文档内容
秘密★启用前 试卷类型A
2026届高考启思教育高三暑假线上第一次模拟考试
数 学 试 题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案
写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的．请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合A={x∣0< x<2},B={x∈N||x-1∣≤1}，则A∩B= ( )
A. {1,2} B. {0,1,2} C. {-1,0,1,2} D. {-2,-1,0,1,2}
【答案】A
【详解】由题意得0< x<2，可解得00，b>0)的顶点到渐近线的距离为实轴长的 ，则双曲线C的离
a2 b2 5
心率为 ( )
4 2 3 5
A. B. C. D. 3
3 3 3
【答案】C
ab ab
【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线bx-ay=0的距离为 = ，
a2+b2 c
ab 2
所以 = ×2a，
c 5
b2 c2-a2 16 c2 25 5
所以 = = ，所以 = ，双曲线C的离心率e= .
c2 c2 25 a2 9 3
故选：C.
4. 设函数fx
π
=sinωx+
3
在区间0,π 恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是 ( )
·1·13 8
A. ,
6 3
13 8
B. ,
6 3
13 8
C. ,
6 3
13 8
D. ,
6 3
【答案】C
【详解】因为x∈0,π
π π π
，所以ωx+ ∈ ,ωπ+
3 3 3
，
由函数fx
π
=sinωx+
3
在区间0,π 恰有三个极值点、两个零点，
5π π 13 8
得 <ωπ+ ≤3π，解得 <ω≤ .
2 3 6 3
故选：C.
5. 设 f(x)是奇函数且满足 f(x+1)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=5x(1-x)，则 f(-2022.6)=
( )
A. -1.6 B. -1.2 C. 0.7 D. 0.84
【答案】B
【详解】由f(x+1)=-f(x)，得f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，函数f(x)的周期是2，
又函数f(x)是奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=5x(1-x)，
所以f(-2022.6)=-f(2022+0.6)=-f(0.6)=-5×0.6×(1-0.6)=-1.2.
故选：B
6. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼
的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着
现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形ABCDEFGH，其中心
为O，若OG=xOH +yOF，则x+y= ( )
3 3 2
A. 2 B. C. 2 D.
2 2
【答案】A
【详解】法一：如图①，过点G作GM⊥OH，GN⊥OF，垂足分别是M，N，
2π π
因为∠HOG=∠FOG= = ，所以GM=GN，
8 4
π 2
又∠MON= ，所以四边形GMON为正方形，所以OM=ON= OG，
2 2
·2·
2 2 2
又OH=OF=OG，所以OG=OM +ON = OH+ OF，则x=y= ，故x+y= 2；
2 2 2
法二：以OE，OG所在直线分别为x，y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，
设OE=OG=2，则G0,2 ，
2π π
因为∠HOG=∠FOG= = ，所以F 2, 2
8 4
，H- 2, 2 ，
由O G =xO H +yO F ，得 - 2x+ 2y=0 ，解得x=y= 2 ，故x+y= 2.
2x+ 2y=2 2
故选：A
7. 若圆C：x2+y2-12x+10y+25=0上有四个不同的点到直线l:3x+4y+c=0的距离为3，则c的
取值范围是 ( )
A. (0,17) B. (-13,0) C. (-13,17) D. (13,17)
【答案】C
【详解】圆C:x2+y2-12x+10y+25=0⇒(x-6)2+(y+5)2=36，
故圆心为C(6,-5)，半径为6．
设圆心C(6,-5)到直线l:3x+4y+c=0的距离为d，
要使圆上有四个不同的点到直线l:3x+4y+c=0的距离为3，
则与直线l平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点，
|18-20+c|
所以d+3<6，得d<3，即 <3，
32+42
解得-130，即0e时f(x)单调减，又1< c，b>a.
lnx 1
若t= 有两个解x,x ，则11)，则g(x)= >0，即g(x)在(1,+∞)上递增，
x+1 x(x+1)2
2(x-1) x lnx -lnx 2 2t
∴g(x)>g(1)=0，即在(1,+∞)上，lnx> ，若x= 2 即 2 1 > ，故t> ，
x+1 x x -x x +x lnxx
1 2 1 2 1 1 2
有xx >e2
1 2
e2 e2
∴当x =3时，e>x > ，故f
2 1 3 3
c>a.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. (多选)如图，在正方体ABCD-A B C D 中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，
1 1 1 1
则 ( )
A. 平面EFC ⊥平面AA C B. MP⊥A D
1 1 1 1
C. MP⊥C D D. EF⎳平面AD B
1 1 1
【答案】ABD
【详解】即判断平面EFC ⊥平面AACC，如图①，由正方体可得EF⊥AC，AA ⊥平面ABCD，
1 1 1 1
因为EF⊂平面ABCD，所以AA ⊥EF，又AA ∩AC=A，AA ，AC⊂平面AACC，
1 1 1 1 1
则EF⊥平面AACC，又EF⊂平面EFC ，则平面EFC ⊥平面AACC，A正确；
1 1 1 1 1 1
如图②，取A D 中点为N，连接MN，PN，易得MN⊥A D，NP⊥平面A D DA，又A D⊂平面
1 1 1 1 1 1
ADDA，
1 1
则NP⊥AD，结合MN∩NP=N，且MN，NP⊂平面MNP，则AD⊥平面MNP，
1 1
又MP⊂平面MNP，则MP⊥AD，B正确；
1
·4·如图③，连接AC ，易得MP⎳AC ，则判断MP⊥CD，即判断AC ⊥CD，又AD⊥CD，
1 1 1 1 1 1
则△ADC 是以∠ADC 为直角的直角三角形，则AC 与CD不垂直，即MP与CD不垂直，C错误；
1 1 1 1 1
因为EF⎳DB，DB⎳DB ，得EF⎳DB ，又EF⊄平面ADB ，DB ⊂平面ADB ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则EF⎳平面ADB ，D正确．
1 1
故选：ABD.
10. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交
点，则下列说法正确的是 ( )
A. 若BF =4AF
4
，则直线l的斜率为± B. AF
3
+9BF ≥32
|AF|
C. 0°<∠AOB<90° (O为坐标原点) D. 当 取最小值时，AF
|AD|
=4
【答案】ABD
【详解】
依题意F2,0 ，设直线l:x=my+2，Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ，
x=my+2
联立 y2=8x 得y2-8my-16=0，则y 1 +y 2 =8m，y 1 y 2 =-16，
AF 则
BF
= y 1
y 2
= 1 ，解得 y 1 =2 或 y 1 =-2 ，则A 1 ,2
4 y =-8 y =8 2 2 2
，B8,-8 1 或A ,-2
2
，B8,8 ，
4
则直线l的斜率为± .故A正确；AF 3 +9BF
y2 9y2 32 9y2
=x +9x +20= 1 + 2 +20= + 2 +20≥ 1 2 8 8 y2 8
2
·5·32 9y2
2 ⋅ 2 +20=32，
y2 8
2
16
当且仅当y2= 时等号成立.故B正确；
2 3
y2y2
因为OA⋅OB=xx +yy = 1 2 +yy =-12<0，所以∠AOB>90°，故C错误；
1 2 1 2 64 1 2
D-2,0 ，F2,0 ，则y2 1 =8x 1 ，x 1 >0，由抛物线的定义可得AF =x 1 +2，AD = x 1 +2 2+y2= 1
AF
x2+4x +4+8x = x2+12x +4，因为x >0，
1 1 1 1 1 1
AD
x +2 x2+4x +4
= 1 = 1 1 =
x2+12x +4 x2+12x +4 1 1 1 1
8x 8 8 2
1- 1 = 1- ≥2 1- = ，
x2 1 +12x 1 +4 x 1 + x 4 1 +12 2 x 1 ⋅ x 4 1 +12 2
当且仅当x 1 =2时取等号，此时AF =4，故D正确.
故选：ABD
11. 记△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b2+c2=2a2，则下列选项正确的是 ( )
π
A. 2bccosA=a2 B. 角A的最大值为
3
tanBtanC ab
C. tanA= D. 的取值范围是3 3-5，3 3+5
tanB+tanC c2
【答案】ABD
b2+c2-a2 b2+c2-a2
【详解】对于A：由余弦定理有cosA= ，所以2bccosA=2bc⋅ =b2+c2-a2=a2⇔
2bc 2bc
b2+c2=2a2，故A正确；
b2+c2-a2 a2
对于B：由余弦定理得cosA= = ，由基本不等式有2a2=b2+c2≥2bc，当b=c=a时，即
2bc 2bc
π a2 a2 1 π
A= 时等号成立，所以cosA= ≥ = ，所以角A的最大值为 ，故B正确；
3 2bc 2a2 2 3
tanBtanC 1 1 1 cosA cosB cosC
对于C：由tanA= 有 = + ⇒ = + ，
tanB+tanC tanA tanB tanC sinA sinB sinC
cosA cosBsinC+cosCsinB sinB+C
所以 = =
sinA sinBsinC
sinA
= ，
sinBsinC sinBsinC
b2+c2-a2 b2+c2-a2
所以sin2A=sinBsinCcosA⇒a2=bccosA=bc⋅ = ，
2bc 2
即2a2=b2+c2-a2⇒3a2=b2+c2，与题干不符，故C错误；
对于D：令b=xcx>0
x2+1
代入 b2+c2=2a2有a= c，由b-c
2
9，则n的最小值为
n n
．
·6·【答案】5
【详解】设正项等比数列a
n
公比为q，则a >0,q>0.
n
根据等比数列性质：a ⋅a =a2=9⇒a =3.
2 4 3 3
1 a
因a = ，所以q2= 3 =9，解得q=3，
1 3 a
1
1
因此a = ×3n-1=3n-2，
n 3
故T =a ⋅a ⋅a ⋯a =3-1+0+1+⋅⋅⋅+n-2
n 1 2 3 n
nn-3
=3
2 ，
nn-3
由T >9，得3
n
2 >32，
nn-3
从而得
>2，即n2-3n-4>0，
2
解得n>4或n<-1，而n>0，故n>4，
又n∈N ，则n的最小值为5．
+
故答案为：5
13. 直线l经过点P2,-1
，与x轴、y轴分别交于A、B两点，若2PA+PB=0，则直线l的方程为
.
【答案】x-y-3=0
【详解】依题意，设A(a,0)，B(0,b)，
则PA=(a,0)-(2,-1)=(a-2,1)，PB=(0,b)-(2,-1)=(-2,b+1)，
则2PA+PB=(2a-4,2)+(-2,b+1)=(2a-6,b+3)，
2a-6=0 a=3
由2PA+PB=0得
，解得
，
b+3=0 b=-3
则A(3,0)，B(0,-3)，
0-(-3)
则直线l的斜率为k= =1，方程为y=x-3即x-y-3=0.
3-0
故答案 ：x-y-3=0.
14. 小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为0.5，得2分的概率为0.5.若
某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为0.6，得2分的概率为0.4；若某次投篮得2分，则下一
次投篮得1分的概率为0.4，得2分的概率为0.6.记小华3次投篮的累计得分为X，则X的数学期望
EX = .
【答案】4.5
【详解】由题意可知X的所有可能取值分别为3，4，5，6，记A(i=1,2,3)表示“第i次投篮得1分”的事件，
i
B(i=1,2,3)表示“第i次投篮得2分”的事件.
i
P(X=3)=P(AA A )=0.5×0.6×0.6=0.18，
1 2 3
P(X=4)=P(AA B +AB A +BA A )=0.5×0.6×0.4+0.5×0.4×0.4+0.5×0.4×0.6=0.32
1 2 3 1 2 3 1 2 3
P(X=5)=P(AB B +BA B +BB A )=0.5×0.4×0.6+0.5×0.4×0.4+0.5×0.6×0.4=0.32，
1 2 3 1 2 3 1 2 3
P(X=6)=P(BB B )=0.5×0.6×0.6=0.18，
1 2 3
所以分布列为
X 3 4 5 6
P 0.18 0.32 0.32 0 18
故E(X)=3×0.18+4×0.32+5×0.32+6×0.18=4.5.
·7·故答案为：4.5
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了探究新型植物营养液对某种植物开花数量的影响，某植物园选取生长状况相近的两组该植物，
每组100株开展相关实验．对其中一组使用传统营养液培育，另一组使用新型营养液培育，其他条
件保持相同且适宜，在一个完整生长周期内定期记录开花情况，待生长周期结束后，得到如下统计结
果：
使用营养液种类 开花数量达标 开花数量未达标 合计
使用传统营养液 100
使用新型营养液 60
合计 65
(1)完成2×2列联表；
(2)能否有95%的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用？能否有99%的把握认为新型营养
液对植物开花有促进作用？
nad-bc
附：K2=
2
a+b c+d a+c b+d
．
PK2≥k 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
【答案】(1)表格见解析
(2)有95%的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用，没有99%的把握认为新型营养液对植物开花
有促进作用
【小问1详解】
列联表补充完整如下：
使用营养液种类 开花数量达标 开花数量未达标 合计
使用传统营养液 25 75 100
使用新型营养液 40 60 100
合计 65 135 200
【小问2详解】
200×25×60-75×40
由表中数据可知，K2=
2
≈5.128>3.841，
100×100×65×135
又K2<6.635，故有95% 把握认为新型营养液对植物开花有促进作用，
没有99%的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用．
16. 已知数列a n 的首项a 1 =5，前n项和为S n ，且S n+1 =3S n +2n+5n∈N* .
(1)证明：数列a +1
n
是等比数列；
·8·(2)令fx =a 1 x+a 2 x2+⋯+a n xn，求函数fx 在x=1处的导数f1 .
【答案】(1)证明见解析
(2)f1
2n-1
=
×3n+1+3 nn+1
-
2
2
【小问1详解】
证明：由已知S n+1 =3S n +2n+5n∈N* ，
当n≥2时，S =3S +2n+3，
n n-1
两式相减得S n+1 -S n =3S n -S n-1 +2，即a =3a +2， n+1 n
则a n+1 +1=3a n +1 n≥2 ，
当n=1时，S =3S +7，所以a +a =3a +7，因为a =5，所以a =17，
2 1 2 1 1 1 2
从而a 2 +1=3a 1 +1 ，所以a n+1 +1=3a n +1 ,n∈N*，
a +1
又因 a =5，可得a +1=6，所以 n+1 =3,(n∈N∗)，
1 1 a +1
n
所以数列a +1
n
是以6为首项，3为公比的等比数列.
【小问2详解】
解：由(1)得a +1=6×3n-1，所以a =2×3n-1，
n n
因为fx =a 1 x+a 2 x2+⋯+a n xn，所以fx =a +2a x+⋯+na xn-1， 1 2 n
则f1 =a +2a +⋯+na ， 1 2 n
记b n =na n =2n×3n-n，可得f1 =b +b +⋯+b ， 1 2 n
记T =2×31+4×32+⋯+2n×3n，
n
则3T =2×32+4×33+⋯+2n×3n+1，
n
两式相减得：-2T =2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n-2n×3n+1
n
61-3n
=
-2n×3n+1=1-2n
1-3
×3n+1-3，
2n-1
所以T =
n
×3n+1+3
，
2
nn+1
又因为1+2+⋯+n=
，所以f1
2
2n-1
=
×3n+1+3 nn+1
-
2
.
2
17. 如图，四棱锥P-ABCD中，AB=AD=2BC=2 2,BC⎳AD,AB⊥AD．
(1)当△PBD为正三角形时，
(i)若PA=2 6，证明：直线AB⊥平面PBC；
(ii)若A，B，D，P四点在以 6为半径的球面上，则四棱锥P-ABCD的体积是多少？
(2)当△PBD为等腰直角三角形时，且PD=PB，求二面角B-PD-C的余弦值的最小值．
【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)4 2
2
(2) 5
5
·9·【小问1详解】
(i)因为AB⊥AD，且AB=AD=2 2，所以BD=4，
又△PBD为正三角形，所以PB=PD=BD=4，
因为AB=2 2,PA=2 6，所以PA2=AB2+PB2，进而AB⊥PB．
因为AB⊥AD,BC⎳AD，所以AB⊥BC，
又因为PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，
所以直线AB⊥平面PBC.
(ii)延长BC至E，使得CE=BC= 2，进而BE=AD，连结DE，
又有BC⎳AD,AB⊥AD，可知，四边形ABED为正方形，
连结AE交BD于O，过点O作Oz⊥平面ABED，
以O为坐标原点，分别以OE，OD，Oz所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为A，B，D，P四点在以 6为半径的球面上，由球的性质可知球心M在z轴上，设点M的坐标为(0,0,
t)，
所以( 6)2=t2+|OA|2=t2+22，解得t= 2，即M(0,0, 2).
又△PBD为正三角形，连结OP，可知OP⊥BO，又BO⊥AO,AO∩PO=O,AO,PO⊂平面AOP，
进而可得BO⊥平面AOP，所以点P在坐标平面xOz内，
设点P的坐标为(m,0,n)，又有B(0,-2,0)，
则|MP|= m2+(n- 2)2= 6，|BP|= m2+(-2)2+n2=4，解得n=2 2，
所以四棱锥P-ABCD的高h=2 2，
1 1
直角梯形ABCD的面积S= (|AD|+|BC|)⋅|AB|= (2 2+ 2)⋅2 2=6，
2 2
1 1
所以四棱锥P-ABCD的体积V= Sh= ⋅6⋅2 2=4 2.
3 3
【小问2详解】
因为△PBD为等腰直角三角形，且PD=PB，连结OP，则|OP|=2．
建系方法如(ii)问，B(0,-2,0),C(1,-1,0),D(0,2,0)，
设点P(2cosθ,0,2sinθ),θ∈(0,π),BD=(0,4,0),CD=(-1,3,0),PD=(-2cosθ,2,-2sinθ)，
BD⋅n =4b=0
设平面BPD的一个法向量n
1
=(a,b,c)，则
1 ，
PD⋅n =-2cosθ⋅a+2b-2sinθ⋅c=0
1
b=0
令a=sinθ，则 c=-cosθ ，所以n 1 =(sinθ,0,-cosθ).
CD⋅n =-x+3y=0
设平面PDC的一个法向量为n
2
=(x,y,z)，则
2 ，
PD⋅n =-2cosθ⋅x+2y-2sinθ⋅z=0
2
x=3sinθ
令y=sinθ，则 z=1-3cosθ ，所以n 2 =(3sinθ,sinθ,1-3cosθ).
n ⋅n
cosn,n = 1 2
1 2
n 1
n 2
3sin2θ-cosθ+3cos2θ 3-cosθ
= = .
9sin2θ+sin2θ+(1-3cosθ)2 11-6cosθ-cos2θ
·10·1 1 1
令u=3-cosθ，则u∈(2,4), ∈ ,
u 4 2
，
u 1 1
所以cosn,n = = =
1 2 -16+12u-u2 -16 +12 -1 -16 1 -3
u2 u u 8
1 2
≥ = 5.
2 +5 5 5
4 4
1 3 8
当且仅当 = 即u= 时等号成立，
u 8 3
2
所以二面角B-PD-C的余弦值的最小值 5．
5
18. 已知拋物线E:y2=2px(p>1)的焦点是F，点Px 0 ,y 0 是拋物线E上一点(异于坐标原点)，当y = 0
1时，PF
5
= ．
4
(1)求抛物线E 方程；
(2)若ω是以PF为直径的圆，证明：ω与y轴只有一个公共点T，且直线PT与抛物线E只有一个公
共点P；
(3)设y >0，过P的直线与E交于另一点Q，交y轴于点M，过Q作PQ的垂线交E于另一点N，若
0
MN是E的切线，求y 的最小值．
0
【答案】(1)y2=4x
8
(2)证明见解析 (3)
3
【小问1详解】
1 1
根据题意，当y =1时，x = ，此时点P ,1
0 0 2p 2p
.
p
而F ,0
2
，所以PF
1 p
= -
2p 2
2 5
+1= .
4
1 p
化简得 -
2p 2
2 9 1 p 3
= ，解得 - =± .
16 2p 2 4
继续化简得2p2±3p-2=0，因为p>1，
3+ 9+16
所以p= =2.
4
所以抛物线E的方程为y2=4x.
【小问2详解】
由题意知，F1,0
x +1 y
，设PF中点为M，则M 0 , 0
2 2
.
1
而ω的半径r= PF
2
x +1
= 0 ，因此M到y轴的距离等于ω的半径，说明ω与y轴相切，
2
y
有唯一公共点T0, 0
2
.
y 2 y y2
直线PT的斜率k= 0 = ，因此PT:x= 0 y- 0 .
2x y 2 4
0 0
y2=4x
x= y 0y- y2 0 ⇒y2-2y 0 y+y2 0 =0,Δ=4y2 0 -4y2 0 =0.
2 4
故直线PT与抛物线E相切，只有一个公共点P.
【小问3详解】
设Qx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ，PQ的斜率k = y 1 -y 0 = 4y 1 -y 0 1 x -x
1 0
4 = . y2-y2 y +y
1 0 1 0
·11·4
同理QN斜率k = .
2 y +y
1 2
-16-y y -y2
由于PQ⊥QN，有kk =-1⇒y = 0 1 1 .
1 2 2 y +y
0 1
4
直线PQ的方程为y-y 0 = y +y x-x 0
1 0
-4x y y
，令x=0,y= 0 +y = 0 1 . y +y 0 y +y
0 1 0 1
y y
因此M0, 0 1
y +y
0 1
1
，由(2)可得，若MN是抛物线的切线，有y = y .
M 2 2
2y y -16-y y -y2 y 16
即 0 1 = 0 1 1 ，整理得y =- 1 +
y +y y +y 0 3 3y
0 1 0 1 1
.
1
由y 0 >0可得y 1 <0，因此y 0 ≥ 3 ×2× -y 1
16
× -y
1
8
= . 3
8
故y 的最小值为 .
0 3
19. 已知函数f(x)=asin2x-sin3x，x∈R．
3 π
(1)当a= 时，求函数f(x)在 0,
2 3
上的最大值；
(2)求证：函数f(x)在R上有最大值F(a)；
(3)在(2)的结论下，若0≤a≤3，求F(a)的取值范围．
3 3
【答案】(1) ；
4
1 (2)证明见解析； (3) 1， 2+ 17
2
1 17-1
2
【小问1详解】
fx = 3 sin2x-sin3x，x∈ 0, π
2 3
，
fx
x 5x
=3cos2x-3cos3x=6sin sin >0
2 2
故fx 在 0, π
3
上单调递增.
π
最大值为f
3
3 2π 3 3
= sin -sinπ= .
2 3 4
【小问2详解】
由于fx+2π =asin2x+2π -sin3x+2π =asin2x-sin3x=fx ，
所以fx 是以2π为周期的函数.
故 yy=fx ,x∈R = yy=fx ,x∈-π,π
又因为fx 在-π,π 上连续，所以必然存在最大值.
故Fa 存在.
【小问3详解】
fx =2acos2x-3cos3x
由(2)可知fx 是以2π为周期的函数.
又f-x =-fx ，所以fx 是奇函数.
·12·故只需考虑fx 在0,π 的单调性.
设gx = 3cos3x ,x∈ 0, π
2cos2x 4
π 3π ∪ ,
4 4
3π ∪ ,π
4
gx
3sinx-8cos4x+6cos2x-3
=
<0.
2cos22x
故gx 在 0, π
4
π 3π ， ,
4 4
3π ， ,π
4
上单调递减.
g0
3
= ，limgx
2 x→π-
4
=-∞，limgx
x→π+
4
=+∞，
limgx
x→3π-
4
=-∞，limgx
x→3π+
4
=+∞，gπ
3
=-
2
令gx
π π 5π
=0，得x= , , .
6 2 6
令gx
3 2π 4π
= ，得x=0, , .
2 5 5
令gx
π 1- 17
=3，得x= ,arccos .
3 4
3
①当0≤a≤ 时，
2
∃x ∈ 0, π 1 6 ,x ∈ 2π , π 2 5 2 ,x ∈ 4π , 5π 3 5 6 ,fx 1 =fx 2 =fx 3 =0.
则fx 在0,x 1 上单调递减，在x 1 ,x 2 上单调递增，x 2 ,x 3 上单调递减，x 3 ,π 上单调递增，
由于fx 是奇函数，由对称性可知，fx 在-π,-x 3 上单调递增，在-x 3 ,-x 2 上单调递减，
在-x 2 ,-x 1 上单调递增，在-x 1 ,x 1 上单调递减，
在x 1 ,x 2 上单调递增，x 2 ,x 3 上单调递减，x 3 ,π 上单调递增，
故Fa =max f-x 3 ,f-x 1 ,fx 2 ,fπ .
fπ =0，fx 2
3cos3x
=asin2x -sin3x = 2 sin2x -sin3x 2 2 2cos2x 2 2
2
f-x 3 ,f-x 1 同理可得
故设kx = 3cos3x sin2x-sin3x，x∈ - 5π ,- 4π
2cos2x 6 5
∪ - π ,0
6
∪ 2π , π
5 2
.
kx
3sin2xcosx
=- 8cos4x-6cos2x+3
cos22x
故kx 在 - 5π ,- 4π
6 5
上单调递增，在 - π ,0
6
上单调递减，在 2π , π
5 2
上单调递减，
5π
k-
6
4π
=1，k-
5
5 1
= 5+ 5
4 2
π
，k-
6
=1，k0 =0
2π
k
5
5 1
= 5- 5
4 2
π
，k
2
=1.
故f-x 1 ∈0,1 ，fx 2 5 1 ∈ 1, 5- 5 4 2 ，f-x 3 5 1 ∈ 1, 5+ 5 4 2
故Fa =max f-x 3 ,fx 2
π π
先证x + ≤x ，即证fx +
2 3 3 2 3
≤0
π
fx +
2 3
2π
=2acos2x +
2 3
+3cos3x
2
2π
=2acos2x + 2 3 +2acos2x 2
π =2a 2cos2x +
2 3
cos π
3
π =2acos2x +
2 3
而x ∈ 2π , π
2 5 2
，2x + π ∈ 17π , 4π
2 3 15 3
得证.
·13·故fx 2 -f-x 3 =2asinx 2 +x 3 cosx 2 -x 3 -2sin 3x 2 +x 3 cos 3x 2 -x 3 2 2
6π 4π 由于 5 0，cos 3x 2 -x 3 <0 2
故fx 2 ≤f-x 3
即Fa =f-x 3 5 1 ∈ 1, 5+ 5 4 2
3
②当
