浙江省新阵地教育联盟 2026 届第一次联考
数学试题卷
命题：宁波效实中学 周文天、周丽峰 磨题：路桥中学 李健力 天台中学 王思远 校稿：李慧华、魏红妃
第 I卷
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合A={x x <3},B= y�ℕ y2<10 ，则A∩B=
A． 0,3 �|| B． � −3,�3 � C．{−2,−1,0,1,2} D．{0,1,2}
2．在( �A) BC中， 角A,B,C的对(边分)别 为a, b,c，则“a2+b2−ab=c2”是“ �ABC为等边三角形”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列函数f x 和g x 为同一函数的是
A．f x =x+1(和)g x(=) x+1 2 B．f x =x2+x0和g x =
x3+x
x
C． ( f ) x =x2+x和 ( g ) x � 2 ( = x2 ) + 1 2 − 1 D． ( f ) x = x2−3x和 ( g ) x = x2−3x
2 4 x2 x
�
4．
(
已
)
知双曲线
(
C:
)x2
−
�y2
=1
�
a>0,b> 0 的一 条渐近线方
(
程
)
为
�
y= 3x，
(
则
)
C的离心率为
a2 b2
A．2 ( B． 2 ) C． 2 √ D．1
2 2
√
5．设f x 是定义在R上且周期√为 2的奇函 数，当0<x<1 时 ，f x =4 x−1，则f 3 =
2
A．−(1) B．1 C．7 () D�．�− 1
2
6．已知 实数x,y满 足x2+y2=4x+2y+4，则2x+y的最大值是
A．5−3 5 B．5+3 5 C．8 D．9 + 3 17
2 2
√
7．下列√四 个选项 中，最大的值为√
A． 2 B．3 C．log 3 D．3 3
2 2
8．每√个 正整数都 可以唯一表 示 成以下形 式： 2k+1 −1 l− 12al=2a 1−2a2+��+2√a2k−1−2a2k+2a2k+1，其
l=1
中a <a <�<a <a ,a�ℕ 1≤i≤2k+1 且k为该∑正整( 数)的“ 长度” ，例如5=20+22=20−22+23，
1 2 2k 2k+1 l
7=20+21+22=20−21+22−22+2( 3=20−21+2) 3．若正整数n 1≤n≤1024 的“长度”为 1，则这样的n个数
为
( )
A．C3 B．C3 C．C3 D．C3
9 10 11 12
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量a= 2,1 ,b= −1,x ，下列结论正确的是
A．若a�b，�则⃗ x(=2 )�⃗ ( )
B．若a�⃗//b�⃗，则x=− 1
2
C．若a�⃗,b �⃗的夹角为钝角，则x<2
D．设�a⃗在�⃗ b方向上的投影向量为m，则 m 的取值范围为 0, 5
10．在�⃗三棱�⃗ 锥P−ABC中，PA�平��⃗面AB|C��⃗,|AB�BC,AB=BC�,P√A=�AC=2 3，D是ΔPBC内的动点（含
边界）且BD�CD，下列结论正确的是
√
A．二面角C−AB−P为直二面角 B．CP与平面APB所成角为π
6
C．三棱锥A−BCD的体积最大值为1 D．PD的最小值为 39− 6
2
√ √
11．已知acosα+bsinα=c,acosβ+bsinβ=0，且a,b,c不全为0，下列结论正确的是
A．若a=0，则sin α−β = c B．若c=0，则α=β+kπ,k�Z
b
C．若α−β= π，则a (2+b2) =2c 2 D．tan2 α−β = c2
4 a2+b2−c2
( )
第 II卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知复数z= 3−4i，则 z =_____▲_____
3+4i
13．已知数列 a 共 |1|0 项，a =0,a =20且 m�m=a −a ,1≤k≤9,k�ℕ ={1,2,3}。若满足
n 1 10 k+1 k
a k+1 −a k =1的k共有 { 奇 } 数个，则满足条件的不同数列 { 的个数为_____▲_____． }
14．已知P 0,9 ，若三次函数f x =x3+ax2−9x+9 0<a<3 在点P 处的切线与f x 图象交于另一点
0 0
P 1 x 1 ,y 1 ，在 ( 点 )P 1 处的切线与 (f x) 图象交于另一 ( 点P 2 x)2 ,y 2 ，则 y 1 −y 2 的最 ( 大 ) 值为_____▲_____．
� � () � � � �
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列 a 的前n项和为S ,S =3S +1．
n n n+1 n
（1）若 a n 为等比数列， { 求 }a 1 ；
（2）若a{ =} 5，b = 2n−1，求数列 b 的前n项和T ．
1 2 n Sn+ 1
2
n n
{ }
16．（15 分）如图 1，在直角梯形ABCD中，AB�AD,AB//DC,AB=2,AD=8,DC=5,E,F分别是
学科网（北京）股份有限公司AD,BC的中点，将四边形ABFE沿EF折起，如图2，连接AD,BC,BE．
（1）求证：EF�AD；
（2）若Q为线段BE上一动点，BF�ED，求CQ的最小值．
17．（15 分）某市A,B两个博物馆为应对暑期参观高峰，招聘博物馆讲解员志愿者，参与者通
过笔试、面试、模拟技能这 3项考核后可以被聘为志愿者．所有参与者均需参加 3项考核，且
3项考核的结果互不影响，3项考核均通过后聘为讲解员志愿者．去年有 100名高中生参加A博
物馆志愿者招聘，具体招聘结果如下表所示：
性别 参加考核但未聘用的人数 参加考核并成功聘用的人数
男生 45 10
女生 30 15
今年，某高中生小乐准备参加志愿者招聘，假定他参加各项考核的结果相互不影响，且专业人
士对他作出较客观的估计：小乐通过A博物馆的每项考核的概率均为1，通过B博物馆的各项考
2
核的概率分别为：1
,
3
,
1．
3 5 2
（1）依据小概率值α=0.05的独立性检验，判断去年 100名高中生参加A博物馆的志愿者招聘能
否聘用与性别是否有关联；
（2）若小乐通过A,B两个博物馆考核的项数分别记为X,Y，分别求出X与Y的数学期望．
附：参考公式：χ2= n ad−bc 2 ，其中n=a+b+c+d．
a+b c+d a+c b+d
( )
参考数据： ( )( )( )( )
α 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
a
18．（17分）已知函数f x =ex+acosx−x（e为自然对数的底数，e≈2.71828）．
()
学科网（北京）股份有限公司（1）若a=0，讨论f x 的单调性；
（2）若a=−1，证 ( 明 ) ：f x >5在 2,3 上恒成立；
（3）若x� l,e ，不等 ( 式 )acos ln(x ≥l)nx−x+2恒成立，求实数a的取值范围．
[ ] ( )
19．（17 分）已知椭圆C: x2 + y2 =1 a>b>0 的左、右顶点分别为M,N，且椭圆C过点 1, 3 ，离心
a2 b2 2
率为1． ( ) � �
2
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点P 4,m 作椭圆C的切线，切点为A,B，A在x轴上方．
（i）证明：直
(
线 )AM与直线BN的斜率之比为定值；
（ii）若m=4，过点P作直线l交椭圆C于D,E两点，过D作PA的平行线，交AE于点F，DF交AB于
点G，此时DG=FG，求满足条件的所有直线PD的斜率．
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