夜雨聆风今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。
40年真题latex留白版获取方式：公众号后台发送关键词”考研真题“即可领取！
今天分享的是1995年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。
unsetunset第1题unsetunset
?
型套路题。
unsetunset第2题unsetunset
?
变限积分求导。
unsetunset第3题unsetunset
设 ，则 ?
向量的基本运算，常用性质要熟练，比如：
两个同向向量叉乘结果为0； 两个向量叉乘以后的方向与原向量均垂直； 三个向量的混合积轮换顺序不变，混合积值相等； 三个向量的混合积任意调换两个向量的位置需要变号； 以 为棱的四面体体积：
本题过程如下：
unsetunset第4题unsetunset
幂级数 的收敛半径 ?
比值或者根式判别法。我一向习惯用根值判别法，因为不用动脑子。
unsetunset第5题unsetunset
设3阶方阵 满足关系式 ，且
则 ?
化简得：，求出对角矩阵的逆即可。
unsetunset第6题unsetunset
设有直线 及平面 ，则直线 ?
(A) 平行于
(B) 在 上
(C) 垂直于
(D) 与 斜交
求出方向向量，发现和已知平面法向量平行，因此二者互相垂直。选 C。
unsetunset第7题unsetunset
设在 上 ，则 或 的大小顺序为 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
拉格朗日中值定理，结合一阶导单调递增即可。选 B。
unsetunset第8题unsetunset
设 可导, , 则 是 在 处可导的 ?
(A) 充分必要条件
(B) 充分条件但非必要条件
(C) 必要条件但非充分条件
(D) 既非充分条件又非必要条件
同济高数上册习题2.1的第8题，实际上这是一个很重要的结论。
设 在 处可导， 在 处连续但不可导，则 在 处可导且导数为 .
本题中 在 处可导， 在 处连续但不可导，所以本题就是充要条件，下面证明一下这个结论：
unsetunset第9题unsetunset
设 , 则级数 ?
(A) 与 都收敛
(B) 与 都发散
(C) 收敛而 发散
(D) 发散而 收敛
原级数通过莱布尼兹判别法显然收敛，而平方后和调和级数是等价的，发散。故选 C。
unsetunset第10题unsetunset
设
则必有 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
考察三类初等变换和三类初等矩阵之间的关系，遵循所谓的”左行右列“，即左乘为初等行变换，右乘为初等列变换。
本题显然矩阵 先将第三行加上第一行，然后再交换前两行就可以得到矩阵 . 故选 C。
unsetunset第11题unsetunset
设 , , , 其中 都具有一阶连续偏导数, 且 , 求 .
对两个方程分别对 求导，联立解方程。
unsetunset第12题unsetunset
设函数 在区间 上连续, 并设 , 求：
第一种方法是考虑交换积分次序，然后根据定积分值与积分变量无关，我们交换所有的 ，注意这里是所有！
很多同学会把这种方法和二重积分的轮换对称性弄混，我们本题是根据定积分值与积分变量无关，交换所有的 ，包括积分的上下限，对积分区域 没有任何要求，本质是将积分区域关于直线 进行翻转；相反，二重积分的轮换对称性要求积分区域 关于直线 对称，此时可以交换被积函数里面的 和 ，注意只是被积函数里面的变量！
因此本题第一种方法过程如下：
事实上，大部分能用交换积分次序解决的题大概率也可以通过变限积分进行解决，也就是我们的方法2：
unsetunset第13题unsetunset
计算曲面积分 , 其中 为锥面 在柱体 内的部分.
投影法计算第二类曲面积分，转换为二重积分后利用极坐标即可。
unsetunset第14题unsetunset
将函数 展开成周期为4的余弦级数。
因为要展成余弦级数，所以先偶延拓，然后再周期延拓。剩下的就是纯套公式，别算错就行了。
unsetunset第15题unsetunset
设曲线 位于 平面的第一象限内， 上任一点 处的切线与 轴总相交，交点记为 。已知 ，且 过点 ，求 的方程。
写出切线方程，根据 列出等式得到一个一阶微分方程，里面含有我们不希望看到的 项，故考虑换元，得到一个一阶线性非齐次微分方程，解它。
unsetunset第16题unsetunset
设函数 在 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 与路径无关，并且对任意 恒有
求 。
与路径无关，因此满足恰当条件，解得 的一个表达式。
根据这个表达式选择合适的路径分别计算等式两边的积分，从而推出 的最终表达式。
unsetunset第17题unsetunset
设函数 在 上存在二阶导数，并且 ，，试证：
(1) 在开区间 内 ；
(2) 在开区间 内至少存在一点 ，使 。
第一问看到题目条件 ，立马想到使用反证法。结合罗尔定理即可。
第二问是经典辅助函数的构造，由于目标式子里面不含一阶导，所以我们构造原函数和一阶导乘积之差的结构，这样求导之后就只含原函数和二阶导了。
unsetunset第18题unsetunset
设 阶实对称矩阵 的特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，求 。
由于是实对称矩阵，所以属于不同特征值的特征向量相互正交，那么根据已知的特征向量取两个正交的且线性无关的向量即可找到另外两个特征值对应的特征向量。
根据三个特征向量逆用相似对角化，即可得到 .
unsetunset第19题unsetunset
设 是 阶矩阵，满足 （ 为 阶单位矩阵， 为 的转置矩阵），，求 。
对题设条件两边同时取行列式，结合已知行列式小于0，得到行列式的值为 。
然后对于待求式子，我们把 代入化简，最终得到答案为0.
当然，如果知道正交矩阵的一个性质：特征值的模长为1，那么结合行列式小于0就可以知道 必有一个特征值是 ，那么 就必有特征值0，所以结论显然易见。
卷面上证明一下正交矩阵的这个性质即可，过程如下：
unsetunset第20题unsetunset
设 表示 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的命中率为 ，则 的数学期望 ?
二项分布的期望、方差公式。
unsetunset第21题unsetunset
设 和 为两个随机变量，且 ，，则 ?
正难则反，加法公式。
unsetunset第22题unsetunset
设随机变量 的概率密度为
求随机变量 的概率密度 。
分布函数法，在哪求概率就在哪求积分。最后求导即可得到概率密度函数。
以上就是对于1995年数一真题的全部解答，总体来看难度和前几年差不多，大部分都还是套路题。其中第8、12、19题比较灵活；其次就是第17题的辅助函数构造在当年应该还是属于难题的。
好了，以上就是今天小课糖的全部内容啦~如果内容对你有帮助，欢迎关注、点赞、收藏、转发呀，让更多人学到这个小妙招！
每日精选好题，拆解精巧解法，陪你稳步刷题、助力备考上岸！！！
