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【每周一题】第8期:初中数学每周一题——一题深耕,周周进阶
每周一题
（第8期）
— 一题研透 一周进阶 —
前言
沂河悠悠，数韵绵长。时光流转，我们如约迎来“数韵沂河·每周一题”第八期。
愿大家循着数字的星光，静心思考，大胆探索，在思辨之中感受数学独有的浪漫与力量。
01
七年级
如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，交换这个两位数的十位数字和个位数字后，得到一个新的两位数，则这两个两位数的差一定能（ ）.
A．被9整除 B．被10整除
C．被11整除 D．被12整除
02
八年级
对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步；先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A'处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA'，EA'，展开，如图1；
第三步：再沿EA'所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，得到折痕EF，同时得到线段B'F，展开，如图2．
(1)求∠ABE的度数；
(2)证明：四边形BFB'E为菱形.
03
九年级
如下图所示，△ABC中，AB=AC，AB为⊙O的直径，分别交AC，BC于点D，E，连接DE，AE．
(1)求证：∠CED=2∠CAE；
(2)若DE=15，AE=20，求CD的长．
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第7期答案解析
七年级
【分析】本题考查了代数式的计算和整体代入法．化简代数式，然后将条件式整体代入即可．
【详解】解：(3x-y)-(5x-7y)
=3x-y-5x+7y
=-2x+6y
=-2(x-3y)
∵x-3y=3，
∴-2(x-3y)=-6．
八年级
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质：
（1）由等腰三角形的性质得∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD=½∠ACB=30°，然后证∠DEB=∠D，得DB=BE，即可得出结论；
（2）过点E作EF//BC，交于点F，证△AEF为等边三角形，得AE=EF，
再证△DBE≌△EFC(AAS)，得DB=EF，即可得出结论；
（3）过点E作EF//BC，交AC于点F，同（2）得△AEF是等边三角形，
△DBE≌△EFC(AAS)，则AE=EF=6，即可得出答案．
【详解】(1)=；理由如下：
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD=½∠ACB=30°，AE=BE，
∴∠D=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=∠ABC-∠D=30°，
∴∠DEB=∠D
∴DB=BE，
∴AE=DB；
(2)AE=DB，理由如下：
过点E作EF//BC，交AC于点F，
则∠AEF=∠ABC，
∠AFE=∠ACB，
∠FEC=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°，
∴△AEF为等边三角形，∠EFC=120°，
∴AE=EF，∠DBE=∠EFC=120° ,
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC，
在△DBE和△EFC中，
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF，
∴AE=DB；
(3)CD=9．理由如下：
解：过点E作EF//BC，交AC的延长线于点F，如图3所示：
同（2）得：△AEF是等边三角形，
△DBE≌△EFC(AAS)，
∴AE=EF=6，DB=EF=6，
∵BC=3，
∴CD=BC+DB=3+6=9．
九年级
【分析】本题主要考查圆心角，弦，弧的关系，等边对等角，平行性质的性质，掌握圆心角相等，则对应弧也相等是解题的关键．根据题意，运用平行线的性质，等边对等角的性质可得∠BOA=∠DOA，结合圆心角相等，则对应弧也相等的关系即可求证．
【详解】
证明：如图所示，连接OD，
∴OC=OD=OA=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵OA//CD，
∴∠OCD=∠BOA，∠ODC=∠DOA，
∴∠BOA=∠DOA，
∴
下周同一时间，我们继续，各位同学不见不散！
END
图文丨吴清光
编辑丨王 娜
审核丨闫永涛
