高二开学摸底考试卷（辽宁专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．若集合A={1,2,3}，B={(x,y)|x+ y−4>0,x,y∈A}，则集合B的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先用列举法求出集合B，在根据真子集的公式2n−1求解.
【详解】由题意可知B={(2,3),(3,2),(3,3)}，所以集合B的真子集个数为23−1=7个.
故选：C
2．函数f (x)=√x(1−x)的最大值为（ ）
1 1 √2
A． B． C． D．1
4 2 2
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可求解.
x+1−x 1
【详解】由于0≤x≤1，所以f (x)=√x(1−x)≤ = ，
2 2
1 1
当且仅当x=1−x，即x= 时等号成立，故最大值为 ，
2 2
故选：B
3．已知函数f (x)对任意x∈R满足f (1−x)=f (1+x)，f (x+2)=−f (x)，且f(0)=0，则f (26)等于
（ ）
A．1 B．0 C．2 D．−1
【答案】B
【分析】首先分析函数的周期，再利用对称性求值.
【详解】f (x+4)=−f (x+2)=f (x)，所以函数f (x)的周期为4，
由f (1−x)=f (1+x)，知f (0)=f (2)，则f (26)=f (4×6+2)=f (2)=f (0)=0.
故选：B
4．把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是θ ∘C，空气的温度是θ ∘C，则tmin后液体A
1 0
的温度θ∘C可由公式θ=θ +(θ −θ )e−0.3t 求得．把温度是62∘C的液体A放在15∘C的空气中冷却，液体
0 1 0
A的温度冷却到51∘C和27∘C所用时间分别为t min，t min，则t −t 的值约为（ ）
1 2 2 1
（参考数据ln3≈1.10）
A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7
【答案】B
【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可.
【详解】由已知51=15+(62−15)e−0.3t 1，27=15+(62−15)e−0.3t 2，
10 36 10 12
所以t =− ln ，t =− ln ，
1 3 47 2 3 47
10 12 10 36 10
所以t −t =− ln + ln = ln3≈3.7.
2 1 3 47 3 47 3
故选：B.
5．下列命题：
①若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b或⃗a=−⃗b ②⃗a=⃗b的充要条件是|⃗a|=|⃗b|且⃗a//⃗b
③若⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c； ④起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可得答案
【详解】对于①，若|⃗a|=|⃗b|，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误；
对于②，当⃗a=−⃗b时也满足|⃗a|=|⃗b|且⃗a//⃗b，故错误；
对于③，当⃗b=0⃗时，满足⃗a//⃗b,⃗b//⃗c，但⃗a//⃗c不一定成立；
对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误.
故真命题的个数是0个.
故选：A
(1 2π ) 1
6．若方程cos x− = 在区间(0,m)上有5个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
2 3 2
(22π ] (10π ] (23π ] (26π ]
A． ,9π B． ,10π C． ,9π D． ,10π
3 3 4 3
【答案】D
1 2π ( 2π 1 2π)
【分析】令t= x− ∈ − , m− ，把方程的根转化成两个图象的交点问题，确定出
2 3 3 2 31 2π
m− 的范围，求解即可．
2 3
【详解】解：∵x∈(0,m)，
1 2π ( 2π 1 2π)
∴ x− ∈ − , m− ，
2 3 3 2 3
1 2π
令t= x− ，
2 3
1 ( 2π 1 2π)
要使cost= 在 − , m− 有5个不相等的实数根，
2 3 2 3
11π 1 2π 13π
∴ < m− ≤ ，
3 2 3 3
26π
解得：
<m≤10π，
3
故选：D．
7．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即A,B两点间的距离，现
在珊瑚群岛上取两点C,D，测得CD=80，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，
则A,B两点间的距离为（ ）
A．80 B．80√3 C．160 D．80√5
【答案】D
【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可
得答案.
【详解】因为∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，
所以∠ADC=150°，∠DAC=∠DCA=15°，
所以AD=CD=80，
又因为∠ACB=120°，
所以∠BCD=135°,∠CBD=30°，
√2
80×
BD CD 2
在△BCD中，由正弦定理得 = ，所以BD= =80√2，
sin∠BCD sin∠CBD 1
2
在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcos∠ADB=802+(80√2) 2 −2×80×80√2× ( − √2) =6400×5，
2
所以AB=80√5.
故选：D.
【点睛】思路点睛；解三角形应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
14
8．已知正四棱台的体积为 ，上、下底面边长分别为√2,2√2，其顶点都在同一球面上，则该球的表
3
面积为（ ）
A．20π B．25π C．36π D．50π
【答案】A
【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径.
14
【详解】在正四棱台ABCD−A B C D 中，AB=2√2，A B =√2，体积为 ，
1 1 1 1 1 1 3
14 1
故 = (2+8+√2×8)h⇒h=1
3 3
则BD=√ (2√2) 2+(2√2) 2=4，B D =√(√2) 2+(√2) 2=2，
1 1
连接BD、AC相交于点E，B D 、A C 相交于点F，
1 1 1 1
设外接球的球心为O，若O在台体外，
设O到底面ABCD的距离为h，
则半径为R=√EB2+h2=√B F2+(1+h) 2，
1
即√4+h2=√1+(1+h) 2，解得h=1，
若O在台体内，O到底面ABCD的距离为h，
则半径为R=√EB2+h2=√B F2+(1−h) 2，
1即√4+h2=√1+(1−h) 2，解得h=−1，舍去，
综上所述，h=1，故R=√5，所以4πR2=20π.
故选：A.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知随机事件A，B的概率都大于0，A表示事件A的对立事件，则（ ）
A．当P(AB)=P(A)⋅P(B)时，A,B相互独立
B．当A⊆B时，P(A)≥P(B)
C．当P(AB)>0时，P(AB)<P(B)
D．当P(A)+P(B)=1时，B=A
【答案】AC
【分析】根据相互独立事件的定义即可判断A；借助韦恩图可以分析即可判断BC；根据对立事件的定
义即可判断D.
【详解】对于A，因为P(AB)=P(A)⋅P(B)，
所以A,B相互独立，所以A,B相互独立，故A正确；
对于B，如图，小圆圈表示A的对立事件，大圆圈表示事件B，U=A∪A，
无法判断P(A)与P(B)的大小，故B错误；
对于C，根据题意，得到如图所示，阴影部分代表事件AB，
由图可知，P(AB)<P(B)，故C正确；
对于D，根据对立事件的定义，P(A)+P(A)=1，又P(A)+P(B)=1，所以P(B)=P(A)，概率相等，不一定事件相等，故D错误；
故选：AC.
2 ( 2 2 ) 1 π
10．已知函数f (x)=cos x √3sin x−cos x + 的图象向左平移 个单位后得到g(x)的图象，
3 3 3 2 4
则下列结论正确的是（ ）
(4 2π )
A．g(x)=cos x+
3 3
π
B．g(x)的图象关于x= 对称
4
π
( )
C．g(x)的图象关于 − ,0 对称
8
π π
( )
D．g(x)在 − , 上单调递增
2 2
【答案】BC
4 π
【分析】对于A，根据平移可得g(x)=sin( x+ )，再根据诱导公式求解即可；对于BC，代入表
3 6
达式求解函数值即可；对于D，利用整体法即可求解.
2 2 2 1 √3 4 1 4 4 π
【详解】由题意，f(x)=√3sin xcos x−cos2 x+ = sin x− cos x=sin( x− )，
3 3 3 2 2 3 2 3 3 6
对于A，g(x)=sin
[4
( x+
π
) −
π]
=sin
(4
x+
π)
=sin
[(4
x+
2π)
−
π]
=−cos
(4
x+
2π)
3 4 6 3 6 3 3 2 3 3
，故A错误；
π 4 π π π
对于B，由g( )=sin( × + )=sin =1，故B正确；
4 3 4 6 2
对于C，由g ( −
π
)=sin
[4
× ( −
π
)+
π]
=sin0=0，故C正确；
8 3 8 6
π 4 π π
对于D，由2kπ− ≤ x+ ≤2kπ+ ,k∈Z，
2 3 6 2
3kπ π 3kπ π
解得 − ≤x≤ + ,k∈Z，
2 2 2 4
[ π π]
当k=0时，g(x)的单调递增区间为 − , （不能再扩大），故D错误.
2 4
故选：BC.
A P
11．一块正方体形木料如图所示，棱长为√3，点P在线段A C 上，且 1 =√3−1，过点P将木料锯
1 1 PC
1
开，使得截面过BC，则（ ）A．PC⊥BD
B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C．截面的面积为2√3
√3π
D．以A为球心，AB为半径的球面与截面的交线长为
2
【答案】ACD
【分析】利用线面垂直的判定、性质推理判断A；作出截面，结合球的截面小圆性质判断BCD.
【详解】对于A，ACC A 是正方体ABCD−A B C D 的对角面，则四边形ACC A 为矩形，
1 1 1 1 1 1 1 1
AC//A C ，
1 1
由CC ⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得CC ⊥BD，而AC⊥BD，
1 1
AC∩CC =C,AC,CC ⊂平面ACC A ，则BD⊥平面ACC A ，
1 1 1 1 1 1
又PC⊂平面ACC A ，因此PC⊥BD，A正确；
1 1
对于B，过点P作直线平行于B C 交A B ,C D 分别于N,M，连接BN,CM，
1 1 1 1 1 1
显然MN//B C //BC，则四边形BCMN为过点P及直线BC的正方体的截面，
1 1
截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，B错误；
C M PC 1
对于C，由选项B得
C
1
D
=
A C
1 =
√3
，则C
1
M=1，CM=√ (√3) 2+12=2，
1 1 1 1
因此截面矩形BCMN面积S=BC⋅CM=2√3，C正确；
对于D，过A作AO⊥BN于O，由BC⊥平面ABB A ，AO⊂平面ABB A ，
1 1 1 1
得AO⊥BC，而BN∩BC=B,BN,BC⊂平面BCMN，则AO⊥平面BCMN，
因此O为以A为球心，AB为半径的球面被平面BCMN所截小圆圆心，
球面与截面的交线为以O为圆心，BO为半径的半圆弧，显然∠BAO=∠B BN=30∘，
1
1 √3 √3π
BO= AB= ，因此交线长为 ，D正确.
2 2 2
故选：ACD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面
与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截
面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
m+4i
12．若复数z=m2−2i+ (m∈R)是纯虚数，则m的值为
.
i3
【答案】−2
【分析】根据纯虚数的定义求解.
m+4i (m+4i)i
【详解】z=m2−2i+ =m2−2i+ =m2−4+(m−2)i，
i3 i4
令m2−4=0且m−2≠0，解得m=−2.
故答案为：−2.
13．设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c
①若∠A>∠B，则sinA>sinB；
②若cosA>cosB.则∠A<∠B；
③若a2tanB=b2tanA，则△ABC一定为等腰直角三角形；
④若sin2A+cos2C<cos2B，则△ABC一定为钝角三角形；
⑤若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC一定为锐角三角形.
则上述命题中正确的是 .（写出所有正确命题的编号）
【答案】①②④⑤
【分析】根据三角形的性质，正弦定理判断①；根据余弦函数的单调性判断②；根据正弦定理边化角，
以及三角函数恒等变换，判断③；利用同角三角函数化简不等式，再结合余弦定理，即可判断④，根
据两角和的正切公式，化简判断⑤.
【详解】对于命题①②，在△ABC中，有∠A>∠B⇒a>b⇒sinA>sinB，
y=cosx在区间(0,π)单调递减，cosA>cosB⇒∠A<∠B.
因此命题①②正确.
sinB sinA
对于命题③，有a2tanB=b2tanA⇒ sin2A× =sin2B×
，
cosB cosA1 1
得sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A= sin2B，
2 2
即2A=2B或2A+2B=180∘，
则A=B或A+B=90∘
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，命题③错误.
对于命题④，根据条件，有sin2A−sin2C+sin2B<0⇒a2+b2<c2，
因此角C为钝角，命题④正确.
对于命题⑤，根据三角恒等式，
有tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1−tanAtanB)+tanC，
=−tanC(1−tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0，
所以tanA,tanB,tanC小于0的个数为偶数个，
因为A,B,C最多有一个钝角，所以△ABC锐角三角形.
于是命题⑤正确.
故选：①②④⑤
14．等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，⃗CP=2⃗PB，⃗AQ=⃗QC，BQ与AP交于点M，若|⃗AC|=2，
则⃗MA⋅⃗MQ= .
3
【答案】 /0.75
4
【分析】令⃗MA=m⃗AP,⃗MQ=n⃗BQ，利用基底法表示⃗MA，求得m,n，再利用数量积的运算律即可求
解.
【详解】等腰直角△ABC中，|⃗AB|=|⃗AC|=2,⃗AB⋅⃗AC=0，
令⃗MA=m⃗AP,⃗MQ=n⃗BQ，则⃗MA=m⃗AP=m (⃗AB+ 1 ⃗BC ) =m (2 ⃗AB+ 1 ⃗AC ) ，
3 3 3
1 1 1
又⃗MA=⃗MQ+⃗QA=n⃗BQ− ⃗AC=n(⃗BA+⃗AQ)− ⃗AC=−n⃗AB+ (n−1)⃗AC，
2 2 2
∴¿，解得¿，
1 1 1 1 1
所以⃗MA=− ⃗AB− ⃗AC，⃗MQ= ⃗BQ=− ⃗AB+ ⃗AC，
2 4 2 2 4
所以⃗MA⋅⃗MQ= ( − 1 ⃗AB− 1 ⃗AC ) ⋅ ( − 1 ⃗AB+ 1 ⃗AC ) = 1 ⃗AB2− 1 ⃗AC2=1− 1 = 3 .
2 4 2 4 4 16 4 43
故答案为： .
4
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万
元）进行统计，制作频率分布表如下：
分组 频数 频率
[12,14) 10 0.1
[14,16) x 0.15
[16,18) 20 0.2
[18,20) 30 y
[20,22) 15 0.15
[22,24) 5 0.05
[24,26] 5 0.05
合计 100 1.00
(1)请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；
(2)请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；
(3)为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60%的加盟店获评
优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．
【答案】(1)x=15,y=0.3，频率分布直方图见解析.
(2)x=18.2
(3)选取本年度营销总额大于17.5百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.
【分析】（1）根据频率与频数的关系，即可求解x,y，再把频率除以组距即可画出频率分布直方图.
（2）根据平均数计算公式即可求解.
（3）根据百分位数公式即可求解.【详解】（1）x=100×0.15,y=30÷100=0.3,频率分布直方图如图所示，
（2）x=13×0.1+15×0.15+17×0.2+19×0.3+21×0.15+23×0.05+25×0.05=18.2，
故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2.
0.4−0.1−0.15
（3）第40百分位数为16+2× =17.5，故应选取本年度营销总额大于17.5百万元的加
0.2
盟店获评优秀加盟店称号.
16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+√3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若a=√7．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c．
√19 3√3
条件①：中线AD长为 ；条件②：△ABC的面积为 ．
2 2
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
π
【答案】(1)A=
3
(2)b=3，c=2或b=2，c=3．
【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求A；
（2）由选择的条件结合余弦定理，列方程组求b，c．
【详解】（1）△ABC中，已知acosC+√3asinC−b−c=0，
由正弦定理得sinAcosC+√3sinAsinC-sinB-sinC=0，
又sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，
则有√3sinAsinC−cosAsinC−sinC=0，
由C∈(0,π)，sinC≠0，得√3sinA−cosA=1，
π 1
则有sin
(
A−
)=
，
6 2
π π 5π π π π
由0<A<π，有− <A− < ，所以A− = ，得A= ．
6 6 6 6 6 3
（2）若选择条件①：
π π
由A= ,a=√7，余弦定理得7=b2+c2−2bccos =b2+c2−bc，
3 3由⃗AD= 1 (⃗AB+⃗AC)，有 |⃗AD| 2 = 1 ( c2+b2+2bccos π ) ，得c2+b2+bc=19，
2 4 3
由¿，解得：b=3，c=2或b=2，c=3．
若选择条件②；
π π
由A= ,a=√7，得7=b2+c2−2bccos =b2+c2−bc，
3 3
1 1 √3 3√3
△ABC的面积S= bcsinA= bc× = ，得bc=6，
2 2 2 2
由¿，解得：b=3，c=2或b=2，c=3．
17．已知命题：“∃x∈{x∣−1<x<1}，使等式4x2−x−m=0成立”是真命题.
(1)求实数m的取值集合M；
(2)设不等式(x−a)(x+a−2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围.
【答案】(1)M=¿
(2)a≥5或a≤−3
【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为m在f (x)值域内，求得二次函数的值域，即可得到结
果；
（2）根据题意，将问题转化为M⊆N，然后分a>1，a=1与a<1讨论，即可求解.
【详解】（1）由题意，方程m=4x2−x在(−1,1)上有解，
令f (x)=4x2−x= ( 2x− 1) 2 − 1 ,(−1<x<1)，只需m在f (x)的值域内，
4 16
1 1
当x= 时，f (x) =− ，当x=−1时，f (x)=5，
8 min 16
[ 1 )
所以f (x)值域为 − ,5 ，
16
∴m的取值集合为M=¿；
（2）由题意，M⊆N，显然N不为空集.
①当a>2−a，即a>1时，N=(2−a,a)，
¿， ∴a≥5；
②当a=2−a，即a=1时，N=∅，不合题意舍去；
③当a<2−a，即a<1时，N=(a,2−a).
¿， ∴a≤−3；
综上可得a≥5或a≤−3.
1
18．已知函数f(x)=ax− (a>0，且a≠1).
ax
(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(1)>0，试判断函数f(x)的单调性.并求使不等式f(k⋅3x )+f(4⋅3x−9x−1)<0在R上恒成立
的k的取值范围；
3
(3)若f(1)= ,g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)，且g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求m的值.
2
【答案】(1)奇函数；
(2)单调递增，k<−2；
(3)m=2.
【分析】（1）利用奇偶性定义判断即可.
（2）由f(1)>0，得a>1，结合指数函数单调性判断f(x)的单调性，再脱去法则“f”，分离参数借助
基本不等式求出最小值即得.
（3）求出a值，再换元并构造函数，求出新函数的定义域，再结合二次函数最值分类讨论求解.
1 1 1
【详解】（1）函数f(x)=ax− 的定义域为R，f(−x)=a−x− = −ax=−f(x)，
ax a−x ax
所以函数f(x)是奇函数.
1 1
（2）由f(1)>0，a>0，得a− >0，则a>1，显然函数y=ax，y=− 在R上单调递增，
a ax
因此函数f(x)是R上的增函数，
不等式f(k⋅3x )+f(4⋅3x−9x−1)<0⇔f(k⋅3x )<f(9x−4⋅3x+1)，
1
则k⋅3x<9x−4⋅3x+1⇔k<3x+ −4，∀x∈R，3x>0，
3x
1 √ 1
于是3x+ −4≥2 3x ⋅ −4=−2，当且仅当x=0时取等号，因此k<−2，
3x 3x
所以k的取值范围是k<−2.
3 1 3
（3）由f(1)= ，得a− = ，而a>0，解得a=2，则f(x)=2x−2−x，
2 a 2
g(x)=22x+2−2x−2m(2x−2−x )=(2x−2−x ) 2−2m(2x−2−x )+2，
3
令t=2x−2−x，由（2）知，函数t=2x−2−x是R上的增函数，当x≥1时，t≥ ，
2
3 3
y=t2−2mt+2，当m≤ 时，函数y=t2−2mt+2在[ ,+∞)上单调递增，
2 2
3 9 25 3
当t= 时，y = −3m+2=−2，解得m= 与m≤ 矛盾；
2 min 4 12 2
3
当m> 时，t=m时，y =2−m2=−2，则m=2，
2 min
所以m=2.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
19．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90∘,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，且
DE//BC,DE=2，将△ADE沿DE折起到△A DE的位置，使A C⊥CD，如图（2）．
1 1
(1)求证：A C⊥平面BCDE；
1
(2)求点C到平面A DE的距离；
1
CP
(3)点M为线段A D的中点，线段BC上是否存在点P，使得MP//平面A BE？若存在，求出 的值；
1 1 CB
若不存在，说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)√3
CP 2
(3)存在， =
CB 3
【分析】（1）先证明DE⊥平面A DC，得到A C⊥DE，联合A C⊥CD，可证；
1 1 1
（2）运用等体积法可解；
（3）取A E中点N，连接NB.在CB上取点P，使得PB=1，连接PM.
1
证明MP//NB即可证明MP//平面A BE，即找出了满足题意的P点.
1
【详解】（1）如图所示，
根据题意，DE⊥A D,DE⊥DC,A D∩DC=D，且A D,DC⊂平面A DC，
1 1 1 1
则DE⊥平面A DC，A C⊂平面A DC，则A C⊥DE.又已知A C⊥CD.
1 1 1 1 1
CD∩DE=D，CD,DE⊂平面BCDE，则A C⊥平面BCDE.
1
（2）如图所示，连接CE.设点C到平面A DE的距离h．
1DE AD 2 AD
由翻折前状态，可知 = ⇒ = ⇒AD=4,DC=2.
BC AC 3 6
1
由（1）知道，A C⊥CD，则A C=√A D2−CD2=2√3，则S = A C×CD=2√3．
1 1 1 △A 1 CD 2 1
1
由（1）知道，DE⊥A D，S = A D×ED=4.
1 △A 1 ED 2 1
由DE⊥平面A DC.等体积法知道V =V .
1 C−A DE E−A CD
1 1
1 1
即 S ×h= S ×DE.
3 A 1 DE 3 A 1 CD
代入化简得到4h=2√3×2，则h=√3，则点C到平面A DE的距离√3.
1
CP 2
（3）存在， = .
CB 3
如图所示，取A E中点N，连接NB.在CB上取点P，使得PB=1，连接PM.
1
1
由于点M为线段A D的中点，则MN= DE=1，MN//DE.
1 2
又PB=1，PB//DE．则MN=PB，MN//PB，则四边形MNBP为平行四边形．
则MP//NB，MP⊄平面A BE，NB⊂平面A BE，则MP//平面A BE.
1 1 1
CP 2
此时 = ．
CB 3
