｉｎ输入了文稿的部分文字，又用３ｍｉｎ完成文稿的剩余文字输入．乐乐
一共用了８ｍｉｎ完成整篇文稿的文字输入．如何用一次式表示这篇文稿的总
字数？
乐乐先用５ｍｉｎ输入了５狓个文字，再用３ｍｉｎ输入了３狓个文字，完成了
剩余文字输入，所以该文稿的总字数可以表示为５狓＋３狓；再考虑到乐乐一共
用了８ｍｉｎ完成文稿输入，所以该文稿的总字数也可以表示为８狓．
由此可以得到
５狓＋３狓＝８狓，
即 ５狓＋３狓＝（５＋３）狓．
问题２ 用１６块面积都是犛的正方形地砖铺一块
正方形的地面，中间４块地砖是蓝色地砖，其他的１２
块地砖都是白色地砖，如图２３１所示．如何用一次式
表示白色地砖总面积？
由图可以知道，正方形地面总面积是１６犛，蓝色地
砖总面积是４犛，白色地砖总面积是１２犛．白色地砖总面
图２３１
积也等于正方形地面总面积减去蓝色地砖总面积．
由此可以得到
１６犛－４犛＝１２犛，
即 １６犛－４犛＝（１６－４）犛．
一次式５狓＋３狓中的５狓、３狓这两项所含字母相同，一次式１６犛－４犛中
的１６犛、－４犛这两项所含字母也相同．在一次式中，字母相同的项叫作一次
式的同类项．所有常数项都是同类项．
上面两个问题表明一次式中含字母的同类项可以合并，合并时只要把含
字母的同类项的系数相加．
２
６８
第 简单的代数式
章一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项．合并一次式的同类项
时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项
直接相加．
例２ 指出并合并一次式７犿＋４狀－３－犿－６狀＋５中的同类项．
解 一次式７犿＋４狀－３－犿－６狀＋５中，７犿和－犿是同类项，４狀和
－６狀是同类项，－３和５是同类项．
因为７犿＋４狀－３－犿－６狀＋５就是７犿、４狀、－３、－犿、－６狀、５的和，
所以根据加法的交换律和结合律，得
７犿＋４狀－３－犿－６狀＋５
＝７犿－犿＋４狀－６狀－３＋５ （加法交换律）
＝（７犿－犿）＋（４狀－６狀）＋（－３＋５） （加法结合律）
＝（７－１）犿＋（４－６）狀＋２ （合并同类项）
＝６犿－２狀＋２．
通过合并一次式的同类项，可以把一次式化简．
例３ 甲、乙两车相距１３０ｋｍ，同时出发，相向而行，甲车的速度是
８０ｋｍ／ｈ，乙车的速度是５０ｋｍ／ｈ．
（１）用一次式表示经过狋ｈ （狋＜１）后两车的距离；
（２）经过３０ｍｉｎ，两车的距离是多少？
解 （１）根据题意，经过狋ｈ （狋＜１）后两车的距离为
１３０－（８０狋＋５０狋）＝１３０－１３０狋（ｋｍ）．
答：经过狋ｈ （狋＜１），两车的距离为（１３０－１３０狋）ｋｍ．
１ １
（２）因为３０ｍｉｎ＝ ｈ， 所以当狋＝ 时，有
２ ２
１
１３０－１３０狋＝１３０－１３０× ＝６５ （ｋｍ）．
２
答：经过３０ｍｉｎ，两车的距离是６５ｋｍ．
６ ９
２．３ 一次式课堂练习２．３（２）
１．合并同类项：
（１）２犿＋６犿＝ ； （２）２犿－６犿＝ ；
（３）－２犿－６犿＝ ； （４）－２犿＋６犿＝ ．
２．判断下列各代数式的化简是否正确，正确的在括号里打“”，错
误的在括号里打“×”：
（１）８－６狓＝２狓； （ ）
（２）－２狔＋２狔＝－４狔； （ ）
（３）３犿＋４狀＝７犿狀； （ ）
（４）４犿＋４犿＝１６犿． （ ）
３．化简下列一次式：
（１）７犿－２－７狀＋３犿；
１
（２） 犿－５＋２犿－１．
３
３．一次式的加减
问题３ 某汽车企业第一季度销售狓万辆新能源汽车，第二季度销售的
新能源汽车比第一季度的１．５倍少１万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一
季度的２倍多６万辆．用一次式表示：
（１）该汽车企业第二季度和第三季度一共销售的新能源汽车数量；
（２）第三季度比第二季度多销售的新能源汽车数量．
分析 第二季度销售的新能源汽车数量：（１．５狓－１）万辆；
第三季度销售的新能源汽车数量：（２狓＋６）万辆．
因此，第二季度和第三季度一共销售［（１．５狓－１）＋（２狓＋６）］万辆；
第三季度比第二季度多销售［（２狓＋６）－（１．５狓－１）］万辆．
２
７０
第 简单的代数式
章如何计算（１．５狓－１）＋（２狓＋６）和（２狓＋６）－（１．５狓－１）？
数的运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即括号前面是“＋”号，
去掉括号后，括号内各项都不变；括号前面是“－”号，去掉括号后，括号内
各项都变号．
如下所示，根据去括号方法，我们可以分别求出（１．５狓－１）＋（２狓＋６）和
（２狓＋６）－（１．５狓－１）的结果．
M
M
B
B
例４ 先去括号，再合并同类项：
（１）犪＋２－（９犪－３）； （２）－（６犿－８）－（－１＋２犿）．
解 （１）犪＋２－（９犪－３）
＝犪＋２－９犪＋３
＝－８犪＋５．
（２）－（６犿－８）－（－１＋２犿）
＝－６犿＋８＋１－２犿
＝－８犿＋９．
例５ （１）求一次式２狓、３－４狓、狓＋１的和；
几个一次式相加
（２）求３犿－２狀＋１减去犿＋狀－２的差． 减，通常用括号把每个
一次式括起来，再用加
解 （１）２狓＋（３－４狓）＋（狓＋１）
减号连接．
＝２狓＋３－４狓＋狓＋１
＝－狓＋４．
７ １
２．３ 一次式（２）（３犿－２狀＋１）－（犿＋狀－２）
＝３犿－２狀＋１－犿－狀＋２
＝２犿－３狀＋３．
１
例６ 当狓＝－ 时，求一次式３狓－１＋（３狓－６）－（－３狓＋１）的值．
９
解 ３狓－１＋（３狓－６）－（－３狓＋１）
＝３狓－１＋３狓－６＋３狓－１
＝９狓－８．
（ ）
１ １
当狓＝－ 时，９狓－８＝９× － －８＝－９．
９ ９
课堂练习２．３（３）
１．下列计算正确吗？如果不正确，应怎样改正？
（１）（犿－狀）－（２犿－１）＝犿－狀－２犿－１＝－犿－狀－１；
（２）（５狓－４狔）－（－狓＋狔）＝５狓－４狔＋狓－狔＝６狓－３狔．
２．先去括号，再合并同类项．
（１）（２－６狓）＋（３狓＋３）；
（２）－（５狔－１０）－（２－２狔）．
３．（１）求４狓－５与２－狔＋６狓的和；
（２）求５犿减去４狀－３犿＋１的差．
４．先化简，再求值：（２狓－狔）－（狓＋狔－３），其中狓＝１，狔＝－１．
４．数与一次式相乘
问题４ 如图２３２，用一根铁丝围成一个长方形，这个长方形的宽是
犪ｃｍ，长是（３犪－２）ｃｍ．如何用一次式表示这根铁丝的长度？
２
７２
第 简单的代数式
章７ ３
２．３ 一次式
mc
a
(3a2) cm
图２３２
像２×（４犪－２）这样
根据题意，这根铁丝的长度为２×（犪＋３犪－２）＝
的式子，中间的乘号可
２×（４犪－２）（ｃｍ），即２（４犪－２）ｃｍ． 以省略不写，简记为
２（４犪－２）．
如何计算２（４犪－２）？
根据乘法对加法的分配律与乘法结合律，得
２（４犪－２）＝２×（４犪）＋２×（－２） （乘法对加法的分配律）
＝（２×４）犪－４ （乘法结合律）
＝８犪－４．
一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所
得的积相加．在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为
字母的系数，字母不变．运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号．
例７ 计算：
（１）６（犿－３）； （２）－７（狀－３犿）；
（３）－狓＋２（３狓－２）； （４）３（２狓＋１）－２（１－狓）．
解 （１）６（犿－３）
＝６犿＋６×（－３）
＝６犿－１８．
（２）－７（狀－３犿）
＝－７狀＋（－７）×（－３犿）
＝－７狀＋２１犿．（３）－狓＋２（３狓－２）
＝－狓＋６狓－４
＝５狓－４．
（４）３（２狓＋１）－２（１－狓）
＝６狓＋３－２＋２狓
＝８狓＋１．
课堂练习２．３（４）
１．计算：
（１）－２（犿＋７）； （２）－３（狀－９）；
（３）（－３狓＋５）×（－４）； （４）（５狔－３）×（－３）．
２．计算：
（１）２（狓－３）－４狓；
１ １
（２）－ （４犿－６）＋ （９－３犿）．
２ ３
３．中国古代窗花图案设计得简约又美观．图（１）是由１个小正方形和
４个形状相同的小长方形拼成的１个正方形窗花．如果窗花内小正方形
的边长为犪ｃｍ，小长方形的长为犫ｃｍ，那么如图（２），由４个这样的窗
花做成的正方形窗户的周长是多少？
a
２
７４
第 简单的代数式
章
b
（１） （２）
（第３题）习题２．３
１．计算：
（１）３犪＋５犪－犪； （２）２犿－（３－犿）；
（３）－２（２犪＋３犪）； （４）２（狀－３）－（狀－１）．
２．三个连续自然数的和是否一定能被３整除？请说明理由．
３．计算：
（１）－５狔＋２狔－１； （２）２（狓－狔＋１）；
（ ）
１ １ １
（３）－ 狓－ 狓－３ ； （４）２（犿－７）－ （犿＋４）；
２ ３ ２
１ １
（５）－ （６犿－４）＋ （－９－３犿）．
２ ３
４．三个连续正偶数的和是否一定能被６整除？请说明理由．
５．如图，求涂色部分的周长．
2
７ ５
２．３ 一次式
n
3
m
（第５题）３ ５ ９
能被 、 、 整除的数的特征
通过计算，我们可以知道３１０、４６５、５２０是能
犪犫犮表示一个百位
被５整除的三位数，那么任意一个三位数犪犫犮满足 是犪，十位是犫，个位是
什么条件时，它一定能被５整除呢？ 犮的三位数，即犪犫犮＝
１００犪＋１０犫＋犮．
如果三位数犪犫犮能被５整除，那么１００犪＋１０犫＋
犮＝５狆，其中狆为正整数，犪、犫、犮表示１０以内的非负整数，且犪≠０，得
犮＝５狆－１００犪－１０犫
＝５（狆－２０犪－２犫）．
而狆－２０犪－２犫为整数，犮表示１０以内的非负整数，所以犮只能为０或５．反
过来，当犮＝０时，犪犫犮＝１００犪＋１０犫＝５（２０犪＋２犫），能被５整除；当犮＝５时，
犪犫犮＝１００犪＋１０犫＋５＝５（２０犪＋２犫＋１），也能被５整除．所以，犪犫犮能被５整除
的条件是犮＝０或５．
类似地，三位数犪犫犮满足什么条件时，它一定能被３整除呢？
如果三位数能被３整除，那么１００犪＋１０犫＋犮＝３狆，其中狆为正整数，得
犪＋犫＋犮＝３狆－９９犪－９犫
＝３（狆－３３犪－３犫）．
因此，犪＋犫＋犮是３的倍数．反过来，当犪＋犫＋犮是３的倍数时，犪犫犮＝（犪＋
犫＋犮）＋３（３３犪＋３犫）能被３整除．所以，犪犫犮能被３整除的条件是犪＋犫＋犮是３
的倍数．
可以将上述两条结论推广到更多位数，我们有：如果一个正整数的末尾
是０或５，那么它能被５整除；如果一个正整数各个数位上数字的和能被３整
除，那么这个数就能被３整除．
请根据上述方法，找出三位数犪犫犮能被９整除的条件．
２
７６
第 简单的代数式
章１．基本概念：代数式，代数式的值，一次式，一次式的合并同类项．
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式．
用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的
结果叫作代数式的值．
２．一次式的合并同类项：
把同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并一次式的同类项时，把含字
母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加．
７ ７
内容提要１．用代数式表示：
３
（１）狓的 与－４的和是 ；
２
（２）犪（犪≠０）的倒数减去３的差是 ；
（３）狔的四次方与狓的和是 ；
（４）比狓的５倍的相反数小３的数是 ．
１
２．当犪＝－ 时，一次式２犪＋（－２犪＋５）－３（－３犪＋１）的值是 ．
３
３．已知狓是一个两位数，狔是一个一位数，如果把狔置于狓的左边，那
么所组成的三位数可表示为 ．
４．某轮船先顺水航行３ｈ，再逆水航行２ｈ．已知该轮船在静水中的速度是
狓ｋｍ／ｈ，水流速度是狔ｋｍ／ｈ．求该轮船一共航行的路程．
５．已知犪、犫互为相反数，犮、犱互为倒数，狓的绝对值为５．求狓２－
（犪＋犫）狓＋（－犮犱）
３
的值．
d
b
２
７８
第 简单的代数式
章
a
c
６．如图，设涂色部分面积为犛．
（１）用含字母犪、犫、犮、犱的代数式表示犛；
（２）当犪＝５，犫＝６，犮＝３，犱＝４时，求犛．
（第６题）７．如图，第狀层有多少个圆？累计有多少个圆？
01
02
03
04
0n
（第７题）
７ ９
复习题３
第 章
一元一次方程
“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰
合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能
算者，都来寺内几多僧？”其大意为，山上有一座古寺，在这座
寺庙里，每３个和尚合吃一碗饭，每４个和尚合分一碗汤，一共
用了３６４只碗，问：寺里有多少个和尚？这是明代数学家程大
位（１５３３—１６０６）所著《算法统宗》中的“以碗知僧”问题．通过本章
的学习，我们就能更方便地解决这一问题．
本章学习含有未知数的等式———方程，围绕一元一次方程，
探索如何利用等式的性质化简方程，求一元一次方程的解，并
通过建立一元一次方程的数学模型解决实际问题．３．１
方程与列方程
问题１ 欢欢的爸爸给了欢欢１６元，欢欢买文具花了１７元，还剩１１
元．问：欢欢原来有多少钱？
方法一 根据题意，欢欢原来有的钱和爸爸给的钱的总和为１１＋１７＝
２８（元），所以欢欢原来有２８－１６＝１２（元）．
方法二 我们在上一章学习了用字母表示数，如果用狓元表示欢欢原来有
的钱，爸爸给了欢欢１６元，那么欢欢一共有（狓＋１６）元，之后欢欢花了１７元，
剩下１１元，所以有（狓＋１６）－１７＝１１．
利用合并同类项，可得狓－１＝１１，根据减法运算的意义，可得狓＝１１＋１，
即狓＝１２．
问题２ 某水果店有苹果与香蕉共１５２ｋｇ，其中苹果的质量是香蕉质量
的３倍．问：该水果店的苹果与香蕉各有多少？
方法一 用已学过的分数知识，可将水果店的苹果与香蕉看成一个总体，
１ １
平均分成（３＋１）份，每份就是总体的 ，即１５２× ＝３８（ｋｇ）．其中香蕉占１
４ ４
份，苹果占３份，所以香蕉的质量是３８ｋｇ，苹果的质量是３８×３＝１１４（ｋｇ）．
方法二 如果用狔表示香蕉的千克数，那么根据题意，苹果的千克数是
３狔．由于水果店有苹果与香蕉共１５２ｋｇ，可得３狔＋狔＝１５２．
利用合并同类项，可得４狔＝１５２，根据除法运算的意义，可得狔＝１５２÷
４，即狔＝３８．
在等式（狓＋１６）－１７＝１１和３狔＋狔＝１５２中，字母狓、狔都表示未知的数
量，称为未知数．含有未知数的等式叫作方程．在方程中，所含的未知数又称
为元．
如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的
值叫作方程的解．上述两个问题中，狓＝１２使方程（狓＋１６）－１７＝１１左右两边的
值相等，狔＝３８使方程３狔＋狔＝１５２左右两边的值相等．因此，狓＝１２，狔＝３８
分别是这两个方程的解．
８ １
３．１ 方程与列方程问题１和问题２中的方法一是通过列算式解决问题．方法二是通过列方程
解决问题，即引入了未知数，并根据题意在未知数和已知数之间建立等量关
系式解决问题．
例１ 根据下列条件列出方程：
（１）一个正方形的边长为狓ｃｍ，周长为３６ｃｍ；
（２）１４减去数狓的一半所得的差是６；
１
（３）甲队有２８人，乙队有狓人，甲队人数比乙队多 ；
３
（４）爱心志愿队共有５０名队员，其中女队员有狔人，男队员比女队员多
２人．
解 （１）根据题意，可得方程４狓＝３６．
狓
（２）根据题意，可得方程１４－ ＝６．
２
１
（３）根据题意，可得方程狓＋ 狓＝２８．
３
（４）根据题意，可得方程狔＋２＝５０－狔．
例２ 欢欢和乐乐一起去购物，两人一共花了３１５元．已知乐乐购物的花
费比欢欢多３３元，求欢欢购物的花费．请引入未知数，列出方程．
解 设欢欢购物的花费是狓元，则乐乐购物的花费是 （狓＋３３）元．根据
题意，可得方程狓＋（狓＋３３）＝３１５．
例３ 判断－３、１是不是方程４狓－９＝２狓－７的解．
解 把狓＝－３分别代入方程的左边和右边，得
例３的解答过程就
左边＝４×（－３）－９＝－２１；
是检验一个值是不是方
右边＝２×（－３）－７＝－１３． 程的解的过程．
因为左边≠右边，所以狓＝－３不是方程４狓－
９＝２狓－７的解．
把狓＝１分别代入方程的左边和右边，得
３
８２
第 一元一次方程
章左边＝４×１－９＝－５；
右边＝２×１－７＝－５．
因为左边＝右边，所以狓＝１是方程４狓－９＝２狓－７的解．
３ １
狓＝２是不是方程３狓－９＝狓－５和方程 狓＋１８＝ 狓＋２０的解？
２ ２
课堂练习３．１
１．判断下列式子中有哪些是方程：
（１）８＝２．７＋５．３； （２）３狓＋６＝２（狓－１）；
（３）５狓－１； （４）狓＝３狓＋２．
２．根据下列条件列出方程：
１
（１）长方形的长是狓，宽是长的 ，长方形的周长是２４；
３
（２）小海用２５元买了１５本练习本，找回１元，设每本练习本的单
价为狔元；
２
（３）狓与２的积减去１３所得差的一半为 狓；
３
（４）蜘蛛有８条腿，蜻蜓有６条腿．现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们
共有１００条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的２倍，设蜘蛛有狓只．
狓 狓－１００
３．判断４２４、４６０是不是方程 ＋５＝ 的解．
４ ３
习题３．１
１．列方程：一个数犪的相反数减去这个数的一半等于８．
２．小海和小华一共有２３５张邮票，小海的邮票数量是小华的４倍，求小
８ ３
３．１ 方程与列方程海的邮票数量．请引入未知数，列出方程．
３．养殖场里鸡的只数和鸭的只数相差１８４，鸡的只数比鸭的３倍还多２０，
求养殖场里鸭的数量．请引入未知数，列出方程．
３
８４
第 一元一次方程
章３．２
一元一次方程及其解法
１．一元一次方程
方程是含有未知数的等式．
已知图３２１中（１）（３）的天平平衡．从图３２１（１）到图３２１（２），
天平左右两边的质量各发生了怎样的变化？天平的平衡状态有无变化？
从图３２１（３）到图３２１（４）呢？
100 g 50 g 20 g 100 g50 g20 g
50 g 100 g 50 g 100 g
图３２１
观察图３２１（１）和图３２１（２）可以发现，平衡的天平两边加上同样的砝
码，天平仍保持平衡．
观察图３２１（３）和图３２１（４）可以发现，平衡的天平两边减去同样的砝
码，天平也保持平衡．
等式就像平衡的天平，也具有同样的性质．
等式性质１ 等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立．
如果犪＝犫，那么犪＋犮＝犫＋犮，犪－犮＝犫－犮．
８ ５
３．２ 一元一次方程及其解法我们可以用等式性质１，求得第３．１节问题１中方程（狓＋１６）－１７＝１１的解．
合并同类项，得 狓－１＝１１．
根据等式性质１，在等式两边同加上１，得
狓－１＋１＝１１＋１．
解得 狓＝１２．
已知图３２２中（１）（３）的天平平衡．从图３２２（１）到图３２２（２），
天平左右两边的质量各发生了怎样的变化？天平的平衡状态有无变化？
从图３２２（３）到图３２２（４）呢？
图３２２
观察图３２２（１）和图３２２（２）可以发现，平衡的天平两边物体的质量分
别变为了原来的２倍，天平仍保持平衡．
观察图３２２（３）和图３２２（４）可以发现，平衡的天平两边物体的质量分
别变为了原来的一半，天平也保持平衡．
等式性质２ 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数，等式
仍成立．
如果犪＝犫，那么犪犮＝犫犮；
犪 犫
如果犪＝犫，那么 ＝ （犮≠０）．
犮 犮
３
８６
第 一元一次方程
章我们可以用等式性质２，求得第３．１节问题２中方程３狔＋狔＝１５２的解．
合并同类项，得 ４狔＝１５２．
（ ）
１
根据等式性质２，在等式两边同除以４ 或同乘 ，得
４
４狔÷４＝１５２÷４．
解得 狔＝３８．
以上求方程的解的过程叫作解方程．
只含有一个未知数且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程．
一元一次方程的一般形式为：犪狓＋犫＝０（犪≠０）．
例１ 判断下列方程是不是一元一次方程，如果不是，请说明理由：
（１）４狓－３６＝０；
（２）狓－２狔＝５６；
（３）４狓２－９＝２狓－７；
１
（４）狔＋１８＝ （３８＋狔）．
２
解 （１）是．
（２）不是，这个方程中含有狓和狔两个未知数．
（３）不是，项“４狓２ ”不是一次项．
（４）是．
例２ 解下列方程：
（１）４狓＝３６；
（２）３５＋５狓＝１００；
（３）１６－狔＝２８．
解 （１）根据等式性质２，在等式两边同除以４，得
４狓÷４＝３６÷４
解得 狓＝９．
所以，原方程的解是狓＝９．
（２）根据等式性质１，在等式两边同减３５，得
８ ７
３．２ 一元一次方程及其解法３５＋５狓－３５＝１００－３５．
合并同类项，得 ５狓＝６５．
根据等式性质２，在等式两边同除以５，得
５狓÷５＝６５÷５．
解得 狓＝１３．
所以，原方程的解是狓＝１３．
（３）根据等式性质１，在等式两边同减１６，得
１６－狔－１６＝２８－１６．
合并同类项，得 －狔＝１２．
根据等式性质２，在等式两边同除以－１，得
（－狔）÷（－１）＝１２÷（－１）．
解得 狔＝－１２．
所以，原方程的解是狔＝－１２．
课堂练习３．２（１）
１．判断下列方程是不是一元一次方程：
（１）３狓＝１０；
４
（２）５狓－ 狔＝３５；
７
（３）狓２－１４＝０；
（４）４狕－３（狕＋２）＝１．
２．解下列方程：
（１）４狓＝５；
（２）９－狓＝５；
（３）４１狓＋狓＝５４＋３０．
３
８８
第 一元一次方程
章２．一元一次方程的解法
如何求方程４狓＝１８－２狓的解？
我们可以用等式性质将原方程转化为犪狓＝犫（犪≠０）的形式．
根据等式性质１，在等式４狓＝１８－２狓的两边同加上２狓，得
４狓＋２狓＝１８－２狓＋２狓．
合并同类项，得 ６狓＝１８．
根据等式性质２，在等式两边同除以６，得
狓＝３．
所以，原方程的解是狓＝３．
在以上求方程的解的过程中，利用等式性质１，
将“４狓＝１８－２狓”转化为“４狓＋２狓＝１８”，即将方程
x x
中等号右边的“－２狓”改变符号后，从等号的一边移
到另外一边，这种变形的过程称为移项． x x
例３ 解下列方程：
１
（１）４狓＋３＝２狓－７； （２）－狓－１＝３－ 狓．
２
解 （１）移项，得
４狓－２狓＝－７－３．
合并同类项，得２狓＝－１０．
x x
两边同除以狓的系数２，得
xx
狓＝－５．
所以，原方程的解是狓＝－５．
（２）移项，得
１
－狓＋ 狓＝３＋１．
x x
２
１
合并同类项，得－ 狓＝４． x x
２
８ ９
３．２ 一元一次方程及其解法１
两边同除以狓的系数－ ，得
２
狓＝－８．
所以，原方程的解是狓＝－８．
例４ 狔的５倍加上３等于狔的２倍减去３，求狔的值．
解 根据题意，可列出方程
５狔＋３＝２狔－３．
移项，得 ５狔－２狔＝－３－３．
合并同类项，得 ３狔＝－６．
两边同除以狔的系数３，得 狔＝－２．
所以，狔的值为－２．
课堂练习３．２（２）
１．下面解方程的移项步骤是否正确？如果不正确，请指出错误，并
加以改正：
（１）３狓－１８＝９＋２狓．
解：移项，得３狓＋２狓＝９－１８．
１
（２） 狓－１２＝狓－５．
５
１
解：移项，得５－１２＝狓－ 狓．
５
２．解下列方程：
（１）狓＋８＝－１７； （２）４狓＝２０；
（３）狓＋６＝－５狓； （４）３狔－１５＝狔－１９．
如何求方程４（狓－５）＝狓＋１０的解？
３
９０
第 一元一次方程
章一般地，方程中含有括号时，要先去括号，再求方程的解．在第２章
“简单的代数式”的学习中，我们已经知道了去括号方法和数与一次式相乘的
方法．
因此，方程４（狓－５）＝狓＋１０的解法如下：
去括号，得 ４狓－２０＝狓＋１０．
移项，得 ４狓－狓＝１０＋２０．
合并同类项，得 ３狓＝３０．
两边同除以狓的系数３，得 狓＝１０．
所以，原方程的解是狓＝１０．
解一元一次方程的一般步骤：
１．去括号；
２．移项；
３．合并同类项，把方程整理成犪狓＝犫（犪≠０）的形式；
（ ）
１ 犫
４．两边同除以未知数的系数犪或同乘 ，得到方程的解狓＝ ．
犪 犪
例５ 解下列方程：
（１）狓＝３（５２－狓）；
（２）５狓＋１＝２０狓－（７狓－３）；
（３）３狓－７（狓－１）＝３－２（狓＋３）．
解 （１）去括号，得 狓＝１５６－３狓．
移项，得 狓＋３狓＝１５６．
合并同类项，得 ４狓＝１５６．
两边同除以狓的系数４，得 狓＝３９．
所以，原方程的解是狓＝３９．
（２）去括号，得 ５狓＋１＝２０狓－７狓＋３．
移项，得 ５狓－２０狓＋７狓＝３－１．
合并同类项，得 －８狓＝２．
１
两边同除以狓的系数－８，得狓＝－ ．
４
９ １
３．２ 一元一次方程及其解法１
所以，原方程的解是狓＝－ ．
４
（３）去括号，得 ３狓－７狓＋７＝３－２狓－６．
合并同类项，得 －４狓＋７＝－３－２狓．
移项，得 －４狓＋２狓＝－３－７．
合并同类项，得 －２狓＝－１０．
两边同除以狓的系数－２，得 狓＝５．
所以，原方程的解是狓＝５．
例６ 狓加上４的和等于狓减去１４的差的３倍，求狓的值．
解 根据题意，可以列出方程
狓＋４＝３（狓－１４）．
去括号，得 狓＋４＝３狓－４２．
移项，得 狓－３狓＝－４２－４．
合并同类项，得 －２狓＝－４６．
两边同除以狓的系数－２，得 狓＝２３．
所以，狓的值是２３．
课堂练习３．２（３）
１．下列解方程的去括号步骤是否正确？如果不正确，请指出错误，
并加以改正：
（１）２（狓＋４）＝９－（狓－６）．
解：去括号，得２狓＋８＝９－狓－６．
（ ）
１
（２）１５ 狓－１ ＝１－２（狓－３）．
５
解：去括号，得３狓－１５＝１－２狓＋３．
２．解下列方程：
（１）狓＋（２狓－２０）＝２７０；
３
９２
第 一元一次方程
章１
（２）狔＋１８＝ （３８＋狔）；
２
（３）７（狓＋３）＋４＝２４－３（狓＋３）．
３．已知狓加４的和是狓减去６的差的２倍，求狓．
狔 狔
例７ 解方程： －５＝ ．
４ ３
狔 狔
解 方法一：移项，得 － ＝５．
４ ３
１
合并同类项，得 － 狔＝５．
１２
１
两边同除以狔的系数－ ，得
１２
狔＝－６０．
所以，原方程的解是狔＝－６０．
方法二：根据等式性质２，方程两边同乘１２，得
狔 狔
１２× －１２×５＝１２× ．
４ ３
化简，得 ３狔－６０＝４狔．
移项，得 ３狔－４狔＝６０．
合并同类项，得 －狔＝６０．
两边同除以狔的系数－１，得狔＝－６０．
所以，原方程的解是狔＝－６０．
狓＋４ １
例８ 解方程：１－ ＝ 狓．
１０ ５
解 根据等式性质２，方程两边同乘１０，得
１０－（狓＋４）＝２狓．
去括号，得 １０－狓－４＝２狓．
移项、合并同类项，得 －３狓＝－６．
９ ３
３．２ 一元一次方程及其解法两边同除以狓的系数－３，得 狓＝２．
所以，原方程的解是狓＝２．
狓＋１ 狓
例９ 解方程： － ＝５．
０．３ ０．４
狓＋１
分析 把 的分母转化为整数．类比分数的基本性质，得
０．３
狓＋１ １０（狓＋１）
＝ ．
０．３ ３
狓 ５狓
类似地， ＝ ．
０．４ ２
１０（狓＋１） ５狓
解 原方程可转化为 － ＝５．
３ ２
根据等式性质２，方程两边同乘６，得
２０（狓＋１）－１５狓＝３０．
去括号，得 ２０狓＋２０－１５狓＝３０．
移项、合并同类项，得 ５狓＝１０．
两边同除以狓的系数５，得 狓＝２．
所以，原方程的解是狓＝２．
例１０ 解方程：４（狓－２）＋５＝３５－（狓－２）．
分析 可以将狓－２看作一个整体进行运算．
解 移项，得 ４（狓－２）＋（狓－２）＝３５－５．
将狓－２看作一个整体进行加法运算，得
５（狓－２）＝３０．
两边同除以５，得 狓－２＝６．
移项，得 狓＝８．
所以，原方程的解是狓＝８．
２狓－７ 狓－犿 １
例１１ 已知狓＝３是方程 ＋ ＝ 的解，求犿的值．
４ ３ ２
解 因为狓＝３是原方程的解，所以把狓＝３代入方程后，有
３
９４
第 一元一次方程
章２×３－７ ３－犿 １
＋ ＝ ．
４ ３ ２
根据等式性质２，方程两边同乘１２，得
－３＋４（３－犿）＝６．
去括号，得 －３＋１２－４犿＝６．
移项、合并同类项，得 －４犿＝－３．
３
两边同除以犿的系数－４，得 犿＝ ．
４
３
所以，犿的值为 ．
４
课堂练习３．２（４）
１．解下列方程：
狓－９ 狓＋５
（１） ＝ ；
４ ３
９ ３
（２） 狓＝ 狓＋４；
１６ ４
１ ４ １
（３） 狓－ ＝１－ 狓；
０．２ ５ ０．３
（４）５（３＋２狓）－２（３＋２狓）＝６．
２．已知狓＝２是方程５（狓＋犿）－２０＝－３（狓－犿）的解，求犿的值．
习题３．２
１．解下列方程：
（ ）
１ ３－狓 狓－４
（１）４狓＋ ＋９＝５－３（狓－１）； （２） ＝ ；
２ ２ ３
（ ）
狔－１ ３狔－４ １ 狔＋２
（３） ＝２－ ； （４）６１－ 狔＝－ ．
２ ５ ２ ５
９ ５
３．２ 一元一次方程及其解法２犪－１ 犪－２
２．当犪为何值时，代数式 与１－ 的值相等？
３ ２
２狓－１ 狓 １
３．解方程： ＝ － ．
０．７ ０．３ ７
４．下面解方程的过程是否正确？如果不正确，请指出错误，并加以改正．
５－狓 ２狓－３
解方程： － ＝１．
３ ２
解： １０－２狓－６狓－９＝１．
－８狓＝０．
狓＝０．
１２狓－１ １８狓＋１ 狓
５．解方程： － ＝ ．
４ ６ ３
６．解下列方程：
狓 ４狓＋５
（１）３－［狓－２（狓－１）］＝２（１－狓）； （２） ＝ ＋２；
１６ ８
１ １ 狓 ３－２狓
（３） （狓＋２）＋ （－狓－２）＝３； （４） －（３狓－５）＝ ＋１．
２ ５ ２ ４
３狔－犿 ２犿－狔
７．已知关于狔的方程 － ＝１－狔与方程２（狔＋３）＝５（狔＋
２ ３
３）－６的解相同，求犿的值．
８．解方程：４狓－３＋６（３－４狓）＝７（４狓－３）．你能用不同的方法解这个方程
吗？你认为哪一种解法比较简便？
３
９６
第 一元一次方程
章３．３
一元一次方程的应用
例１ 在２０２２年北京冬奥会上，中国队共获得了１５枚奖牌，比１９８０年
１
至２０２２年历届冬奥会获得的奖牌总数的 多４枚．问：从１９８０年至２０２２年
７
中国队获得的冬奥会奖牌总数是多少枚？
１
分析 中国队从１９８０年至２０２２年获得的冬奥会奖牌总数的 再加上４枚
７
等于中国队在２０２２年北京冬奥会上获得的奖牌枚数１５．
解 设从１９８０年至２０２２年中国队获得的冬奥会奖牌总数是狓枚．根据题
意，可以列出方程
１
狓＋４＝１５．
７
１
移项，得 狓＝１１．
７
解得 狓＝７７．
答：从１９８０年至２０２２年中国队获得的冬奥会奖牌总数是７７枚．
１
例２ 已知轿车的速度是９０ｋｍ／ｈ，轿车的速度比货车快 ．求货车的
５
速度．
１
分析 轿车的速度比货车快 ，所以轿车的速度＝货车的速度＋货车的
５
１
速度× ．
５
解 设货车的速度是狓ｋｍ／ｈ．根据题意，可以列出方程
１
狓＋ 狓＝９０．
５
６
解这个方程，得 狓＝９０．
５
狓＝７５．
９ ７
３．３ 一元一次方程的应用答：货车的速度是７５ｋｍ／ｈ．
例３ 为更好地完成某小区绿化带改造任务，甲、乙两个施工队合作施
工．已知甲队单独施工９天可以完成，乙队单独施工６天可以完成．如果甲、
乙两队合作施工３天，余下的工作由乙队单独完成，那么乙队还需要施工多
少天才可以完成任务？
分析 用“１”来表示改造完这个小区绿化带的全部工作量，则甲队单独施
１ １
工一天的工作量为 ，乙队单独施工一天的工作量为 ．甲、乙两队合作施工
９ ６
（ ）
１ １
３天的工作量可以表示为 ＋ ×３．根据题意，可知甲、乙两队合作施工３
９ ６
天的工作量＋乙队单独完成的余下工作量＝全部工作量．
解 设乙队还需要施工狓天才可以完成任务．根据题意，可以列出方程
（ ）
１ １ １
＋ ×３＋ 狓＝１．
９ ６ ６
１ １ １
解这个方程，得 ＋ ＋ 狓＝１．
３ ２ ６
１ １
狓＝ ．
６ ６
狓＝１．
答：乙队还需要施工１天才可以完成任务．
例４ 在本章章首语中的“以碗知僧”问题大意为：山上有一座古寺，在
这座寺庙里，每３个和尚合吃一碗饭，每４个和尚合分一碗汤，一共用了３６４
只碗．问：寺里有多少个和尚？
分析 如果用狓表示寺里和尚的人数，那么每３个和尚合吃一碗饭，则
狓 狓
吃饭用的饭碗有 只；每４个和尚合分一碗汤，则喝汤用的汤碗有 只．根据
３ ４
吃饭的饭碗与喝汤的汤碗一共有３６４只，可以列出方程．
解 设寺里有狓个和尚．根据题意，可以列出方程
狓 狓
＋ ＝３６４．
３ ４
３
９８
第 一元一次方程
章７
解这个方程，得 狓＝３６４．
１２
狓＝６２４．
答：寺里有６２４个和尚．
课堂练习３．３（１）
１
１．少年宫合唱队有８４人，比舞蹈队人数多 ．舞蹈队有多少人？
３
２．图书角有一些科普书和文艺书，其中文艺书有２８本，如果从图
１
书角拿走２３本科普书，那么文艺书的本数是剩下的科普书的 ．图书角
２
原有科普书多少本？
３．小华的妈妈买了一些每枝８元的玫瑰，又买了一个３６元的花瓶，
付出２００元找回６８元．小华的妈妈买了多少枝玫瑰？
４．甲、乙两个工程队修一条公路，甲队单独做需要１０天完成，乙
队单独做需要１５天完成．如果甲、乙两队先合作３天，剩下的由甲队单
独完成，那么甲队还需要做几天才可以修完这条公路？
１
例５ 某栋居民楼的高度比上海环球金融中心高度的 少２２ｍ．若这两
６
栋建筑物的高度之和是５５２ｍ，分别求这两栋建筑物的高度．
分析 设上海环球金融中心的高度为狓ｍ，则居民楼的高度可以用
（ ）
１
狓－２２ ｍ表示．根据这两栋建筑物的高度之和是５５２ｍ，可以列出方程．
６
（ ）
１
解 设上海环球金融中心的高度为狓ｍ，那么居民楼的高度为 狓－２２ ｍ．
６
根据题意，可以列出方程
１
狓＋ 狓－２２＝５５２．
６
９ ９
３．３ 一元一次方程的应用７
解这个方程，得 狓＝５７４．
６
狓＝４９２．
１ １
居民楼的高度为 狓－２２＝ ×４９２－２２＝６０（ｍ）．
６ ６
答：上海环球金融中心的高度为４９２ｍ，居民楼的高度为６０ｍ．
有多个未知量时，可以先将其中一个量设为未知数，再根据题意，将其
他相关的量用该未知数来表示，并列出方程．
例６ 乐乐做一辆风力小车．小车的底座是用一根长为３６ｃｍ的铁丝围成
的一个长方形，这个长方形的长比宽的２倍少３ｃｍ．求这个长方形的宽．
分析 设这个长方形的宽是狓ｃｍ，则这个长方形的长可以用 （２狓－３）ｃｍ
表示．根据“长方形的周长＝２×（长＋宽）”，可以列出方程．
解 设这个长方形的宽为狓ｃｍ，则该长方形的长为 （２狓－３）ｃｍ．根据题
意，可以列出方程
２（狓＋２狓－３）＝３６．
解这个方程，得 ２（３狓－３）＝３６．
３狓－３＝１８．
３狓＝２１．
狓＝７．
答：这个长方形的宽是７ｃｍ．
课堂练习３．３（２）
１
１．小海的年龄比爷爷年龄的 小２岁，如果小海和爷爷的年龄之和
５
是８２岁，那么小海和爷爷各是多少岁？
２．一个书架分为上、下两层，共有２５５本书．下层的书比上层的２
倍多１５本．这个书架的上层和下层各有多少本书？
３
１ ００
第 一元一次方程
章３．如图，把边长为１０ｃｍ的正方形分割成一个三角形和一个梯形．
梯形的面积比三角形的面积大２０ｃｍ２ ，三角形较短的一条直角边的长是
多少？
１ ０１
３．３ 一元一次方程的应用
mc
01
10 cm
（第３题）
例７ 学校购置了一批电脑用于拓展课的教学，分配给参加拓展课的学
生每组一台电脑．如果每６名学生为一组，那么恰好空出５台电脑；如果每４
名学生为一组，那么电脑恰好分完．问：学校一共购置了多少台电脑？参加拓
展课的学生有多少名？
分析 参加拓展课的学生数和电脑数都是未知量，因此可以设学校一共购
置了狓台电脑．根据每６名学生为一组的情况，参加拓展课的学生总数可以表
示为６（狓－５）名．根据每４名学生为一组的情况，参加拓展课的学生总数也可表
示为４狓名．于是可得方程６（狓－５）＝４狓．解这个方程，就可以解决这个问题．
解 设学校一共购置了狓台电脑．根据题意，可以列出方程
６（狓－５）＝４狓．
解这个方程，得 ６狓－３０＝４狓．
２狓＝３０．
狓＝１５．
参加拓展课的学生有４狓＝４×１５＝６０（名）．
答：学校一共购置了１５台电脑，参加拓展课的学生有６０名．
如果设参加拓展课的学生有狔名，请列出方程并求解．在解决应用问题的过程中，往往需要引入适当的未知数，根据题意，列
出方程，并求得方程的解．
例８ 一家绿色生态农庄种植玉米和甜瓜，已知玉米种植面积比农庄总
１ １
种植面积的 多３公顷，甜瓜种植面积比农庄总种植面积的 少１公顷．问：
２ ３
该农庄种植玉米和甜瓜各多少公顷？
分析 本题所求的两个未知量都与农庄总种植面积有关，因此可先设农
（ ）
１
庄总种植面积为狓公顷．根据题意，玉米种植面积可以表示为 狓＋３ 公顷，
２
（ ）
１
甜瓜种植面积可以表示为 狓－１ 公顷．根据“玉米种植面积＋甜瓜种植面积
３
＝农庄总种植面积”，可列出方程．
解 设农庄总种植面积为狓公顷．根据题意，可以列出方程
１ １
狓＋３＋ 狓－１＝狓．
２ ３
１
解这个方程，得 狓＝２．
６
狓＝１２．
１
玉米种植面积为 狓＋３＝９（公顷）．
２
１
甜瓜种植面积为 狓－１＝３（公顷）．
３
答：该农庄种植玉米９公顷，甜瓜３公顷．
课堂练习３．３（３）
１．六年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船．如果
每条船坐９人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐１２人，那么租
的这些船恰好坐满．问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多
少人？
３
１ ０２
第 一元一次方程
章２．李老师带了一笔钱去买文具．如果买单价为１８元的钢笔，钱正好
用完；如果改买单价为６元的圆珠笔，那么可以多买８支，钱也正好用
完．问：若全买钢笔，可以买多少支？李老师一共带了多少元？
３．某学校买了一批短绳．如果每班分４５根，那么恰好有２个班级分
不到；如果每班分３０根，那么恰好分完．问：这个学校一共有几个班？
学校买来多少根短绳？
例９ 沪宁高速公路全长约２７０ｋｍ，一辆轿车和一辆客车分别从上海和
南京两地出发，沿沪宁高速公路相向而行．轿车先行５４ｋｍ后，客车再出发．
轿车的速度为１００ｋｍ／ｈ，客车的速度为８０ｋｍ／ｈ．问：客车出发后多久两车
相遇？
分析 根据题意，画出示意图（图３３１）．轿车行驶的第一段路程＋轿车
行驶的第二段路程＋客车行驶的路程＝两地相距路程．设客车出发后狓ｈ两车
相遇，这里的狓ｈ也是轿车第二段路程行驶的时间，那么轿车行驶的第二段路
程可以用１００狓ｋｍ表示，客车行驶的路程可以用８０狓ｋｍ表示．
100km/h 80km/h
DD D
DD=O+0
C/54 km DD=O+0 C/ D=O+C/
"
270 km
图３３１
解 设客车出发后狓ｈ两车相遇．根据题意，可以列出方程
５４＋１００狓＋８０狓＝２７０．
解这个方程，得 １８０狓＝２１６．
狓＝１．２．
答：客车出发后１．２ｈ两车相遇．
１ ０３
３．３ 一元一次方程的应用例１０ 一辆客车和一辆轿车先后沿相同道路从上海出发去南京，客车先
行５０ｋｍ后轿车出发，客车的速度为８０ｋｍ／ｈ，轿车的速度为１００ｋｍ／ｈ．问：
经过多久轿车追上客车？
分析 根据题意，画出示意图（图３３２）．客车行驶的第一段路程＋客车
行驶的第二段路程＝轿车行驶的路程．
80km/h
D
D=O+0 D=O+0 C/
C/50km
100km/h
DD
DD=O+C/
图３３２
解 设经过狓ｈ轿车追上客车．根据题意，可以列出方程
８０狓＋５０＝１００狓．
解这个方程，得 ２０狓＝５０．
狓＝２．５．
答：经过２．５ｈ轿车追上客车．
例１１ 小华和妈妈一起包饺子．小华平均每分钟包３．５个饺子，妈妈平
均每分钟包６个饺子．小华先包好５０个饺子后妈妈开始包．多久后妈妈包的
饺子和小华一样多？
分析 设狓ｍｉｎ后妈妈包的饺子和小华一样多，由于小华先包好５０个
饺子后再用狓ｍｉｎ和妈妈一起包饺子，因此小华一共包了（５０＋３．５狓）个饺
子，妈妈包了６狓个饺子．根据小华包的饺子和妈妈包的饺子一样多，可列
出方程．
解 设狓ｍｉｎ后妈妈包的饺子和小华一样多．根据题意，可以列出方程
５０＋３．５狓＝６狓．
３
１ ０４
第 一元一次方程
章解这个方程，得 ２．５狓＝５０．
狓＝２０．
答：２０ｍｉｎ后妈妈包的饺子和小华一样多．
例１２ 小华、乐乐在４００ｍ长的环
形跑道上练习跑步．已知小华的速度为
１８０ｍ／ｍｉｎ，乐乐的速度为２２０ｍ／ｍｉｎ．
（１）如果两人同时由同一起点反向出
发，问：多久后两人第一次相遇？
（２）如果两人同时由同一起点同向出
发，问：多久后两人第一次相遇？
分析 设两人出发狓ｍｉｎ后相遇，那么小华跑的路程可以表示为１８０狓ｍ，
乐乐跑的路程可以表示为２２０狓ｍ．问题（１）中，乐乐、小华在环形跑道上同时同
地反向而行，所以小华跑的路程＋乐乐跑的路程＝４００ｍ．问题（２）中，乐乐、小
华在环形跑道上同时同地同向而行，乐乐跑得较快，所以乐乐跑的路程－小华
跑的路程＝４００ｍ．
解 （１）设两人同时由同一起点反向出发，狓ｍｉｎ后两人第一次相遇．根
据题意，可以列出方程
１８０狓＋２２０狓＝４００．
解这个方程，得 ４００狓＝４００．
狓＝１．
答：如果两人同时由同一起点反向出发，１ｍｉｎ后两人第一次相遇．
（２）设两人同时由同一起点同向出发，狓ｍｉｎ后两人第一次相遇．根据题
意，可以列出方程
２２０狓－１８０狓＝４００．
解这个方程，得 ４０狓＝４００．
狓＝１０．
答：如果两人同时由同一起点同向出发，１０ｍｉｎ后两人第一次相遇．
１ ０５
３．３ 一元一次方程的应用课堂练习３．３（４）
１．甲、乙两车分别从相距４８０ｋｍ的Ａ、Ｂ两地同时出发，沿相同道
路相向而行，途中甲车休息了２．５ｈ，结果乙车出发５．５ｈ后与甲车在途
中相遇．已知乙车的平均速度为４８ｋｍ／ｈ，求甲车的平均速度．
２．小海和乐乐从学校出发沿相同道路去图书馆，小海先行２ｍｉｎ后
乐乐再出发．已知乐乐的平均速度为７５ｍ／ｍｉｎ，８ｍｉｎ后追上小海．求
小海的平均速度．
３．小华和欢欢练习打字，小华平均每分钟打字３１个，欢欢平均每
分钟打字３８个．小华先打了７ｍｉｎ后，欢欢才开始打．问：欢欢打字多
久后，两人打的字一样多？
习题３．３
１．养殖场里鸡和鸭的只数相差１８４，鸡的只数比鸭的３倍还多２０．养殖场
里鸡和鸭各有多少只？
２．一个长方形花坛的周长是４８ｍ，花坛的长是宽的２倍．求这个花坛的
长和宽．
３．甲、乙两人在４００ｍ长的环形跑道上练习跑步．已知甲的平均速度为
２００ｍ／ｍｉｎ，乙的平均速度为２２０ｍ／ｍｉｎ．如果两人同时由同一起点反向出发，
多久后两人第一次相遇？
４．甲、乙两地相距３０ｋｍ，一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时沿
着同一方向行驶．已知货车的平均速度是７０ｋｍ／ｈ，２ｈ后轿车追上了货车．求
轿车的平均速度．
５．箱子里装有相同个数的网球和羽毛球．每次取出７个网球和４个羽毛
球，取了若干次后，网球没有了，羽毛球还剩９个．问：一共取了几次？网球
和羽毛球原来各有多少个？
３
１ ０６
第 一元一次方程
章６．商场一款连衣裙的售价是３５０元，卖出了３件．后来商场搞活动降价
５０元销售，降价后又卖出了１０件．活动前后，这款连衣裙共盈利１４５０元．
问：这款连衣裙的进货价是多少元？
７．如图，一个长方形正好可以分成两个相同大小的
正方形．已知这个长方形的周长为２０．７ｃｍ，求这个长方
形的长和宽．
８．给一群孩子分糖果．如果每人分３颗糖，多２１ （第７题）
颗；如果每人分５颗糖，多３颗．问：这群孩子有多少
人？糖果有多少颗？
９．一件工作，甲单独做４天可以完成，乙单独做６天可以完成．现在甲、
乙两人合作２天，余下的工作由乙一个人继续完成．乙还需要做几天才可以完成
全部工作？
１ ０７
３．３ 一元一次方程的应用１．基本概念：方程，方程的解，解方程，一元一次方程．
含有未知数的等式叫作方程．在方程中，所含的未知数又称为元．
如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数
的值叫作方程的解．
求方程的解的过程叫作解方程．
只含有一个未知数且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程，
其一般形式为犪狓＋犫＝０（犪≠０）．
２．等式性质：
如果犪＝犫，那么犪＋犮＝犫＋犮，犪－犮＝犫－犮．
如果犪＝犫，那么犪犮＝犫犮．
犪 犫
如果犪＝犫，那么 ＝ （犮≠０）．
犮 犮
３．解一元一次方程的一般步骤：
去括号，移项，合并同类项，把方程整理成犪狓＝犫（犪≠０）的形式，两边
（ ）
１ 犫
同除以未知数的系数犪或同乘 ，得到方程的解狓＝ ．
犪 犪
４．在解决实际问题时，可以根据题意，通过引入未知数，列出一元一次
方程，并求解方程，从而解决问题．
３
１ ０８
第 一元一次方程
章１．下列方程属于一元一次方程的是 （ ）
Ａ．２狓－１； Ｂ．狓＋狔＝１；
Ｃ．狓２－２狓＋１＝０； Ｄ．５＝３－狓．
２．下列方程中，解为狓＝３的方程是 （ ）
１
Ａ．２狓＋１＝狓－２； Ｂ．３狓－１＝－１ ；
３
狓＋９ １
Ｃ． ＝２狓－６； Ｄ． （狓＋１）＝２．
３ ２
３．狓＝－１ 方程１－４狓＝５狓＋１０的解（填“是”或“不是”）．
４．解下列方程：
（１）１－３狓＝２狓－９； （２）４－２（狓＋１）＝３（狓－１）；
２狓－１ 狓＋３ ３狓＋５ ２狓－３
（３） ＝ ； （４） － ＝１．
３ ４ ４ ５
５．学校里买了５０根跳绳和１５副羽毛球拍，一共用了１０７５元．若每副羽
毛球拍的售价是５０元，则每根跳绳的售价是多少元？
６．一个梯形花坛的面积是３６ｍ２ ，花坛的下底是上底的３倍，高是５ｍ．
求这个花坛的上底．
７．甲、乙两地之间的路程为４７０ｋｍ，一辆客车和一辆卡车同时从两地出
发沿相同道路相向而行，途中客车因加油停了０．５ｈ，结果卡车３．２ｈ后与客车
在途中相遇．已知卡车的平均速度为７６ｋｍ／ｈ，求客车的平均速度．
１ ０９
复习题８．下列方程变形正确的是 （ ）
Ａ．３狓－２＝２狓＋１可变形为３狓－２狓＝－１＋２；
狓－１
Ｂ．３－ ＝１可变形为６－狓－１＝２；
２
狓 ４狓＋５
Ｃ． ＝ ＋２可变形为狓＝２（４狓＋５）＋２；
１６ ８
Ｄ．３（狓－１）－２（狓－１）＝－狓－１可变形为狓－１＝－狓－１．
９．解下列方程：
１熿 １ 燄 ２
（１）狓－ 狓－ （狓－１）＝ ；
３ 燀 ４ 燅 ３
狓－７ ４狓＋８
（２） － ＝１；
４ ３
１－狓 狓＋２
（３）狓－ ＝ －１．
３ ６
１０．已知方程３狓＋５＝狓－１与关于狓的方程（犪＋１）（狓－３）＝６的解相同，
求犪的值．
１１．学校组织秋游，为此租了若干辆大巴．如果每辆大巴坐４５人，那么恰
好空出４辆大巴；如果每辆大巴坐３５人，那么租的大巴恰好坐满．问：学校
租了多少辆大巴？这次学校去秋游的师生共有多少人？
１２．欢欢和小海一起玩投篮机．欢欢平均每分钟投出２５个篮球，小海平均
每分钟投出４０个篮球．欢欢先投出了３６个篮球后小海才开始投．小海投篮几
分钟后，他投出的篮球个数和欢欢一样多？
３
１ １０
第 一元一次方程
章４
第 章
线段与角
在小学阶段，我们已经认识了线段和角．线段和角是构成几何
图形的基本元素．本章我们将进一步学习如何比较两条线段的长短，
如何借助直尺和圆规画图表示线段的和、差、倍等，并用类比的方
法学习角的相关问题，从而为后续学习三角形、四边形等内容做好
准备．４．１
线段
１．点与线
我们生活在一个多样化的图形世界中，夜空中群星璀璨，建筑群呈现出
各种形态，道路上行驶着各种类型的交通工具，自然界展现出五彩斑斓的景
色……所有这些图像都是由点和线等基本图形组成．只要我们
细心观察，就能发现这个世界充满了各种各样的图形．
点是图形的基本元素之一．当我们用削尖的铅笔轻轻在纸
上点下去时，纸上就会出现一个小小的黑点（图４１１），这使
我们能够形象地理解点的概念．我们通常用一个大写字母来表 A
图４１１
示点，就像图４１１中的点可以记为“点犃”．
如图４１２，用铅笔沿着一把直尺的边在纸上连续移动，会画出一
个什么图形？
如图４１３，把圆规装有针尖的脚固定在一点上，另一只装有铅笔
芯的脚绕着这个点旋转一周，会画出一个什么图形？
图４１２ 图４１３
在上述过程中，我们可以把铅笔尖看作一个移动的点．当这个点在纸上
移动时，它留下的痕迹形成了一条线，这条线可以是直线，也可以是曲线．
这给我们展现了“点动成线”的直观形象．通过点的运动，我们可以得到各种
形状的线．
４
１ １２
第 线段与角
章在小学阶段，我们已经知道经过一个点可以画无数条直线，经过两个点
只能画一条直线，因此我们得到：
经过两点有且只有一条直线．
在直线上任意取两个点，可以用表示这两点的两个大写字母表示这条直
线，如图４１４（１）的直线可以记作“直线犃犅”或“直线犅犃”．有时为了简便也
可以用一个小写字母表示，如图４１４（１）的直线也可以记作“直线犾”．
直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线．射线可以用表示它的端点和射
线上任意一点（端点除外）的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，如
图４１４（２）中的射线记作“射线犃犅”．
直线上任意两点间的部分（包括端点）叫作线段．线段可以用表示它的端点
的两个大写字母表示，如图４１４（３）中的线段可以记作“线段犃犅”或“线段
犅犃”，也可以用一个小写字母表示，记作“线段犪”．
a
l
A B A B A B
,3 3 3
图４１４
在小学阶段，我们也知道关于线段的基本事实：两点之间，线段最短．
如果一条线段的两个端点的位置确定了，那么这条线段的位置就确定了．
这可以简单地表达为两点确定一条以这两点为端点的线段．因此，我们把连接
两点的线段的长度叫作这两点间的距离．
例１ 杭州湾跨海大桥位于杭州湾海域，是连接嘉兴市和宁波市的跨海
大桥．图４１５是上海至杭州和上海至宁波的两条路线示意图，如果把上海、
嘉兴、杭州、宁波分别标记为点犃、犅、犆、犇（其中点犃、犅、犆在同一直线
上），在杭州湾跨海大桥上取点犈、犉，连接犃犆、犆犇、犅犈、犈犉和犉犇．
（１）图中以犃为端点的线段有哪几条？以犅为端点的线段有哪几条？
（２）图中共有几条线段？是哪几条？
１ １３
４．１ 线段AU"U
B
U U
E #C"
F
C
U U
DU"U
图４１５
解 （１）图中以犃为端点的线段有犃犅、犃犆，以犅为端点的线段有犅犃、
犅犆和犅犈．
（２）图中有７条线段，分别为犃犅、犃犆、犅犆、犆犇、犅犈、犈犉和犉犇．
在日常生活中，比较两个人的身高时，两人只要并立在平地上就能比较
出高矮（图４１６）．如果将该问题抽象为比较两条线段的长短，那么这两条线
段移到一起，一端对齐，就可以比较了．
图４１６
任意画两条线段犃犅、犆犇，将线段犃犅移到线段犆犇的位置，使端点犃
与端点犆重合，且端点犅在射线犆犇上．端点犅有以下三种可能的位置情况，
如表４１所示．
４
１ １４
第 线段与角
章表４１
图形 点犅的位置 结论
A B
点犅在线段犆犇上（犆、
情况一 线段犃犅比线段犆犇短
A B 犇之间）
C D
A B
线段犃犅与线段犆犇一
情况二 点犅与点犇重合
A B 样长
C D
点犅在线段犆犇的延长
A B
线（以点犇为端点，沿从
情况三 线段犃犅比线段犆犇长
A B 点犆到点犇的方向延长
C D 线段犆犇所得射线）上
线段的度量需要先取单位长度．有了单位长度，线段的长度就可以用一个
数来描述长短．一旦单位长度确定，我们就可以用相应的刻度尺对线段进行度
量．进一步，线段的长短也可以通过长度来加以比较．
在不产生混淆的前提下，犃犅（或犪）也可以用以表示线段犃犅（或线段犪）
的长度．例如，在表４１的结论中，情况一可记为犃犅＜犆犇，情况二可记为
犃犅＝犆犇，情况三可记为犃犅＞犆犇．
如果没有刻度尺，我们还可以借助圆规比较两条线段的长短．如图４１７
所示．
D D
C C D C
A B A B A B A B
图４１７
１ １５
４．１ 线段例２ 如图４１８，先估计图中线段犪、犫孰长孰短，然后用圆规予以验证．
a
O A B C
b
图４１８ 图４１９
解 如图４１９，
（１）画射线犗犆；
（２）在射线犗犆上截取犗犃＝犪，截取犗犅＝犫．
因为点犅在线段犗犃的延长线上，所以犗犃＜犗犅，即犪＜犫．
课堂练习４．１（１）
１．下面两个图中分别有多少条以犃、犅、犆、犇为端点的线段？分
别把它们都写出来．
C D
A C D B A B
（第１题）
２．通过观察比较下列各图中两条线段犃犅与犆犇的长短，并用刻度
尺或者圆规验证你的结论．
A C B B
A B
A
C D C D
D
（第２题）
３．已知线段犃犅、犆犇，且线段犃犅比犆犇长，如果将犆犇移动到
犃犅的位置，使点犆与点犃重合，点犇在射线犃犅上，那么点犇的位
置情况怎样？
４
１ １６
第 线段与角
章２．画线段的和、差与线段的中点
单位长度一旦给定，线段的长度就可以用一个数来表示．因此，线段的长
度可以像数一样做加法、减法运算．如果一条线段的长度等于另外两条线段长
度的和（或差），那么称这条线段就是另外两条线段的和（或差）．
如图４１１０，点犃、犅、犆在一条直线上．
A B C
线段犃犅、犅犆、犃犆有怎样的数量关系？
图４１１０
线段犃犅、犅犆、犃犆有如下的数量关系：
犃犅＋犅犆＝犃犆，犃犆－犅犆＝犃犅，犃犆－犃犅＝犅犆．
如图４１１１，点犅、犆在线段犃犇上．如果线段犃犅与线段犆犇一
样长，那么线段犃犆、犅犇有怎样的关系？为什么？
A B C D 在等式的两边分别
图４１１１ 加上相等的量，等式仍
然成立．
因为犃犅＝犆犇，所以犃犅＋犅犆＝犆犇＋犅犆．所
以犃犆＝犅犇．
我们在小学学过用刻度尺画一条线段等于已知线段．画一条线段等于两条
线段的和或差，可以先用刻度尺量出两条线段的长度，再计算线段的和或差，
最后利用刻度尺画．
在没有刻度尺的条件下，我们也可以用直尺和圆规画线段的和与差．
例３ 如图４１１２，已知线段犪、犫．
a
（１）用直尺和圆规画一条线段，使它等于犪＋犫；
b
（２）用直尺和圆规画一条线段，使它等于犪－犫．
图４１１２
解 （１）如图４１１３，
① 画射线犗犘；
１ １７
４．１ 线段② 在射线犗犘上从点犗起，顺次截取犗犃＝犪，犃犅＝犫．
线段犗犅就是所要画的线段．
O A B P
图４１１３
（２）如图４１１４，
① 画射线犗犘；
为什么犆犇要“倒
② 在射线犗犘上截取犗犆＝犪，在线段犗犆上截
回”截？还有其他的画
取犆犇＝犫． 法吗？
线段犗犇就是所要画的线段．
O D C P
图４１１４
从图４１１３可知，线段犗犅的长度就是线段犗犃的长度加上线段犃犅的
长度，即有犗犅＝犗犃＋犃犅．因为犗犃＝犪，犃犅＝犫，所以犗犅＝犪＋犫．
从图４１１４可知，犗犆＝犪，犆犇＝犫，线段犗犇的长度就是线段犗犆的长
度减去线段犆犇的长度，即有犗犇＝犗犆－犆犇．因为犗犆＝犪，犆犇＝犫，所以
犗犇＝犪－犫．
如果一条线段犫是两条线段犪的和，就说线段犫是线段犪的２倍，将线段
犪的２倍记为２犪，则犫＝２犪．
例４ 如图４１１５，已知线段犪、犫，用直尺和圆
a
规画一条线段，使它等于２犪－犫．
b
解 如图４１１６，
图４１１５
① 画射线犗犘；
② 在射线犗犘上顺次截取犗犃＝犪，犃犅＝犪；
③ 在线段犗犅上截取犅犆＝犫．
线段犗犆就是所要画的线段．
４
１ １８
第 线段与角
章O C A B P
图４１１６
如果一条线段犫是狀条线段犪的和，就说线段犫是线段犪的狀倍，或线段
犫
犪是线段犫的狀分之一，记作犫＝狀犪或犪＝ ．特别地，将一条线段分成两条
狀
相等线段的点叫作这条线段的中点．
如图４１１７，犕是线段犃犅的中点，那么
A M B
１
犃犕＝犅犕＝ 犃犅，犃犅＝２犃犕＝２犅犕． 图４１１７
２
例５ 如图４１１８，已知一条线段犃犅，用刻度尺画出它的中点犆．
A B
图４１１８
解 如图４１１９，以１ｍｍ为单位长度．
１
① 用刻度尺量出犃犅＝４０，计算得犃犆＝ 犃犅＝２０；
２
② 用刻度尺在线段犃犅上取点犆，使得犃犆＝２０．
点犆就是所要画的线段犃犅的中点．
A C B
图４１１９
例６ 如图４１２０，犆是线段犃犅上的一点，犇是线段犃犆的中点．如果
犃犅＝１０，犃犇＝４．５，求线段犃犆、犆犅的长．
A D C B
图４１２０
１ １９
４．１ 线段解 因为犇是线段犃犆的中点，所以犃犆＝２犃犇．
因为犃犇＝４．５，所以犃犆＝９．
因为犃犅＝１０，所以犆犅＝犃犅－犃犆＝１．
课堂练习４．１（２）
１．根据所示图形填空．
已知线段犪、犫，且犪＞２犫，画一条线段，使它等于犪－２犫．
解：① 画射线 ；
② 在射线 上，截取 ＝犪；
③ 在线段 上，顺次截取 ＝ ＝犫．
线段 就是所要画的线段．
a A D E C B
b
（第１题）
２．如图，将线段犃犅四等分．
A B
（第２题）
３．如图，犘是线段犃犅的中点，点犆、犇把线段犃犅三等分．已知
线段犆犘的长为１ｃｍ，求线段犃犅的长．
A C P D B
（第３题）
４
１ ２０
第 线段与角
章习题４．１
１．如图，以犃为一端点的线段有几条？是哪几条？以犅为一端点的线
段呢？
A
B C D E
（第１题） （第２题）
２．如图，要把一根挂衣帽的挂钩架水平固定在墙上，至少要钉几个钉子？
为什么？
３．如图，已知线段犪、犫，画图并回答问题．
a
b
（第３题）
（１）用直尺和圆规画图：
① 画线段犃犅，使得犃犅＝２犪－２犫；
② 画线段犆犇，使得犆犇＝２（犪－犫）．
（２）比较（１）中的线段犃犅、犆犇的长度．
４．如图，已知线段犃犅，画图并回答问题．
A B
（第４题）
（１）利用直尺和圆规，按下列说法画图：
① 在线段犃犅的延长线上取点犆，使得犅犆＝犃犅；
② 再在线段犅犃的延长线上取一点犇，使得犇犃＝２犃犅．
１ ２１
４．１ 线段（２）在（１）的基础上，回答下列问题：
① 线段犃犆等于线段犃犅的几倍？
② 线段犃犅等于线段犇犅的几分之几？
③ 线段犇犅等于线段犇犆的几分之几？
３
５．如图，已知犕是线段犃犅的中点，点犖在线段犕犅上，犕犖＝ 犃犕．
５
如果犕犖＝３，求犃犅的长．
A M N B
（第５题）
６．已知犃、犅、犆三点在同一直线上，如果犅犆＝２犃犅，犇是犃犆的中
点，犅犇＝２１，求犅犆的长．
４
１ ２２
第 线段与角
章４．２
角
１．角及其度量
与点、线一样，角也是构成平面图形的基本要素，我们将进一步探究角
的相关知识．
在生活中，钟表上的时针和分针，圆规张开的两脚，都展现出角的形象，
如图４２１所示．
图４２１
在小学阶段，我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线组成的图形．
我们也可以把角看成由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形．
射线从初始位置转动到终止位置所经过的部分称为角的内部．通常角的内部用
不带箭头或带箭头的弧线表示，如图４２２所示．涂色部分是角的外部．
F
F F
F
图４２２
一条射线犗犃由初始位置绕着它的端点犗旋转到终止位置，得到射线
犗犅．如图４２３（１），当射线犗犅和射线犗犃呈一条直线时，所成的角叫作
平角；如图４２３（２），当射线犗犅与射线犗犃重合时，所成的角叫作周角．
１ ２３
４．２ 角A
B O A O B
> >
图４２３
角通常有以下三种表示方法：
（１）用三个大写字母表示，如图４２４（１）中的角可以表示成∠犃犗犅或
∠犅犗犃，图４２４（２）中的三个角可以表示成∠犃犗犅、∠犅犗犆和∠犃犗犆．当
以某一点为顶点的角只有一个时，这个角也可以用表示这个点的字母来表示．
如图４２４（１）的∠犃犗犅也可以记作∠犗，但是４２４（２）中的三个角均不能记
作∠犗．
（２）用一个小写的希腊字母表示，如α、
β
、γ
α读作“／犾犳／”，
等．如图４２４（２），∠犃犗犅和∠犅犗犆可以分别记
β
读作“／犫犲犻狋／”，γ读
作∠α和∠β （或α和 β ）． 作“／犵犿／”．
（３） 用一个数字表示， 如 １、２、３ 等．如
图４２４（３），∠犃犗犅和∠犅犗犆可以分别记作∠１和∠２．
C C
B B B
β 2
α 1
A A A
O O O
图４２４
在不产生混淆的前提下，表示角的符号亦可以表示角的大小．
如图４２３（２）所示的∠犃犗犅为周角．把周角分
本章中所说的角，
成３６０等份，取一份作为一个单位，称为一度，记
除了平角、周角外，未
作１°．因此周角为３６０°．如图４２３（１）所示的平角 加说明的角是指小于平
角的角．
是周角的一半，因此平角为１８０°．角的两边互相垂
直形成直角，直角为９０°．
１周角＝２平角＝３６０°；１平角＝２直角＝１８０°．
４
１ ２４
第 线段与角
章量角器是度量角的一个重要工具．通过量取两个角的度数，就可以比较两
个角的大小．
与计量时间的时、分、秒一样，角的度、分、秒也是６０进制的．
把１°分成６０等份，每一份是一分，记作１′；把１′分成６０等份，每一份
是一秒，记作１″．
１°＝６０′，１′＝６０″．
４８°５６′３７″读作４８度５６分３７秒．
以度、分、秒为单位的角的度量制叫作角度制．
例１ 计算（结果用度、分、秒表示）：
（１）５４°１８′＋３５°４５′；
（２）２５°１８′３１″＋３５°４２″；
（３）１８０°－（３５°１８′＋６２°５６′）．
１８′＋４５′＝６３′．
因为１°＝６０′，
解 （１）５４°１８′＋３５°４５′＝８９°＋６３′＝９０°３′．
所以６３′＝１°３′．
（２）２５°１８′３１″＋３５°４２″＝６０°＋１８′＋７３″＝６０°１９′１３″．
（３）１８０°－（３５°１８′＋６２°５６′）＝１８０°－（９７°＋７４′）＝１８０°－９８°１４′＝８１°４６′．
课堂练习４．２（１）
１．观察下列图形及其标记，指出角的记法的错误，然后加以改正．
D
A A
C B B C
@UABC @UB
（第１题）
２．计算（结果用度、分、秒表示）：
（１）３７°２８′＋４４°４９′； （２）１０８°１８′－５２°３０″；
（３）１５°３２′５２″＋６６°２５′３７″； （４）９０°－５３°３８′．
１ ２５
４．２ 角２．角的比较与应用
在不借助量角器的前提下，我们也可以类似线段的比较方法来比较两个
角的大小．移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边
重合，两个角的另一条边都落在重合的边的同侧，再观察“两个角的另一条
边”的位置情况，以比较其大小．
任意画两个角∠犃犗犅、∠犇犈犉（均小于１８０°），移动∠犇犈犉，使顶
点犈与顶点犗重合，边犈犇与边犗犃重合，边犈犉与边犗犅在重合的
边的同侧．这时犈犉对于∠犃犗犅而言，有几种可能的位置关系？请完
成下列表格（表４２）．
表４２
图形 犈犉对于∠犃犗犅的位置 符号表示
B
情 F 记作：∠犇犈犉＜∠犃犗犅
况 边犈犉在∠犃犗犅的内部
一 （或∠犃犗犅＞∠犇犈犉）
O E A D
B F
情
况
二
O E A D
F B
情
况
三
O E A D
４
１ ２６
第 线段与角
章如图４２５，填空：
D
C
N
B
A
O M
图４２５
（１）比较角的大小：
因为犗犅和犗犅是公共边，边 在∠犅犗犇的内部，所以
∠犅犗犆 ∠犅犗犇；
因为犗犃和犗犃是 ，边犗犆在∠犃犗犅的 ，所以
∠犃犗犆 ∠犃犗犅．
（２）确定角的边的位置：
因为犗犆和犗犆是公共边，∠犅犗犆＜∠犃犗犆，所以边犗犃在
∠犅犗犆的 ；
因为边犗犕与边 重合，∠犕犗犖＝∠犃犗犆，所以边犗犖
与边 重合．
还记得图４２６中所示的日常生活中经常用到的四
个方向吗？例如，太阳从东方升起，明天北风４～５级
等．实际上，仅有这四个方向是不够用的．例如，航海
>
时只用这四个方向，船是无法准确航行的．该如何准确 O
描述方向呢？可以正北、正南方向为基准，用角度来
描述物体的方向，如“北偏东３０°”“南偏西２５°”．这种表
示方向的角，在航行、测绘等工作中经常用到． 图４２６
１ ２７
４．２ 角例２ 已知上海天文馆在人民广场的南偏东５０°的方向．如图４２７，射
线犗犈、犗犛、犗犠、犗犖分别表示东、南、西、北方向，射线犗犃表示北偏东
３０°方向．如果用点犗表示人民广场，画出从人民广场到上海天文馆方向的射
线犗犅．
N A N A
30° 30°
W E W E
O O
50°
B
S S
图４２７ 图４２８
解 如图４ ２ ８，在 ∠犛犗犈的内部，以犗为顶点，犗犛为一边，画
∠犛犗犅＝５０°，另一边犗犅就是表示从人民广场到上海天文馆方向的射线（即南
偏东５０°方向的射线）．
课堂练习４．２（２）
１．对于如图所示的各个角，用“＞”“＜”或“＝”填空：
（１）∠犃犗犅 ∠犃犗犆；
C
D
（２）∠犇犗犅 ∠犅犗犆；
B
（３）∠犅犗犆 ∠犃犗犇；
（４）∠犃犗犇 ∠犅犗犇．
O A
２．根据图形填空： （第１题）
将∠犃犗犅移动到∠犕犘犖，使点犗与点 重合，边犗犃与边
重合，犗犅与犘犖都在犘犕的同侧．
因为∠犃犗犅＝∠犕犘犖，所以边犗犅与边 重合．
因为线段犗犅＝犘犖，所以点 与点 重合．
４
１ ２８
第 线段与角
章B N B
O A P O M A
（第２题）
３．如图，射线犗犃、犗犅、犗犆、犗犇分别表示东、
南、西、北方向，试画出点犈、犉、犌、犎的位置： D
（１）点犈在点犗的正北方向，与点犗相距
１ｃｍ； C A
O
（２）点犉在点犗的北偏东３０°方向，与点犗相
距２ｃｍ；
B
（３）点犌在点犗的西南方向（南偏西４５°），与 （第３题）
点犗相距１．５ｃｍ；
（４）点犎在点犗的南偏东５０°方向，与点犗相距２ｃｍ．
３．画角的和、差与角的平分线
类似于线段的和、差，如果一个角的度数等于另外两个角的度数之和（或
差），那么称这个角就是另外两个角的和（或差）．
问题１ 如图４２９，射线犗犆在∠犃犗犅的内部，图中有几个角？它们
之间有什么数量关系？
B
C
O A
图４２９
１ ２９
４．２ 角图中有∠犃犗犆、∠犆犗犅、∠犃犗犅共３个角，它们有如下数量关系：
∠犃犗犆＋∠犆犗犅＝∠犃犗犅；
∠犃犗犅－∠犃犗犆＝∠犆犗犅；
∠犃犗犅－∠犆犗犅＝∠犃犗犆．
如图４２１０，如果∠犃犗犅＝∠犆犗犇，那么∠犃犗犆和∠犅犗犇有怎样
的关系？为什么？
D
C
B
O A
图４２１０
因为∠犃犗犅＝∠犆犗犇，所以
在等式的两边分别
∠犃犗犅＋∠犅犗犆＝∠犆犗犇＋∠犅犗犆．
加上相等的量，等式仍
所以∠犃犗犆＝∠犅犗犇． 然成立．
我们知道，用一副三角尺可以直接画出３０°、４５°、６０°、９０°的角，利用角
的和、差意义，也可以画出７５°、１５°等角 （图４２１１）．
75°
15°
图４２１１
我们可以用量角器画０°～１８０°的角，还学过用量角器画一个角等于已知
角，那么如何画角的和、差呢？
４
１ ３０
第 线段与角
章例３ 如图４２１２，已知∠α、∠β （∠α＞∠β ）．
（１）用量角器画一个角，使它等于∠α＋∠β ；
（２）用量角器画一个角，使它等于∠α－∠β．
α β
图４２１２
解 （１）如图４２１３，
D
① 用量角器画∠犃犅犆＝∠α；
C
② 以犅为顶点，射线犅犆为一边，在∠犃犅犆的外部
β
用量角器画∠犆犅犇＝∠β．
α
B A
∠犃犅犇是所要画的角．
图４２１３
（２）如图４２１４，
C
① 用量角器画∠犃犅犆＝∠α；
② 以犅为顶点，射线犅犆为一边，在∠犃犅犆的内部用
α D
β
量角器画∠犆犅犇＝∠β．
B A
∠犃犅犇是所要画的角． 图４２１４
画两角的和或差，也可以先用量角器分别量出两角的度数，计算两角的
度数的和或差后，再利用量角器画．
如果∠α是狀个∠β 的和，那么我们就说∠α是∠β 的狀倍或∠β 是∠α
１
的狀分之一，记作∠α＝狀∠β 或∠β＝ ∠α．
狀
例４ 如图４２１５，已知∠α、∠β ，画一个角，使它等于２∠α－∠β．
α β
图４２１５
１ ３１
４．２ 角解 如图４２１６，
D
E
C
B A
图４２１６
① 用量角器画∠犃犅犆＝∠α；
② 以犅为顶点，射线犅犆为一边，在∠犃犅犆的外部用量角器画∠犆犅犇
＝∠α；
③ 以犅为顶点，射线犅犇为一边，在∠犃犅犇的内部用量角器画∠犇犅犈
＝∠β．
∠犃犅犈就是所要画的角．
线段的中点将线段分成相等的两个部分，那么一个角也可以分成相等的
两部分吗？
如图４２１７，用纸片任意剪一个角，折叠这张纸片，使这个角的
两边叠在一起，再展开，可以看到什么？
图４２１７
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线
叫作这个角的平分线．
４
１ ３２
第 线段与角
章如图４２１８，犗犆是∠犃犗犅的平分线，也可以说
B
犗犆平分∠犃犗犅．
C
１
这时，有∠犃犗犆＝∠犅犗犆＝ ∠犃犗犅，或∠犃犗犅
２
O A
＝２∠犃犗犆＝２∠犅犗犆．
图４２１８
例５ 如图４２１９，已知∠犃犅犆，画出它的平分线．
C
C
M
A B A B
图４２１９ 图４２２０
解 如图４２２０，
１
① 用量角器量得∠犃犅犆＝４８°，所以 ∠犃犅犆＝２４°；
２
② 以犅为顶点，射线犅犃为一边，在∠犃犅犆的内部用量角器画∠犃犅犕＝２４°．
犅犕就是所要画的∠犃犅犆的平分线．
例６ 如图４２２１，∠犃犅犆＝９０°，∠犆犅犇＝３０°，犅犘平分∠犃犅犇．求
∠犃犅犇和∠犃犅犘的度数．
C
D P
B A
图４２２１
解 因为 ∠犃犅犆＝９０°， ∠犆犅犇＝３０°， 又因为 ∠犃犅犇＝ ∠犃犅犆＋
∠犆犅犇，所以∠犃犅犇＝９０°＋３０°＝１２０°．
１
因为犅犘平分∠犃犅犇，所以∠犃犅犘＝ ∠犃犅犇＝６０°．
２
１ ３３
４．２ 角课堂练习４．２（３）
１．根据图形填空：
O
D
A B C
（第１题）
（１）∠犃犗犇＝∠犃犗犆＋ ；
∠犃犗犇＝ ＋∠犅犗犇；
∠犃犗犇＝ ＋∠犅犗犆＋ ．
（２）如果∠犃犗犅＝∠犅犗犆＝∠犆犗犇，那么∠犃犗犇＝３ ．
２．如图，已知∠α、∠β ，用量角器画两个角，使它们分别等于
２∠α＋∠β 和３∠β－∠α．
α β
（第２题）
３．如图，犗犆是∠犃犗犅的平分线，犗犇是∠犃犗犆内的一条射线，
∠犅犗犆＝３０°，∠犃犗犇＝１０°．求∠犅犗犇的度数．
B
C
D
O A
（第３题）
４
１ ３４
第 线段与角
章４．余角、补角
问题２ 如图４２２２，我们所用的一副三角尺中，每把都有一个角是
９０°，同一把三角尺的两个锐角存在着怎样的数量关系？
１ ３５
４．２ 角
0 5
1
cm
0 1 cm 2 3 4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 cm 2 3 4 5
5
4
3
2
mc
1
0
图４２２２
画一个直角三角形，用量角器量出这个直角三角形的两个锐角的
度数．这两个锐角有什么数量关系？
如果两个角的和等于９０°，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个
角称为另一个角的余角．
如果两个角的和等于１８０°，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一
个角称为另一个角的补角．
例７ 已知一个角的补角是这个角的余角的３倍，求这个角的度数．
分析 根据题意，得“这个角的补角＝３×这个角的余角”，因此可以设这
个角为狓°，建立关于狓的一元一次方程求解．
解 设这个角为狓°．根据题意，得
１８０－狓＝３（９０－狓）．
解得 狓＝４５．
所以，这个角为４５°．如果∠１和∠２互为余角，∠３和∠２互为余角，那么∠１和∠３有
什么关系？为什么？
如果∠α和∠β 互为补角，∠γ和∠β 互为补角，那么∠α和∠γ
有什么关系？为什么？
因为∠１＋∠２＝９０°，∠３＋∠２＝９０°，所以
∠１＝９０°－∠２，∠３＝９０°－∠２．
所以∠１＝∠３．
因为∠α＋∠β＝１８０°，∠γ＋∠β＝１８０°，所以
∠α＝１８０°－∠β ，∠γ＝１８０°－∠β．
所以∠α＝∠γ．
我们得出：
同角（或等角）的余角相等；
同角（或等角）的补角相等．
例８ 如图４２２３，点犃、犗、犅在同一直线
D C
上，射线犗犇和射线犗犈分别平分∠犃犗犆和∠犅犗犆．
E
在图中找出∠犆犗犈的余角．
A B
解 点犃、犗、犅在同一条直线上， O
图４２２３
∠犃犗犆＋∠犅犗犆＝１８０°．
因为射线犗犇和射线犗犈分别平分∠犃犗犆和∠犅犗犆，所以
１ １
∠犆犗犇＝ ∠犃犗犆，∠犆犗犈＝ ∠犅犗犆，
２ ２
１
所以 ∠犆犗犇＋∠犆犗犈＝ （∠犃犗犆＋∠犅犗犆）＝９０°．
２
所以∠犆犗犇和∠犆犗犈互为余角．
因为射线犗犇平分∠犃犗犆，所以∠犆犗犇＝∠犃犗犇，所以∠犃犗犇和
４
１ ３６
第 线段与角
章∠犆犗犈互为余角．
所以，∠犆犗犈的余角有∠犆犗犇、∠犃犗犇．
课堂练习４．２（４）
１．（１）在图（１）中画射线犃犅，使∠犅犃犆与∠犆犃犇互余；
（２）在图（２）中画射线犃犈，使∠犈犃犆与∠犆犃犇互补．
D
D
A C C A
（第１题）
２．已知一个角的补角比它的余角的２倍大３５°，求这个角的度数．
２
３．已知∠１的度数是∠２的度数的 ，且∠２的补角比∠１的余角
３
的３倍大１５°．求∠１的度数．
习题４．２
１．（１）在图（１）中，用数字１、２、３、４分别标注∠犇犃犆、∠犆犃犅、
∠犃犅犆、∠犃犆犅；
（２）在图（２）中，分别用α、
β
、γ标注∠犃犗犆、∠犇犗犈、∠犆犗犇．
A D A B C
D
E
B C O
（第１题）
１ ３７
４．２ 角２．填空题：
（１）如图（１），犗犕是∠犃犗犅的平分线，∠犃犗犅＝１４０°，∠犃犗犇＝１００°，
那么∠犇犗犕＝ °；
（２）如图（２），直线犆犇经过点犗，犗犆平分∠犃犗犅，那么∠犃犗犇
∠犅犗犇（填“＞”“＝”或“＜”），理由是 ．
M
A
A D
D O C
O B B
（第２题）
３．如图，已知∠α及∠β （∠α＞２∠β ）．
（１）利用量角器画∠犃犗犅，使∠犃犗犅＝∠α－２∠β ；
（２）画∠犃犗犅的平分线犗犆．
B
60°
>
O
α β
（第３题） （第４题）
４．图中点犗表示景点甲的位置，点犅表示景点乙的位置．如果景点丙在
景点甲的西南方向，且在景点乙的正南方向，试在图中确定景点丙的位置 （用
点犆表示）．
５．计算 （结果用度、分、秒表示）：
（１）４８°１９′＋６７°２１′；
（２）４９°２８′５２″－２５°３０′４９″；
（３）１８０°－２３°３３′＋６５°４５′．
４
１ ３８
第 线段与角
章６．如图，已知∠犃犗犇＝８１°，犗犆平分∠犅犗犇，∠犃犗犅＝（狓＋８）°，
∠犆犗犇＝（３狓－２）°．求∠犃犗犅的度数和∠犆犗犇的补角的度数．
A
B
O
C
D
（第６题）
７．已知犗是直线犃犅上一点，∠犕犗犖＝９０°，犗犆是以犗为顶点的一条
射线．
（１）如图（１），如果犗犖平分∠犅犗犆，∠犅犗犖＝６０°，求∠犆犗犕的度数；
（２）如图（２），如果犗犆平分 ∠犃犗犕， ∠犅犗犖 比 ∠犆犗犕 大 ３０°， 求
∠犆犗犕的度数；
（３）如图（３），如果犗犆平分∠犃犗犖，试判断∠犅犗犖与∠犆犗犕的数量
关系，并说明理由．
C N
N C N
M
M
M
C
A O B A O B A O B
（第７题）
１ ３９
４．２ 角１．基本概念：线段，两点间的距离，线段的中点，射线，角，角平分线．
连接两点的线段的长度叫作两点间的距离．
将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点．
角是具有公共端点的两条射线组成的图形．
角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形．
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线
叫作角的平分线．
２．比较大小：
比较两条线段的长短：直接比或者度量．
比较两个角的大小：直接比或者度量．
３．画图：
画一条线段等于已知线段，画线段的和、差、倍，画一条线段的中点．
画一个角等于已知角，画角的和、差、倍，画一个角的平分线．
４．基本事实或结论：
经过两点有且只有一条直线．
两点之间，线段最短．
同角（或等角）的余角相等．
同角（或等角）的补角相等．
４
１ ４０
第 线段与角
章１．将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
∠１ ∠３ ∠４
∠犅犆犃 ∠犃犅犆
B
5
4 3 2 1 E
D A C
（第１题）
２．（１）如果∠α＝３９°２１′，那么∠α的补角为 ；
（２）如图①，已知∠犃犗犅＝６２°，∠犅犗犆＝２３°１８′，那么∠犃犗犆＝ ；
２
（３）如图②，如果犅犇＝１６ｍｍ，犅犇＝ 犃犅，犆是线段犅犇的中点，那
５
么犃犆＝ ｍｍ．
A
C
A D C B
O
B
（第２题）
３．如图，已知线段犿、狀、狆，用直尺和圆规画线段犃犅，使得犃犅＝犿＋
狀－２狆．
１ ４１
复习题m
n
p α β γ
（第３题） （第４题）
４．如图，已知∠α、∠β 、∠γ，用量角器画∠犃犗犅，使得∠犃犗犅＝２∠α＋
∠β－∠γ（∠γ＜∠β ）．
５．计算 （结果用度、分、秒表示）：
（１）９０°－２８°１６′１８″； （２）３４°２３′１６″＋１２５°５１′１９″．
６．如图，货轮犗在航行过程中，测得灯塔犃在它
的南偏东５０°方向上．同时，测得客轮犅和海岛犆分别
在货轮犗的北偏东６０°方向上和西北（北偏西４５°）方
>
向上． O
50°
（１）在图中分别画出客轮犅和海岛犆方向的射线；
A
（２） 另一货轮犇在平面上组成的 ∠犃犗犇与
∠犃犗犅互为补角，请画出货轮犇方向的射线并写出其
（第６题）
所在的方向．
７．已知点犃、犅、犆在同一条直线上，犃犅＝１０ｃｍ，犃犆＝８ｃｍ，点犕、
犖分别是犃犅、犃犆的中点．求线段犕犖的长．
８．如图，已知点犗为直线犃犅上一点，过点犗画
C
射线犗犆，∠犅犗犆＝１２０°．
（１）求∠犃犗犆的度数；
A B
（２）过点犗画射线犗犇，使∠犆犗犇＝９０°，画 O
（第８题）
∠犃犗犆的平分线犗犕，求∠犕犗犇的度数；
（３）在（２）的条件下，画一条射线犗犘，使∠犅犗犘与∠犃犗犕互余，并求
∠犆犗犘的度数．
４
１ ４２
第 线段与角
章综 合
与
实 践
你的膳食健康吗？
上海一日游计划制订你的膳食健康吗？
中国营养学会２０２２年发布了《中国学龄儿童膳食指南（２０２２）》，其中１１～１３
岁年龄段的平衡膳食标准如图１所示．
图１ １１～１３岁学龄儿童平衡膳食宝塔
以上数据有助于我们合理搭配膳食，既保证营养，又可以使得身体更
健康．
课前准备 记录膳食情况
请同学们记录自己某天三餐所食用的全部饭菜和其他时间的进食情况，
将信息填入表１（行不够可以添加）．
１ ４４ 综合与实践表１ 一天用餐情况记录表
姓名： 日期：
时间 食物名称（如米饭、红烧肉等） 数量（单位：碗／杯／块／个／……）
早餐
午餐
晚餐
其他
活动１ 分析膳食结构
（１）请根据图１中提供的食物种类和数量，重新整理表１中的各项信息和
数据，填入表２．如有疑问，可查阅资料或咨询他人．
表２ 用餐食物种类记录表
姓名： 日期：
食物种类 具体食物（指出来自哪餐的食物） 具体数量（单位：ｇ或ｍＬ）
水
谷物
薯类
蔬菜类
水果类
１ ４５
你的膳食健康吗？（续表）
食物种类 具体食物（指出来自哪餐的食物） 具体数量（单位：ｇ或ｍＬ）
畜禽肉
水产品
蛋类
奶及奶制品
大豆
坚果
（２）小组讨论．
组内同学交换食物种类记录表，分别为其他同学计算食物数量与膳食宝
塔的标准数据的差异，将数据填入表３．如果比标准数据多，用正数表示；如
果比标准数据少，用负数表示．进一步，对照膳食宝塔标准，判断同学们一天
的膳食情况是否合理，若不合理，相互给出建议，保证健康饮食．
表３ 与平衡膳食宝塔标准数据的对照表
姓名： 日期：
食物种类 用正数或负数表示与标准数据的差异
水
谷物
薯类
蔬菜类
水果类
畜禽肉
水产品
蛋类
奶及奶制品
１ ４６ 综合与实践（续表）
食物种类 用正数或负数表示与标准数据的差异
大豆
坚果
膳食合理吗？你的建议是什么？
活动２ 制订一天的健康食谱
（１）请每名同学根据自己的饮食习惯，结合膳食宝塔标准，制订一天的
健康食谱，并将具体信息填入表４．
表４ 一天健康膳食食谱表
姓名： 日期：
时间 食物名称 所含食物种类与数量
早餐
午餐
晚餐
其他
（２）分组交流以上食谱．再次进行活动１，重新填写表２和表３，比比谁
的食谱更健康．
拓展活动
请同学们根据自己的饮食习惯，结合膳食宝塔标准，制订一周的健康
食谱．
１ ４７
你的膳食健康吗？上海一日游计划制订
我们生活的城市———上海，既是我国的经济和金融中心，又是一座旅游
城市，有着深厚的近代城市文化底蕴和众多历史古迹．在上海，可以踏访名人
旧居、走进博物馆，也可以游览水乡古镇，感受江南的生活气息．
活动１ 班级半日游预算制订
秋高气爽时节，班级计划组织一次学校附近Ａ景区的半日游玩活动，班
主任老师把预算制订工作交给了你．你所在的班级共有学生犪名（３５＜犪＜
４０），一同前往的教师有３位．
费用项目１ 交通费
从学校到Ａ景区有三种交通方式，相应费用和用时如表１所示：
表１
交通方式 所用时间／ｍｉｎ 费用／（元／人）
步行 ６０ ０
包车 ２０ ６
地铁 ３０ ３
问题１ 请根据表１中的数据，选择你认为最合适的出行方式，并说明
理由．
费用项目２ 景区门票
Ａ景区的门票购买细则如表２所示：
１ ４８ 综合与实践表２
类别 单价／元 购票说明
成人 ２０ １８周岁及以上
个人票 学生 １０ 以小学或中学的学生证为准
学龄前 ０ 不超过６周岁
团体票 ３０人及以上 １２ 整个团体成员都须买票
问题２ 请根据表２中的数据，选择你认为最合适的购票方式，并说明
理由．
费用项目３ 游船票
Ａ景区里的游船有两种，票价和乘坐的人数如表３所示：
表３
类别 游船载客数／（人／艘） 费用／（元／艘）
Ａ种游船 ６ ５０
Ｂ种游船 ４ ４０
问题３ 请根据表３中的数据，选择你认为最合适的船票购买方案，并说
明理由．
问题４ 请你计算这次半日游的总费用．
活动２ 分组一日游计划制订
确定分组，制订计划
请同学们用一周左右的时间完成以下三项任务：
１．自由组合，每小组６人左右，确定小组名称，推选组长．
２．充分讨论，确定一日游的主题和地点．例如：
（１）红色之旅，如中共一大纪念馆、陈云故居、周公馆等．
（２）场馆之旅，如上海博物馆、上海科技馆、上海自然博物馆等．
（３）古镇之旅，如朱家角古镇、枫泾古镇、新场古镇等．
１ ４９
上海一日游计划制订（４）建筑之旅，如外滩建筑群、上海石库门、思南路老洋房等．
同学们也可以选择其他景点，自主组合．
３．具体要求：
（１）时间：８：３０集体从学校出发，１６：３０之前回到学校．
（２）交通：建议全天乘坐公共交通，如公交、地铁、轮渡等．
（３）线路：根据主题，选择景点，合理安排行程．注意劳逸结合，费用须
符合中学生的实际情况．
（４）安全：组长建立小组联系方式，明确行程中的安全事项．
（５）餐饮：根据行程，合理安排午餐时间和地点，费用自理，杜绝浪费．
（６）费用：每人的一日游总费用不超过１００元．
（７）成果：以海报形式展示各小组旅游计划，海报内容包括路线、时间、
费用等方面．
成果展示和完善
各小组在课堂上展示方案，接受其他同学的点评，完善旅游计划．然后各
小组利用双休日进行实践，检验该计划的可行性，并探讨是否还有改进的
需要．
１ ５０ 综合与实践附 录
部分中英文词汇索引
1. 有理数
正数 3
positive number
负数 3
negative number
有理数 4
rational number
数轴 7
number axis
相反数 9
opposite number
绝对值 10
absolute value
2. 简单的代数式
代数式 61
algebraic expression
常数项 67
constant term
3. 一元一次方程
未知数，元 81
unknown
方程 81
equation
方程的解 81
solution of equation
一元一次方程 87
linear equation with one unknown
4. 线段与角
射线 113
ray
线段 113
line segment
距离 113
distance
中点 119
midpoint
角 123
angle
角的平分线 132
angular bisector
余角 135
complementary angle
补角 135
supplementary angle
151后 记
本套教科书根据教育部颁布的《义务教育数学课程标准（2022 年版）》
编写.
本册教科书是六年级上册. 在主编李大潜的主持下，由徐斌艳任本册主
编，编写人员分别为：
钟菊红、苗俊杰、陈月兰（第 1 章），陆海兵、吴颖康、陈月兰（第 2 章），
陆海兵、吴颖康、陈月兰（第3章），朱丽霞、苗俊杰、陈月兰（第4章），徐斌艳、
王海生（综合与实践）.
感谢编写团队的团结协作和不懈努力，并对王建磐教授的协助表示衷心的
谢忱.
编写过程中，上海市课程教育教学研究基地（中小学课程方案基地）、上海
市心理教育教学研究基地、上海基础教育教材建设重点研究基地、两个上海市
数学教育教学研究基地（分别设在复旦大学和华东师范大学）等上海高校“立
德树人”人文社会科学重点研究基地对教科书编写工作给予了大力支持，在此
表示衷心的感谢.
我们要感谢一直支持、关心和帮助我们工作的同志和朋友们. 大家的热忱
指导和帮助，我们定会铭记于心，并化为我们的工作动力.
欢迎广大师生来电来函提出宝贵意见.
联系电话：021-64319241（内容） 021-64373213（印刷或装订）
电子邮箱：jcjy@seph.com.cn
地 址：上海市闵行区号景路159弄C座上海教育出版社（201101）义
务
教
育
教
科
书
六年级
上册
义务教育教科书
（五·四学制）
（
五
·
四
学
制
）
数数学学
六
年
级
SHUXUE
数学
六年级 上册 数
学
上
册
定 价： 10.30 元
