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高中数学每日一题11月3日2025年新高考一卷·高考真题三角+导数的综合题
三角函数与导数综合 | 小贺老师精讲
👋同学们看过来！贺老师开始上课啦！当导数遇到三角，你会的就只剩下求导。当三角函数遇到导数，会碰撞出什么火花？这道题是2025年新高考一卷的高考真题压轴题！很多同学看到就慌了——其实只要会求导，会判断单调性，一步一步来，没那么难！今天我们就把这道题彻底讲明白！
📊 考情分析：这道题为什么重要？
1. 最近几年的趋势：
新高考导数题，最近几年越来越喜欢和三角函数结合！不再是单纯的多项式函数求导，而是加上三角函数的周期性、对称性，让题目更灵活！
2. 这道题的信号：
这道题说明：三角+导数的综合题，已经从“小题”升级到“大题压轴”了！考的不是难题技巧，而是基本功：求导、判断单调性、找最值！
3. 备考提醒：
⚠️ 别以为导数题只会考多项式！三角+导数的综合题随时可能考！基本功要打牢！
2025年新高考一卷·高考真题压轴题（17分）
已知函数 f(x) = 5cos x − cos 5x。
（1）求 f(x) 在 [0, π/4] 的最大值；
（2）给定 θ∈(0, π)，a 为给定实数，证明：存在 y∈[a−θ, a+θ]，使得 cos y ≤ cos θ；
（3）设 b∈R，若存在 φ∈R 使得 5cos x − cos(5x+φ) ≤ b 对 x∈R 恒成立，求 b 的最小值。
🔍 看到这些信号，马上用对应的方法！
| 求三角函数的最值 | |
| 证明存在性 | |
| 恒成立求参数最小值 | |
| f(x)=5cosx−cos5x | |
| 三角函数的周期性 |
第一步：求导！
提取公因子 5：
第二步：和差化积！
用和差化积公式：sin A − sin B = 2cos((A+B)/2)sin((A−B)/2)
所以：
💡 就是这个形式！记住它！
第三步：判断在 [0, π/4] 上的符号！
🎯 重点：因为 x∈[0, π/4]，所以 2x∈[0, π/2]，sin 2x ≥ 0 恒成立！
所以 f′(x) 的符号由 cos 3x 决定！
令 cos 3x = 0，解得 3x = π/2，x = π/6！
📈 单调性：
当 x∈(0, π/6) 时，cos 3x > 0 →f′(x) > 0，单调递增！当 x∈(π/6, π/4) 时，cos 3x < 0 →f′(x) < 0，单调递减！
第四步：求最大值！
f(x) 在 x = π/6 处取得最大值！
🎉 最大值就是 3√3！
🎉 ✨ 第(1)问答案 ✨ 🎉
最大值 = 3√3
第一步：θ∈(0, π/2] 时，用端点平均值法！
如果 θ∈(0, π/2]，函数在区间上的最小值，一定不超过两个端点值的平均数！
因为该范围内 cos θ ≥ 0，且 cos a ≤ 1，所以 cos a cos θ ≤ cos θ，上式成立！
第二步：θ∈(π/2, π) 时，分情况讨论！
如果 θ∈(π/2, π)，由余弦的周期性，不妨让 a∈[0, 2π)！
🎯 三种情况：
① a∈[π−θ, π+θ]（区间包含 π）：取 y=π，cos π = −1 ≤ cos θ（因为 cos θ < 0）！② a+θ ≤ π（即 a ≤ π−θ）：取 y=a+θ，由 θ ≤ a+θ ≤ π 且 cos 在 [0,π] 上递减，cos(a+θ) ≤ cos θ！③ a−θ ≥ π（即 a ≥ π+θ）：取 y=a−θ，由 π ≤ a−θ < 2π−θ 且 cos 在 [π,2π] 上递增，cos(a−θ) ≤ cos(2π−θ) = cos θ！
第三步：结论！
综上所述，存在 y∈[a−θ, a+θ]，使得 cos y ≤ cos θ，证毕！
💡 方法二：单位圆法（更直观！）
思路：要证明存在 y∈[a−θ, a+θ]，使得 cos y ≤ cos θ，就是看区间 [a−θ, a+θ] 和满足 cos y ≤ cos θ 的区域有没有交集！
第一步：cos y ≤ cos θ 的区域是什么？
在单位圆上，cos y ≤ cos θ，就是角度 y 在 [2kπ+θ, 2kπ+2π−θ] 这个区间里！
（就是单位圆上，cos 值比 cos θ 小的那一段弧！）
第二步：两个区间有没有交集？
我们需要看：[a−θ, a+θ] 和 [2kπ+θ, 2kπ+2π−θ] 有没有交集！
两个区间的长度分别是 2θ 和 2π−2θ，它们的中点分别是：
[a−θ, a+θ] 的中点是 a！
[2kπ+θ, 2kπ+2π−θ] 的中点是 2kπ+π！
两个区间长度之和的一半是 θ+(π−θ) = π，所以只要两个中点之间的距离不超过 π，它们就一定有交集！
第三步：为什么一定有交集？
相邻两个中点 (2k+1)π 之间的距离是 2π，不管 a 在哪里，总能找到一个 k，使 a 到 2kπ+π 的距离不超过 π！
所以两个区间一定有交集！也就是说，一定存在 y∈[a−θ, a+θ]，使得 cos y ≤ cos θ！
💡 方法二优点：用单位圆画图，一眼就看明白了！不用分情况讨论！
第一步：构造函数 h(x)！
令 h(x) = 5cos x − cos(5x+φ)，因为 h(x) 周期为 2π，不妨设 x∈[−π, π]，φ∈[−π, π]！
💡 关键性质：h(x) 是连续可导的周期函数，在一个周期上必有最大值；而最大值点处导数必为 0（费马引理），所以只需在驻点 h′(x)=0 中找最大值！
求导：
💡 关键！就是这个等式！
第二步：解方程！
sin(5x+φ) = sin x，所以 5x+φ = x+2kπ 或 5x+φ = π−x+2kπ，k∈Z！
第三步：求 h(x) 的最大值！
当 x = −φ/4 + k₁π/2 时（此时 5x+φ = x+2k₁π）：
当 x = π/6 − φ/6 + k₂π/3 时（此时 5x+φ = π−x+2k₂π）：
所以 h(x) 在一个周期内的最大值，就是两组驻点值各自取最大后再比较！
第四步：求 h(x)max的最小值！
🎯 关键结论：
第一组最大值 M₁(φ) = 4·max{|cos(φ/4)|, |sin(φ/4)|} ≤ 4！第二组最大值 M₂(φ) = 6·maxk₂cos(π/6−φ/6+k₂π/3)：这 6 个驻点在单位圆上等距分布、相邻角距为 π/3，正 x 轴方向（角 0）离最近一个驻点的角距离不超过 π/6，所以至少有一个驻点的 cos 值 ≥ cos(π/6) = √3/2，即 M₂ ≥ 3√3！φ=0 时 M₂ = 6cos(π/6) = 3√3，下界恰好取到！因为 M₁ ≤ 4 < 3√3 ≤ M₂，所以 h(x) 的最大值恒由第二组决定，bmin= 3√3（φ=0 时取得）！
🎉 ✨ 第(3)问答案 ✨ 🎉
b 的最小值 = 3√3
💡 方法二：图像法（更直观！）
思路：记 g(x) = 5cos x − cos(5x+φ)，对每个 φ 求出 g(x)max，它是关于 φ 的函数，我们只需要求这个函数的最小值！
第一步：求导找极值点！
g′(x) = −5sin x + 5sin(5x+φ) = 0！
所以 sin(5x+φ) = sin x！
解得：x = kπ/2 − φ/4 或 x = kπ/3 + π/6 − φ/6！
第二步：代入算极值！
第一组解（5x+φ = x+2kπ）：g(kπ/2−φ/4) = 4cos(kπ/2−φ/4)！
第二组解（5x+φ = π−x+2kπ）：g(kπ/3+π/6−φ/6) = 6cos(kπ/3+π/6−φ/6)！
第三步：两组各自取最大值！
第一组最大值 M₁ = 4·max{|cos(φ/4)|, |sin(φ/4)|} ≤ 4！
第二组最大值 M₂ = 6·maxkcos(kπ/3+π/6−φ/6) ≥ 3√3！
（6 个驻点等距分布、相邻角距 π/3，正 x 轴方向离最近驻点的角距离不超过 π/6，故其中至少一个 cos 值不小于 √3/2）
所以 g(x)max= max{M₁, M₂}，且恒有 M₁ ≤ 4 < 3√3 ≤ M₂！
第四步：求最小值！
当 φ=0 时，M₂ = 6cos(π/6) = 6×(√3/2) = 3√3，下界恰好达到！所以 g(x)max的最小值就是 3√3！所以 bmin= 3√3！
💡 方法二优点：画图看极值，更直观！不用纠结哪组解更大！
🎓 举一反三：记住方法，不是记住这道题！
这道题做完了，你学会的不是这一道题的解法，而是一整套解题信号→处理方法的思维方式！
✅看到求三角函数最值→ 求导！判断单调性！找极值点！
✅看到 f(x)=Acosax−cosbx 型→ 求导后和差化积！变成“余弦×正弦”的乘积形式（如本题的 cos3x·sin2x）！
✅看到恒成立求参数→ 求函数最大值！b≥最大值！
✅看到三角函数→ 别忘了周期性！算一个周期就行！
💡 下次遇到三角+导数的综合题，只要看到这些信号，你就知道该用什么方法破局！而不是只会死记这一道题的解法！
💡 和差化积公式必背
⚠️ 好多学生说听都没有听过，但是不代表高考不会考！这道 2025 新高考一卷的压轴题就考了！
✨正弦差：
✨正弦和：
✨余弦和：
✨余弦差：
💡 记忆口诀：
正弦减正弦，余弦在前正弦后！正弦加正弦，正弦在前余弦后！余弦加余弦，全是余弦！余弦减余弦，正弦在前带负号！
💡 本题用到的关键公式记住结论
✨本题导数：
✨三角函数求导：
✨sin A = sin B 的解：
🔍 三角+导数综合题通用步骤
第一步：求导！
对 f(x) 求导，注意三角函数求导的负号！
第二步：和差化积！
提取公因子，把导数变成两个三角函数相乘的形式！
第三步：判断符号！
看区间内每个因子的正负！哪个因子符号固定，就不用管它！
第四步：找极值点！
令导数 = 0，找极值点，判断左右单调性！
第五步：算最值！
代入极值点和端点，算最大/最小值！
💡 一句话总结：
求导 → 和差化积 → 判断符号 → 找极值点 → 算最值！五步走，一步都不能少！
🚫 这些坑别踩！
坑1：求导符号错
(cos x)′ = −sin x，别忘了负号！很多同学这里写成正的，后面全错！上次考试有个学生就是因为这个，12 分的题只拿了 2 分！
坑2：和差化积公式记反
sin A − sin B = 2cos((A+B)/2)sin((A−B)/2)，别把 cos 和 sin 的位置记反了！记反了后面全错！
坑3：判断单调性只看一半
f′(x) = 10cos3x·sin2x，两个因子都要看！先看哪个因子符号固定，比如本题 x∈[0,π/4] 时 2x∈[0,π/2]，sin 2x ≥ 0 恒成立（端点处取 0），就不用管它了！别只看一个就下结论！
坑4：恒成立问题理解反了
题目说“f(x) ≤ b 恒成立”，意思是 b 要大于等于 f(x) 的最大值！所以 b 的最小值就是 f(x) 的最大值！别搞反了！
坑5：sin A = sin B 解漏了
sin A = sin B 有两组解！A = B+2kπ 或 A = π−B+2kπ！别只写一组！漏了一组后面就少算一个极值点！
坑6：忘了三角函数周期性
三角函数都是周期函数！不用算整个定义域，算一个周期就行！本题周期是 2π，别傻呵呵地从 −∞ 算到 +∞！
✏️ 批注
💡最后一句话：三角+导数的题，不要怕！就是求导→和差化积→判断符号→找最值！基本功打牢了，什么题都不怕！这道题看着吓人，其实就是算得多一点，没有什么难的！
