因此  对应局部最大值。

又因为题目给出函数在整个区间上有最大值3，所以：

结合：

代入：

得到：

所以：

最终：

选择 B。

这道题难在哪里？

不是求导，而是需要学生完成三次思维转换：

• 对数与指数之间的换元。
• 将参数  转化为一个新函数的函数值。
• 通过导数分析新函数的图象，确定最大值对应的临界点。

尤其要注意：求出两个驻点，并不意味着可以直接把其中一个当成全局最大值。还要结合函数在区间端点附近的变化以及题目给出的最大值条件进行判断。

教学价值：

这道题体现了导数研究函数的基本思想：不仅要会求导，更要会利用导数研究方程根的个数、函数单调性以及参数与极值之间的关系。

第二部分：多项选择题（9—11题）

多选题共18分。与单选题相比，多选题更强调学生对概念的全面理解。

这三道题中，有两道直接涉及函数性质，一道涉及三角恒等变换。

第9题：函数奇偶性与单调性

答案： BC

逐项分析：

A：

其定义域为：

在正半轴上单调递增，因此不符合题意。

B：

定义域关于原点对称，是偶函数；在  上单调递减。

正确。

C：

是偶函数，在正半轴上单调递减。

正确。

D：

在  上单调递增，不符合题意。

教学启示：

判断奇偶性，第一步必须看定义域是否关于原点对称；判断单调性，则要回到函数在指定区间内的变化规律。

学生容易只看函数表达式的形式，而忽略定义域和单调区间。

第10题：三角恒等变换

答案： AD

这道题实际上考查了三角函数公式的灵活运用。

A项：

利用诱导公式：

原式：

正确。

B项利用二倍角公式：

不等于题目给出的 ，错误。

C项通过和差角公式化简，结果为4，不是2，错误。

D项利用正切差角公式：

所以 D 正确。

教学启示：

三角函数复习不能把公式割裂开来。诱导公式、和差角公式、二倍角公式之间存在内在联系。

要让学生形成一个意识：看到特殊角，主动考虑诱导；看到两个角的正余弦乘积，主动考虑和差角公式；看到正切的差，主动考虑正切差角公式。

第11题：导数与函数零点个数

答案： AC

已知：

求导：

由于：

所以导数符号由：

决定。

得到：

•  时，；
•  时，；
•  时，。

因此函数先减、再增、再减。

其中：

根据图象：

A正确， 是函数最小值点。

B错误，方程  只有一个实根，而不是两个。

C正确，当：

时，直线  与函数图象有三个交点。

D错误，函数在  时趋于正无穷，不存在全局最大值。

这道题的教学价值非常高。

它要求学生把导数符号、函数单调性、极值、图象以及方程根的个数联系起来。

我认为，这正是高中函数教学中必须真正建立起来的一种能力：

★

由代数表达式出发，通过导数研究函数，再利用函数图象解决方程问题。

第三部分：填空题（12—14题）

这三道题分别考查三角恒等变换、函数对称性与最值、双曲正切函数的性质。

第12题：三角函数整体代换

已知：

求：

关键不是分别求 、，而是整体观察角的关系：

所以：

利用二倍角公式：

得到：

关键思维：整体代换。

这道题再次说明，三角函数解题不能总是想着先求单个角的正弦、余弦，有时整体观察角之间的关系，反而更加简洁。

第13题：函数奇偶性与对数运算

已知：

且：

求 。

这道题的突破口是构造：

首先注意：

且：

所以：

同时，正弦项是奇函数，分母是偶函数，因此：

于是：

这道题最值得学生学习的是什么？

不是复杂的对数计算，而是看到一个函数表达式后，主动考虑 。

这种构造方法在函数奇偶性、对称性以及函数值求解中经常出现。

第14题：双曲正切函数与最值问题

本部分综合思维要求较高

已知：

且：

求：

的最小值。

这道题是填空题中思维难度较高的一道。

第一步：利用函数单调性。

将双曲正切函数变形：

因为  在实数集上单调递增，所以  也单调递增。

不妨设：

则：

第二步：指数换元。

设：

则：

将条件代入：

整理得到：

所以：

由于 ，可知：

第三步：把距离问题转化为单变量函数最值。

由：

得到：

于是只需要研究：

在  上的最小值。

求导：

令：

得到：

（另一个根为 ，舍去。）

因此：

所以：

这道题的核心价值：

它不是要求学生死记某个双曲函数公式，而是要求学生完成：

函数单调性判断 → 指数换元 → 建立等量关系 → 转化为单变量最值问题。

这是一种典型的综合数学思维过程。

从教学上看，这类题目应当让学生真正经历完整的转化过程，而不是只记住最后的结论。

三、解答题逐题深度分析（15—19题）

解答题共77分，占总分的51.3%。这一部分不仅决定学生的最终成绩，也最能体现学生数学思维的真实水平。

我把这五道题放在一起看，有一个非常明显的特点：

第15题考查函数性质与集合，第16题考查函数值域与参数，第17题考查三角函数图象变换，第18题考查导数与参数，第19题则把函数、导数、不等式和零点问题综合起来。

这五道题有一定的梯度，尤其是最后一道题，对学生的综合分析能力提出了较高要求。

第15题：对数函数的奇偶性、定义域与集合包含关系（13分）

基础综合题

已知：

为偶函数。

集合：

（1）求参数 ；

（2）若 ，求参数  的取值范围。

第一问：偶函数条件的应用。

因为  为偶函数：

所以：

由对数函数的单调性：

展开整理：

对任意定义域内的  恒成立，所以：

于是：

定义域为：

第二问：求集合 。

当：

有：

两边取以3为底的对数：

所以：

第三问：求集合 。

由：

其定义域为：

所以：

因为：

即：

所以：

本题容易失分的地方：

• 偶函数条件没有转化为 。
• 忽略对数真数必须大于0。
• 求函数值域时没有利用二次函数的结构。
• 集合包含关系中，把  错写成 。

我的教学思考：

这道题看似是一个简单的函数问题，实际上考查的是学生能否把函数的对称性、定义域、值域与集合运算串联起来。

教学中不能把这些内容分散讲授，而应该通过综合题让学生建立知识之间的联系。

第16题：指数函数值域与参数方程零点问题（15分）

中档综合题

已知：

（1）求函数值域；

（2）若：

存在2个零点，求  的取值范围。

第一问：求值域。

观察原函数：

变形：

因为：

所以：

于是：

值域为：

第二问：零点个数问题。

令：

则：

因式分解：

即：

或：

这一步是整道题的突破口。

因为：

可以看出， 在实数集上严格单调递增。

所以，对于值域内的任意一个函数值，都有且只有一个原像。

要使  有两个不同的零点，就必须满足：

•  在函数值域内；
•  在函数值域内；
• ，保证两个函数值不同。

因此：

且：

即：

再排除：

最终：

这道题最值得重视的思维方法：

★

把复杂的函数零点问题，转化为简单的方程组问题。

学生看到  是二次式，容易马上考虑判别式，但这里真正有效的方法是：

先对  因式分解，再利用  的单调性和值域确定零点个数。

教学建议：

今后讲解函数零点问题，要反复训练三个问题：

• 方程可以怎样转化？
• 函数的单调性是什么？
• 函数的值域是否包含目标函数值？

这三个问题往往比直接求解方程更加重要。

第17题：三角函数化简、周期性与图象变换（15分）

综合能力考查

已知：

（1）求最小正周期和单调递减区间；

（2）根据图象变换条件求 。

第一问：化简三角函数。

展开：

利用二倍角公式：

所以：

因此最小正周期：

求单调递减区间。

正弦函数在：

上单调递减。

所以：

解得：

其中 。

第二问：图象变换。

原函数：

向右平移  个单位，得到：

再将横坐标缩短为原来的 ，得到：

已知：

且：

所以：

又因为正弦值为负，所以：

此时余弦值为正：

利用和角公式：

最终：

这道题为什么值得研究？

它把三角恒等变换、辅助角公式、函数周期、单调区间和图象变换放在同一道题中。

尤其第二问，学生最容易出错的地方不是计算，而是对图象变换的理解。

平移和伸缩的顺序不能混淆。必须明确：

• 向右平移，函数解析式中的自变量如何变化；
• 横坐标缩短为原来的多少，解析式中的系数如何变化。

另外，求出正弦值后，不能直接写出余弦值，必须利用角的范围判断象限。

教学建议：

三角函数复习应从单纯的公式训练转向图象与解析式之间的相互转化。

第18题：导数、函数单调性与参数范围（17分）

本卷重要综合题

已知：

（1）当  时：

①求单调区间；

②求区间  上的最值。

（2）若函数在  上不单调，求参数  的范围。

第一问：求导研究单调性。

当 ：

求导：

整理：

由于：

所以：

因此，导数符号完全由  决定。

当  时：

当  时：

所以：

• 单调递减区间为 ；
• 单调递增区间为 。

求区间最值。

在：

上，函数先减后增。

最小值：

最大值需要比较两个端点：

所以：

第二问：参数范围。

一般情况下：

在：

上，函数不单调。

注意这里的关键：不能简单地认为导数只要出现正值和负值就一定不单调，还要结合导数连续性及单调性的判定。

由于 ，导数符号由：

决定。

若：

则：

函数单调递增。

若：

则：

函数单调递减。

当：

时，由于余弦函数在正半轴上不断变化，导数既有正值，也有负值，因此函数不单调。

最终：

本题的核心考点：

参数与函数单调性的关系。

学生必须理解：

• 导数恒非负，可以判定函数单调递增；
• 导数恒非正，可以判定函数单调递减；
• 导数变号，则需要进一步判断函数是否单调。

这道题特别适合用于训练学生的分类讨论意识。

第19题：导数、不等式恒成立与函数零点综合（17分）

全卷综合思维要求最高的题目

已知：

定义域：

这道题是整张试卷最值得深入研究的一道题。

它的三个小问看似独立，实际上存在非常紧密的逻辑联系。

第一问：切线方程。

当  时，求曲线在点  处的切线方程。

首先求函数值：

求导：

整理：

所以：

切线为水平直线：

这里要特别提醒学生：切线方程必须先确定切点的坐标，再求斜率，不能只写导数值。

第二问：不等式恒成立求参数。

若：

恒成立，求  的范围。

这道题最关键的不是直接解不等式，而是先研究函数的最小值。

由：

因为：

且：

所以导数符号由  决定。

当：

时，函数单调递减。

当：

时，函数单调递增。

因此：

由题意：

整理：

所以：

第三问：两个零点的横坐标之和大于2。

若函数  有两个零点，分别为 ，证明：

这是整套试卷最需要学生进行思维探索的一问。

我认为，这道题不能只让学生记住参考答案的构造，而要让学生真正理解为什么要这样构造。

第一步：利用第二问建立函数性质。

由前面的导数分析：

在  上单调递减，在  上单调递增。

因此，如果函数有两个零点，那么两个零点必然分布在极小值点  的两侧。

不妨设：

要证明：

等价于：

第二步：利用函数单调性转化问题。

因为函数在  上单调递增，所以只需要证明：

注意：

因此只需证明：

或者等价地构造：

证明：

第三步：构造辅助函数。

由：

代入导数表达式，经过整理，可以得到：

此时直接判断正负并不容易。

参考解答进一步构造：

求导：

在  上：

所以  在  上单调递减。

由于：

$0<x<1 $<="" p="">

因此：

从而：

于是：

又因为：

所以：

即：

令 ，又因为 ，得到：

由函数在  上单调递增，且  是零点，可知：

因此：

这道题真正难在哪里？

我认为有三个层次：

第一，能否从前两问中发现函数的单调性是第三问的基础。

第二，能否把  转化为 ，进而想到比较  与 。

第三，能否在比较函数值的过程中，构造辅助函数，并利用辅助函数的单调性完成证明。

这不是简单的计算能力，而是数学推理与构造能力。

对学生而言，真正的难点不是求导，而是不知道为什么要构造 。

这正是平时教学中需要重点培养的能力：从结论出发，寻找等价转化，发现对称关系，建立辅助函数。

四、从整套试卷看，命题者究竟想考查学生什么？

把19道题做完，再回过头来看，我认为这套试卷有五条比较清晰的能力考查主线。

1. 考查学生对基础知识的理解是否真正到位

第1—7题以及第9、10题，知识点都比较常规。

但常规题并不意味着人人都能做对。

例如：

• 第5题，充分条件与必要条件的判断；
• 第6题，极值点与导数的关系；
• 第7题，三角函数奇偶性与图象对称性；
• 第9题，奇偶性与单调性的综合判断；
• 第10题，三角恒等变换。

这些知识学生可能都学过，也做过不少练习，但能否准确运用，是另一回事。

我在实际做题时发现，这类题目最容易暴露学生的知识漏洞：概念似懂非懂，公式记得不完整，遇到条件稍有变化就不知道如何处理。

基础不是简单题做得多，而是对概念、公式、性质和基本方法真正理解。

2. 考查学生能不能建立函数思想

这套试卷函数主线非常突出。

尤其是第8、11、14、16、18、19题。

这些题目有一个共同点：需要学生从函数表达式出发，研究函数的性质，再利用函数性质解决其他数学问题。

具体包括：

这说明，函数思想不是某一章的专属内容，而是贯穿高中数学的重要思想。

如果学生只会按照章节记忆题型，遇到综合问题就容易束手无策。

3. 考查学生的转化与化归能力

这套试卷有不少题目，第一眼看上去并不容易，但找到转化方向以后，问题就会变得清晰。

例如：

• 第3题：把  转化为 ，构造基本不等式。
• 第8题：通过换元，把对数与指数统一起来。
• 第13题：构造 ，消去复杂项。
• 第16题：把二次函数零点问题转化为两个函数值问题。
• 第17题：把复杂三角函数化为一个标准正弦函数。
• 第19题：把两个零点之和的问题转化为函数值比较问题。

这几道题实际上都在考查同一种能力：

面对陌生问题，能否通过恰当的转化，把复杂问题变成自己熟悉的问题。

这是数学学习中非常重要的能力，也是高考数学选拔功能的重要体现。

4. 考查学生的数学运算与规范表达

从整张试卷来看，计算量并不算特别夸张，但并不意味着计算能力不重要。

尤其是：

• 第8题的导数与参数计算；
• 第14题的指数换元与分式求导；
• 第17题的三角函数变换；
• 第19题的复杂导数与辅助函数求导。

学生如果计算基础不过关，即使思路正确，也可能无法顺利完成。

另外，解答题中还存在一个容易被忽略的问题：数学表达的规范性。

例如：

• 求单调区间，要写清区间；
• 求最值，要说明最值取得的位置；
• 证明不等式，要交代关键依据；
• 讨论参数，要说明分类依据；
• 求切线方程，要明确切点和斜率。

数学解题不是只把结果算出来，更要让别人能够看懂推理过程。

5. 考查学生独立思考和陌生问题解决能力

我认为第8、14、19题最能体现这一点。

特别是第19题第三问。

如果学生只是记住了常见的导数题型，可能会觉得无从下手。

但如果学生真正掌握了以下思维方法：

• 从结论反推条件；
• 利用函数单调性转化；
• 构造差函数；
• 利用辅助函数比较；
• 将复杂不等式转化为单调性问题；

那么面对这道题，就有可能找到突破口。

这也是我们平时教学中应该努力实现的目标：

不是让学生记住更多的解题套路，而是让学生逐渐形成独立分析、主动转化和自主解决问题的能力。

五、这套试卷会给我哪些备考启示？

结合这套试卷，我认为后期复习至少需要关注以下六个方面。

方向一：重新审视学生的基础，不要把基础复习等同于简单题训练

第1—7题看起来简单，但每一道题都有明确的知识要求。

建议对学生进行一次基础知识专项排查：

• 集合与逻辑用语；
• 基本不等式及其等号条件；
• 指数、对数运算；
• 函数定义域、值域、单调性；
• 极值与最值；
• 三角函数基本公式。

尤其要关注那些平时作业能够完成、考试却频繁出错的学生。

这类学生的问题往往不是完全不会，而是知识掌握不够稳定。

方向二：把函数与导数作为后期复习的重点

从本套试卷看，函数与导数的综合考查非常突出。

建议重点训练：

尤其要注意，不能把导数复习变成单纯的求导训练。

学生需要真正理解：

导数是研究函数性质的工具，而不是一个独立的计算章节。

方向三：加强三角函数的整体性复习

第7、10、12、17题都涉及三角函数。

说明三角函数不仅考查基本公式，也考查知识之间的综合运用。

后期应重点加强：

• 诱导公式与和差角公式的综合；
• 二倍角公式与辅助角公式；
• 三角函数图象变换；
• 周期、单调区间和最值；
• 已知函数值求其他三角函数值时的范围判断。

特别是图象变换问题，一定要让学生理解解析式变化背后的几何意义。

方向四：强化数学思想方法，而不是一味增加题量

我建议后期每周至少安排一次专题思维训练。

可以围绕以下主题展开：

• 整体代换思想；
• 数形结合思想；
• 转化与化归思想；
• 分类讨论思想；
• 函数与方程思想；
• 构造与辅助函数思想。

每次训练不必安排很多题，但一定要把一道题讲透。

比如第19题第三问，完全可以拿出一节课，带着学生经历从结论出发、发现对称关系、构造差函数、建立辅助函数的完整过程。

方向五：改变讲评课的方式

我认为，一轮复习阶段最容易出现的一种现象是：

教师讲得很详细，学生听得也很认真，但下一次遇到类似问题，仍然不会做。

问题出在哪里？

很多时候，我们只是把自己的解题过程展示给学生，却没有把思维产生的过程展示给学生。

例如第8题：

不能只告诉学生令 ，还要追问：

• 为什么想到这个换元？
• 换元前后，函数结构发生了什么变化？
• 为什么需要研究  的最大值？
• 为什么最大值对应的点是 ，而不是 ？
• 如果没有参考答案，自己应该从哪里开始思考？

第19题也一样。

不能只把辅助函数写出来，而要让学生明白：

为什么要证明 ？

为什么构造 ？

为什么还要构造 ？

真正有价值的讲评课，不只是让学生知道这道题怎么做，而是让学生知道自己下一次遇到类似问题时应该怎么想。

方向六：重视解答题的得分过程

本套试卷解答题共77分，不能忽略步骤分。

建议对学生进行以下专项训练：

• 导数计算的准确性；
• 函数单调性表述；
• 分类讨论的完整性；
• 参数范围的端点判断；
• 函数最值的规范表达；
• 不等式证明的逻辑完整性。

特别是第19题第三问，学生即使没有完整做出，也应该能够通过前两问获得必要的思路和步骤分。

不能让学生形成一种错误认识：压轴题做不出来就直接放弃。

六、不同层次学生，应该怎样利用这套试卷？

同一张试卷，不同层次学生的复习重点应该有所区别。

我特别想提醒一点：

对于基础薄弱的学生，不要一开始就把大量时间投入第19题。

如果前面的基础知识、常规方法还没有掌握，过早进行高难度综合训练，往往会造成学习挫败感。

对中等学生而言，最值得关注的不是一味冲击最后一道题，而是把能够拿到的分数真正拿到手。

对优秀学生而言，则需要进一步提高思维的深度、解题的严谨性和方法的灵活性。

七、作为一线高三数学教师，我对这套试卷最大的三点思考

做完这套试卷，我觉得有三个问题值得我们教师认真反思。

第一，我们平时教给学生的，究竟是知识，还是解决问题的能力？

很多学生公式背得很熟，题型也见过不少，但一旦题目改变了表达方式，或者几个知识点放在一起，就不知道从哪里入手。

这说明知识掌握与能力形成之间，还有一段距离。

我们不能满足于学生听懂了、记住了、作业做完了。

更应该关注学生能不能独立完成思考。

第二，我们的课堂有没有真正培养学生的数学思维？

例如第19题第三问。

辅助函数不是从天上掉下来的，也不是教师随意编造出来的。

它来自对结论的分析、对函数性质的观察，以及对问题结构的理解。

如果我们每次都是直接把构造方法告诉学生，学生可能会记住一道题，却未必形成构造能力。

教学中要适当放慢速度，把关键思维过程展示出来。

第三，我们的一轮复习，究竟应该追求讲了多少内容，还是学生真正掌握了多少？

一轮复习最忌讳的就是教师一味赶进度，学生被动跟着走。

今天讲一章，明天练一套，后天又进入新内容，看起来复习任务完成得很快，但学生知识之间的联系并没有建立起来。

我越来越觉得：

高三数学复习，真正需要解决的不是学生做过多少题，而是学生面对一道没有见过的题目时，能不能调动已有知识，独立找到解决问题的路径。

这才是复习质量的真正体现。

八、最后总结：这套试卷最值得我们带走的是什么？

如果让我用几句话概括这套试卷：

• 基础题考查知识理解是否准确；
• 中档题考查知识迁移是否灵活；
• 综合题考查数学思想是否真正形成；
• 压轴题考查独立思考与数学推理能力。

从一线教学角度看，这套试卷最重要的价值，不是简单地告诉我们哪些知识点需要再讲一遍，而是提醒我们：后期复习必须从知识落实进一步走向思维能力培养。

学生会做一道题，不等于真正掌握了一类题；听懂一道压轴题，也不等于具备了解决综合问题的能力。

教师真正应该做的，是帮助学生从一道题中发现知识联系，从一种方法中理解数学思想，从一次错误中找到能力短板。

高三复习，既要有知识的厚度，也要有思维的深度。

题目可以做得少一些，但每一道题都应该让学生有所发现、有所理解、有所提升。

这才是我们一线教师研究试题、分析试题、讲评试题的意义。

高耀文高中数学名师工作室