文档内容
方法精讲-数量 3
（笔记）
主讲教师：焦点
授课时间：2024.04.13
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 3（笔记）
第四节 工程问题
今日内容（P228-233）
第四节 工程问题
第五节 经济利润问题
【注意】今日内容：P228-233，思维量大，大家头脑要积极应用，不要过分
记笔记，而是跟老师想思路、学方法。
1.第四节：工程问题；共性高频考点。
2.第五节：经济利润问题；共性高频考点。
第四节 工程问题
三量关系：总量=效率*时间
考查题型
11.给完工时间型
2.给效率比例型
3.给具体单位型
4.牛吃草类型（浅浅拓展）
【注意】工程问题：就是“干活”。
1.三量关系：总量=效率*时间，形如 A=B*C，有可能利用倍数特性秒杀，工
作总量既是效率的倍数，又是时间的倍数；考试时考查工程问题的侧重点不是倍
数特性，大家自己要知道，如果题目选项给得好，有机会可以用倍数特性。
2.考查题型：讲义中主要是前三种，老师会拓展“牛吃草”。
（1）给完工时间型。
（2）给效率比例型。
（3）给具体单位型。
（4）牛吃草类型（浅浅拓展），近五年江苏考过一道，本质是给效率比例
型。
1.给完工时间型
①赋总量（完工时间的公倍数）
②算效率：效率=总量/时间
③根据工作过程列方程或式子
注：完工时间指的是完成同一项工程的多个时间
【引例】要折叠一批纸飞机，若甲单独折叠要半个小时完成，乙单独折叠需
要45分钟完成。若两人一起折，需要多少分钟完成？
A.10 B.15
C.16 D.18
【注意】给完工时间型：做好识别，识别准确才能用正确方法，不然十八般
武艺也枉然。
1.步骤：
（1）赋总量（完工时间的公倍数）。
2①如果赋值总量为 1（小学的“赋 1法”），小学思路会导致慢（甲效率为
1/30、乙效率为1/45，所求=1/甲乙效率和），在小学的基础进行优化→做得更
快→往整数方向优化→分数出现在效率，下面的引例中，就可以把 30、45 的公
倍数赋值为总量。
②不强求是最小公倍数，下面的引例中，如果不赋值为 90，找 30、45的公
倍数，可以找450，此时两人效率分别为 450/30=15、450/45=10，所求=450/（15+10）
=18，结果（答案）不变，道理相同；赋值哪个都可以，只要大家足够快，大家
静下心想，赋值其他（1350、450）并不快，大家想要的是“既是整数”、“不
能太大”，如果真的赋值为 1350、450，此时数字变大、算得会慢、可能会错，
所以尽量找最小公倍数（赋），如果找不到也不要太大。
③如果不去赋值具体数据，工作总量当成 x，甲效率=x/30、乙效率=x/45，
所求=x÷[（x/10）+（x/45）]→x会消掉。
④找最小公倍数的方法：短除法，考场上使用短除法会很慢，比如 30、45
→找公因子为5，余下 6、9，公因子为3，余下 2、3，最小公倍数=5*3*2*3=90，
至少花费30秒，白白浪费，大家只要第一感觉是公倍数、好算即可。
（2）算效率：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列方程或式子。
2.注：完工时间指的是完成同一项工程的多个时间；如做套卷（题），甲做
30 分钟、乙再做 40 分钟可以卷子做完，这里的“30 分钟”、“40 分钟”不是
完工时间，甲 30 分钟没有做完活，乙干 40 分钟也没有干完；注意“40+30=70”
也不是，混搭时间，需要某个人、某两个人一直干。
3.引例：这里的“30 分钟”是完工时间，“45 分钟”也是完工时间，这就
是多个完工时间；赋值总量为 90，甲效率=3、乙效率=2，所求=90/（3+2）=18
分钟。
【例 1】（2021 广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工
程人员出国参与一个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200天可完成该项目；
如果由乙队单独施工，则需要 300 天。甲、乙两队共同施工 60 天后，甲队被临
时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需多少天？
3A.120 B.150
C.180 D.210
【解析】1.“由甲队单独施工，200天可完成该项目”、“由乙队单独施工，
则需要300天”→“200天”、“300天”均是完工时间，符合“多个完工时间”，
迅速识别→给完工时间型工程问题，开始无脑操作。
（1）赋总量：找 200、300 的公倍数→第一印象会想到“600”，总量赋值
为600；（2）求效率：甲效率=600/200=3、乙效率=600/300=2；（3）列式子或
方程，“甲、乙两队共同施工 60 天后，甲队被临时调离，由乙队单独完成剩余
任务”，乙单独的时间设为 t，满足：60*（甲+乙）+乙*t=600→60*（3+2）+2t=600
→2t=300→t=150，此时容易误选 B 项，B 项是“坑”，设的未知数是“乙单独
干的天数”，问“完成该项目共需多少天”，所求=150+60=210，对应 D项。【选
D】
【注意】
1.题型识别：200天、300天，完成——给完工时间型：
（1）赋总量。
（2）求效率。
（3）列式子或方程。
2.部分同学会赋值效率，理论上可以，但是大家要找最优解，数学题一题多
解，可能有多个方法，考场上用容易复刻的方法（教研总结的套路），赋效率可
以→但是很慢。
【例 2】（2023 北京）甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先
施工，用了15天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了 9天。
则乙工程队独立完成整个工程需要多少天？
A.10 B.15
C.16 D.20
【解析】2.工程问题；“甲工程队先施工，用了 15 天完成了一半”，这里
的“15 天”不是完工时间，但是可以读出一个“完工时间”→干完需要 30 天，
4这里比较隐蔽，没有直接给（完工时间）；“剩下部分甲、乙合作，比前一半的
用时短了9天”→剩下的一半比前一半短 9 天→用了15-9=6天，这里的“6天”
也不是完工时间，如果甲、乙干完，需要 12 天；此时出现两个完工时间（30天、
12天），并不是几个主体就有几个完工时间，就算有 8个工程队干活、2个完工
时间，也是给完工时间型工程问题。
（1）赋总量：找 30、12的公倍数→60 为总量，也可以赋值为 120，如果用
“60”；（2）求效率，甲效率=60/30=2、甲+乙=60/12=5，可以求出乙效率=5-2=3；
（3）列式子或方程，所求=60/3=20，对应 D项。【选D】
【注意】
1.题型识别：15 天，一半（干完需 30 天）；15-9=6 天，一半（干完需 12
天）——给完工时间型。
（1）赋总量。
（2）求效率。
（3）列式子或方程。
2.如果一个题目只有 1个完工时间，也可以按照套路来做，但是不好做。
3.虽然是一直干，但是总会干完，所以会有完工时间，不考虑烂尾。
4.无脑操作，考场上高压情况，大家思考可能不全面、不灵活，大家要找一
个推而广之、普适性的方法→总结出解题套路，方法不唯一，但是要最优解。
【例 3】（2023 联考）轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工
程队合作进行需 4 小时完成，甲队单独完成比乙队单独完成快 15 小时，则甲队
单独完成需要的时间是：
A.5 小时 B.6 小时
C.7 小时 D.8 小时
【解析】3.先识别，不着急做，大家本能怎么想就去做，但是没有抓住共性，
学习理论、总结套路，抓住共性，原题不会考。
根据题意，“甲、乙两个工程队合作进行需 4小时完成”，这里的“4小时”
是完工时间；“甲队单独完成比乙队单独完成快 15 小时”，这里的“15 小时”
5不是完工时间；虽然只有 1个完工时间，先看问题→“甲队单独完成需要的时间”，
问“完工时间”，四个选项中肯定有完工时间，把选项当成已知条件，此时可以
达到“2 个完工时间”，借助于选项，题型判定为“给完工时间型”。
方法一：“甲队单独完成比乙队单独完成快 15 小时”，如果已知甲的完工
时间，可以找出乙的完工时间，乙比甲慢 15 小时，四个选项对应的乙的（完工）
时间分别为20、21、22、23，为一组数，考虑代入排除，代入的基本原则→“好
算”，“20”和“5”更好算，赋值总量为 20，甲效率=20/5=4、乙效率=20/20=1；
20/（4+1）=4h，满足“甲、乙两个工程队合作进行需 4小时完成”，对应 A项。
方法二：考试时数一般不会太大，如果担心（代入排除）试不出来，考虑方
法二；已知条件没有 2个完工时间，可以回到“小学思路”→兜底法，赋值总量
为“1”，甲乙效率和（甲+乙）=1/4；甲完工时间未知，将其设为 x，甲效率=1/x、
乙效率=1/（x+15），根据过程、等量关系列方程→1/4=（1/x）+[1/（x+15）]，
分式方程，方程不好解，考虑代入，代入 A 项→1/5+（1/20）=（4+1）/20=1/4，
满足，对应A项。【选 A】
【注意】
1.题型识别：4 小时（完工时间）；单甲和单乙完工时间差 15 小时，问甲
完工时间——给完工时间型。
（1）赋总量。
（2）求效率。
（3）列式子或方程。
2.方法二根深蒂固、学习惯了，公考的角度上讲，从计算的速度上说，还是
方法一快，大家的训练方向就是往公考的方向训练，“黑猫”、“白猫”都是好
猫，但是推荐方法一。
3.常识：甲 1h 吃 5 个馒头、乙 1h 吃 4 个馒头，两人 1h 可以吃 5+4=9 个馒
头，甲效率+乙效率=甲、乙效率和，这没有知识点，这是常识。
二、给效率比例型
62.给效率比例型
①赋效率（满足比例即可）
②算总量：总量=效率*时间
③根据工作过程列方程或式子
【引例】甲和乙的效率比为 2：3，甲、乙合作完成一项工程需要 10天，如
果甲单独做这项工程需要多少天？
A.15 B.20
C.25 D.30
【注意】给效率比例型：此时“赋效率”才是最优解。
1.步骤：
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）算总量：总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列方程或式子。
2.引例：“甲和乙的效率比为 2：3”→给效率比例型工程问题，类似常识，
没有硬核知识点，明明白白给出效率比例；顺藤摸瓜，甲效率为2份、乙效率为
3 份，直接分别赋为 2、3；算总量→（2+3）*10=50；根据工作过程列方程或式
子，所求=50/2=25 天。部分同学考虑效率分别赋值为 1、1.5，小数计算太费劲，
大家尽量赋值整数。
给效率比例类型
①直接给效率比例：
甲：乙：丙=6：5：4或甲=2乙
②间接给效率比例：
甲 3天的工作量等于乙 2天的工作量
相同时间内甲的工作量是乙的 60%
7③给具体人数或机器数：建筑公司安排 100 名工人去修路；36 台收割机割
麦子
【注意】给效率比例类型：
1.直接给效率比例（最浅的层次；明明白白、清清楚楚、真真切切给出）；
如甲：乙：丙=6：5：4或甲=2*乙。
2.间接给效率比例。
（1）如甲 3 天的工作量等于乙 2 天的工作量→没有发现效率比例，说话绕
弯、比较委婉，没有直接说，需要（进一步）分析，满足：3*甲=2*乙→甲/乙=2/3；
或者根据三量关系（W=P*t），如果W相同，P、t为反比关系，比如都吃 100个
馒头，吃得越快→用时越短，这就是反比关系，上例中，W 相同，t 之比为“2：
3”，则P之比为“3：2”。
（2）相同时间内甲的工作量是乙的 60%；利用正反比，此时 t 相同，比如
同样用 1 天时间吃馒头，谁吃得快、谁吃得多，正比关系，W 之比为 60%=5/3，
则P之比也为 5/3。
3.给具体人数或机器数，如建筑公司安排 100名工人去修路→100 个人的效
率如果不一样，此时无法做题，没有说效率不同，默认效率“1：1”，即效率一
样；又如 36台收割机割麦子。
【例 1】（2022 联考）甲、乙二人合作计划 30 天完成一项工程，甲的工作
效率是乙的2倍。两人合作 10天后，甲的效率提升 25%，乙的效率提升 50%。又
合作 10 天后，乙因其他任务撤出，甲单独完成剩余任务。问最终工作比预计时
间：
A.早 2天 B.晚2天
C.早 4天 D.晚4天
【解析】1.根据题意，“甲、乙二人合作计划 30 天完成一项工程”→给出
完工时间，如果赋值总量为 30，可以做，但是不好做（会出现小数）；往后看，
“甲的工作效率是乙的 2 倍”、“甲的效率提升 25%，乙的效率提升 50%”，给
出效率比例关系，识别为“给效率比例型工程问题”。
8（1）赋效率，不要直接赋值甲、乙效率分别为 2：1，根据后面的条件→“甲
的效率提升25%，乙的效率提升 50%”，赋值甲效率为“4”更好算，则乙效率为
2；提升后分别变为 5、3。
（2）算总量→30*（4+2）=180。
（3）列式子或方程，前 10 天为原来的效率，后 10 天为提高的效率，甲单
干时间设为t，满足：10*（4+2）+10*（5+3）+5*t=180→60+80+5t=180→5t=40
→t=8，问“最终工作比预计时间早/晚几天”，（10+10+8）比30 天少 2天，对
应A项。【选 A】
【注意】
1.题型识别：效率2倍，提升25%，50%——给效率比例型。
（1）赋效率。
（2）算总量。
（3）列式子或方程。
2.如果赋值甲效率为 2，效率提升后会出现小数；看比例，“甲的效率提升
25%”→“25%”为 1/4，甲需要为 4 的倍数才好算，可以赋值甲效率为 4 或 8，
即看分母最大的。
【例 2】（2023 事业单位）某市需要修一座桥梁，现有甲、乙两个施工单位，
已知甲、乙合作 12 天可完成桥梁的 7/8；如果甲、乙单独做，那么甲完成 1/2
与乙完成2/3所需要的时间相等。则甲单独做比乙单独做需要多用（ ）天。
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】2.根据题意，“已知甲、乙合作 12 天可完成桥梁的 7/8”→可以
得出一个完工时间，继续读，“甲完成 1/2 与乙完成2/3所需要的时间相等”→
W=P*t，t相同，W和 P为正比关系，时间相同，W之比为1/2÷2/3，则效率之比
也为1/2÷2/3，同时扩大 6倍→3/4，得到效率之比为“3：4”，这是间接给（效
率比例），迅速三步走。
（1）赋效率，甲、乙效率分别赋值为 3、4。
9（2）算总量→12*（3+4）=总量*（7/8）→总量=[12*7]*（8/7）=96。
（3）根据工作过程列式求解，问“甲单独做比乙单独做需要多用……天”，
所求=（96/3）-（96/4）=32-24=8天，对应 C项。【选C】
【注意】
1.题型识别：时间相同，工作量之比=效率之比——（间接）给效率比例型
（1）赋效率
（2）算总量
（3）列式子或方程
2.考试时做法很简洁，老师是为了照顾小白同学写了很多笔记。
【例 3】（2021 广东）某茶园需要在一定时间内完成采摘。前 4 天安排了
20名采茶工，完成了五分之一的工作量。如果再用 10天完成全部采摘，至少还
需要增加（ ）名采茶工。
A.12 B.11
C.10 D.9
【解析】3.根据题意，先审题，“前 4 天安排了 20 名采茶工，完成了五分
之一的工作量”，后面没有说效率不一样，从简原则，默认效率之比为“1：1”，
无脑操作。
（1）赋效率，每个采茶工的效率为 1，20个采茶工效率为20。
（2）算总量，“前 4 天安排了 20名采茶工，完成了五分之一的工作量”→
总量=4*20*5=400。
（3）根据工作过程列式求解，“再用 10天完成全部采摘”，“80”干完接
着干，总共“400”，还剩 400-80=320，需要 320/10=32人，不能选“32”，问
“增加多少人”，所求=32-20=12人，对应 A项。【选A】
【注意】
1.题型识别：20名采茶工——（默认）给效率比例型。
（1）赋效率。
10（2）算总量。
（3）列式子或方程。
2.生活化理解：每人每天吃 1个馒头，4人20天吃80个馒头。
3.辨析“给完工时间型”和“给效率比例型”：“给完工时间型”并不是只
能“赋总量”，数学的魅力就是一题多解，老师给的套路是（考场上的）最优套
路，但并不是唯一套路（解法），要想做得快，就要用老师的套路。
（1）给出两个完工时间，赋工作总量为完工时间的公倍数，这样更好算，
“给完工时间型”。
（2）往往直接给/间接给效率比例，考虑赋效率，即“给效率比例型”，这
样更好算。
三、给具体单位型
3.给具体单位型
①设未知数
②找等量关系列方程
注：一般效率或总量是具体的
①一名工人一小时可以加工 20个零件
②一共有 300 个零件需要加工
【注意】给具体单位型：没有赋值的套路，直接列方程；这里的“具体单位”
指效率、总量的单位。
1.步骤：
（1）设未知数。
（2）找等量关系列方程。
（3）注：一般效率或总量是具体的。
2.例：
11（1）一名工人一小时可以加工 20 个零件；这里的“20 个零件”是效率的
具体值，不是比例，即给效率的具体单位。
（2）一共有 300 个零件需要加工；这里的“300个零件”是总量的具体值，
所以不能赋。
【例】（2023 浙江）收割一片稻田，可选择甲、乙、丙 3 台农机。用丙收
割的用时比用甲短 4 小时，比用乙长 2 小时。已知甲、乙的收割速度分别为 5
亩/小时和 9亩/小时，那么丙的收割速度在以下哪个范围内？
A.小于 6亩/小时 B.6～7亩/小时
C.7～8亩/小时 D.大于8亩/小时
【解析】例.根据题意，出现“5亩/小时，9亩/小时”，给出效率的具体值，
不能赋值，直接设未知数列方程；有效率，工作总量相同→等量关系；缺时间，
设丙的时间为 x，列方程要设中间量，丙为中间量，“丙收割的用时比用甲短 4
小时，比用乙长2 小时”，甲的时间为x+4、乙的时间为x-2。
方法一：列方程：5*（x+4）=9*（x-2）→4x=38→x=19/2=9.5，问“丙的收
割速度在以下哪个范围内”，即“P”，P→总量/9.5，缺“总量”，代入 x→5*
（x+4）=5*（9.5+4）=5*13.5，所求=（5*13.5）/9.5，可以约分“5”，分子、
分母同乘以“2”→（5*27）/19，选项是范围，结果不是整数，类似资料分析的
“商首位”→首位商 7+，对应C项。
方法二（拓展）：烧脑，并不比“方程法”简单。
W=P*t，题目中明确给出甲和乙的效率比例关系→5：9，收割的同一片稻田，
W 相同，P 和 t 成反比→t 之比为 9：5，甲的时间为 9 份、乙的时间为 5 份，差
了9-5=4 份，甲和乙（里外里）差 6个小时→4份，1份对应6/4=1.5h，直接算
出5份的时间→7.5h，总量=9*7.5，丙的时间为 7.5+2=9.5，所求=（9*7.5）/9.5，
结果对应C项。【选 C】
【注意】
1.题型识别：5亩/小时，9亩/小时——给具体单位型。
（1）设未知数。
12（2）列方程。
2.本题不能用线段法，线段法适用于混合比例。
3.当正反比几乎没有计算量的情况下，和方程法比，有压倒性优势时，考虑
正反比；本题使用正反比，又烧脑、计算量又大。
4.本题有具体量，不能考虑赋值，否则就像自己出题一样。
4.牛吃草型
①判定：有增长有消耗（排比句）
②公式：Y=（N-X）*T
Y：原有草量
N：牛的头数*牛吃草速度（一般设为1）
X：草生长的速度
T：时间
【引例】—片草地，10头牛30天吃完，20头牛10天吃完，问 30头牛几天
吃完？
真题常见形式：挖沙、排队、抽水等
【注意】牛吃草型：严格意义属于“给效率比例型”。
1.判定：有增长有消耗（排比句）。
2.公式：Y=（N-X）*T；Y 为原有草量、N 为牛的头数*牛吃草速度（一般设
为1）、X为草生长的速度、T为时间。Y、N 为原有量、牛的首字母；T为时间、
X为未知的时间；推导：总吃的=原有的草+新长的草→N*T=Y+X*T→Y=（N-x）*T。
3.引例：—片草地，10头牛30天吃完，20头牛10天吃完，问 30头牛几天
吃完？
答：题目没有提及效率不同，和“30 人”、“30 个采茶工”一样，默认每
头牛的效率为1，牛一边吃草，草一边在长，牛在消耗草、草也在增加，有增长、
有消耗；代公式→Y=（10-x）*30=（20-x）*10=（30-x）*T，先解前一半→2x=10
→x=5，代回任意式，如果代入“（30-x）*T”→（30-5）*T=150→25T=150→T=6。
4.真题常见形式：挖沙、排队、抽水等。
13【拓展】（2020 浙江）火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之
后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，
若开放3个窗口，需耗时 90分钟，若开放 5个窗口，则需耗时45分钟。问如果
开放6个窗口，需耗时多少分钟？
A.36 B.38
C.40 D.42
【解析】拓展.根据题意，出现排比句，而且是“排队”，一边检票→消耗，
一边乘客还在增加，牛吃草问题；原来的人数→原有草量，“若开放 3 个窗口，
需耗时 90 分钟，若开放 5 个窗口，则需耗时 45 分钟”→列方程串→Y=（3-x）
*90=（5-x）*45=（6-x）*T，（3-x）*90=（5-x）*45→x=1，代回→（6-x）*T=180
→5T=180→T=36，对应 A项。【选A】
【注意】
1.题型识别：人在增加，也在被消耗，有排比——牛吃草
2.用 Y=（N-X）*T列方程串。
【注意】工程问题：重点是前两个，注意区分。
1.给完工时间型：
（1）先赋总量（公倍数）。
（2）再算效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式子或方程。
142.给效率比例型：
（1）先赋效率（满足比例即可）。
（2）再算总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列式子或方程。
3.给具体单位型：设未知数，找等量关系列方程，解方程→考查熟练程度，
没有知识点。
第五节 经济利润问题
一、基础经济→方法破题
二、分段计费→套路题
三、函数最值→送分题
【注意】经济利润问题：高频，与钱有关，大家并不陌生，人对钱有天生的
敏感，可能计算数据算不明白，但数钱会数出来，做题时可以优先挑选出来，比
较容易算、得分。细化为以下三种。
1.基础经济（考查最多）：日常生活中的算账。
2.分段计费、函数最值：部分特殊题型会涉及。
基础经济的公式
I利润=售价-成本=赚-亏→列方程常用
Ⅱ利润率=利润/成本→与资料分析中的区分开
Ⅲ售价=成本*(1+利润率)→题干日常表述
IV 总利润=单个利润*数量→涉及到数量
V打折：打几折就是按照原价的百分之几十出售
【引例】点点购进 5本书，每本进价20 元，售价30元，读书节打 8折卖……
【注意】基础经济的公式：无需死记硬背，进行生活化理解即可。
1.利润=售价-成本=赚-亏→列方程常用。
（1）利润=售价-成本：如果给售价、成本两个数，直接做减法。想象自己
为做生意的人，比如卖书的商家。进货 5本书，进价为 20元/本，售价为 30元/
本，则利润=30-20=10 元。
15（2）利润=赚-亏：如果每人赠送 1 个成本为 5 元的笔记本，并且包邮，每
个订单要给快递3 元成本。一本书赚30-20-5-3=2元。
2.利润率=利润/成本：比如进价为 20 元/本，售价为 30 元/本，则利润率
=10/20=50%。数量关系中的经济利润是理想化状况，默认为成本的利润率，与资
料分析中的区分开，资料分析中的利润率的分母是收入，默认为收入的利润率。
虽然都是利润率，但二者的分母不同。为避免混淆，建议只记一个。
3.售价=成本*(1+利润率)→题干日常表述。比如以20%的利润率销售，则定
价=20*（1+20%）=24。
4.总利润=单个利润*数量→涉及到数量。如果一本书赚 10 元，卖了 5 本，
则一共赚了5*10=50。
5.打折：打几折就是按照原价的百分之几十出售。
例：点点购进 5本书，每本进价20元，售价 30元，读书节打 8 折卖……。
答：打8折→变为原来的0.8，而不是打掉8折，则打折后的售价为30*0.8=24
元。“打骨折”即“打 5折”→变为原来的一半。经济利润问题很简单，就是生
活中的算账问题，算明白账、不吃亏即可。
【例 1】（2023 联考）某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售
可获得利润 70 元，如果按定价打九五折出售可获得利润 100 元，这款小家电进
货价格所在区间是：
A.400～450元 B.450～500元
C.500～550元 D.550～600元
【解析】1.打 9 折→变成定价的 0.9 倍，可以赚 70 元；打 95 折时赚 100
元。设原来的定价（售价）为 x，则售价变化了 0.95x-0.9x=0.05x，对应利润变
化了 100-70=30，则 x=30/0.05→x=600，注意不要误选 D 项，问题问的是进价=
售价-利润，以打9 折的情况为例，售价为 600*0.9=540，所求=540-70=470，对
应B项。【选 B】
16【注意】思维生活化：同一件物品（进价不变时），售价的变化=利润的变
化。本题中，出现两个等量关系，虽然可以设售价为 x，成本为 y，而后通过列
方程组来解题，但速度较慢，不适合考场。建议选择最优解，以卖书为例，进价
20 元，售价为 30 元，赚 10 元，打 8 折为 24 元，此时赚 4 元。在进价 20 元不
变的情况下，售价变少 6元，利润减少6元。同一个物品如果进价不变，售价变
多少，利润就变多少，比如售价多 10 元，利润就多 10 元；售价少 10 元，利润
就少10 元。
【例 2】（2024 浙江考生回忆版）甲乙两店同时开展促销活动，甲店单件商
品的标价超过 50 元可以立减 20 元后再打 9 折，乙店单件商品的标价超过 50 元
可以打 8 折后再立减 10 元。现两家店都在销售的 3 种商品，相同商品在两店价
格相同，分别为 45 元、75 元和 85 元，某人准备购买其中两种商品各一件，最
少的花费在以下哪个范围之内？
A.90 元以下 B.90～93元
C.93～96元 D.96 元以上
【解析】2.题干围绕单件商品说了促销规则，注意细节。
（1）题意：甲的促销规则：先减钱，再打折；乙的促销规则：先打折，再
减钱。问“最少多少钱”，如果认为买最便宜的，比如 2 个 45 元的，则为 90，
但这不符合题干条件，题干要求两种商品各一件，要买不一样的东西。
（2）思路：现在有三种东西并且有甲、乙两家店，出现打折的情况，主体
较多，且涉及比较乱的关系。针对此类题干较长的题目，建议列表梳理题干条件，
注意是在脑海中思考，不用真的画出来。
17（3）解题：可能买价格 45、75、85的商品，为满足尽量便宜的要求，先买
45元的商品，甲、乙都要超过50，则都买45元的；再看75元的商品，甲：75-20=55，
55*0.9=55*（1-0.1）=55-5.5=49.5（错位相减）；乙：75*0.8=60，60-10=50；
85 元的商品无需计算，因为肯定比 75 元的贵，不满足条件。最终买 1 件 45 元
的商品+1 件75元的商品，则在甲店买便宜，45+49.5=94.5，对应C 项。【选C】
【注意】
1.错误思路：[（45+75）-20]*0.9，则掉入细节坑，题干要求单件商品，不
需要凑单。注意题干的关键词，比如其中、单件、至多、至少、谁比谁多或少、
谁与谁之和等。
2.好习惯：主体多、关系乱，列表梳理题意（不用真把表格画出来，脑子里
有表，规整填数据）。
基础经济解题方法
一、方程法：
题干给出价格、数量等具体值
设未知数，套公式列方程求解
二、赋值法：
18题干未给出价格、数量等具体值
往往赋进价（好算即可，如 10，100），利用公式直接计算
补充：当条件太多、关系太乱时，可列表格梳理
【注意】基础经济解题方法：
1.方程法：
（1）题干给出价格、数量等具体值。例 1、例 2 都给了钱数，题干出现了
具体的价格或数量（比如 1件商品10元、5元，最终赚了500元）。
（2）设未知数，套公式列方程求解。此时可以直接找等量关系，列方程求
解，部分题目的等量关系就是直接的公式，比如售价=成本*（1+利润率）这类。
2.赋值法：直接赋值（定义）。
（1）题干未给出价格、数量等具体值，比如例3、例4。
（2）往往赋进价（好算即可，如 10，100），利用公式直接计算。与钱有
关的包括成本、售价、利润，理论上三者都可以赋值，但建议赋成本，更好算，
成本是经济行为发生的初始状态，后续操作可以顺藤摸瓜。尽量赋好算的数，比
如整十、整百，如20、30、40、50，如果赋值为1，虽然能做，但可能涉及分数、
小数，计算容易出错。
3.补充：当条件太多、关系太乱时，可列表格梳理。脑中有表即可，无需真
的列出来。
【例 3】（2023 联考）某商品的利润率是 20%。如果进货价降低 20%，售价
保持不变，此时利润率是多少？
A.40% B.30%
C.60% D.50%
【解析】3.短题干，言语理解无困难，属于愿意做的题型。利润率=利润/
成本，进货价即成本。题干给出比例型数据，无具体数值（钱数）。此类题目为
给比例求比例的类型，赋一个数后顺藤摸瓜，算出其他数据。涉及进价、售价、
利润率、利润，建议赋成本，虽然赋售价也可以做对，但不好算。本题中，出现
百分数，为保证整数运算，赋原来的进价（成本）为 100元，进价降低 20%→变
为原来的80%，100*80%=80 元。利润率为 20%，售价=进价*（1+利润率），则原
19来的售价为100*（1+20%）=120元，现在的售价不变，也为 120元，则现在的利
润为120-80=40，则现在的利润率为 40/80=50%，对应D项。【选D】
【注意】题型识别：给比例，求比例，一个具体数据都没有——赋值法。利
润率=利润/成本，利润、成本均未知，于是赋值一个数。所有赋值类的题目，不
赋值也可以做出来，一题多解，赋值的本质是给一个数，最后可以约掉。假设成
本为A，最终A会被约掉。赋值计算不涉及未知数，把抽象的问题具体化，更好
理解，又方便又直接又快。
【例 4】（2023 浙江）某商品上月售价为进价的 1.4倍，销售 m件。本月该
商品进价下降20%，售价不变，销售利润为上月的 1.8倍。那么本月的销量为多
少件？
A.1.3m B.1.25m
C.1.2m D.1.15m
【解析】4.1.4 倍、1.8倍是比例型数据，选项带着 m，可以把 m直接当作 1。
销售量利润是总利润，即单利*数量。给了比例和具体值，总利润=单件利润*销
量，只有销量，且问的也是销量，在三量关系中只有 1个数已知，不知道具体钱
数，考虑赋值，与钱有关的进价（成本）、售价、利润三者均未知时，建议赋进
价，可以赋值为10、100等。
方法一：以赋值 100为例：上月的进价为 100元，本月的进价下降 20%→变
为原来的 80%，为 100*80%=80 元；售价为进价的 1.4 倍→上月、本月的售价
=100*1.4=140 元；上月的单利=140-100=40 元，本月的单利=140-80=60 元。上
月销量为 m，设所求的本月销量为 x，上月的总利润=40m，本月的总利润=60x。
20列方程：60*x=1.8*40*m→x=1.2m，优先约分，对应 C项。
方法二：以赋值 10为例：上月进价为 10，本月进价为 10*0.8=8，上月、本
月的售价为14，上月单利为 14-10=4，本月单利为 14-8=6，上月销量为 m，本月
销量为所求，根据等量关系列式：6*所求=1.8*4m，不着急算，先约分，所求
=0.3*4m=1.2m，对应 C 项。选项、题目都有 m，即 m 不重要，可直接理解为 1。
【选C】
【注意】总利润=单件利润*销量；没给具体价格——赋值法。
1.公式不用刻意背诵，可以生活化地理解，比如卖书，1本书赚 5元，卖 100
本，则赚5*100=500，经济利润问题就是算账。
2.进价未知且可以赋值时，优先赋进价。除非进价已知，比如题干给出进价
为5元，则不能赋进价，此时其他的钱也不能赋值，如果给了数量，可能需要赋
数量。
21二、分段计费
题型判定：生活中水电费、出租车计费、税费等，每段计费不同。
问：在不同收费标准下，一共需要的费用？
计算方法：
①画线段，找到分段点，分段计算
②汇总求和
【补例】某地出租车收费标准为：3公里内起步价 8元；超出 3公里的部分，
每公里2元。点点打车坐了 12公里，共花费多少钱？
【注意】分段计费：考查较少。避免抽象化理解，建议生活化地理解，想成
自己的钱，算账时会更精明一些，不希望自己吃亏。
1.题型判定：表述一般为生活中水电费、出租车计费、个人所得税费、稿费、
停车费等，每段计费不同。
2.问：在不同收费标准下，一共需要的费用？
3.计算方法：
（1）画线段，找到分段点，分段计算。比如某范围内、超过该范围后的钱
数不同。画一条直线，画出分段点，边审题边看收费标准边在线段上填数，分段
前、后分别计算出来，再加和求解。
（2）汇总求和。
4.例：某地出租车收费标准为：3 公里内起步价 8 元；超出 3 公里的部分，
每公里2元。点点打车坐了 12公里，共花费多少钱？
答：属于分段计费问题，3公里是分段点，之前为 8元，以 4公里为例，超
出3公里的部分是 1公里，即这 1公里按2 元/公里计费。分段点之前需要 8元，
分段点之后超出部分为 12-3=9公里，所求=8+9*2=26元。
22【例 1】（2020 事业单位）某商店实行打折销售，顾客消费在 100 元以内的
部分，按八折收费，超过 100元的部分按六折收费。某顾客在商场实际消费 155
元，如果没有实行打折销售，这位顾客需要支付多少元？
A.225 B.255
C.275 D.295
【解析】1.分段点是 100 元，100 元之内的部分打 8 折，超出部分打 6 折。
花费115 元，问原价。相当于凑 155，有两种方法，无优劣之分。
方法一：根据题干条件，正向凑。100元的部分是80，超出部分是155-80=75，
75这部分实际上是打6折之后的，则超出部分的价格=75/0.6=125，即原价为125。
100元以内部分的原价是100，超出100元部分的原价是125，所求=100+125=225，
对应A项。
方法二：代入，要居中代入，原价越多则花钱越多。本题从 B 项开始代入：
255=100+155，100 元以内是 80，超出部分按 155*0.6=155*（3/5）=31*3=93，
80+93＞155，太大了，因此选 A 项。如果算出来后发现太小了，再算 C、D 项。
这类题最多代入两次即可出结果。【选 A】
【例 2】（2023 联考）某智慧公共停车场的收费标准如下：停车不超过 15
分钟，不收费；超过 15分钟但不超过60分钟，按 1小时计，收费 5元；超过1
小时后，超过的部分按每 30 分钟 4 元收费（不足 30 分钟，按 30 分钟计）。若
23李先生支付停车费 17元，则他停车的时长可能为：
A.2 小时 B.2 小时15分钟
C.2 小时45分钟 D.3 小时
【解析】2.分段计费问题，分段点有两个。收费规则：15 分钟内免费，15
分钟～1 小时为 5 元，不用必须满 1 小时，停车 45 分钟、1 小时都按 5 元计费。
不足1小时也按 1 小时算。超过 1小时后，超出部分为 4元/0.5小时（半小时）。
需要凑17。
方法一：正面凑。花了 17，说明超过 1 小时，结合选项也可以看出。先收
了 5 元，超出部分的花费为 17-5=12，所对应的停车时间不是固定值，是范围，
因为不足 30 分钟也会按 30 分钟算，因此才问“可能”，需要凑出来一个范围，
12元最少可停车 1 小时多一点，最多可停0.5*3=1.5 小时，即2+～2.5小时，只
有B项符合。
方法二：代入 B 项：先计算 2 个小时的费用，5+8=13 元；多 15 分钟，收 4
元，13+4=17 元，符合条件，当选。【选 B】
三、函数最值
题型特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？
【引例】单价为 300元，可卖出 19件。若单价每提升 20元，销量会降低 1
24件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？
解题套路（两点式）：
1.设调整次数为 x，列式子，两个（ ）相乘
2.求出使两括号等于 0的两个x的值；
3.计算两个 x 的平均值，进而得到问题所求。
【注意】函数最值：考试时无需画图、求导，直接用两点式秒杀。重难点在
于题型识别。这类题型在生活中即薄利多销，比如卖 980，买的人多，如果卖 9800，
则买的人少，卖得贵了，销量就少了，此消彼长。
1.题型特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？
（1）注意销售额最大≠总利润最大，二者不是一回事。以卖书为例，如果
卖 9.9，可能卖 1 亿单，销售额很大，但实际上总利润为负，属于赔钱赚吆喝。
审题时要看清楚问的是什么，如果问总销售额，则用单价*数量；如果问总利润，
则用单件利润*数量。问题不同，列式不同。
（2）例：单价为 300 元，可卖出 19 件。若单价每提升 20 元，销量会降低
1件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？
答：若单价每提升 20元，销量会降低 1 件→此消彼长，破题点。问最大值，
属于函数最值问题。
（1）列式：销售总额=单价*数量，单价发生变化，简化列式，要求快，设
未知数时不要设提升多少钱，要设提升 x次，未知数设得好，方程更好解。列式：
（300+20x）*（19-x），如果把销售额视作 y，发现是二次函数，但不需要这么
25思考，不用找对称轴或者求导。
（2）求解：公考题目基本都是两个括号部分相乘的形式，让两个括号的部
分各自为0，求出x =-15，x=19，正好是二次函数的抛物线图像与 x 轴的两个交
1 2
点，二次函数的图像是对称的，找的是最高点，该点对应的是两个交点的正中间，
即二者的平均数，带着正负号计算，所求=（-15+19）/2=2，即变化了 2 次，此
时对应最高点，因此，所求定价=300+20*2=300+40=340。相当于借助初中二次函
数的图像总结出公考题的规律。
2.解题套路（两点式）：识别题型后无脑操作，1分钟即可解决这类题。
（1）设调整次数为 x（注意不要设x元），列式子，所求=两个（ ）相乘。
（2）求出使两括号等于 0的两个x的值（x、x）。
1 2
（3）无脑取平均数：计算两个x的平均值，x=（x+x）/2，进而得出所求。
1 2
问什么就解什么。
【例 1】（2022 联考）北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十
分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个 40元的“冰墩墩”，当售价定为 44
元时，每天可售出 300 个，售价每上涨 1 元，每天销量减少 10 个。现商家决定
提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为：
A.51 元 B.52 元
C.54 元 D.57 元
26【解析】1.特殊题型要注重题型识别。售价每上涨 1 元，每天销量减少 10
个→此消彼长，问利润最大，属于函数最值问题。无脑操作：变为两个（ ）相
乘，利润=单利*数量。原来的单利=44-40=4 元，设变化 x次，1次涨 1元，列式：
（4+x）*（300-10x），令两个括号各自为 0，解出 x=-4，x=30，求平均数：（-4+30）
1 2
/2=26/2=13，变化 13次，对应变化 13元，问售价，在售价的基础上变化，所求
=44+13=57，对应D 项。【选D】
【注意】题型识别：每贵 1 元，销量减少 10 个（此消彼长），问利润最大
——函数最值。
1.两个（ ）相乘。
2.解 x；x。
1 2
3.求 x平均数。
4.细节：不要先入为主用售价*数量，要看问题，若问总收入，总收入=单件
售价*数量；若问总利润，总利润=单件利润*数量。做题时看清楚问的是总收入
最大还是总利润最大，对应不同的列式。
【例 2】（2024 山东考生回忆版）某线上店铺将进货单价为 8元的商品按每
件 10 元出售，每天可销售 100 件。店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售
价提高 1 元，每天销售量就要减少 10 件，为保证每天至少获利 350 元，问该商
品售价应为多少？
A.不到 13元 B.13～15元之间
27C.15～17元之间 D.17 元以上
【解析】2.隐含条件是成本不变，为 8 元。每贵 1 元，销量减少 10 件→此
消彼长，虽然本题没有直接问最大值，但“至少获利 350”说明获利越大越好，
直接找利润最大值即可，因此本题属于函数最值问题。希望利润大，利润=单利*
销量，设提高 x 次，列式：（2+x）*（100-10x），令两个括号各自为 0，求出
x=-2，x=10，求平均数：（-2+10）/2=4，即变化 4 次时对应所求，无需验证，
1 2
因为如果最大值都不满足，则为错题。考试时默认是正确的题目。问的是售价，
在10的基础上变化，所求=10+4=14，对应 B项。【选B】
【注意】梳理思路：
1.区分利润变或售价变：如果成本不变，售价的变化=利润的变化（参考经
济利润部分的例1），无需区分，二者一起变。
2.识别：每贵 1 元，销量减少 10 件（此消彼长），希望利润大，先找利润
最大——函数最值。如果问“最小是多少”，则是赔钱的。本题问“至少获利
350”→利润≥350，则要多多益善，类似“至少考 80 分”，则肯定是考得越多
越好，81～85分均符合“至少考80分”，因此本质上找利润最大，利润最大的
情况下一定超过350。
3.之所以答案是 13～15的范围而非14 这个数值，原因是最高点（14）对应
一个数值，将该数值代回，对应利润为 6*60=360，即获利最大为360，由于图像
是对称的，有2个对应 350的x值，因此x 值呈现为一个范围。
284.本题要找利润，用单利*数量，在原来的基础上变化，数量在 100 的基础
上变化，利润在原来的 10-8 的基础上变化，售价在 10 的基础上变化。售价为
10时，利润=10-8=2，原始利润为2，在原始利润的基础上变化。
（1）假设售价提高 1 元，则利润提高 1 元，如果售价提高 x 次，则利润多
x，即为 2+x。相应地，销量原本为 100，变化 1 次，为 100-10，变化 x 次，则
为100-10x。本题比较特殊，提高的次数可以转化为提高的钱数（如果变化 1次
提高5元，则为 5x，因此在解题时要设次数）。
（2）本题中，求出来的 x=-2，x=4，二者的平均数为 4，也就是变化了 4
1 2
次，由于每次变化对应 1元，因此可理解为变化了 4次或4元，如果是 1次变化
对应2元，则要转化为钱数（8元），针对本题而言，在 10元的基础上变化了 4
元，所求=10+4=14，处于B项的范围之内。
5.考题也可能往小了变，比如每件卖 980，每降低 10 元则多卖 100 单，这
就是往便宜了变化。
29【注意】经济利润问题：生活化理解公式。
1.题目出现具体数据时，列式、列方程即可解决。如果无数据，则赋值做。
2.分段计费用生活情境来理解，找到分段点，分段求解，最后汇总求和。
3.函数最值也用生活化思维来理解，此消彼长即薄利多销，卖得越便宜，销
量越高，卖得越贵，销量越低，问最大值，用两点式来做。
4.区分牛吃草问题与函数最值问题：理解背后的逻辑，不要仅看字面的意思。
二者完全无关。
（1）牛吃草型问题：工作量有增长+有消耗，并且有排比（最突出的特征）。
（2）函数最值：薄利多销。
【课后练习 1】（2020 江苏）一项工程由甲、乙工程队单独完成，分别需
50 天和 80 天。若甲、乙工程队合作 20 天后，剩余工程量由乙、丙工程队合作
需12天完成，则丙工程队单独完成此项工程所需的时间是（ ）
A.40 天 B.45 天
C.50 天 D.60 天
【解析】练习 1.课上正确率为73%。分别需 50天和80天→给完工时间，无
脑三步走。（1）赋工作总量为 400（50、80 的公倍数）。（2）算效率：甲的效
率=400/50=8，乙的效率=400/80=5。（3）根据工作过程列式：20*（8+5）+12*
（5+丙）=400→丙=80/12=20/3，中间运算出现分数时，不要害怕，选项为整数，
大概率涉及约分操作，最后求的是时间，所求=400÷（20/3）=400*3/20=60，对
应D项。【选 D】
30【注意】本题不难，关键在于考心态，做行测题时，一半考知识，一半考策
略，一半考情商，一半考智商，要相信自己。
【课后练习 2】（2020 江苏）某商品的进货单价为 80 元，销售单价为 100
元，每天可售出 120 件。已知销售单价每降低 1 元，每天可多售出 20 件。若要
实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是（ ）
A.5 元 B.6 元
C.7 元 D.8 元
【解析】练习 2.课上正确率为89%。已知销售单价每降低 1元，每天可多售
出 20 件→此消彼长，薄利多销，问利润最大，属于函数最值问题，无脑操作。
（1）变为两个（ ）相乘的形式，看清楚是利润最大，用单利*数量，设变化 x
次，变化1次就变化 1元，变化 x次则变化 x元，列式：（20-x）*（120+20x）。
（2）令两个括号各自为 0，求解x=20，x=-6。（3）求平均数：（20-6）/2=7，
1 2
问降低的钱数，降低了 7 次，每次降低 1 元，则降低 7 元，对应 C 项。【选 C】
31【注意】江苏地区的资料分析比国考、联考难，但数量部分比国考、联考简
单，要对自己有信心。做题时，不要先入为主地用售价计算，要看问的是总收入
还是总利润，具体题目具体分析。
预习范围（P234～P239）
第六节：行程问题
第七节：几何问题
下节课 18：50 开始答疑
【注意】数学运算在行测五个模块中最难，竭尽全力做，如果比别人做得好，
可以甩开对手，虽然很烧脑、很累，但这说明正在走上坡路，要坚持下去。这几
天的课程很烧脑，但脑细胞越用越多，会出现更多好的数学脑细胞。
1.预习范围（P234～P239）。
（1）第六节：行程问题。
（2）第七节：几何问题。
2.下节课（下周一）18：50开始答疑。
32【答案汇总】
工程问题：给完工时间型 1-3：DDA；
给效率比例型 1-3：ACA；
给具体单位型：例：C；
经济利润问题：基础经济 1-4：BCDC；
分段计费 1-2：AB；
函数最值 1-2：DB
33遇见不一样的自己
Be your better self
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