考研数学二真题解析:2013考研数学真题解析(知识点标注版)

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一、选择题

1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

（1）

设 ，其中 ，则当  时， 是（ ）

（A）比  高阶的无穷小

（B）比  低阶的无穷小

（C）与  同阶但不等价的无穷小

（D）与  等价的无穷小

**答案：**（C）

知识点：

• 等价无穷小；
• 无穷小阶的比较；
• 复合函数极限。

解析：

由已知等式，

因此 。又因 ，故 ，从而

于是

该极限为非零常数且不等于 ，故  与  同阶但不等价，选 C。

（2）

设函数  由方程  确定，则 （ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

**答案：**（A）

知识点：

• 隐函数求导；
• 导数定义；
• 数列极限转化为函数极限。

解析：

令 ，由原方程得 。因此

对

两边关于  求导，得

代入 ，得 。故原极限为

选 A。

（3）

设函数

，，则（ ）

（A） 是函数  的跳跃间断点

（B） 是函数  的可去间断点

（C） 在  处连续但不可导

（D） 在  处可导

**答案：**（C）

知识点：

• 变上限积分函数；
• 分段函数的连续性；
• 分段函数在分界点处的可导性。

解析：

分段积分可得

于是

故  在  处连续。但

左右导数不相等，所以  在  处不可导，选 C。

（4）

设函数

，

若反常积分  收敛，则（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

**答案：**（D）

知识点：

• 无界函数的反常积分；
• 无穷区间上的反常积分；
•  型积分的敛散性。

解析：

将原积分拆为

第一部分在  处为瑕积分：

收敛的条件是 ，即 。第二部分令 ，则

收敛的条件是 ，即 。综上，

故选 D。

（5）

设 ，其中函数  可微，则 （ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

**答案：**（A）

知识点：

• 二元复合函数的偏导数；
• 乘积法则；
• 复合函数求导法则。

解析：

由

得

以及

因此

故选 A。

（6）

设  是圆域  在第  象限的部分，记 ，则（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

**答案：**（B）

知识点：

• 二重积分的极坐标变换；
• 各象限内三角函数的符号；
• 二重积分的对称性。

解析：

在极坐标下，

故在角度范围  所对应的象限内，

分别计算可得

因此只有 ，故选 B。

（7）

设矩阵  均为  阶矩阵，若 ，且  可逆，则（ ）

（A）矩阵  的行向量组与矩阵  的行向量组等价

（B）矩阵  的列向量组与矩阵  的列向量组等价

（C）矩阵  的行向量组与矩阵  的行向量组等价

（D）矩阵  的行向量组与矩阵  的列向量组等价

**答案：**（B）

知识点：

• 矩阵乘法与列向量的线性组合；
• 向量组等价；
• 可逆矩阵。

解析：

由

可知， 的每一个列向量都是  的列向量的线性组合。又因  可逆，

所以  的每一个列向量也都是  的列向量的线性组合。故两矩阵的列向量组等价，选 B。

（8）

矩阵  与  相似的充分必要条件为（ ）

（A）

（B） 为任意常数

（C）

（D） 为任意常数

**答案：**（B）

知识点：

• 相似矩阵的特征多项式；
• 实对称矩阵的对角化；
• 特征多项式系数的比较。

解析：

记左侧矩阵为 。计算得

右侧对角矩阵的特征多项式为

若两矩阵相似，则特征多项式相同，故必须有 。

反之，当  时，

是实对称矩阵，其特征值为 ，因此可正交相似于 。所以充分必要条件是 ， 为任意常数，选 B。

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二、填空题

9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。

（9）

答案：

知识点：

• 幂指函数极限；
• 对数变换；
• 无穷远处的极限。

解析：

当  时，

底数在充分大的  下为正。对原式取对数，得

因为对数因子趋于 ，为有界量。因此原极限为

（10）

设函数 ，则  的反函数  在  处的导数 

答案：

知识点：

• 变上限积分函数的求导；
• 反函数的导数。

解析：

由微积分基本定理，

由于 ，故反函数中  对应 。又 ，所以

（11）

设封闭曲线  的极坐标方程为 ，则  所围成的平面图形的面积为

答案：

知识点：

• 极坐标曲线所围图形的面积；
• 三角函数的降幂公式。

解析：

在给定的角度区间内，，曲线描绘一个闭合花瓣。其面积为

（12）

曲线  上对应于  的点处的法线方程为

答案：

知识点：

• 参数曲线的切线斜率；
• 切线与法线的关系；
• 法线方程。

解析：

由

得

当  时，切线斜率为 ，故法线斜率为 。此时曲线上的点为

因为 。所以法线方程为

即

（13）

已知 ，， 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的  个解，该方程满足条件 ， 的解为 

答案：

知识点：

• 二阶线性非齐次微分方程解的结构；
• 非齐次方程特解之差；
• 初值问题。

解析：

三个非齐次方程解的两两之差都是对应齐次方程的解。由

可知  是对应齐次方程的两个线性无关解，而  是非齐次方程的一个特解。因此原方程的通解为

由初始条件得

以及

解得 ，所以

（14）

设  是三阶非零矩阵， 为  的行列式， 为  的代数余子式，若 ，则 

答案：

知识点：

• 代数余子式与伴随矩阵；
• 行列式按行展开；
• 伴随矩阵行列式的性质。

解析：

由 ，可知代数余子式矩阵等于 ，从而

由于  为非零矩阵，至少有一行含非零元素。沿该行展开行列式，得

另一方面，三阶矩阵满足

而

故

结合 ，得到

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三、解答题

15～23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分 10 分）

当  时， 与  为等价无穷小，求  与  的值。

知识点：

• 等价无穷小；
• 无穷小的拆分；
• 无穷小阶的比较。

解析：

利用恒等式

当  时，，，且

因此

故

（16）（本题满分 10 分）

设  是由曲线 ，直线  及  轴所围成的平面图形， 分别是  绕  轴、 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 ，求  的值。

知识点：

• 旋转体体积的圆盘法；
• 旋转体体积的柱壳法；
• 幂函数的定积分。

解析：

区域  绕  轴旋转时，由圆盘法得

区域  绕  轴旋转时，由柱壳法得

由  及 ，得

即

因此

（17）（本题满分 10 分）

设平面内区域  由直线 ， 及  围成，计算 。

知识点：

• 直线围成区域的描述；
• 二重积分化为累次积分；
• 分片积分。

解析：

三条直线的交点分别为

按  的范围将区域分成两部分：当  时，；当  时，。因此

（18）（本题满分 10 分）

设奇函数  在  上具有二阶导数，且 。证明：

（I）存在 ，使得 ；

（II）存在 ，使得 。

知识点：

• 奇函数及其导数的奇偶性；
• 罗尔定理；
• 导数的介值性；
• 反证法与辅助函数。

解析：

（I）由于  为奇函数，。令

则

由罗尔定理，存在 ，使

故 。

（II）令

由于  为奇函数， 为偶函数，故  为奇函数，特别地 。又

注意到  是函数  的导数，因而具有导数的介值性。若  在  内无零点，则它在  内恒正或恒负。

若 ，则由导数的介值性可知

又因为 ，所以 。同时

故  对所有  成立，从而

但

矛盾。若 ，同理可得 ，亦与上述积分等于  矛盾。

因此存在 ，使

即

（19）（本题满分 11 分）

求曲线  上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

知识点：

• 条件极值；
• 拉格朗日乘数法；
• 闭曲线段上的最值。

解析：

考察距离平方

在约束

下的最值。先说明该曲线在第一象限内有界。令 ，则

当  时，，故满足约束条件的点集有界；它又是闭集，因此距离的最大值与最小值均能取到。

对于第一象限内部的条件极值点，由拉格朗日乘数法，

将第一式乘以 ，第二式乘以 ，相减得

在约束曲线上 ，且 ，所以 。又 ，故 。代入约束条件，得

即

故内部候选点为 。曲线在坐标轴上的端点为  与 。分别计算距离：

因此最长距离为 ，最短距离为 。

（20）（本题满分 11 分）

设函数 。

（I）求  的最小值；

（II）设数列  满足 ，证明  存在，并求此极限。

知识点：

• 函数的定义域与单调性；
• 利用导数求函数的最值；
• 命题条件的相容性判断。

解析：

（I）函数的定义域为 。求导得

当  时，；当  时，。因此  在  上单调递减，在  上单调递增，故

（II）由（I）可知，对任意 ，均有

因此不存在正数  满足

而对数要求 ，所以题设中的数列不存在。按题干现有条件，第（II）问的前提不成立，因而不存在可供讨论的极限。

（21）（本题满分 11 分）

设曲线  的方程为 。

（1）求  的弧长；

（2）设  是由曲线 ，直线  及  轴所围平面图形，求  的形心的横坐标。

知识点：

• 平面曲线的弧长公式；
• 定积分的几何应用；
• 平面图形的形心；
• 分部积分法。

解析：

（1）由

可得

其中 。因此曲线  的弧长为

（2）记区域  的面积为 。由于曲线在  上位于  轴上方，故

区域  对  轴的静矩为

所以形心的横坐标为

（22）（本题满分 11 分）

设 ，当  为何值时，存在矩阵  使得 ，并求所有矩阵 。

知识点：

• 矩阵乘法与矩阵方程；
• 线性方程组有解的条件；
• 含参数线性方程组的通解。

解析：

设

由 ，比较对应元素，得

由第一式和第四式立即得到

再由第三式得

将以上两式代入第二式，得

即

因此矩阵方程有解的必要条件为

当  时，令 ，则

其中  为任意常数。代回原方程可知均成立，故上述条件也是充分条件，且所有矩阵  为

（23）（本题满分 11 分）

设二次型

，

记

。

（I）证明二次型  对应的矩阵为 ；

（II）若  正交且均为单位向量，证明二次型  在正交变换下的标准形为二次型 。

知识点：

• 二次型与其对应矩阵；
• 向量外积；
• 实对称矩阵的正交对角化；
• 正交单位向量与特征向量。

解析：

（I）令

则

因此

故二次型  对应的矩阵为

（II）因为  正交且均为单位向量，所以

从而

在  中取单位向量 ，使其同时与  正交，则

令

则  为正交矩阵，且

作正交变换 ，得到二次型的标准形