张彬 | 基于数学建模素养视角的教材分析及教学建议——以湘教版教材为例

数学建模是数学学科核心素养之一。《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》在必修课程和选择性必修课程中均设置了数学建模和数学探究活动，并且将其与函数、几何与代数、概率与统计并列为贯穿高中数学课程的四条主线。

数学教材作为联系课程标准与一线课堂的纽带，是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养的重要载体。湘教版高中数学教材是我国数学教材体系中的重要一员，高度关注数学建模活动与数学探究活动的实施。

湘教版高中数学教材（2019年版）在必修第一册第4章、第5章的函数应用部分，强调运用所学知识解决实际问题，让学生初步体验数学建模；在必修第二册第6章“数学建模”介绍数学建模的意义、方法，并围绕丰富多样的现实问题，引导学生经历数学建模的全过程；在选择性必修中结合主题内容适时设计数学建模活动，帮助学生在有声有色的数学建模过程中逐渐形成和发展数学核心素养，在潜移默化中发展学生的问题意识和创新意识。

本文基于湘教版高中数学教材，对数学建模内容展开分析，并提出教学建议，以期对广大数学教师更好地使用教材，培育学生数学建模素养带来启发。

基础教育阶段数学课程总目标可以概括为“三会”，即“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”。而高中数学新课标中明确“数学建模是对实际问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养”。笔者认为，这恰恰是“三会”的另一种表达。

综观六大数学学科核心素养，数学抽象和直观想象注重数学的眼光，逻辑推理和数学运算（数学运算可看作特殊的逻辑推理）注重数学的思维，数据分析注重数学的语言。数学建模的过程则是数学的眼光、思维和语言的综合。

在湘教版高中数学教材中，数学建模作为知识点在各个相关章节中都有涉及，主要分布在函数领域和代数与几何领域。概率与统计领域中的内容更多侧重培养学生的数据分析素养，在此不作统计。

教材中，数学建模知识点主要以问题引入、例题、练习、习题等形式呈现。笔者对湘教版高中数学教材数学建模内容进行梳理，如表1、表2所示。

表1 湘教版高中数学教材函数部分数学建模内容统计

表2 湘教版高中数学教材代数与几何部分数学建模内容统计

从学生问题解决视角，完整的数学建模过程，需要经历两次转化。

学者Blum研究指出现实问题和数学模型之间的转化关系，Blum关注了数学建模过程中参与者心理状态的变化，发现在现实问题和数学模型之间还存在一个关键的状态——现实模型，这就产生了如图1所示的五阶段数学建模流程。

第一次是现实世界向数学世界的转化，要经历“数学化”的过程，需要学生具备抽象和直观的数学眼光。湘教版高中数学教材中的“问题引入栏目”即旨在引导学生会用数学的眼光观察现实世界，并将现实问题转化为数学问题。譬如，在必修第一册第39页的“问题引入栏目”中，有如下内容：“日常生活与生产中我们经常会遇到如何使材料最省、利润最高、成本最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决，通过对以下几个实例的讨论，我们将体会基本不等式的应用。”

图1 五阶段数学建模流程图

在数学世界里，学生通过逻辑和推理的数学思维，分析数学问题，选择并运用模型和数据的数学语言表达出解决方案后，还必须回观现实世界。

此时，学生需经历第二次转化，即由数学世界向现实世界的转化。湘教版高中数学教材中的例题、练习、习题栏目能很好地帮助学生提升分析问题、解决问题的能力，培养学生数学建模和数据分析素养，最终完成数学建模的第二次转化。

譬如，在必修第一册第56页练习2中，有如下例题：汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”。刹车距离是分析交通事故的一个重要指标，在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了。事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速v(km/h)分别有如下关系式：

学生在数学世界中利用刹车距离和车速的模型计算出甲、乙两车的车速，然后结合现实世界中限速为40km/h这个条件，判断甲、乙两车是否有超速现象，完成了数学世界向现实世界的转化。

如此编排可以有效落实高中数学新课标对数学建模活动的要求：“数学建模的过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。”

湘教版高中数学教材中数学建模专题分别出现在必修第二册、选择性必修第一册和选择性必修第二册这三册书中，如表3所示。

表3 湘教版高中数学教材数学建模专题内容

问题是数学的心脏，教材中数学建模专题安排了大量解决问题的案例。这些案例帮助学生学会分析问题和解决问题。

然而，现实世界中的问题关系复杂、盘根错节，数学的抽象性可以大大简化现实世界的关系，简化现实问题的条件，将现实问题数学化并抽象出若干重要变量进行拟合，借助函数模型、概率模型、方程模型、不等式模型及向量模型等来解释问题，然后回观现实世界进行验证，从而体会到数学知识的应用价值。

数学建模素养的培养在义务教育数学课程中一般以项目式学习为重要实践样态来展开。学者夏雪梅指出，数学素养的培育对驱动性问题所营造的问题情境有特定要求，并从驱动性问题的真实性、情境的多样性、引发学生知识综合或概念化的程度、挑战性以及需要学生同时调用跨学科素养等五个维度进行编码。

高中“数学建模”专题与初中项目式学习是数学建模素养在不同学段的实践样态，且项目学习中的驱动性问题和“数学建模”专题中的问题一样，是筑起“做数学”和“数学概念性知识”理解之间的桥梁。

在此，笔者参考夏雪梅关于项目学习驱动性问题的分析框架，对湘教版高中数学教材中“数学建模”专题的引子、案例和练习所涉及的23个问题展开编码分析。

表4 湘教版高中数学教材数学建模问题编码分析

在“问题的真实性”维度，“虚假真实”指为了某个数学知识点而人为构造的假问题，情境与现实生活不相符；“净化真实”指基于真实的情境而提出的简化数学问题，为知识的习得设定、简化了特定的条件；“模拟真实”指模拟过去、现在或未来的现实情境中的各种因素和限制条件而提出的问题，提出模拟问题解决的成果；“现实真实”指源于现实世界的问题，在现实情境中可以应用和操作，面对真实的受众，形成可应用于现实世界的设计或方案，并接受真实世界受众或专家的检验。

对于“数学建模”素养培育而言，“虚假真实”问题脱离了现实情境，背离了数学建模的真实意义，“模拟真实”问题考虑了现实世界中的各种限制条件，未做到将现实问题简化，不利于问题的解决。

湘教版高中数学教材“数学建模”专题中没有虚假问题，也没有模拟真实的问题。

10个净化真实问题，如探讨“在雨中行走时，行走速度和淋雨量之间的关系”。13个现实真实问题，如探讨“人数估计的案例”。这源于教材对数学建模的定位，即：数学模型是对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律做出一些必要的简化假设，并运用合适的数学工具得到的一个数学结构。这样的安排对于数学建模素养的培养也具有一定的科学性。

在“情境的多样性”维度，“个人情境”指聚焦于个体活动、个体家庭以及个体的同辈群体，例如：体重与脉搏的数据拟合模型。“职业情境”指聚焦于真实世界中的工作，例如：足球比赛射门时，确定与球门张成最大角度的问题。“社会情境”指聚焦于人类群体(无论当地、国家，还是世界范围内)，例如：马尔萨斯人口模型。“科学情境”指涉及自然界中的数学应用，以及与科学技术相关的问题与主题，例如：蜜蜂在构筑巢穴时，蜂房结构为六角柱体的原理。湘教版高中数学教材“数学建模”专题对上述情境均有涉及，社会情境较多，充分考虑到数学知识在现实世界中应用的广泛性，对于培养学生的应用意识和创新意识起到助益作用。

在“知识综合或概念化”维度，13个案例至少包含3~5个跨领域知识点，统筹大概念或融合多领域的案例有7个，例如：万有引力定理的发现过程。可见湘教版高中数学教材“数学建模”专题包含的知识广度较宽，能使学生深刻体会现实问题的复杂程度，提高现实世界中分析问题和解决问题的能力。

在“问题的挑战性”维度，需要学生理解和应用的案例有10个，需要学生分析、评价和创造的案例有13个，无仅仅依靠记忆和计算的低阶水平的问题。由此可见，湘教版高中数学教材“数学建模”专题的案例设计符合学生的最近发展区，学生跳一跳就能够得到。

在“跨学科素养”维度，本文定义的跨学科素养包含“合作”“交流与沟通”“创造性思维”“批判性思维”等指标。

编码表中，“少”是指包含上述1个指标，“中”是指包含上述2个指标，“高”是指包含上述2个以上指标。湘教版高中数学教材“数学建模”专题，均至少包含了这些指标中的一种，两种以上的有12个案例。这对于培养学生的合作能力、交流与沟通能力、创造性思维和批判性思维起到了积极的促进作用。

当前，部分教师对数学建模内容的教学存畏难情绪，这在一定程度上影响了教师实施数学建模活动的积极性。张思明指出：“‘中学数学建模’从数学的意义上可以理解为‘在中学做的数学建模’，只不过专业要求不高；而从课程的角度，可以理解为在中学实施的特殊的课程形态，它是一种以‘问题引领，操作实践’为特征的活动性课程。”

基于此，笔者建议高中阶段数学建模教学可以采用“1+1模式”（如图2）。

具体而言，“1+1”中的前一个“1”是指数学建模的常态课，主要针对作为知识点的数学建模。在常态教学中，教师可适当分解建模的完整过程，让学生针对“发现和提出问题、建立和求解模型、检验和完善模型、分析和解决问题”其中的某一步进行专项训练，化整为零，积累基本数学建模活动经验，提升学生的数学建模素养。后一个“1”是指数学建模的专题课。从上述对湘教版高中数学教材“数学建模”专题的分析可见，数学知识不仅来源于数学系统内部，也来源于社会生活实际；数学知识的应用不只于数学内部，更要到广阔的生活实际中去解释或解决实际问题。

鉴于数学建模专题内容的丰富性，数学建模的专题课不能采用传统讲授法进行教学，我们可以用以下四种教学方式，即建模学习、数学实验、探究学习和主题阅读。

图2 高中数学建模教学“1+1”模式

建模学习是学生解决问题的一种新方式。学生通过数学建模的完整流程，体会解决现实问题的全过程，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。笔者曾尝试将澳大利亚兔子数量“爆炸”作为情景引入，上了一节函数模型应用的数学建模课。

笔者以“兔子数量爆炸”情景引出“建模”；接着，借助人口问题的例题展开数学建模流程；再次，让学生自己回顾并总结“建模六步骤”；最后，精选探究问题，回顾建模流程。建模学习与其他数学知识学习的最大区别在于其灵活性，难度可大可小，项目可难可易，评价也更加灵活。建议以实验报告或者小论文的形式对学生的数学建模水平进行评估。

数学实验是学生为了解决某类数学问题，运用测量工具、手工材料、计算机及几何画板等相关软件开展学习。

例如，学生在学习了三角函数的知识后，教师可设计数学实验活动“测量旗杆的高度”，引导学生利用自制测角仪和钢卷尺，运用三角函数的知识解决旗杆高度的问题，应用数学知识解决实际问题。

数学实验的教学不同于传统的知识传授型教学，其评价方式也不能简单地以是否掌握知识为标准来判断。评价时要关注学生的实验过程，小组中的分工以及最终的实验结果。

图3 数学实验案例：测量旗杆的高度

探究学习侧重于引导学生围绕学习过程中生成的某个具体数学问题，猜测合理的数学结论，通过自主探究或合作的方式开展学习。

例如，在学习“正弦函数的图形与性质”这一内容时，可利用几何画板，任意改变φ、ω、A的大小，让学生们观察图象的变化，总结规律得出结论。学生们通过主动探究，观察到了函数图象变化的直观过程，由此得出的研究结论也会记忆深刻。

图4 数学探究案例：φ、ω、A对函数y=A sin(ωx+φ)的图象的影响

探究学习应该注重过程性评价，关注学生的差异。在探究学习的不同阶段学生的认识程度不同，应该采取不同的评价标准、评价方式。具体可以从以下几个角度入手观察评价学生：提出的问题是否有新意，操作求解是否有创意，合作学习是否有效率，结果呈现是否有特色，反思拓展是否有眼光，自我感受是否有收获，兴趣动力是否有增加，数学素养是否有提高。

主题阅读是指学生围绕自行确定或教师指定的主题搜集资料、选取资料、合作学习、分享成果。譬如，学生学习完数列的概念与表示方法后，通过课外阅读发现斐波那契数列有广泛的应用价值，提出了“神奇的斐波那契数列”这样一个阅读主题。

通过完成这一主题阅读，进一步发现了斐波那契数列的性质以及与自然界的紧密联系；体会到了数学来源于生活，又服务于生活的数学观；了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会到了数学的科学价值、应用价值，开拓了学生的视野。

数学建模教学的“1+1”模式，不仅使函数领域、几何与代数领域、概率与统计领域的知识相融合，让学生体会到知识之间的相互联系，还能激发学生的学习兴趣，促进学生主动参与数学学习，

表5 主题阅读案例：神奇的斐波那契数列

引导学生探寻解决问题的路径，促进反思与批判性思维的形成，最终使学生深刻感受到数学在自己的日常生活及未来职业发展中的重要作用。

注：本文刊发于《新课程评论》2022/11「专题」栏目。本文摘要、关键词与参考文献等详情见纸刊。

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