高三数学 · 每日一题第 25 期

① 先求导：f′(x) = 3x² + 6x = 3x(x + 2)，两个驻点 x = −2 和 x = 0 与 a 无关——参数这次不在导数里，而在函数值里，a 只负责把整条曲线上下平移。
② 两个驻点就是曲线上的两个「台阶」：x = −2 处是极大值 4 + a，x = 0 处是极小值 a，两者相差恒为 4。知道 a，两个台阶同时定型。
③ 数根就是问「高度 0 被夹在哪一层」：比极小值还低、正好踩在极小值上、夹在两台阶之间、正好踩在极大值上、比极大值还高——五种位置，五种根数。
④ 每一段都要说清「恰有一根」：单调区间内至多一根（单调性），两端异号则至少一根（连续函数介值性），两条合起来才叫「恰有一根」。
⑤ 两个「踩在台阶上」的情形（a = −4、a = 0）最容易被漏：那时曲线只是碰一下 x 轴，根是二重根，根数比三根少一个。

第 (1) 问：求极大值与极小值

第 1 步（求导定驻点）：f′(x) = 3x² + 6x = 3x(x + 2)，令 f′(x) = 0 得 x = −2 或 x = 0

第 2 步（定号得单调区间）：x < −2 时两因子同负，f′ > 0，递增；−2 < x < 0 时异号，f′ < 0，递减；x > 0 时同正，f′ > 0，递增（依据：两个驻点把定义域切成三段，每段内符号不变，符号由两因子正负相乘判断）。

第 3 步（定极大极小）：先增后减的转折点是极大值点，先减后增的是极小值点，故 极大值 f(−2) = (−8) + 12 + a = 4 + a（x = −2 处），极小值 f(0) = a（x = 0 处）

第 (2) 问：讨论 f(x) = 0 的实根个数

第 4 步（看两端趋势）：三次项系数为正，x → −∞ 时 f(x) → −∞，x → +∞ 时 f(x) → +∞（依据：这说明左支一定从 x 轴下方穿上来——只要极大值大于 0，这次穿越必然发生。这是数根的底气）。

第 5 步（逐类数根）：把曲线看成「左支上升 → 台阶 → 右支上升」，看高度 0 落在哪一层。

① a > 0：共 1 根
极小值 a > 0，故在 [−2, +∞) 上（先减后增、最低点就是 a）恒有 f(x) ≥ a > 0，右半边与 x 轴不相交；只剩 (−∞, −2) 上从 −∞ 递增到 4 + a > 0，恰穿一次。根落在 (−∞, −2) 内。

② a = 0：共 2 根（x = −3 与 x = 0）
极小值恰为 0，在 x = 0 处取得，此时 f(x) = x²(x + 3)，曲线在原点与 x 轴相切（x = 0 是二重根）；左支 (−∞, −2) 上仍从 −∞ 升到 4 > 0，穿一次得 x = −3（依据：相切处曲线不穿过 x 轴，只碰一下即回头，所以二重根只贡献一个不同实根；因式分解 x²(x + 3) 直接给出两解）。

③ −4 < a < 0：共 3 根
极大值 4 + a > 0、极小值 a < 0，三段单调区间上各恰穿一次：极大值点左侧一次（从 −∞ 升到正）、极大与极小之间一次（从正降到负）、极小值点右侧一次（从负升到正）（依据：每段单调 ⇒ 至多一根；每段两端异号 ⇒ 至少一根；「至多」加「至少」得「恰好一根」。这句是数根题的规范写法，缺一半要扣分）。

④ a = −4：共 2 根（x = −2 与 x = 1）
极大值恰为 0，在 x = −2 处取得，此时 f(x) = x³ + 3x² − 4 = (x − 1)(x + 2)²，曲线在 (−2, 0) 与 x 轴相切（x = −2 是二重根）；右支 (0, +∞) 上从 a = −4 递增到 +∞，穿一次得 x = 1（依据：极大值为 0 意味着「上升的左支刚到 x 轴就掉头」，没有两次穿越，只有一次「碰」；另一个根落在右支上）。

⑤ a < −4：共 1 根
极大值 4 + a < 0，于是 x ≤ 0 上 f(x) ≤ 4 + a < 0，左半边全在 x 轴下方；只剩 (0, +∞) 上从 a < 0 递增到 +∞，恰穿一次，根落在 (0, +∞) 内（依据：极大值为负 ⇒ 左半边一根都没有；右支趋势向上，必有且只有一根）。

第 6 步（汇总）：按 a 从小到大列五行——
　　· a < −4：极小负、极大负 → 1 根；
　　· a = −4：极小负、极大 0 → 2 根（−2 二重，另 1）；
　　· −4 < a < 0：极小负、极大正 → 3 根；
　　· a = 0：极小 0、极大正 → 2 根（0 二重，另 −3）；
　　· a > 0：极小正、极大正 → 1 根。
（依据：五类按 a 从小到大穷尽实数集。两头 1 根、中间三个特殊位置 2 根、正中 3 根——这条「1-2-3-2-1」的根数曲线正是台阶结构的直接结果，可用来快速自查有没有漏类。）

一句话记住今天的分水岭：含参单调性看「参数在导数里的位置」，含参数根看「参数在函数值里的位置」。前者比的是零点谁大谁小（第 23、24 期），后者比的是两个台阶和 x 轴的高低——0 一踩到台阶上，根数就掉一档，那两个临界值（a = −4、a = 0）永远是答案里最贵的一行。