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1996年全国硕士研究生招生考试
数学(一)
(科目代码：301)
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1) 设=8,则 a =________ .
工-*°° ' X — CL '
(2) 设一平面经过原点及点(6, -3,2),且与平面4h — y +2z =8垂直，则此平面方程
为________ •
(3) 微分方程夕"一 + 2夕=e"的通解为________.
(4)函数u =ln(_z +// +/ )在点A (1,0,1)处沿点A指向点B(3, -2,2)方向的方向导
数为________ .
I1 ° 2\
(5)设A是4X3矩阵，且A的秩r(A)=2,而0 2 0 ，贝 I] r(AB)=
1 0
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1)已知& +严)山丁屈为某函数的全微分，则a等于(
).
(A) - 1 (B)0 (C)l (D)2
严(r)
(2) 设 /(j;)有二阶连续导数，且 7"'(0) = 0,lim ―i i— = 1,则( ).
| x |
乂一o
(A) f(0)是于(工)的极大值
(B) /(0)是f(x)的极小值
(C) (0 ,/(0))是曲线y = )的拐点
(D) f(O)不是/'(工)的极值,(0/(0))也不是曲线》=/(工)的拐点
(3) 设a” >0(九=1,2,…),且工a”收敛,常数入G(0,今),则级数另(—1)" ("tan —ja2„
( ).
(A)绝对收敛 (B)条件收敛
(C)发散 (D)收敛性与A有关
(4)设/'(工)有连续导数 >/(0) = 0,/z (0)工 0 ,F(jr ) =[ (j： 2 — t2 )f (t)dt,且当 x -* 0 时,
F'(工)与是同阶无穷小，则怡等于( ).
(A)l (B)2 (03 (D)45 0 0 馆
0 ci b 0
2 2
(5) 4阶行列式 的值等于( ).
0 b3 cc-i 0
0 0 a4
(A)6Z](22^3^4 b \ b 3b 4 (B)a1a2^3fl4 + blb2b3bi
(C) (a 卫 一 一 b3bi) (D) (a2a3 — b2b3)(a1ai — b^bQ
2
三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)
(1)求心形线r=a(l + cos 0)的全长，其中a > 0是常数.
(2)设g =10,工卄1 =丿6+工”(“ =1,2,…)，试证数列｛乂”｝极限存在，并求此极限.
四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)
(1)计算曲面积分JJ(2h + z)dydz zdx dy ,其中S为有向曲面z=^2+j/2(0^z^l),其
S
法向量与2轴正向的夹角为锐角.
⑵设变换—幻，可把方程§冷+害_冷=0化简为窘=0,求常数a,其中
®=z+ay dx dJCdy 3y dUdy
=Z(H ,y)有二阶连续的偏导数.
Z五、（本题满分7分）
求级数紗士莎的利
六、（本题满分7分）
设对任意的x〉0,曲线;y = /（jr ）上点（工，/'（z ））处的切线在夕轴上的截距等于丄［/XCdz ,求
x J o
于（工）的一般表达式.
七、（本题满分8分）
设/"（工）在［0,1］上具有二阶导数，且满足条件：『（工）|£a, |严（工）|Wb,其中a,b都
是非负常数,c为（0,1）内任意一点.
（1） 写出/■&）在点工=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；
（2） 证明：| （c） |£2a +㊁.
八、（本题满分6分）
设A=E-^\其中E是"阶单位矩阵疋是“维非零列向量，&「是§的转置，证明:
（1） A2 = A的充分必要条件是Mg — 1;
（2） 当=1时,a是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）
已知二次型 /（ J： 1 ,広2，工 3）= 5.Z 1 + 5jr 2 + 3 一 2jf ! J7 2 + 6jf ! JT 3 一 6j" 2 JC 3 的秩为 2.
（1） 求参数C的值及此二次型对应矩阵的特征值；
（2） 指出方程/'01，尤2，分3）=1表示何种二次曲面.
十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）
（1）设工厂A和工厂£的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A厂和£厂的产品分别占
60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于4厂生产的概率为
（2）设行是两个相互独立0.均服从正态分布N（0.
的随机变量. 则随机变量
|$ — “| 的数学期望 E（| — 7] I ） =________ .
十一、（本题满分6分）
设W ,乃是相互独立且都服从同一分布的两个随机变量，且E的分布律为P =i}
（/ =1,2,3）,又设 X = max{ g ,rj} ,Y = min{£ ,少}.
（1）写岀二维随机变量（X,Y）的分布律：
X
Y
1 2 3
1
2
3
（2）求随机变量X的数学期望E（X）.
