文档内容
专题11 二次函数中的胡不归
1．如图1所示，直线 与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B
的二次函数 的图象上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求
取得最大值时点P的坐标；
(3)如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上
一点，且 ，直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD＋∠ABH＝45°，连接
BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2) ，
(3)(-2，-1)
【分析】（1）先根据一次函数关系式，求出点A、B的坐标，把A、B、C三点的坐标代入
，求出a、b、c的值即可；
（2）过点P作PD⊥y轴于点D，根据已知条件证明 ，因此 ，设，则P点坐标为： ，用m表示出 ，得出当
时， 有最大值，即可求出点P的坐标；
（3）过点C作CK⊥x轴于点K，MN⊥AB于点N，根据已知条件说明 ，结合
∠CFD＋∠ABH＝45°，得出 ，根据∠GDF＝∠HBO，得出 ，即可
得出BM平分∠ABO，从而可以证明MN=OM，设MN=OM=n，则AM=4-n，根据三角函数，列出关
于n的方程，解方程得出n的值，求出直线BM的解析式，根据CG、BM的关系式即可求出H的
坐标．
（1）
解：把 代入 得： ，
∴点B的坐标为：（0，3），
把 代入 得： ，解得： ，
∴点A的坐标为：（-4，0），
把A（-4，0），B（0，3），C（1，2）代入 得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）
过点P作PD⊥y轴于点D，如图所示：
∵点A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∵∠AOB=90°，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，则P点坐标为： ，
∴当 时， 有最大值，
此时点P的坐标为： ，
即 取得最大值时点P的坐标为 ．
（3）
过点C作CK⊥x轴于点K，MN⊥AB于点N，如图所示：设BC的关系式为 ，把点B（0，3），C（1，2）代入得：
，解得： ，
∴BC的关系式为 ，
设CG的关系式为 ，把点C（1，2），G（-1，0）代入得：
，解得： ，
∴CG的关系式为 ，
把 代入 得： ，解得： ，
∴点D的坐标为：（3，0），
∴OD=3，
∴OB=OD，
∴ ，
，
∴ = ，
∵ ，
∴
， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ = ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵∠CFD＋∠ABH＝45°，
∴ ，∵∠GDF＝∠HBO，
∴ ，
∴BM平分∠ABO，
∵MN⊥AB，MO⊥BO，
∴MN=OM，
设MN=OM=n，则AM=4-n，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴点M的坐标为： ，
设直线BM的关系式为 ，把点B（0，3），M 代入得：
，解得： ，
∴直线BM的关系式为 ，
联立 ，解得： ，
∴点H的坐标为：（-2，-1）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，角平分线的性质，求二次函数解析式和一次函数
解析式，等腰直角三角形的性质，三角函数，作出辅助线，得出 是解决第
（2）小问的关键，证明BM为∠ABO的平分线是解决第（3）小问的关键．
2．如图1．抛物线 与 轴交于A、 两点．交 轴于点 ，点 ，连接
．
(1)求抛物线的解析式；
(2) 为抛物线上一点，点 为 轴上一点，点 在 轴上，求 的最小值；
(3)如图2．点 是抛物线上一点， 为第四象限抛物线上一点，延长 交 轴于点 ，连接
，点 ，直线 与 交于点 ，点 在线段 上，且 ，已知
，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)10
(3)（3，-1）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点P的坐标为（-4， ），过点M作MH⊥BC于H，利用勾股定理求出 ，
根据 ，得到 ，则可以推出当P、Q、M、H四点
共线且PH⊥BC时， 有最小值，求出直线BC的解析式为，设点H的坐标为（m， ），则 ，
， ，得到
，由此求解即可；
（3）先求出点D的坐标为（-2，4），过点D作DN⊥x轴于N，则DN=4，NG=4，则∠DGN=45°，
从而一处∠BCF=∠FCO，得到CF是∠BOC的角平分线，设CF与x轴的交点为I，过点I作
IL⊥BC于L，则IO=IL，CL=CO=8，得到BL=2，设IO=IL=x，则BI=6-x，由 ，求得点
I的坐标为（ ，0），再根据F是两条直线的交点求解即可．
（1）
解：∵．抛物线 与 轴交于A、 两点．交 轴于点 ，点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为
（2）
解：当 时， ，
∴点P的坐标为（-4， ），
过点M作MH⊥BC于H，
∵B（6，0），C（0，8），
∴OC=8，OB=6，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当P、Q、M、H四点共线且PH⊥BC时， 有最小值，
设直线BC的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线BC的解析式为 ，
设点H的坐标为（m， ），
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴PH=10，
∴ 的最小值为10；（3）
解：当 时， ，
∴点D的坐标为（-2，4），
过点D作DN⊥x轴于N，则DN=4，NG=4，
∴∠DGN=45°，
∴∠BES+∠DSE=45°，
∵∠DSE+∠BCF=45°，
∴∠BES=∠BCF，
又∵∠BES=∠FCO，
∴∠BCF=∠FCO，
∴CF是∠BOC的角平分线，
设CF与x轴的交点为I，过点I作IL⊥BC于L，则IO=IL，
又∵CI=CI，
∴Rt△COI≌Rt△CLI（HL），
∴CL=CO=8，
∴BL=2，
设IO=IL=x，则BI=6-x，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴点I的坐标为（ ，0），设直线CF的解析式为 ，直线DG的解析式为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴直线CF的解析式为 ，直线DG的解析式为 ，
联立 ，
解得 ，
∴点F的坐标为（3，-1）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，勾
股定理，两点距离公式，角平分线的性质等等，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键．
3．如图1，抛物线 （ ）与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，在线段
上有一动点 （不与 ， 重合），过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交抛物线于点 ．
（1）分别求出抛物线和直线 的函数表达式；
（2）连接 、 ，求 面积的最大值，并求出此时点 的坐标；
（3）如图2，点 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角为 （ ），
连接 ， ，求 的最小值．【答案】（1）抛物线 ，直线 解析式为 ；（2） ；（3）
【分析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由S=S +S = ×PN×OA= × =- x2+6x，即可求解；
PNA PNB
△ △
(3)在y轴上取一点M使得0M′= ，构造相似三角形，可以证明AM'就是E'A+ E'B的最小值 .
【详解】解：（1）∵抛物线 （ ）与 轴交于点 与 轴交于点 ，
则有 ，
解得 ，
∴抛物线 ，
令 ，得到 ，
解得： 或 ，
∴ ， ，
设直线 解析式为 ，则 ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ；
（2）如图1中，设 ，则点 ，
则设 面积为 ，
则 ，
∵ ，故 有最大值，当 时， 的最大值为6，此时 ；
（3）如图，在 轴上取一点 使得 ，连接 ，在 上取一点 使得
OE′=OE．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此时 最小（两点间线段最短， ， 、 共线时），
最小值 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等
知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM'就是E'A+ E'B的最小值，属于中考压轴题.
4．如图，抛物线y=ax2－2ax+c与x轴分别交于点A、B(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，连
接BC，点( ， a－3)在抛物线上．
（1）求c的值；
（2）已知点D与C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E，若BD=DE，①求抛物线所对
应的函数表达式 ；②过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，以 的长为半
径作⊙C，点T为⊙C上的一个动点，求 TB+TF的最小值．
【答案】（1） ；（2）①抛物线的解析式为 ；②【分析】（1）将 代入 中即可求得c的值；
（2）①根据题意，设点 ，则点 ，将两点坐标代入 中即可求得a
的值，进而即可求得函数解析式；
②根据题意，令y=0求出 ，再由 及勾股定理求得 ，接着由
得到 ，再根据当点F，T，G三点共线时， 的值最小，最小
值为线段 的长进而即可求得最小值．
【详解】解：（1）∵点 在抛物线上
；
（2）①如图，由题意，得点
点 与点 关于原点 对称
点
设点 ，则点
将 ， 代入抛物线
得
解得
抛物线的解析式为 ；②∵抛物线
抛物线的对称轴为直线
令 ，则
解得 或
如图，设直线 与 轴的交点为 ，则
，
又
在 中， ， ，由勾股定理得
在 上截取， ，取
，又
，即
点 为定点
当点F，T，G三点共线时， 的值最小，最小值为线段 的长
在 中， ， ，由勾股定理得： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数及圆的几何综合，熟练掌握函数解析式的求解方法，三角形全
等及相似的性质与判定，几何最值问题的求解方法等相关内容是解决本题的关键．
5．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B
两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣ x+ 抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标
为﹣5．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）该二次函数图象上有一点P（x，y）使得S ＝S ，求点P的坐标；
BCD ABP
（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接△AF，求△2AF+DF的最小值．【答案】（1）y＝ x2﹣ x﹣ ；（2）( ， )或( ， )；（3）
【分析】（1）求出点D的坐标，利用待定系数法求出a的值即可．
（2）如图1中，设直线BD交y轴于J，则J（0， ）．连接CD，BC．由S ＝10 ，推出
PAB
△
×6×|y |＝10，推出y ＝ ，再利用待定系数法构建方程求出点P的坐标即可．
P P
（3）如图2中，过点D作DM平行于x轴，首先证明∠BDM＝∠DBA＝30°，过F作FJ⊥DM于J，
则有sin30°＝ ，推出HF＝ ，推出2AF+DF＝2（AF+ ）＝2（AF+HF），当A、
F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值．
【详解】解：（1）抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y＝ ，
当x＝﹣5时，y＝
∴D（﹣5， ），
∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）上，
∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝ ，∴a＝ ．
∴抛物线的函数表达式为：y＝ ．
（2）如图1中，设直线BD交y轴于J，则J（0， ）．连接CD，BC．
∵S ＝
BDC
△
∴S ＝ ，
PAB
△
∴ ×6×|y |＝
P
y ＝ ，
P
当y＝ 时， ，
解得x＝ ，
∴P 或 ，
当
方程无解，∴满足条件的点P的坐标为 或 ．
（3）如图2中，过点D作DM平行于x轴，作FH⊥DM于H，
∵D ，B（4，0），
∴tan∠DBA＝ ，
∴∠DBA＝30°
∴∠BDM＝∠DBA＝30°，过F作FJ⊥DM于J，
则有sin30°＝ ，
∴ ，
∴2AF+DF＝2（AF+ ）＝2（AF+HF），当A、F、H三点共线时，
即AH⊥DM时，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值 ．
【点睛】本题为二次函数综合题，运算量大，综合性强，（1）（2）步按照题目要求逐步解题即
可，第三步解题关键是要根据一次函数解析式得到∠DBA＝30°．
6．如图，已知二次函数 的图象交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，其中
.
（1）求点 的坐标，并用含 的式子表示 ；（2）连接 ， ，当 为锐角时，求 的取值范围；
（3）若 为 轴上一个动点，连接 ，当点 的坐标为 时，直接写出
的最小值．
【答案】（1） 的坐标为 ； ；（2） ；（3）
【分析】（1）由函数解析式可知对称轴为直线 ，又因为A、B两点是抛物线与x轴的交点，
两点关于对称轴对称，可得点 的坐标为 ，将A点坐标代入函数解析式可得k的表达式.
（2）当 时， ，利用相似三角形的性质求得 ，由（1）得
，即 ，所以当 为锐角时 .
（3）在 中， ，可得 ，作 ，垂足为点 ，
则 ， ，即 的最小值为点 到 的距离，求得AH
的值即可.
【详解】解：（1） 的图象的对称轴为直线 ，
又该函数图象过点 .
∴由对称性可知点 的坐标为 .
把 ， 代入，得 ，故 .（2）当 时， ，
于是 ，
，即 ，如图1，
∴由（1）得 ，即 .
的取值范围为 .
（3） .
解：在 中， ,
.
作 ，垂足为点 ，则 ，
，
即 的最小值为点 到 的距离 ，如图2，
.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解直角三角形和相似
三角形的判定和性质，综合性较强.
7．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣ ），与x
轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和 的值．
（3）点F （0，y）是y轴上一动点，当y为何值时， FC+BF的值最小．并求出这个最小值．
【答案】（1）y＝ x2﹣ x﹣2；（2）点E（﹣ ，﹣ ）， ＝ ；（3）﹣ ， ．
【分析】（1）将点C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）当 AOC∽△AEB时， ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，求出yE＝﹣ ，由 AOC∽△AEB
△ △
得： ＝ ＝ ，即可求解；
（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：（1）由题可列方程组： ，
解得：
∴抛物线解析式为：y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）∵抛物线y＝ x2﹣ x﹣2的图象与x轴交于A、B两点，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴AO＝1，BO＝3，
∴∠AOC＝90°，AC＝ ，AB＝4，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；
当 AOC∽△AEB时
△
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，∵S AOC＝1，
△
∴S AEB＝ ，
△
∴ AB×|yE|＝ ，AB＝4，则yE＝﹣ ，
则点E（﹣ ，﹣ ）；
由 AOC∽△AEB得： ＝ ＝ ，
△
∴ ＝ ；
（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，
则FG＝CFsin∠FCG＝ CF，
∴ CF+BF＝GF+BF≥BE，
当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，
由（2）可知∠ABE＝∠ACO
∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4× ＝ ，
|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3× ＝ ，
∴当y＝﹣ 时，即点F（0，﹣ ）， CF+BF有最小值为 .
【点睛】此题重点考查学生对抛物线的图象和性质的实际应用，掌握抛物线的图象性质和解析式的求解方法是解题的关键.
8．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），
C（0，-3）.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P为线段BC上一点，过点P作 轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求
点P的坐标；
（3）若M（m，0）是 轴上一个动点，请求出CM+ MB的最小值以及此时点M的坐标.
【答案】（1） ；（2）P（ ， ），面积最大为 ；（3）CM+ MB最小值为
，M（ ，0）
【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC
的解析式，设P（a，a-3），得出PD的长，列出S 的表达式，化简成顶点式，即可求解；
BDC
△
（3）取G点坐标为（0， ），过M点作MB′⊥BG，用B′M代替 BM，即可得出最小值的情况，
再将直线BG、直线B′C的解析式求出，求得M点坐标和∠CGB的度数，再根据∠CGB的度数利用
三角函数得出最小值B′C的值.
【详解】解：（1）∵抛物线 经过点A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-
3），
代入表达式，解得a= 1，b=-2，c=-3，
∴故该抛物线解析式为： .（2）令 ，
∴x =-1，x =3，
1 2
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，将B、C代入得：k=,1，b′=-3，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设P（a，a-3），则D（a，a2-2a-3），
∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）= -a2+3a
S =S +S
BDC PDC PDB
△ △ △
= PD×3
= ，
∴当a= 时，△BDC的面积最大，且为为 ，此时P（ ， ）；
（3）如图，取G点坐标为（0， ），连接BG，
过M点作MB′⊥BG，∴B′M＝ BM，
当C、M、B′在同一条直线上时，CM+ MB最小.
可求得直线BG解析式为： ，
∵B′C⊥BG
故直线B′C解析式为为 ，
令y=0，则x= ，
∴B′C与x轴交点为（ ，0）
∵OG= ，OB=3，
∴∠CGB=60°，∴B′C= CGsin∠CGB= = ，
综上所述：CM+ MB最小值为 ，此时M（ ，0）.
【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式
的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、
分类讨论思想与方程思想的应用．
