南昌十九中2024-2025学年第二学期2月月考高三数学答案_2025年2月_250223江西省南昌市第十九中学2024-2025学年高三下学期2月月考（全科）_南昌十九中2024-2025学年第二学期2月月考高三数学

2024-2024 学年第二学期高三 2 月月考数学答案
选择题题答案汇总
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D B D B C D C B BCD AC AD
12. k2 13. 600 14. 6
一、单选题
1．已知集合A x log x 1 ，B  t12t 8tZ ，则AB（ ）
2
A． 0,2  B．0,1,2 C．0,2  D．1,2
【详解】A x x 2且x0  x 2 x2且x0  ，
由指数函数的性质可得B  t12t 8tZ 0,1,2,3，∴AB1,2 .故选:D.
2ai
2．已知a,bR，“复数z 是纯虚数，i为虚数单位”是“a2”的（ ）
2ai
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2ai 22i 1i
1i2
2i
【详解】若a2，则z     i为纯虚数；
2ai 22i 1i 1i1i 2
2ai 4a2 4a 4a2 0
若复数z   i为纯虚数，则 ，解得a2，
2ai 4a2 4a2  4a0
2ai
所以“复数z 是纯虚数，i为虚数单位”是“a2”的必要不充分条件.故选：B.
2ai
S  a
3．记S 为数列a 的前n项和，若a 2S ， n为等比数列，则 7 （ ）
n n 3 2  n  a
3
A．4 B．8 C．16 D．32
S  S  S
【详解】因为 n为等比数列，所以 n的首项为a ，第二项为 2 ，
 n   n  1 2
S S a S 2S
第三项为 3  2 3  2 2 S ，
3 3 3 2
S 
故 n的公比为2，所以S na 2n1，
 n  n 1
所以当n2时，a S S n1a 2n2，显然当n1时也符合，
n n n1 1
a 71a 25
故a n1a 2n2，所以 7  1 32.故选：D.
n 1 a 31a 2
3 1
试卷第1页，共11页
{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}ln(x1),x0
4．已知函数 f(x) ，若函数g(x) f(x)m有3个零点，则实数m的取
x22x3,x0
值范围是（ ）
A．(,4) B．[3,4) C．(,4] D．[3,4]
【详解】由于函数gx f xm有3个零点，
则方程 f xm0有三个根，故函数y f x与ym的图象有三个
lnx1,x0
交点；函数 f x ，其图象如下所示，又因为函数 f 14, f 03，
x22x3,x0
则实数m的取值范围 3,4，故选：B.
 1
5．已知随机变量X,Y 分别服从正态分布和二项分布，且X～N1,3，Y～B4, ，则（ ）
 2
A．EXEY B．DXDY C．EXDY D．DXEY
1 1  1
【详解】由题可得EX1，EY4 2，DX3，DY4 1 1，
2 2  2
所以EXDY .故选：C.
6．已知双曲线C:
x2

y2
1 a0,b0的左、右焦点分别F ，F .A是C上的一点（在第
a2 b2 1 2
一象限），直线AF 与y 轴的负半轴交于点B，若AF BF ，且 BF 4F A ，则双曲线C
2 1 1 2 2
的离心率为（ ）
30 3 2 10
A． B． C．
3
D．
5 2 5
【详解】设 ，如图所示：
由题意可得  B  F 2 = 4m  ， BF 4m， AF m2a；
2 1 1
又 AB  AF  BF ，由AF BF 可得 AF 2 BF 2  AB 2
2 2 1 1 1 1
即m2a216m2 4mm2，解得ma；
所以 ， AF 3a， BF 4a；
1 1
2 =  a24c29a2 4c28a2 c22a2
在AF F 中，cosAF F   
2 1 2 1 4ac 4ac ac
c
在OFB中，cosBFO ，
2 2 4a
试卷第2页，共11页
{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}c22a2 c c 2 10 2 10
又由FF AFF Bπ，有  ，解得  ，故e .故选：D.
1 2 1 2
ac 4a a 5 5
7．如图，在棱长为2的正方体ABCD ABCD中，E为棱AA的中点，P为正方体表面上
1 1 1 1 1
 
的动点，且DPCE.设动点P的轨迹为曲线W，则（ ）
1
A．W是平行四边形，且周长为2 22 5
B．W是平行四边形，且周长为3 22 5
C．W是等腰梯形，且周长为3 22 5
D．W是等腰梯形，且周长为2 22 5
【详解】分别取AD,AB的中点F,G，连接AC、DE、DB、DF、BG、FG、DB，
1 1 1 1 1 1
则FG∥DB∥DB ，∴F、G、B、D 四点共面
1 1 1 1
若P为面ABCD 上的动点，
1 1 1 1
由正方体ABCD ABCD易得，平面AECC 平面ABCD ，且平面AECC 平面
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 
ABCD AC ，要使DPCE，则只需DPAC ，此时P的轨迹为线段DB ；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
若P为面ADDA上的动点，
1 1
由正方体ABCD ABCD易得，平面CED 平面ADDA，且平面CED 平面ADDAED，
1 1 1 1 1 1 1 1
 
要使DPCE，则只需DPED，因为E、F分别是AA、AD的中点，易证DE  DF，故此
1 1 1 1
时P的轨迹为线段DF；
1
所以动点P的轨迹曲线W为过点F、D、B 的平面与正方体各表面的交线，即梯形DBGF .
1 1 1 1
因为正方体的棱长为2，所以
1
DB 2 2，GF  DB 2,BGDF  2212  5.
1 1 2 1 1
所以曲线W为等腰梯形，且周长为3 22 5.故选：C.
       1   
8．已知平面向量a，b，c，满足 a  b 1，且cos a,b  ，cab 1，
2
  
 
则b ac 的最小值为（ ）
A．1 B．0 C．1 D．2
试卷第3页，共11页
{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#} 1 3  1 3 
【详解】可设a , ，b , ，cx,y，
   
2 2  2 2 
则 c  a  b  1 x,y    1 , 3       1 , 3   1 x2  y 3 2 1.
2 2  2 2 
xcosθ
可设： ，则
y 3sinθ
     1 3 1 3     3 1 
b ac  ,  ,  cos θ, 3 sinθ 1 sinθ cosθ
     
2 2  2 2    2 2 
 π
1sinθ  0.故选：B
 6
二、多选题
9．在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ）
A．若二项式abn的展开式中，第3项的二项式系数最大，则n5
B．若12x8 a axa x2a x8，则a a a a  0
0 1 2 8 1 2 3 8
6
 1 
C．在 2x

的展开式中，常数项为60
 x 
D．1x1x5的展开式中，x2的系数为5
【详解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大，
当n为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项，
所以n15，解得n4，
当n为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大，
所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大
或，
此时n14或n16，解得n3或n5，故A错误；
对于B，令x1，可得a a a a 128 1，
0 1 2 8
令x0，可得a 108 1，所以a a a a  0，故B正确；
0 1 2 3 8
6
 1 
对于C， 2x

二项式的展开式的通项公式为
 x
试卷第4页，共11页
{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}T Cr(2x)6r    1   r Cr(1)r26rx 6 3 2 r ，
r1 6 6
 x
3
令6 r 0，解得r4，所以第5项为常数项且常数项为C4(1)422 60，故C正确；
2 6
对于D，1x1x5展开式中x2的系数为C2(1)2C1(1)1 5，故D正确.故选：BCD.
5 5
1
10．已知数列a 的前n项和为S ，a 3，a  ，则（ ）
n n 1 n1 1a
n
2 1
A．a  B．a 0 C．a  D．S 40
3 3 5 2024 2 37
1 1 1 1 2
【详解】由a 3，a  ，可得a   ,a   ,
1 n1 1a 2 1a 2 3 1a 3
n 1 2
1 1 1
a  3,a   ，故A正确；B错误；
4 1a 5 1a 2
3 4
对于C，由上可知，数列a 是以3为周期的周期数列，
n
1
则a a a  ，故C正确；
2024 36742 2 2
1 2
对于D，S (a a a )12a (3  )12341 ，故D错误.故选：AC.
37 1 2 3 1 2 3
11．设函数 f xx12x2，则（ ）
A．x1是函数 f x的极小值点
B．x2,1， f x2 f  x24x4 
 3 1
C．x , ，4 f 2x30
 2 2
D．x3,2， f x f x2
【详解】依题意， f xx12x2 x33x2，则 fx3x233x1x1，
令 fx3x1x10，解得x1或x1，则函数 f x在,1,1,上单调递
增，
令 fx3x1x10，解得1 x1，则函数 f x在 上单调递减，
−1,1
所以函数 f x在x1处取得极小值，所以A选项正确；
对于B选项，因为x2,1，所以x20,1，所以x24x4x220,1．
试卷第5页，共11页
{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}2
 3 1
因为x24x4x2 x23x2x   0，所以x24x4x2．
 2 4
又函数 f x在 上单调递减，所以 f x2 f  x24x4  ，所以B选项不正确；
0,1  3 1
对于C选项，因为x , ，所以2x30,2，
 2 2
又 f 14， f 02， f 20，所以根据函数 f x的单调性，
可知4 f 2x30，所以C选项错误；
对于D选项，因为x3,2，所以x2,3，x21,0，又 f 10， f 20，
根据函数 f x的单调性，当x2,3时， f x0；
当x21,0时， f x20，所以 f x f x2成立，所以D选项正确，
故选：AD．
三、填空题
  1  1 
12．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若APm AB BC，
 10 10
则m ．
【详解】
  1  1   1  1      1 
APm AB BC m AB ACAB mAB AC．
 10 10  10 10 10
  3 
因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以APmAB AN．
10
3 7 7
又B，P，N三点共线，所以 m1，m ．故答案为：
10 10 10
13．寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座
位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同
的坐法种数为 .（用数字作答）
【详解】先选司机有C1种，再选副驾，若副驾坐人，则有C1A3种；
2 3 5
若副驾不坐人，则有A4种，故不同的坐法种数为C1 C1A3A4
600.故答案为：600
5 2 3 5 5
14．过抛物线y2 4x上一动点P作圆C:(x4)2y2 r2(r 0) 的两条切线，切点分别为A,B，
若|AB||PC|的最小值是12，则r  .
【详解】设P(x ,y )，则y2 4x ，圆C的圆心C(4,0)，半径为r，
0 0 0 0
试卷第6页，共11页
{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}由PA,PB切圆C于点A,B，得PC AB,PA AC,PBBC，
则 AB  PC  2S  4S  2PA AC  2r PC 2r 2 2r x 4 2y 2r 2
四边形PACB VPAC 0 0
2r x24x 16r2 2r (x 2)212r2 2r 12r2 ，
0 0 0
当且仅当x  2时，等号成立，
0
可知 AB  PC 的最小值为 2r 12r2 12 ，
整理可得r412r2360，解得r2 6，
且r 0，所以r 6，故答案为： 6 .
四、解答题
15．已知V ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosCasinCbc0.
(1)求角A；
15
(2)若a4，V ABC的面积为 ，求sinBsinC的值.
2
【详解】（1）由条件得acosCasinCbc，从而
acosCasinCbcacosCccosAcacosCccosAc.
所以asinCccosAc，由正弦定理得sinAsinCsinCcosAsinC，故sinAcosA1.
从而112 sinAcosA2 sin2 Acos2 A2sinAcosA12sinAcosA，得sinAcosA0，
π
故cosA0.所以A .
2
（2）设ABC的面积为S，则
2 2
sinB sinC sinA 1 bc bcsinA 2S 15
sinBsinC bc · bc  bc      .
b c  a  a 16 16 16 16
16．如图，在体积为2 3的三棱柱ABCABC 中，底面ABC是边长为2的正三角形，
1 1 1
ABAB､D为AC的中点.
1
(1)求证：平面ACC A 平面ABD；
1 1 1
(2)求直线AD与平面ABC 所成角的正弦值.
1 1
【详解】（1）证明：因为V ABC是边长为2的正三角形，设点A到平面ABC的距离为h，
1
3
则三棱柱ABCABC 的体积V  22h2 3 ，所以h2，
1 1 1
4
试卷第7页，共11页
{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}因为ABAB2，所以AB就是点A到平面ABC的距离，故AB平面ABC.
1 1 1 1
因为AC 平面ABC，所以AB AC，
1
因为ABBC,D为AC中点，所以BD AC，
因为ABBDB,AB,BD平面ABD，所以AC 平面ABD，
1 1 1 1
因为AC 平面ACC A ，所以平面ACC A 平面ABD.
1 1 1 1 1
（2）解：以B为原点，直线BA为x轴，在平面ABC内过点B与AB垂直的直线为y轴，直
线BA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
1
则B0,0,0,A2,0,0,A 0,0,2,C  1, 3,0  ,D   3 , 3 ,0  ，
1  2 2  
  
所以BA2,0,0,BA  0,0,2,AC   1, 3,0  ，
1
 3 3        
AD , ,2，所以BC BA AC BA AC  1, 3,2 .
1  2 2   1 1 1 1 1
 
 nBA0, 2x0,
设平面ABC 1 的法向量为 ，则有 n  B  C  0, 得 x 3y2z0,
1
  =  ,  , 
  
取z 3，得n 0,2, 3 .设直线AD与平面ABC 所成角为，
1 1
3 3
  0 2  32
  nA 1 D 2 2 3 3
则sin cosn,A 1 D  n   A  1  D   3 2  3 2  7 ，
02(2)2( 3)2     (2)2
2  2 
3 3
所以直线AD与平面ABC 所成角的正弦值为 .
1 1
7
x2 y2 3
17．已知椭圆C:  1(ab0)的上顶点为A(0,1)，离心率为 .
a2 b2 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设B为椭圆C的下顶点，动点M到坐标原点O的距离等于1（M与A，B不重合），直线
AM与棈圆C的另一个交点为N.记直线BM，BN的斜率分别为k ，k ，问：是否存在常数，
1 2
使得k k 0恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
1 2
试卷第8页，共11页
{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}a2 b2c2,

c 3
【详解】（1）由题意得  , 解得a2，b1.
a 2
b1.

x2
所以椭圆C的方程为 y2 1.
4
（2）因为B为椭圆C的下顶点，所以B(0,1).
y 1
设Nx ,y （x 0且y 1），则直线BN的斜率k  0 .
0 0 0 0 2 x
0
由点M到坐标原点O的距离等于1，可知点M在以AB为直径的圆上，
y 1
所以直线AM与直线BM垂直.由题意得直线AM的斜率k  0 ，
AM x
0
1 x k x x x2
所以直线BM的斜率k   0 .所以 1  0  0  0 .
1 k y 1 k y 1 y 1 1 y2
AM 0 2 0 0 0
因为点N在椭圆C上，所以 x 0 2  y2 1，故 k 1  x 0 2  4

1y 0
2
4，所以 k 1 4，
4 0 k 1y2 1y2 k
2 0 0 2
所以存在4，使得k k 0恒成立.
1 2
18．已知函数 f x xlnxa．
(1)当a0时，求 f x的极小值；
(2)若 f x存在两个极值点x,x x x ．
1 2 1 2
（ⅰ）求a的取值范围；
4
（ⅱ）证明：  f x  0．
e2 1
【详解】（1）当a0时， f xxlnx，
可知 f x的定义域为0,，且 fx1lnx，
 1 1 
当x0, 时， fx0；当x ,时，当 fx0；
 e e 
 1 1 
可知 f x在0, 上单调递减， f x在 ,上单调递增，
 e e 
1 1
所以 f x的极小值为 f  
e e
（2）（i）由题意可得： f x的定义域为a,，
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{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}x 1
且 fxlnxa  

xalnxax

，
xa xa
设gxxalnxax，可知gx在a,内有两个变号零点，
则gx2lnxa，
 1   1 
当xa, a，gx0；当x a, 时，gx0；
 e2  e2 
 1   1 
可知gx在a, a上单调递减，在 a,上单调递增，
 e2  e2 
 1  1
则gx的最小值为g a a，
e2  e2
且当x趋近于时，gx趋近于，
 1 
当xa, a时，则xa0,lnxa0，可得xalnxa0 ，
 e2 
可得gxxalnxax xa，即当x趋近于a时，gx趋近于a，
 1
 a0 1
可得 e2 ，解得 a0，
 a0
e2
 1 
所以实数a的取值范围为 ,0；
 e2 
1
（ii）由（i）可知，ax  a，且x alnx ax 0，
1 e2 1 1 1
所以 f x  xlnx ax aln2x a，
1 1 1 1 1
 1 
设hxxln2x0 x ，显然hx0，又hx2lnxlnx，
 e2 
因为x  0, 1  ，则hx0，可知hx在  0, 1  上单调递减，
 e2  e2 
 1  4 4
且h  ，可得 hx0，
e2  e2 e2
4
所以  f x 0.
e2 1
19．设数列a 满足：①a 1；②所有项a N*；③1a a a a .设集合
n 1 n 1 2 n n1
A {n|a m,mN*)，将集合A 中的元素的最大值记为b ，即b 是数列a 中满足不等
m n m m m n
式a m的所有项的项数的最大值.我们称数列b 为数列a 的伴随数列.
n n n
例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.
(1)若数列a 的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3，请写出数列a ；
n n
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{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}(2)设a 4n1，求数列a 的伴随数列b 的前50项之和；
n n n
(3)若数列a 的前n项和S n2c（其中c为常数），求数列a 的伴随数列b 的前m项
n n n n
和T .
m
【详解】（1）数列a 的伴随数列为：1，1，2，2，2，3，3，3，3，数列a 为：1，
n n
3，6.
（2）由a 4n1m，得n1log m(mN*)
n 4
当1m3,mN*时， b b b 1
1 2 3
当4m15,mN*时， b b b 2
4 5 15
当16m50,mN*时， b b b  3
16 17 50
b b b 13212335132
1 2 50
（3）a S 1c1，c0
1 1
当n2时，a S S 2n1,a 2n1
 nN*
n n n1 n
m1
由a 2n1m得， n (mN*)
n 2
因为使得a m成立的n的最大值为b ，
n m
所以b b 1,b b 2,,b b t(tN*)
1 2 3 4 2t1 2t
当m2t1(tN*)时；
1(t1) 1
T 2 (t1)t t2  (m1)2
m 2 4
当m2t(tN*)时；
1t 1
T 2 t t2t  m(m2)
m 2 4
(m1)2

(m2t1,tN*)
 4
所以T 
m m(m2)
(m2t,tN*)
 4
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{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}