高三数学 · 每日一题第 16 期

要点：b = log₅4 < 1（真数 4 < 底 5）；a、c 拆「1 + 零头」：a = 1 + log₄54，c = 1 + log₃2。比零头：log₄54 < log₄2 = 12，而 log₃2 > log₄2（底 3 < 4 且真数 2 > 1），故 c > a。
易错提醒：把 b 误判成大于 1；a、c 硬换底到同底反而更麻烦；忘了 log₄2 = 12 这个免费标尺。

要点：① 定义域 x + 2 > 0，即 (−2, +∞)；定点令真数取 1：x = −1，f(−1) = log₂1 = 0，定点 (−1, 0)（y = log₂x 过 (1, 0)，左移 2 个单位，定点跟着走）。② 合并：log₂(x(x + 2)) = 3，即 x² + 2x − 8 = 0，(x + 4)(x − 2) = 0，得 x = 2 或 x = −4；定义域 x > 0 筛掉 −4，检验后唯一解 x = 2。③ 底 2 > 1 不等号不翻转：x(x + 2) > 8 且 x > 0，解得 x < −4 或 x > 2，结合定义域得解集 (2, +∞)。
易错提醒：第 (2)(3) 问的联合定义域是 x > 0（log₂x 这一项的地基），漏写会把增根 −4 放行；第 (3) 问的 x < −4 那半边必须和 x > 0 取交集丢掉。

① 对数主线正式收束（第 11–15 期）：比大小三板斧、定点与定义域、方程不等式流水线（定义域 → 合并 → 翻号 → 检验），动作已集齐；指数与对数互为反函数，是这条主线与上一条指数主线的接壤处。

② 流水线思维比公式更重要：第 13 期的增根、第 14 期的翻号，错误都不发生在「解」的环节，而发生在「解之前的地基」与「解之后的回头」——先定定义域、末了必检验，这两步是本周边界感的核心。

本周把对数函数从头走到尾，属于高考年年见的基本功。可以问自己一句：「解对数方程，第一步先写什么？解完为什么要检验？」他若能答出「先写真数大于 0 的定义域；变形可能产生定义域之外的增根，必须筛掉」，说明这周的边界感立住了；答不出，就把第 13、14 两期翻出来对照看五分钟，比多刷十道新题有效。