山西中考数学复习计划 第二十三天

第一阶段：60天冲刺（目标40-50分）

今日目标：

掌握完全平方公式，能识别并熟练运用公式计算。

一、知识点

1. 完全平方公式（核心）

 和平方：(a + b)² = a² + 2ab + b²

 差平方：(a - b)² = a² - 2ab + b²

口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，中间符号看前方。

2. 公式结构

 首平方：a²

 尾平方：b²

 二倍积：2ab

 中间符号：

   和平方 → 中间是 +

   差平方 → 中间是 -

对比记忆：

 (a + b)² = a² + 2ab + b²

 (a - b)² = a² - 2ab + b²

3. 识别公式的方法

看式子是：

 一个二项式的整体平方：括号外面有个²

 括号里是两项的和或差

例1：(x + 3)²

 a = x，b = 3

 = x² + 2×x×3 + 3²

 = x² + 6x + 9

例2：(x - 3)²

 a = x，b = 3

 = x² - 2×x×3 + 3²

 = x² - 6x + 9

例3：(2a + 5)²

 a = 2a，b = 5

 = (2a)² + 2×(2a)×5 + 5²

 = 4a² + 20a + 25

例4：(3x - 2y)²

 a = 3x，b = 2y

 = (3x)² - 2×(3x)×(2y) + (2y)²

 = 9x² - 12xy + 4y²

4. 系数与负号处理（重点）

 系数也要平方：(2a)² = 4a²

 负号平方得正：(-3x)² = 9x²

 中间项的符号看括号里是加还是减

 二倍积中的系数别漏乘2

例5：(-2x + 1)²

 可以看成 (1 - 2x)²

 = 1² - 2×1×(2x) + (2x)²

 = 1 - 4x + 4x²

例6：(-3a - 2b)²

 可以看成 (3a + 2b)²（负号整体平方）

 = (3a)² + 2×(3a)×(2b) + (2b)²

 = 9a² + 12ab + 4b²

5. 完全平方与平方差的区别（易混）

式子 类型 结果

(a + b)(a - b) 平方差 a² - b²（两项）

(a + b)² 完全平方 a² + 2ab + b²（三项）

(a - b)² 完全平方 a² - 2ab + b²（三项）

关键：括号外面是²，里面两项相乘 → 完全平方；两个括号相乘，一项相同一项相反 → 平方差。

6. 易错点提醒

 完全平方结果是三项，别漏中间项。

 中间项是 2ab，别忘乘2。

 系数要平方，别只平方字母。

 (a + b)² ≠ a² + b²，别漏中间项。

 中间符号：和平方是+，差平方是-。

 负号整体平方得正：(-a - b)² = (a + b)²。

7. 公式逆用（提高）

 a² + 2ab + b² = (a + b)²

 a² - 2ab + b² = (a - b)²

 用于因式分解，后面会学。

8. 常见变形（提高）

 a² + b² = (a + b)² - 2ab

 a² + b² = (a - b)² + 2ab

 (a + b)² - (a - b)² = 4ab

二、今日练习

A组：直接套公式（5道）

1. (x + 2)² = ____

2. (x - 5)² = ____

3. (a + 4)² = ____

4. (2x + 1)² = ____

5. (3a - 2)² = ____

B组：含系数与负号（5道）

6. (2x - 3y)² = ____

7. (-x + 4)² = ____

8. (-3a - 1)² = ____

9. (1/2x + 2)² = ____

10. (0.5m - 3)² = ____

C组：综合运算（4道）

11. (x + 3)² - (x - 3)² = ____

12. (2a + b)² + (2a - b)² = ____

13. (x - 1)² + (x + 1)² = ____

14. (3x + 2)² - (3x - 2)² = ____

D组：提高（3道）

15. 若 (x + a)² = x² + 8x + 16，则 a = ____

16. 已知 a + b = 5，ab = 6，求 a² + b² 的值。

17. 化简 (a - b)² + 2ab = ____

三、答案

1. x² + 4x + 4

2. x² - 10x + 25

3. a² + 8a + 16

4. 4x² + 4x + 1

5. 9a² - 12a + 4

6. 4x² - 12xy + 9y²

7. x² - 8x + 16（即 (-x+4)² = (x-4)²）

8. 9a² + 6a + 1

9. 1/4x² + 2x + 4

10. 0.25m² - 3m + 9

11. (x²+6x+9) - (x²-6x+9) = 12x

12. (4a²+4ab+b²) + (4a²-4ab+b²) = 8a² + 2b²

13. (x²-2x+1) + (x²+2x+1) = 2x² + 2

14. (9x²+12x+4) - (9x²-12x+4) = 24x

15. a = 4（中间项8x=2×x×4）

16. a²+b² = (a+b)² - 2ab = 25 - 12 = 13

17. a² - 2ab + b² + 2ab = a² + b²

四、今日作业

1. 做完17道题，对答案。

2. 错题重新做一遍，写出完整过程。

3. 背熟：

    (a + b)² = a² + 2ab + b²

    (a - b)² = a² - 2ab + b²

    结果是三项，中间项是2ab，别漏

    和平方中间+，差平方中间-

    系数要平方，负号平方得正

4. 明天告诉我：错了几道，哪道不会。