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2025 年高考考前信息必刷卷 01（新高考Ⅰ卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：包含高考命题趋势变化，题目呈现方式的变化等
1.如第3题，第11题，第19题，新定义问题，体现创新考法
2.如第10题，与2025年八省联考的14题类似，凸显代数与集合的联系，加强学科知识的融合
高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等
高考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等
如第6题，第9题，第14题，涉及生活情境，社会生产生活，加强学科的应用
命题·大预测：基于本卷的题目进行具体分析，给出趋势性预测，也可提出备考方向等
深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学
把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的
灵活性和开放性，使学生在考试中能够充分展示自己的思维能力和创新水平.
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
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学科网（北京）股份有限公司第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知集合 为正奇数组成的集合，且 ，则 .故选：C.
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ．故选：B
3．如图，设Ox，Oy是平面内相交成 角的两条数轴， ， 分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，
若向量 ，则把有序数对（x，y）叫做向量 在坐标系 中的坐标.若
，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】依题意， ，
，则 ,
则 ，故 .
故选：C.
4．已知角 ， 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
， ，
，故选：A.
5．已知 在R上是减函数．那么a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】因为 在R上是减函数，
所以 ，解得 ，即 .故选：D.
6．美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径
分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱
之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（ ）cm.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将 投影至底面为 ， 是底面大圆的一条弦且 与小圆相切（切点为 ）时最长，所以
，
所以 ，故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司7．函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
如图所示，
要使 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，
则只需 .故选C.
8．已知定义域为R的函数 满足： 为偶函数， ，且 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由题意知定为域为R的函数 满足： 为偶函数，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，即 ，结合 ，
得 ，即 ，
故 ，即 ，
则 ，故8为函数 的一个周期，
由于 ， ，故令 ，则 ，
结合 ，令 ，得 ，
对于 ，令 ，则 ，
故 ，
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检
结果可知，该厂机器零件的质量指标值 服从正态分布 ，（附： ，
）若 ，则（ ）
A．
B．
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学科网（北京）股份有限公司C．
D．任取10000件机器零件，其质量指标值 位于区间 内的件数约为8186
【答案】BD
【解析】依题意，该厂机器零件的质量指标 服从正态分布 ，即 ， ，
而 ，即 ，因此 ，
对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ，C错误；
对于D，由C知 ，即 件，D正确．
故选：BD
10．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺
术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C：
是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2
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学科网（北京）股份有限公司C．曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为
D．若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
【答案】BCD
【解析】 时， ， 或2或 ，三个整点 ， ， ， 无解，∴共有3个整
点，A错误，
，曲线C上往取一点 到原点的距离 ﹐B正确；
曲线C上往取一点M关于 的对称点为N，设 ，则 ，M在曲线C上，∴
，C正确．
与曲线C一定有公共点 ，∵ 与曲线C只有一个公共点，
则 ，∴ ，∴ 或 ，D正确
故选：BCD
11．波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家，他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，
并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为 ，其解析式为：
，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．关于 的不等式 的解集为
【答案】ACD
【解析】对于选项A，当 时， ，当 时， ，
而 ，当 时， ，
若 是无理数，则 是无理数，有 ，
若 是有理数，则 是有理数，当 ,( 正整数数， 为最简真分数），
则 ,（ 为正整数数, 为最简真分数）,
此时 ，综上: 时， ，所以选项A正确，
对于选项B，取 ，则 ,
所以 ,所 以选项B错误，
对于选项C，当 和无理数时， ，显然有 ，
当 （ 是正整数， 是最简真分数）时，
, ，故 ，
当 时， ，有 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ，有 ，
当a为无理数， 时， ，有 ，
综上: ，所以选项C正确；
对于选项D，若 或 或 内的无理数，此时 ，显然 不成立，
当 ( 正整数数， 互质)，由 ，得到 ，
整理得到 .又 正整数， 互质，所以 ，所以 ，所以选项D正确，
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设直线 过双曲线 的一个焦点，且与 的一条对称轴垂直， 与 交于 两点， 等于 的半实
轴长，则 的离心率为 ．
【答案】
【解析】不妨设双曲线 ，焦点 ，对称轴
由题设知 ，由 得
.
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学科网（北京）股份有限公司13．已知直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 .
【答案】 /
【解析】设曲线 与 的切点分别为 ，
易知两曲线的导函数分别为 ， ，
所以 ，则 .
14．分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒
中各取一封，不放回．设 为恰好取到自己祝福信的人数，则 ．
【答案】1
【解析】有题意可知， 的可能取值为0，1，2，3，5
对应概率依次为： ，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）在 中，角 所对的边分别为 ， ， ， 的外接圆半径为 ，
，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ，求 的周长．
【解】（1）解：由 ，
可得 ，所以 ，
又由正弦定理 ，可得 ，
即 ，所以 ，
可得 或 ，即 或 （舍去），
因为 ，可得 ，
所以 ．
（2）解：由（1）可得 ， ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又由正弦定理得 ，
令 ， ， ，其中 ，
则 ，解得 ，
因此 的周长为 ．
16．（本小题满分15分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 与椭圆交于B，C两点，若 面积为 ，求m．
【解】（1）解：根据题意可知：
，解得 ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）解：设 ，
联立 ，消 整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，
，
则 ，
点 到直线 的距离 ，
则 ，解得 ，
所以若 面积为 ， .
17．（本小题满分15分）在如图所示的七面体 中，底面 为正方形， ，
， 面 ．已知 ， ．
(1)设平面 平面 ，证明： 平面 ；
(2)若二面角 的正切值为 ，求四棱锥 的体积．
【解】（1）因为底面 为正方形，所以 ，
因为 平面ABFE， 平面ABEF，所以 平面ABFE．
因为 平面GCD，平面 平面 ，所以
因为 平面ABCD， 平面ABCD，
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学科网（北京）股份有限公司所以 平面ABCD．
（2）取 中点 ，连接 ，
因为 面 ， 面 ，所以
因为正方形 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面
又 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以
则 为二面角 的平面角，
因为 为 中点， ，所以 ，又 ，故四边形 为矩形，
所以 ，由 面 ，得 面
则 ，所以
因为 且 ，所以
所以 ，
所以
18．（本小题满分17分）已知函数 ．
(1)当 时，证明： 恒成立；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若对于任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
【解】（1）当 时， ．
令 ，则 ．
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
， ，
，
即当 时， 在 上恒成立．
（2）令 ，
若对于任意的 恒成立，则 ．
令 ，
令 ，
令 ．
①当 时，由（1）可知， 在 上恒成立且 不恒为零，则 在
上为增函数．
，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增，
，符合题意．
②当 时， ．
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
函数 在 上单调递增．
， ，
存在 ，使得 ，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
，则函数 在 上单调递减，
，则函数 在 上单调递减，
故当 时， ，不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司③当 时， ，若 ，由②知 在 上单调递增，则存在
，使得 ，且当 时， ；
若 ，由②知 在 上单调递增， 当 时， ．
当 时，函数 在 上单调递增，
当 时， ， 函数 在 上单调递减，
， 函数 在 上单调递增，
故当 时， ，不符合题意．
综上所述，存在 ，使得对于任意的 ，都有 恒成立，
实数 的取值范围为 ．
19．（本小题满分17分）设 和 是两个等差数列，记
，其中 表示 ， ， ， 这 个数中最大的数．
(1)若 ， ，求 ， ， 的值；
(2)若 为常数列，证明 是等差数列；
(3)证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整数 ，使得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， 是等差数列．
【解】（1）已知 ， ，
， ， ， ， ， ，
当 时， ，
当 时， , , ，
当 时， , , , ，
（2）设 （ 为常数）， 的通项公式为 .
，
先考虑 ，
则 时， ，
所以 .
当 时，则 ， ，
此时 为常数，所以 是等差数列；
当 时，则， ，
此时 是常数列，也是等差数列；
综上所述： 是等差数列；
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学科网（北京）股份有限公司（3）设数列 和 的公差分别为 ，
则 ，
所以 ，
①当 时，取正整数 ，则当 时， ，因此 ，
此时， 是等差数列；
②当 时，对任意 ，
此时， 是等差数列；
③当 时，当 时，有 ，
所以
，
对任意正数 ，取正整数 ，
故当 时， .
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