文档内容
难点与解题模型 10 平行线中的常见的四种“拐角”模型
题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）
题型二：“铅笔”模型
题型三：“鸡翅”模型
题型四：“骨折模型”
题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）
一、“猪蹄”模型
猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。
猪蹄模型（又名燕尾模型、M 字模型）
步骤总结
步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线
步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角
步骤三：推导出角的数量关系
模型结论：∠B＋∠D＝∠DEB．
二、锯齿模型
已知 图示 结论（性质） 证明方法
AB∥DE ∠B+∠E=∠C
遇拐点做平行
线（方法不唯
一）
AB∥DE ∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b 所有朝左角之和等于所有朝右角的和
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，直线 ，将一个含 角的直角三角尺 按图中
方式放置，点E在 上，边 、 分别交 于点H、K，若 ，则 等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行的性质可得 ，再根据四边形内角和为 可得 ，问
题随之得解．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行的性质以及四边形内角和为 ，掌握四边形内角和为 是解答本题的关
键．
【典例1-2】（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为
（ ）A．70° B．65° C．35° D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本
题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
【典例1-3】（2024•茌平区一模）如图， ， ，则 ， ， 的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．分别过点C、D作 的平行线，
即 ，根据平行线的性质得， ，由
，得 ，再由 ，即可得到 ．
【详解】如图，分别过点C、D作 的平行线，即 ，
根据平行线的性质得， ，
，
，
又 ，
，
即 ，
故选：A．
【典例1-4】（2024·河南南阳·模拟预测）传统文化如同一颗璀璨的明珠，熠熠生辉，为增强学生体质，同
时让学生感受中国传统文化，某校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同
学“抖空竹”时的一个瞬间，小红同学把它抽象成数学问题：如图②，已知 ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质求角度的方法是解题的关键．
如图，作 ，可得 ，所以 ，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C ．
【典例1-5】（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，
完成证明．
已知：如图，AB∥CD．
求证：∠AEC=∠A+∠C
方法二
方法一
证明：如图，延长AE，交CD于点
证明：如图，过点E作MN∥AB
F．
【答案】答案不唯一，见解析
【分析】利用平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可．
【详解】方法一
证明：如图，过点E作MN∥AB ，
∴∠A=∠AEM．
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠C=∠CEM．∵∠AEC=∠AEM+∠CEM，
∴∠AEC=∠A+∠C．
方法二证明：如图，延长AE，交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠AFC．
∵∠AEC=∠AFC+∠C，
∴∠AEC=∠A+∠C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2024·辽宁·模拟预测）汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面(如图)，明亮
的光束是由位于抛物线反射镜焦点 F 上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴 平行的方向射
出，若 ，则光线 与 形成的 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等得到
，即可得到 的度数.
【详解】解：由题意可知， ，
∴ ，
∴故选：C
【变式1-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图， ， ，若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C．72° D．108°
【答案】B
【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，作 得 ，进一步可得
，据此即可求解.
【详解】解：作 ,如图所示：
∴
∴
∴
∵ ，
∴
故选：B
【变式1-3】（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电
望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中 为竖直方向的
馈源（反射面），入射波 经过三次反射后沿 水平射出，且 ，已知入射波 与法线的夹
角 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，过点 作 ，可得 ，根据题意得到
，再由平行线的性质得到 ，得出答案，掌握平行线的性质是解
题的关键．
【详解】解：过点 作 ， 为法线，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为法线，
∴ ，
∵ 为法线， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．【变式1-4】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知 ，若 与 的夹角为 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质及判定，掌握平行线的性质及判定是解本题的关键．
过点 作 ，由 可得 ，进而可得出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 ，
，
，
， ，
，
，
．
故选：C
【变式1-5】（2024·江苏常州·一模）如图，直线 ，点A在直线a上，点C在直线b上， ，
若 ，则 ．【答案】46
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
过点B作射线 ，再根据 ，得出 ， ，再根据 即可求解．
【详解】解：过点B作射线 ，如图所示，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：46．
【变式1-6】问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得
∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， ∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、
∠β之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，M A ∥N A ，A −B −A −⋯−B −A 是一条折线段，依据此图所含信息，
1 n 1 1 2 n−1 n
把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析
(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β
(3)∠A +∠A +…+∠An=∠B +∠B +…+∠B
1 2 1 2 n−1
【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（3）问题拓展：分别过A ，A …，An 作直线∥A M，过B ，B ，…，Bn 作直线∥A M，根据平行线的判
2 3 -1 1 1 2 -1 1
定和性质即可求解．
【详解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．
（3）问题拓展：分别过A ，A …，An 作直线∥A M，过B ，B ，…，Bn 作直线∥A M，
2 3 -1 1 1 2 -1 1
由平行线的性质和角的和差关系得∠A +∠A +…+∠An=∠B +∠B +…+∠B ．
1 2 1 2 n−1
故答案为：∠A +∠A +…+∠An=∠B +∠B +…+∠B ．
1 2 1 2 n−1
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注
意分类思想的运用．题型二：“铅笔”模型
从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：
那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
模型结论：∠B+∠E+∠D=360°
【中考母题学方法】
【典例2-1】（崇川区校级三模）如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E=120°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【分析】过E作EF∥AB，求出AB∥EF∥CD，根据平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF
＝180°，求出∠A+∠AEC+∠C＝360°，代入求出即可．
【解答】解：
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，
即∠A+∠AEC+∠C＝360°，
∵∠A＝140°，∠AEC＝120°，∴∠C＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，同
旁内角互补．
【典例2-2】（2024春•启东市校级月考）如图，直线 a∥b，∠1＝28°，则∠3＝ 度，∠3+∠4+∠5＝
度．
【分析】过∠3的顶点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质，不难发现：∠3＝∠1+∠2，
∠3+∠4+∠5＝360°
【解答】解：如图所示：过∠3的顶点作c∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥c，
∴∠1＝∠6，∠7＝∠2，
又∠3＝∠6+∠7，
∴∠3＝∠1+∠2＝78°；
又∠4+∠6＝∠7+∠8＝180°
∴∠3+∠4+∠5＝360°．
【点评】注意此类题中常见的辅助线：构造已知直线的平行线．根据平行线的性质发现并证明：∠3＝
∠1+∠2；∠3+∠4+∠5＝360°．
【典例2-3】请在横线上填上合适的内容．
（1）如图（1）已知 // ，则 ．解：过点 作直线 // ．
∴ （ ）．（ ）
∵ // ， // ，
∴（ ）//（ ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）
∴ （ ）．（ ）．
∴ ．
∴ ．
（2）如图②，如果 // ，则 （ ）
【答案】（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；
（2）360°
【分析】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以
∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED；
（2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以
∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°．
【详解】解：（1）解：过点E作直线EF∥AB．
∴∠FEB=∠B．（ 两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．
∴∠FED=∠D（ 两直线平行，内错角相等）．
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．
∴∠B+∠D=∠BED．
故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；
（2）解：过点E作直线EF∥AB，如图．∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．
∴∠FED+∠D=180° （ 两直线平行，内错角相等）．
∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．
∴∠B+∠BED+∠D=360°．
故答案为：360°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键．
【典例2-4】如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（江苏模拟）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D＝120°，
则∠C的度数为（ ）
A．120° B．100° C．140° D．90°
【分析】先作辅助线CF∥AB，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠B+∠1＝180°，∠D+∠2＝180°；
故∠B+∠1+∠D+∠2＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°，故∠BCD＝360°﹣140°﹣120°＝100°．
故选：B．
【点评】注意此类题要作出辅助线，运用平行线的性质探求三个角的关系．
【变式2-2】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而
可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出
∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °；
问题迁移：
（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，
∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接
写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【答案】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠a−∠β，
理由见解析
【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC=110°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠a=∠DPE，
∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得
出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°−∠A=50°，∠CPE=180°−∠C=60°，
∴∠APC=50°+60°=110°，
故答案为：110；
（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α；
理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠a−∠β．
理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的
关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
【变式2-3】（1）如图1，l ∥l ，求∠A +∠A +∠A ＝______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3
（2）如图2，l ∥l ，求∠A +∠A +∠A +∠A ＝_____．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4
（3）如图3，l ∥l ，求∠A +∠A +∠A +∠A +∠A ＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4 5
（4）如图4，l ∥l ，求∠A +∠A +…+∠A ＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 n
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 °
【分析】（1）过点A 作A B∥l ，根据平行线的性质，即可求解；
2 2 1（2）过点A 作A B∥l ，过点A 作A C∥l ，根据平行线的性质，即可求解；
2 2 1 3 3 1
（3）根据平行线的性质，即可求解；
（4）根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：（1）过点A 作A B∥l ，
2 2 1
∵l ∥l ，
1 2
∴A B∥l ∥l ，
2 1 2
∴∠A +∠A A B=180°，∠A +∠A A B=180°，
1 1 2 3 3 2
∴∠A +∠A A A +∠A ＝∠A +∠A A B+∠A +∠A A B=180°+180°=360°，
1 1 2 3 3 1 1 2 3 3 2
故答案是：360°；
（2）过点A 作A B∥l ，过点A 作A C∥l ，
2 2 1 3 3 1
∵l ∥l ，
1 2
∴A C∥A B∥l ∥l ，
3 2 1 2
∴∠A +∠A A B=180°，∠A +∠A A B=180°，∠BA A +∠CA A =180°，
1 1 2 4 4 3 2 3 3 2
∴∠A +∠A1A A +∠A A A +∠A ＝∠A +∠A A B+∠A +∠A A B+∠BA A3+∠CA A
1 2 3 2 3 4 4 1 1 2 4 4 3 2 3 2
=180°+180°+180°=540°，
故答案是：540°；
（3）同理可得：∠A +∠A +∠A +∠A +∠A ＝180°+180°+180°+180°=720°，
1 2 3 4 5
故答案是：720°；
（4）同理可得：∠A +∠A +…+∠A ＝（n-1）180 °，
1 2 n
故答案是：（n-1）180 °．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键．题型三：“鸡翅”模型
已知 图示 结论（性质）
AB∥DE ∠1=∠2+∠3
E
AB∥DE
1 2 ∠1+∠3-∠2=180°
A
B
3
D
C
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明
代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民
间流行的历史至少在 年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：
， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，延长 交 于点 ，先利用平行线的性质可得 ，
然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解
题的关键．
【详解】解：延长 交 于点 ，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
故选： ．
【典例3-2】AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的
平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A ∠C，证明详见解析；（3）
55°． −
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进
一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC
＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出
∠PEG＝ ∠FEG，∠GEH＝ ∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案．
【详解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝ ∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝ ∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH
＝ ∠FEG− ∠BEG
＝ ∠BEF
＝55°．
【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关
键.
【典例3-3】（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：
如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?
小明认为∠D−∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面
的作图与填空：
解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M，使∠DAM=∠D（只保留作图痕迹）．
∵∠DAM=∠D，
∴①_____________
∵∠D−∠DAB=20°
∴∠BAM=②_________°，
∵∠B=160°，
∴∠B+∠BAM=③__________°，∴④_____________
∴BC∥DE．
所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE．
【答案】①DE∥AM，②20，③180，④BC∥AM
【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可．
【详解】解：如图，通过尺规作图得：∠DAM=∠D，
∵∠DAM=∠D，
∴①DE∥AM，
∵∠D−∠DAB=20°，
∴∠BAM=②20°，
∵∠B=160°，
∴∠B+∠BAM=③180°，
∴④BC∥AM，
∴BC∥DE．
所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE．
故答案为：①DE∥AM，②20，③180，④BC∥AM．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的
熟练掌握是解题关键．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】如图，若 ，则∠1+∠3-∠2的度数为
【答案】180°
【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据 可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．
【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：
，
∠1=∠EFD，
∠2+∠EFC=∠3，
，
，
；
故答案为180°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是
解题的关键．
【变式3-2】问题探究：
如下面四个图形中， AB CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平
行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝ ； 图3：∠1＝∠2+∠3； 图4：∠1+∠3＝
∠2；(2)见解析；(3)
【分析】(1) 图1：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内
错角相等，即可求得答案；
图2：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，
即可求得答案；
图3：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；
图4：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．
（2）选图1，过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内错角相等，
即可求得答案；
（3）利用图1结论进行求解
【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；
图2：∠1+∠2+∠3＝
图3：∠1＝∠2+∠3；
图4：∠1+∠3＝∠2；
(2)选择图1，
如图所示：过点P作EP//AB∵AB CD，EP AB
∴AB EP CD
∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC
又∵∠3＝∠APE+∠EPC
∴∠1+∠2＝∠3；
(3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，
又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，
∴∠BOC=57°+44°＝101°
【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直
线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．
【变式3-3】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+ ∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相
等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先证明∠NOD= ∠PAB，∠ODN= ∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+ ∠PAB=∠APD，即∠PAN+ ∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA= ∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD= ∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN= ∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°- (∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°- (∠PAB+∠PDC)
=180°- (180°+∠APD)
=180°- (180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想
的应用．题型四：“骨折模型”
模型结论：∠E=∠B-∠D
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图， ， ， ．则 ．
【答案】66
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得
，根据三角形的外角的性质可得 ，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【典例4-2】（2023·四川资阳·中考真题）如图， ， 交 于点F， 则
．【答案】 / 度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解
题的关键．先根据两直线平行，同位角相等得出 ，再根据三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和得到 ，即可求出 的度数．
【详解】解：
是 的外角，
故答案为：
【典例4-3】①如图1，AB CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB CD，则∠E＝∠A＋∠C；③如
图3，AB CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，AB CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是
（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【分析】①过点E作直线 ，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线 ，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线 ，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线 ，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线 ，∵ ，∴ ，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线 ，
∵ ，
∴ ，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线 ，
∵ ，∴ ，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线 ，∵ ，∴ ，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线 ．若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角性质，平行的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据
可得， ，根据三角形外角性质结合 可得 ，即可
求得 的度数．
【详解】解：∵ ，
．
又∵ ， ，
，
．
故选：C．
【变式4-2】（2024·河南漯河·二模）如图，直线 ， ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出 ，由三角形外
角的性质即可求出 的度数．由平行线的性质推出 ，由三角形外角的性质得到
．
【详解】解：如图，
，
，
，
．
故选：C
【变式4-3】 ①如图1， ，则 ；②如图2， ，则 ；③
如图3， ，则 ；④如图4，直线 EF，点 在直线 上，则
．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B
【分析】①过点E作直线EF AB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣
∠A；
④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图1，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故①错误；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正确；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故③错误；④如图4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故④正确；
综上结论正确的个数为2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线
是解答此题的关键．
