文档内容
高二开学摸底考试卷（辽宁专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．若集合A={1,2,3}，B={(x,y)|x+ y−4>0,x,y∈A}，则集合B的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先用列举法求出集合B，在根据真子集的公式2n−1求解.
【详解】由题意可知B={(2,3),(3,2),(3,3)}，所以集合B的真子集个数为23−1=7个.
故选：C
2．函数f (x)=√x(1−x)的最大值为（ ）
1 1 √2
A． B． C． D．1
4 2 2
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可求解.
x+1−x 1
【详解】由于0≤x≤1，所以f (x)=√x(1−x)≤ = ，
2 2
1 1
当且仅当x=1−x，即x= 时等号成立，故最大值为 ，
2 2
故选：B
3．已知函数f (x)对任意x∈R满足f (1−x)=f (1+x)，f (x+2)=−f (x)，且f(0)=0，则f (26)等于
（ ）
A．1 B．0 C．2 D．−1
【答案】B
【分析】首先分析函数的周期，再利用对称性求值.
【详解】f (x+4)=−f (x+2)=f (x)，所以函数f (x)的周期为4，
由f (1−x)=f (1+x)，知f (0)=f (2)，则f (26)=f (4×6+2)=f (2)=f (0)=0.
故选：B
4．把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是θ ∘C，空气的温度是θ ∘C，则tmin后液体A
1 0
的温度θ∘C可由公式θ=θ +(θ −θ )e−0.3t 求得．把温度是62∘C的液体A放在15∘C的空气中冷却，液体
0 1 0
A的温度冷却到51∘C和27∘C所用时间分别为t min，t min，则t −t 的值约为（ ）
1 2 2 1
（参考数据ln3≈1.10）
A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7
【答案】B
【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可.
【详解】由已知51=15+(62−15)e−0.3t 1，27=15+(62−15)e−0.3t 2，
10 36 10 12
所以t =− ln ，t =− ln ，
1 3 47 2 3 47
10 12 10 36 10
所以t −t =− ln + ln = ln3≈3.7.
2 1 3 47 3 47 3
故选：B.
5．下列命题：
①若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b或⃗a=−⃗b ②⃗a=⃗b的充要条件是|⃗a|=|⃗b|且⃗a//⃗b
③若⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c； ④起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可得答案
【详解】对于①，若|⃗a|=|⃗b|，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误；
对于②，当⃗a=−⃗b时也满足|⃗a|=|⃗b|且⃗a//⃗b，故错误；
对于③，当⃗b=0⃗时，满足⃗a//⃗b,⃗b//⃗c，但⃗a//⃗c不一定成立；
对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误.
故真命题的个数是0个.
故选：A
(1 2π ) 1
6．若方程cos x− = 在区间(0,m)上有5个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
2 3 2
(22π ] (10π ] (23π ] (26π ]
A． ,9π B． ,10π C． ,9π D． ,10π
3 3 4 3
【答案】D
1 2π ( 2π 1 2π)
【分析】令t= x− ∈ − , m− ，把方程的根转化成两个图象的交点问题，确定出
2 3 3 2 31 2π
m− 的范围，求解即可．
2 3
【详解】解：∵x∈(0,m)，
1 2π ( 2π 1 2π)
∴ x− ∈ − , m− ，
2 3 3 2 3
1 2π
令t= x− ，
2 3
1 ( 2π 1 2π)
要使cost= 在 − , m− 有5个不相等的实数根，
2 3 2 3
11π 1 2π 13π
∴ < m− ≤ ，
3 2 3 3
26π
解得：
0时，P(AB)∠B，则sinA>sinB；
②若cosA>cosB.则∠A<∠B；
③若a2tanB=b2tanA，则△ABC一定为等腰直角三角形；
④若sin2A+cos2C0，则△ABC一定为锐角三角形.
则上述命题中正确的是 .（写出所有正确命题的编号）
【答案】①②④⑤
【分析】根据三角形的性质，正弦定理判断①；根据余弦函数的单调性判断②；根据正弦定理边化角，
以及三角函数恒等变换，判断③；利用同角三角函数化简不等式，再结合余弦定理，即可判断④，根
据两角和的正切公式，化简判断⑤.
【详解】对于命题①②，在△ABC中，有∠A>∠B⇒a>b⇒sinA>sinB，
y=cosx在区间(0,π)单调递减，cosA>cosB⇒∠A<∠B.
因此命题①②正确.
sinB sinA
对于命题③，有a2tanB=b2tanA⇒ sin2A× =sin2B×
，
cosB cosA1 1
得sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A= sin2B，
2 2
即2A=2B或2A+2B=180∘，
则A=B或A+B=90∘
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，命题③错误.
对于命题④，根据条件，有sin2A−sin2C+sin2B<0⇒a2+b20，
所以tanA,tanB,tanC小于0的个数为偶数个，
因为A,B,C最多有一个钝角，所以△ABC锐角三角形.
于是命题⑤正确.
故选：①②④⑤
14．等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，⃗CP=2⃗PB，⃗AQ=⃗QC，BQ与AP交于点M，若|⃗AC|=2，
则⃗MA⋅⃗MQ= .
3
【答案】 /0.75
4
【分析】令⃗MA=m⃗AP,⃗MQ=n⃗BQ，利用基底法表示⃗MA，求得m,n，再利用数量积的运算律即可求
解.
【详解】等腰直角△ABC中，|⃗AB|=|⃗AC|=2,⃗AB⋅⃗AC=0，
令⃗MA=m⃗AP,⃗MQ=n⃗BQ，则⃗MA=m⃗AP=m (⃗AB+ 1 ⃗BC ) =m (2 ⃗AB+ 1 ⃗AC ) ，
3 3 3
1 1 1
又⃗MA=⃗MQ+⃗QA=n⃗BQ− ⃗AC=n(⃗BA+⃗AQ)− ⃗AC=−n⃗AB+ (n−1)⃗AC，
2 2 2
∴¿，解得¿，
1 1 1 1 1
所以⃗MA=− ⃗AB− ⃗AC，⃗MQ= ⃗BQ=− ⃗AB+ ⃗AC，
2 4 2 2 4
所以⃗MA⋅⃗MQ= ( − 1 ⃗AB− 1 ⃗AC ) ⋅ ( − 1 ⃗AB+ 1 ⃗AC ) = 1 ⃗AB2− 1 ⃗AC2=1− 1 = 3 .
2 4 2 4 4 16 4 43
故答案为： .
4
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万
元）进行统计，制作频率分布表如下：
分组 频数 频率
[12,14) 10 0.1
[14,16) x 0.15
[16,18) 20 0.2
[18,20) 30 y
[20,22) 15 0.15
[22,24) 5 0.05
[24,26] 5 0.05
合计 100 1.00
(1)请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；
(2)请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；
(3)为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60%的加盟店获评
优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．
【答案】(1)x=15,y=0.3，频率分布直方图见解析.
(2)x=18.2
(3)选取本年度营销总额大于17.5百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.
【分析】（1）根据频率与频数的关系，即可求解x,y，再把频率除以组距即可画出频率分布直方图.
（2）根据平均数计算公式即可求解.
（3）根据百分位数公式即可求解.【详解】（1）x=100×0.15,y=30÷100=0.3,频率分布直方图如图所示，
（2）x=13×0.1+15×0.15+17×0.2+19×0.3+21×0.15+23×0.05+25×0.05=18.2，
故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2.
0.4−0.1−0.15
（3）第40百分位数为16+2× =17.5，故应选取本年度营销总额大于17.5百万元的加
0.2
盟店获评优秀加盟店称号.
16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+√3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若a=√7．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c．
√19 3√3
条件①：中线AD长为 ；条件②：△ABC的面积为 ．
2 2
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
π
【答案】(1)A=
3
(2)b=3，c=2或b=2，c=3．
【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求A；
（2）由选择的条件结合余弦定理，列方程组求b，c．
【详解】（1）△ABC中，已知acosC+√3asinC−b−c=0，
由正弦定理得sinAcosC+√3sinAsinC-sinB-sinC=0，
又sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，
则有√3sinAsinC−cosAsinC−sinC=0，
由C∈(0,π)，sinC≠0，得√3sinA−cosA=1，
π 1
则有sin
(
A−
)=
，
6 2
π π 5π π π π
由01，a=1与a<1讨论，即可求解.
【详解】（1）由题意，方程m=4x2−x在(−1,1)上有解，
令f (x)=4x2−x= ( 2x− 1) 2 − 1 ,(−12−a，即a>1时，N=(2−a,a)，
¿， ∴a≥5；
②当a=2−a，即a=1时，N=∅，不合题意舍去；
③当a<2−a，即a<1时，N=(a,2−a).
¿， ∴a≤−3；
综上可得a≥5或a≤−3.
1
18．已知函数f(x)=ax− (a>0，且a≠1).
ax
(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(1)>0，试判断函数f(x)的单调性.并求使不等式f(k⋅3x )+f(4⋅3x−9x−1)<0在R上恒成立
的k的取值范围；
3
(3)若f(1)= ,g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)，且g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求m的值.
2
【答案】(1)奇函数；
(2)单调递增，k<−2；
(3)m=2.
【分析】（1）利用奇偶性定义判断即可.
（2）由f(1)>0，得a>1，结合指数函数单调性判断f(x)的单调性，再脱去法则“f”，分离参数借助
基本不等式求出最小值即得.
（3）求出a值，再换元并构造函数，求出新函数的定义域，再结合二次函数最值分类讨论求解.
1 1 1
【详解】（1）函数f(x)=ax− 的定义域为R，f(−x)=a−x− = −ax=−f(x)，
ax a−x ax
所以函数f(x)是奇函数.
1 1
（2）由f(1)>0，a>0，得a− >0，则a>1，显然函数y=ax，y=− 在R上单调递增，
a ax
因此函数f(x)是R上的增函数，
不等式f(k⋅3x )+f(4⋅3x−9x−1)<0⇔f(k⋅3x )0，
3x
1 √ 1
于是3x+ −4≥2 3x ⋅ −4=−2，当且仅当x=0时取等号，因此k<−2，
3x 3x
所以k的取值范围是k<−2.
3 1 3
（3）由f(1)= ，得a− = ，而a>0，解得a=2，则f(x)=2x−2−x，
2 a 2
g(x)=22x+2−2x−2m(2x−2−x )=(2x−2−x ) 2−2m(2x−2−x )+2，
3
令t=2x−2−x，由（2）知，函数t=2x−2−x是R上的增函数，当x≥1时，t≥ ，
2
3 3
y=t2−2mt+2，当m≤ 时，函数y=t2−2mt+2在[ ,+∞)上单调递增，
2 2
3 9 25 3
当t= 时，y = −3m+2=−2，解得m= 与m≤ 矛盾；
2 min 4 12 2
3
当m> 时，t=m时，y =2−m2=−2，则m=2，
2 min
所以m=2.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
19．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90∘,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，且
DE//BC,DE=2，将△ADE沿DE折起到△A DE的位置，使A C⊥CD，如图（2）．
1 1
(1)求证：A C⊥平面BCDE；
1
(2)求点C到平面A DE的距离；
1
CP
(3)点M为线段A D的中点，线段BC上是否存在点P，使得MP//平面A BE？若存在，求出 的值；
1 1 CB
若不存在，说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)√3
CP 2
(3)存在， =
CB 3
【分析】（1）先证明DE⊥平面A DC，得到A C⊥DE，联合A C⊥CD，可证；
1 1 1
（2）运用等体积法可解；
（3）取A E中点N，连接NB.在CB上取点P，使得PB=1，连接PM.
1
证明MP//NB即可证明MP//平面A BE，即找出了满足题意的P点.
1
【详解】（1）如图所示，
根据题意，DE⊥A D,DE⊥DC,A D∩DC=D，且A D,DC⊂平面A DC，
1 1 1 1
则DE⊥平面A DC，A C⊂平面A DC，则A C⊥DE.又已知A C⊥CD.
1 1 1 1 1
CD∩DE=D，CD,DE⊂平面BCDE，则A C⊥平面BCDE.
1
（2）如图所示，连接CE.设点C到平面A DE的距离h．
1DE AD 2 AD
由翻折前状态，可知 = ⇒ = ⇒AD=4,DC=2.
BC AC 3 6
1
由（1）知道，A C⊥CD，则A C=√A D2−CD2=2√3，则S = A C×CD=2√3．
1 1 1 △A 1 CD 2 1
1
由（1）知道，DE⊥A D，S = A D×ED=4.
1 △A 1 ED 2 1
由DE⊥平面A DC.等体积法知道V =V .
1 C−A DE E−A CD
1 1
1 1
即 S ×h= S ×DE.
3 A 1 DE 3 A 1 CD
代入化简得到4h=2√3×2，则h=√3，则点C到平面A DE的距离√3.
1
CP 2
（3）存在， = .
CB 3
如图所示，取A E中点N，连接NB.在CB上取点P，使得PB=1，连接PM.
1
1
由于点M为线段A D的中点，则MN= DE=1，MN//DE.
1 2
又PB=1，PB//DE．则MN=PB，MN//PB，则四边形MNBP为平行四边形．
则MP//NB，MP⊄平面A BE，NB⊂平面A BE，则MP//平面A BE.
1 1 1
CP 2
此时 = ．
CB 3
