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2018年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）下面有理数比较大小，正确的是（ ）
A．0＜﹣2 B．﹣5＜3 C．﹣2＜﹣3 D．1＜﹣4
2．（3分）“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期
国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列
四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（ ）
A． 《九章算术》 B． 《几何原本》
C． 《海岛算经》 D． 《周髀算经》
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．2a2+3a2＝6a2
C．2a2•a3＝2a6 D． b2 b6
(- ) 3=-
2a 8a3
4．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
5．（3分）近年来快递业发展迅速，下表是2018年1～3月份我省部分地市邮政快递业务
量的统计结果（单位：万件）：
太原市 大同市 长治市 晋中市 运城市 临汾市 吕梁市
3303.78 332.68 302.34 319.79 725.86 416.01 338.87
1～3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（ ）
A．319.79万件 B．332.68万件 C．338.87万件 D．416.01万件
6．（3分）黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西 45
千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（ ）
A．6.06×104立方米/时 B．3.136×106立方米/时
C．3.636×106立方米/时 D．36.36×105立方米/时
7．（3分）在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机
从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸
到黄球的概率是（ ）
4 1 2 1
A． B． C． D．
9 3 9 9
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按
逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（
）
A．12 B．6 C．6❑√2 D．6❑√3
9．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25
10．（3分）如图，正方形ABCD内接于 O， O的半径为2，以点A为圆心，以AC长
为半径画弧交AB的延长线于点E，交A⊙D的延⊙长线于点F，则图中阴影部分的面积为（
）A．4 ﹣4 B．4 ﹣8 C．8 ﹣4 D．8 ﹣8
二、填空π题（本大题共5个小题π，每小题3分，共15π分） π
11．（3分）计算：（3❑√2+1）（3❑√2-1）＝ ．
12．（3分）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并
开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提
取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ 度．
13．（3分）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者
之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高
的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm．
14．（3分）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利
用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于
1
点D；②分别以C，D为圆心，以大于 CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；
2
③作射线AE交PQ于点F．若AB＝2，∠ABP＝60°，则线段AF的长为 ．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，以
CD为直径作 O， O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作 O的切线FG，交AB
于点G，则F⊙G的长⊙为 ． ⊙
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算：
（1）（2❑√2）2﹣|﹣4|+3﹣1×6+20．
（2）x-2• x2-1 1 ．
-
x-1 x2-4x+4 x-2
17．如图，一次函数y ＝k x+b（k ≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例
1 1 1
k
函数y = 2 (k ≠0)的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．
2 x 2
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y ＞0；
1
（3）当x为何值时，y ＜y ，请直接写出x的取值范围．
1 218．在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动
拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只
能参加其中一项活动．教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并
对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
请解答下列问题：
（1）请补全条形统计图和扇形统计图；
（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？
（3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？
（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽
到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？
19．祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设 13对直线
型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用
课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．
项目 内容
课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量 说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，
示意 分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在
图 同一竖直平面内．
测量 ∠A的度数 ∠B的度数 AB的长度
数据
38° 28° 234米
… …
（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：
sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪
些项目（写出一个即可）．
20．2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车
时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大约 500千米，“复兴号”G92
次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐
4
号”列车行驶时间的 （两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号”G92次列
5
车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留 10分钟．求乘坐“复兴号”G92次
列车从太原南到北京西需要多长时间．21．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名
美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如
何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX＝BY＝XY．（如
图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD＝CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，
作Y'Z'∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'＝Y'Z'．第三步，过点A作
AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作
YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX＝BY＝XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'＝∠BAZ，
又∵∠A'BZ'＝∠ABZ．∴△BA'Z'∽△BAZ．
Z' A' BZ'
∴ = ．
ZA BZ
Y'Z' BZ' Z' A' Y'Z'
同理可得 = ．∴ = ．
YZ BZ ZA YZ
∵Z'A'＝Y'Z'，∴ZA＝YZ．
任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以
证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX＝BY＝XY的证明过程；
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从
而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 ．
A．平移
B．旋转
C．轴对称
D．位似
22．综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD
＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在
DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB．
∵AD＝2AB，∴AD＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
EM EB
∴ = ．（依据1）
DM AB
EM
∵BE＝AB，∴ =1．∴EM＝DM．
DM
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD＝AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边
在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，
点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶
点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并
加以证明．
23．综合与探究
1 1
如图，抛物线y= x2- x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交
3 3
于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，
交BC于点F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三
角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．
