高中物理每日一题 Day11丨绳子绕过滑轮,两边的位移为什么不相等?

今天的题目卡来了——先做一遍再看解析，晚上 20:00 有视频讲解。答案：C（高度差 = 12mg/k₁ + 6mg/k₂）。

先别急着看正确解法。这道题的错，几乎都错在四个地方

这道题在阶段练习里的得分率不高，但错因高度集中，而且每一种错都有"看起来很顺"的理由。比答案更值得看的，是这些"顺"是从哪来的。

错法一：没看初态，以为 A₂ 一开始就是拉着的

大多数人的第一步就写"A₂ 伸长 mg/k₂"，一路算到底会得 4mg/k₂ + 12mg/k₁——翻遍选项都找不到，然后开始怀疑自己每一层的受力。

为什么会这么想？因为题干里 B、C 之间"用弹簧相连"，直觉里弹簧就是被拉直的。但初态的绳张力由 A 决定：T = mg，而 B 重 2mg——缺的那 mg 是谁补的？是下面这根弹簧从下往上顶的。所以 A₂ 一开始被压缩 mg/k₂。

错在哪："处于静止状态"不是废话，是让你做一次完整的受力分析。每一个初态量（两根弹簧的形变、绳张力）都要先算清楚，后面全靠它们当"起点"。

错法二：以为 A 动多少、B 就动多少

绳子绕过定滑轮，很多人默认"绳不可伸长，所以两边位移相等"。但这根绳的两端连的是 A 和 B——中间还挂着一个会往下掉的滑轮（被 A₁ 吊着）。滑轮降多少，两段绳各变长多少，A、B 的位移就不再相等。

错在哪：绳约束的正确写法是"两段绳长之和不变"——用位置差来表达就是 A 下降量 − B 上升量 = 2×滑轮下降量（滑轮下坠把两段绳都"放长"了，A 下得比 B 升得多，差值全给滑轮）。右边 2×6mg/k₁ 先算出来，一个方程管两个物体。

错法三：高度差只算 A 下降（选 D）

D 选项 = 6mg/k₂ + 12mg/k₁，正好是"A 下降了多少"——算到这里的同学已经做对了 80%，就是最后忘了问自己一句：那 B 呢？

B 也在动：A₂ 从"压 mg/k₂"变成"拉 2mg/k₂"，长度变了 3mg/k₂，B 整体上升了 3mg/k₂。A 降 B 升，高度差是两者之和：12mg/k₁ + 3mg/k₂ + 3mg/k₂ = 12mg/k₁ + 6mg/k₂。

错在哪：题目问"高度差"，答案就得是两个位置的变化，不是一个。写答案前先问：这个量是谁和谁比？

错法四：把"弹簧的长度变化"当成"某个物体的位移"

A₂ 的长度变化是 3mg/k₂，但它一头连 B、一头连 C：这段变化量全部体现在 B 的上升上（C 在末态之前一直没动，直到"刚要离地"那一刻）。有人把 3mg/k₂ 又加给 C 或者算进滑轮，就乱了。

错在哪：弹簧长度变化 ≠ 物体位移，要先问"这根弹簧的两端分别连着谁、谁在动"。

正确解法，四步

第一步：初态——把每根弹簧的形变都算出来

A 静止 → 绳张力 T = mg。B 也静止：重力 2mg = T + F_A₂ → F_A₂ = mg（向上）→ A₂ 被压缩 mg/k₂。 A₁ 吊着滑轮和整根绳：F_A₁ = 2T = 2mg → A₁ 伸长 2mg/k₁。

第二步：末态——C 刚要离地

C 刚离地 → 地面对 C 支持力为零 → A₂ 拉力 = 2mg → A₂ 伸长 2mg/k₂。 B 静止 → 绳张力 T′ = 2mg + 2mg = 4mg。

第三步：谁动了多少

A₁：从 2mg/k₁ 到 4T′/k₁ = 8mg/k₁ → 伸长量增加 6mg/k₁ → 滑轮下降 6mg/k₁。 A₂：从压 mg/k₂ 到拉 2mg/k₂ → 长度变化 3mg/k₂ → B 上升 3mg/k₂。 绳约束：A 下降 = 2×滑轮下降 + B 上升 = 12mg/k₁ + 3mg/k₂。

第四步：高度差 = A 下降 + B 上升

Δh = (12mg/k₁ + 3mg/k₂) + 3mg/k₂ = 12mg/k₁ + 6mg/k₂，选 C。

这道题最漂亮的其实是结构：两根弹簧各管一段位移（A₂ 管 B 的，A₁ 管滑轮的），一根绳约束把 A、B、滑轮三者串起来。模型一旦拆开，每一步都只是胡克定律和加减法。