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2024 年中考第三次模拟考试
4．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
数 学
A． B． C． D．
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
5．如图， 是 的直径， 是 的弦， 交 于点D，连接 、 ，若 ，
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
则 的度数为（ ）
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
A． B． C． D．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
6．估算 的结果（ ）
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 A．在7和8之间 B．在8和9之间
C．在9和10之间 D．在10和11之间
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
7．如图，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，将线段 绕点A按逆时针方向旋转得到线段 ，若
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
点C的坐标为 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
2．实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
8．欧几里德在《几何原本》中，记载了用图解法解方程 的方法，类似地可以用折纸的方法求方
3．如图是一款手推车的平面示意图，其中 ，点 在 上， 交 于点 ，
，则 的度数为（ ）
程 的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片 ，先折出 的中点E，再折出线
段 ，然后通过折叠使 落在线段 上，折出点B的新位置F，因而 ，类似地，在 上折出
点M使 ．下列线段中，其长度是方程 的一个根的是（ ）
A． B． C． D．12．2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统
作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超
3000亿次，将数据3000亿用科学记数法表示为 ．
13．春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季．游
戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】，就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风
纸鸢”的概率是 ．
9．如图，直线 与y轴、x轴分别交于点A，B，点C为双曲线 上一点， ，连接
交双曲线于点D，点D恰好是 的中点，则k的值是（ ）
14．如图，在 中， ，以B为圆心 为半径画弧，分别交 于点F，
E，再以C为圆心 为半径画弧，恰好交 边于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
A． B．2 C．14 D．
10．对称轴为直线 的抛物线 （ 为常数，且 ）如图所示，某同学得出了以下
结论：
① ，② ，③ ，④ ，⑤ （ 为任意实数）， 15．如图，在矩形 中， ， ，点M，N分别在边 上．沿着直线 折叠矩形
，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段 上（不与两端点重合），过点M作 于点
⑥当 时， 随 的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ）
H，连接 ．已知下列判断：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
A．3 B．4 C．5 D．6
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作 详解九章算法 中提出“杨辉三角” 如图 ，此图揭示了
11．分解因式： ．
为非负整数 展开式的项数及各项系数的有关规律．例如： ，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
(1)本次一共调查了______名学生，在扇形统计图中， 的值是______；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； (2)补全条形统计图；
(3)若该校共有 名学生，估计最喜爱 和 项目的学生一共有多少名？
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
(4)现有最喜爱 ， ， ， 活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请
； 用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱 和 项目的两位学生的概率．
20．（6分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪 为正方形，
则 的展开式共有 项，系数和为 ．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 ，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直
17．已知：如图△ABC（AB＞AC）．求作：△PAB，使得PA＝PB，且∠C＝∠APB．
线上，铅垂线 交 于点H.经测量，点A距地面 ，到树 的距离 ， .求树
的高度.
四、解答题（本大题共9小题，共68分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（6分）已知 ．
(1)化简P；
21．（6分）如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于点 ， ．
(2)当a满足不等式组 ，且a为整数时，求P的值．
19．（6分）某校准备组织开展四项项目式综合实践活动：“ ．家庭预算， ．城市交通与规划， ．购
物决策， ．饮食健康”．为了解学生最喜爱哪项活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能
选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题：
(1)求k的值；(2)直接写出不等式 的解集；
(3)直线 与y轴的交点为C，若P为x轴上的一点，当 的面积为3时，求点P的坐标．
22．（6分）消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底
改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之
发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平
移，在一次消防演练中，模拟建筑物 某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼 正前方的点O处， （1）数学课上，老师给出如下信息：
O到 的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度 为4米，喷出水的
如图1， ， 平分 ，且 ，垂足为 ，连接 并延长，交 于点 ．
路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以
①根据以上信息，通过观察，猜想，可以得到 与 的数量关系为：______；
所在的直线为y轴，以 所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，
②小亮同学从“ 平分 ”和“ ”这两个条件出发，想到了如下证明思路：如图2，延长
喷出水的路线的抛物线开口大小不变）
交 于点 ，构造出一对特殊位置的全等三角形，结论得以证明．
请你结合图2，按照小亮的思路写出证明过程．
【类比迁移】
（2）如图3，在 中， ， ， 平分 ，与 交于点 ，过点 作
于点 ，若 ，求 的值．
【拓展应用】
(1)求出水口在D点时抛物线的解析式:
（3）如图4，在 中， ， 平分 ，点 是 的中点，过点 作 于点 ，
(2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高 度为
76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米， 如图 交 于点 ，求证： ．
2，问此时水能否射进着火窗户 内？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的
(3)若火源的中心在距离窗口 水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的 最高
点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中 心位 左侧），与 轴交于点 ， ，顶点为 ，对称轴交 轴于点 ．
置？请说明理由.
23．（6分）如图，在 中， 为线段 的中点，延长 交 的延长线于点 ，连接 ，
．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
24．（10分）【问题初探】
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)如图2，点 为抛物线对称轴上一动点，当 在什么位置时 最小，求出 点的坐标，并求出此时的周长；
(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点 ，在对称轴右侧的抛物线上有一点 ，满足 ．
求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标．
26．（12分）如图，已知 ， ， ，斜边 ，将 绕点O顺时
针旋转 ，得到 ，连接 ．点M从点D出发，沿 方向匀速行动，速度为 ；同时，点N
从点O出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．连接 ，
， 交 于点P．设运动时间为 ，解答下列问题：
(1)当t为何值时， 平分 ？
(2)设四边形 的面积为 ，求S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P为线段 的中点？若存在，求出t的值；若不存在，请说
明理由．
